Digitale Werkzeuge in der Schule/Unterwegs in 3-D – Punkte, Vektoren, Geraden und Ebenen im Raum: Unterschied zwischen den Versionen
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- <math> \vec{u} = \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix} </math> | - <math> \vec{u} = \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix} </math> | ||
{ Gegeben ist das abgebildete gleichschenklige rechtwinkelige Dreieck <math>ABC</math>. Welche der folgenden Aussagen treffen auf das Dreieck zu? [[Datei:Dreieck glsch rchtwklg.jpg|rahmenlos| | { Gegeben ist das abgebildete gleichschenklige rechtwinkelige Dreieck <math>ABC</math>. Welche der folgenden Aussagen treffen auf das Dreieck zu? | ||
[[Datei:Dreieck glsch rchtwklg.jpg|rahmenlos|800x800px]] } | |||
+ <math> |\vec{AB}| = |\vec{AC}| </math> | + <math> |\vec{AB}| = |\vec{AC}| </math> | ||
- <math> |\vec{BC}| = |\vec{AC}| </math> | - <math> |\vec{BC}| = |\vec{AC}| </math> | ||
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+ Der Punkt <math>{S_2} (1|0|8)</math> ist Spurpunkt der <math>{x_2x_3}</math>-Ebene. | + Der Punkt <math>{S_2} (1|0|8)</math> ist Spurpunkt der <math>{x_2x_3}</math>-Ebene. | ||
{ Eine Dachfläche liegt in einer Ebene, zu der in einem räumlichen Koordinatensystem der Punkt <math>A (0|9|4)</math> und die Richtungsvektoren <math>\vec{u} = (0 | { Eine Dachfläche liegt in einer Ebene, zu der in einem räumlichen Koordinatensystem der Punkt <math>A (0|9|4)</math> und die Richtungsvektoren <math>\vec{u} = \left( \begin{smallmatrix}0\\-2\\0\\\end{smallmatrix} \right)</math> und <math>\vec{v} = \left( \begin{smallmatrix}-2\\0\\2\\\end{smallmatrix} \right)</math> gehören. Der Punkt <math>(0|9|4)</math> ist die untere Ecke des Daches. Alle Punkte des Daches können beschrieben werden durch die Einschränkung der Ebenengleichung mit den Parametern <math>0 \leq t \leq 3</math> und <math>0 \leq s \leq 5</math>.} | ||
+ Die Ebene, in der das Dach liegt, lässt sich durch die Gleichung <math>E: \vec{x} = \begin{pmatrix} 0 \\ 9 \\ 4 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ -2 \\ 0 \end{pmatrix}+ s \cdot \begin{pmatrix} -2 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix}, t,s \in \mathbb{R} </math> beschreiben. | + Die Ebene, in der das Dach liegt, lässt sich durch die Gleichung <math>E: \vec{x} = \begin{pmatrix} 0 \\ 9 \\ 4 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ -2 \\ 0 \end{pmatrix}+ s \cdot \begin{pmatrix} -2 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix}, t,s \in \mathbb{R} </math> beschreiben. | ||
- Der Punkt <math>(-2|0|4)</math> liegt in der Ebene . | - Der Punkt <math>(-2|0|4)</math> liegt in der Ebene . | ||
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{Löse das Lineare Gleichungssystem ohne Hilfsmittel mit dem Gauß-Verfahren. Welche Lösung ist korrekt? | {Löse das Lineare Gleichungssystem ohne Hilfsmittel mit dem Gauß-Verfahren. Welche Lösung ist korrekt? | ||
<math>\begin{align} 2x + 2y + 2z & = 0 \\ -2x +2y + 4z & = 12 \\ z & = 2\\ \end{align}</math> } | <math>\left\vert\begin{align} 2x + 2y + 2z & = 0 \\ -2x +2y + 4z & = 12 \\ z & = 2\\ \end{align}\right\vert</math> } | ||
+ <math> x=-2,~y=0,~z=2 </math> | + <math> x=-2,~y=0,~z=2 </math> | ||
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{ Gegeben ist das folgende Lineare Gleichungssystem (LGS): | { Gegeben ist das folgende Lineare Gleichungssystem (LGS): | ||
<math>\begin{align} 3x + 2y + z & = 4 \\ 3x +2y & = 5 \\ 3x + 2y + az & = 2\\ \end{align}</math> | <math>\left\vert\begin{align} 3x + 2y + z & = 4 \\ 3x +2y & = 5 \\ 3x + 2y + az & = 2\\ \end{align}\right\vert</math> | ||
Welche der folgenden Aussagen stimmt nicht?} | Welche der folgenden Aussagen stimmt nicht?} | ||
- Das LGS hat für a=1 unendlich viele Lösungen | - Das LGS hat für <math>a=1</math> unendlich viele Lösungen. | ||
