Digitale Werkzeuge in der Schule/Unterwegs in 3-D – Punkte, Vektoren, Geraden und Ebenen im Raum: Unterschied zwischen den Versionen

Aus ZUM Projektwiki
Keine Bearbeitungszusammenfassung
Keine Bearbeitungszusammenfassung
Markierung: 2017-Quelltext-Bearbeitung
Zeile 211: Zeile 211:


+ <math> x=-2,~y=0,~z=2 </math>
+ <math> x=-2,~y=0,~z=2 </math>
- <math> x=-3,~y=1,+z=2 </math>
- <math> x=-3,~y=1,~z=2 </math>
- <math> x=0,~y=-2,~z=2 </math>
- <math> x=0,~y=-2,~z=2 </math>
- das Lineare Gleichungssystem hat keine Lösung
- das Lineare Gleichungssystem hat keine Lösung

Version vom 18. April 2021, 19:13 Uhr

Lernpfad

Herzlich Willkommen in dem Lernpfad "Unterwegs in 3-D – Punkte, Vektoren, Geraden und Ebenen im Raum"!

Hier entsteht im Sommersemester 2021 ein Lernpfad für Schülerinnen und Schüler der Jahrgangsstufe Q1 im Rahmen des Seminars "Digitale Werkzeuge in der Schule".

Bauarbeiter.jpg

Hier entsteht ein Diagnosetest mit der Quiz-Umgebung. Die ersten beiden Items sind Beispielitems.

1 Dies ist eine Beispielfrage.

Diese Antwortalternative ist falsch. Das zeigt das Minus-Zeichen in der Quelltextbearbeitung an.
Diese Antwortalternative ist richtig. Das zeigt das Plus-Zeichen in der Quelltextbearbeitung an.

2 Was ergibt 1+1?

1
2
3
4


Thema a:

1 Gegeben ist der Punkt A(1|2|-3) und der Punkt A'(-2|5|3,5). Welcher Vektor beschreibt die Verschiebung des Punktes A auf den Punkt A' ?

2 Die Bewegung eines Autos wird durch den Vektor beschrieben. Welcher der folgenden Vektoren beschreibt die Bewegung eines entgegenkommenden Autos mit doppelter Geschwindigkeit?

3 Gegeben ist das Dreieck ABC mit die Punkten A(0|0|2), B(0,5|0,5|-2) und C(3,5|-1|0). Welche der folgenden Aussagen trifft zu?

Das Dreieck ABC ist gleichseitig.
Das Dreieck ABC ist gleichschenklig.
Das Dreieck ABC ist rechtwinklig.


Thema b:

1 Welche der folgenden Geraden verlaufen durch die Punkte und ?

2 Welche Aussagen sind wahr?

Wenn zwei Geraden zueinander windschief sind, dann sind ihre Richtungsvektoren nicht zueinander parallel.
Wenn die Richtungsvektoren zweier Geraden im Raum nicht zueinander parallel sind, dann schneiden sich die Geraden.
Wenn sich zwei Geraden im Raum scheiden, dann sind ihre Richtungsvektoren nicht zueinander parallel.
Zwei Geraden mit parallelen Richtungsvektoren haben nie gemeinsame Punkte.
Wenn zwei Geraden mindestens einen gemeinsamen Punkt haben, dann sind ihre Richtungsvektoren nicht parallel.

3 Welche Sachsituationen passen zu der Geraden definiert durch

?

Ein Heißluftballon startet im Punkt und befindet sich im Sinkflug.
Ein Flugzeug befindet sich zum Zeitpunkt im Punkt und fliegt mit einer Geschwindigkeit von km/min.
Ein U-Boot steigt pro Sekunde um m auf.
Ein Vogel befindet sich in km Höhe. Nach drei Minuten ist die Position desselben Vogels um km in -Richtung und km in -Richtung verschoben und die Höhe des Vogels hat sich nicht verändert.
Ein GPS-Tracker an einer Taube zeigt nach min die Koordinaten an.


Thema c:

1 Prüfe, welche der Vektoren orthogonal zueinander sind.

,
,
,

2 Welche Aussagen sind wahr?

Wenn zwei Vektoren und orthogonal zueinander sind, gilt für den eingeschlossenen Winkel , dass .
Um den Winkel zwischen zwei Geraden zu bestimmen, muss das Skalarprodukt der Ortsvektoren Null sein.
Das Skalarprodukt zweier gleicher Vektoren ist immer Null.
Wenn der Winkel ist, haben die Vektoren dieselbe Richtung.
Der Winkel zwischen zwei Vektoren wird mit folgender Formel berechnet: .
Für das Skalarprodukt gilt das Kommutativgesetz.

3 Wie groß ist der Winkel zwischen den Vektoren und ? Runde sinnvoll.

129°
48°
51°