- Das LGS hat für a=1 | - Das LGS hat für <math>a=1</math> keine Lösung. | ||
+ Es gibt ein a aus den | + Es gibt ein <math>a</math> aus den reellen Zahlen, sodass das LGS genau eine Lösung hat. | ||
{ Bringe die Schritte des Gauß-Verfahrens in die richtige Reihenfolge | { Bringe die Schritte des Gauß-Verfahrens in die richtige Reihenfolge | ||
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e) Mit Hilfe von geschickter Multiplikation und Division der Gleichungen, gleiche Faktoren vor den Variablen erzeugen. | e) Mit Hilfe von geschickter Multiplikation und Division der Gleichungen, gleiche Faktoren vor den Variablen erzeugen. | ||
f) Alle Variablen auf die eine Seite der Gleichung bringen und den Rest auf die andere Seite. | f) Alle Variablen auf die eine Seite der Gleichung bringen und den Rest auf die andere Seite.} | ||
- a, b, c, d, e, f | - a, b, c, d, e, f | ||
- c, a, b, f, e, d | - c, a, b, f, e, d | ||
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- <math> \vec{u} = \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix} </math> | - <math> \vec{u} = \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix} </math> | ||
{ Gegeben ist das abgebildete gleichschenklige rechtwinkelige Dreieck <math>ABC</math>. Welche der folgenden Aussagen treffen auf das Dreieck zu? [[Datei:Dreieck glsch rchtwklg.jpg|rahmenlos| | { Gegeben ist das abgebildete gleichschenklige rechtwinkelige Dreieck <math>ABC</math>. Welche der folgenden Aussagen treffen auf das Dreieck zu? | ||
[[Datei:Dreieck glsch rchtwklg.jpg|rahmenlos|800x800px]] } | |||
+ <math> |\vec{AB}| = |\vec{AC}| </math> | + <math> |\vec{AB}| = |\vec{AC}| </math> | ||
- <math> |\vec{BC}| = |\vec{AC}| </math> | - <math> |\vec{BC}| = |\vec{AC}| </math> | ||
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+ Der Punkt <math>{S_2} (1|0|8)</math> ist Spurpunkt der <math>{x_2x_3}</math>-Ebene. | + Der Punkt <math>{S_2} (1|0|8)</math> ist Spurpunkt der <math>{x_2x_3}</math>-Ebene. | ||
{ Eine Dachfläche liegt in einer Ebene, zu der in einem räumlichen Koordinatensystem der Punkt <math>A (0|9|4)</math> und die Richtungsvektoren <math>\vec{u} = (0 | { Eine Dachfläche liegt in einer Ebene, zu der in einem räumlichen Koordinatensystem der Punkt <math>A (0|9|4)</math> und die Richtungsvektoren <math>\vec{u} = \left( \begin{smallmatrix}0\\-2\\0\\\end{smallmatrix} \right)</math> und <math>\vec{v} = \left( \begin{smallmatrix}-2\\0\\2\\\end{smallmatrix} \right)</math> gehören. Der Punkt <math>(0|9|4)</math> ist die untere Ecke des Daches. Alle Punkte des Daches können beschrieben werden durch die Einschränkung der Ebenengleichung mit den Parametern <math>0 \leq t \leq 3</math> und <math>0 \leq s \leq 5</math>.} | ||
+ Die Ebene, in der das Dach liegt, lässt sich durch die Gleichung <math>E: \vec{x} = \begin{pmatrix} 0 \\ 9 \\ 4 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ -2 \\ 0 \end{pmatrix}+ s \cdot \begin{pmatrix} -2 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix}, t,s \in \mathbb{R} </math> beschreiben. | + Die Ebene, in der das Dach liegt, lässt sich durch die Gleichung <math>E: \vec{x} = \begin{pmatrix} 0 \\ 9 \\ 4 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ -2 \\ 0 \end{pmatrix}+ s \cdot \begin{pmatrix} -2 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix}, t,s \in \mathbb{R} </math> beschreiben. | ||
- Der Punkt <math>(-2|0|4)</math> liegt in der Ebene . | - Der Punkt <math>(-2|0|4)</math> liegt in der Ebene . | ||
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{ Welche Aussagen zum Thema Normalenvektor treffen zu? } | { Welche Aussagen zum Thema Normalenvektor treffen zu? } | ||
+ Die Eckfahne beim Fußball kann geometrisch als Normalenvektor des Fußballfeldes interpretiert werden. | |||
- Der Normalenvektor einer Ebene ist eindeutig. | - Der Normalenvektor einer Ebene ist eindeutig. | ||
+ Das Skalarprodukt eines Normalenvektors und eines Richtungsvektors derselben Ebene ist 0. | |||
- Selbst bei einer Straße mit Steigung stellt modellhaft eine Straßenlaterne einen Normalenvektor dar. | - Selbst bei einer Straße mit Steigung stellt modellhaft eine Straßenlaterne einen Normalenvektor dar. | ||
+ Vektor <math>\vec{n}</math> ist ein Normalenvektor der Ebene. [[Datei:Bildschirmfoto 2021-04-20 um 01.18.48.png|rahmenlos|225x225px]] | |||
{ Gegeben ist eine Ebene in Parameterform. <math>E: \vec{x} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 2{,}5 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -2 \end{pmatrix}+ s \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ -1{,}5 \end{pmatrix}, t,s \in \mathbb{R} </math> } | { Gegeben ist eine Ebene in Parameterform. <math>E: \vec{x} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 2{,}5 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -2 \end{pmatrix}+ s \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ -1{,}5 \end{pmatrix}, t,s \in \mathbb{R} </math> } | ||
- <math>E: 2x_1-1{,}5x_2-x_3=2{,}5 </math> ist die zugehörige Koordinatenform. | - <math>E: 2x_1-1{,}5x_2-x_3=2{,}5 </math> ist die zugehörige Koordinatenform. | ||
+ <math>E: 2x_1+1{,}5x_2+x_3=2{,}5 </math> ist die zugehörige Koordinatenform. | |||
- <math>E: 2x_1+1{,}5x_2+x_3=0 </math> ist die zugehörige Koordinatenform. | - <math>E: 2x_1+1{,}5x_2+x_3=0 </math> ist die zugehörige Koordinatenform. | ||
+ <math>E: \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1{,}5 \\ 1 \end{pmatrix} \cdot\ [ \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix}- \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 2{,}5 \end{pmatrix} ] = 0</math> ist eine zugehörige Normalenform. | |||
{ Welche Aussagen sind wahr? } | { Welche Aussagen sind wahr? } | ||
Zeile 317: | Zeile 320: | ||
{Löse das Lineare Gleichungssystem ohne Hilfsmittel mit dem Gauß-Verfahren. Welche Lösung ist korrekt? | {Löse das Lineare Gleichungssystem ohne Hilfsmittel mit dem Gauß-Verfahren. Welche Lösung ist korrekt? | ||
<math>\begin{align} 2x + 2y + 2z & = 0 \\ -2x +2y + 4z & = 12 \\ z & = 2\\ \end{align}</math> } | <math>\left\vert\begin{align} 2x + 2y + 2z & = 0 \\ -2x +2y + 4z & = 12 \\ z & = 2\\ \end{align}\right\vert</math> } | ||
+ <math> x=-2,~y=0,~z=2 </math> | + <math> x=-2,~y=0,~z=2 </math> | ||
Zeile 326: | Zeile 329: | ||
{ Gegeben ist das folgende Lineare Gleichungssystem (LGS): | { Gegeben ist das folgende Lineare Gleichungssystem (LGS): | ||
<math>\begin{align} 3x + 2y + z & = 4 \\ 3x +2y & = 5 \\ 3x + 2y + az & = 2\\ \end{align}</math> | <math>\left\vert\begin{align} 3x + 2y + z & = 4 \\ 3x +2y & = 5 \\ 3x + 2y + az & = 2\\ \end{align}\right\vert</math> | ||
Welche der folgenden Aussagen stimmt nicht?} | Welche der folgenden Aussagen stimmt nicht?} | ||
- Das LGS hat für a=1 unendlich viele Lösungen | - Das LGS hat für <math>a=1</math> unendlich viele Lösungen. | ||
- Das LGS hat für a=1 | - Das LGS hat für <math>a=1</math> keine Lösung. | ||
+ Es gibt ein a aus den | + Es gibt ein <math>a</math> aus den reellen Zahlen, sodass das LGS genau eine Lösung hat. | ||
{ Bringe die Schritte des Gauß-Verfahrens in die richtige Reihenfolge | { Bringe die Schritte des Gauß-Verfahrens in die richtige Reihenfolge | ||
Zeile 345: | Zeile 348: | ||
e) Mit Hilfe von geschickter Multiplikation und Division der Gleichungen, gleiche Faktoren vor den Variablen erzeugen. | e) Mit Hilfe von geschickter Multiplikation und Division der Gleichungen, gleiche Faktoren vor den Variablen erzeugen. | ||
f) Alle Variablen auf die eine Seite der Gleichung bringen und den Rest auf die andere Seite. | f) Alle Variablen auf die eine Seite der Gleichung bringen und den Rest auf die andere Seite.} | ||
- a, b, c, d, e, f | - a, b, c, d, e, f | ||
- c, a, b, f, e, d | - c, a, b, f, e, d |
Aktuelle Version vom 30. Juni 2021, 15:07 Uhr
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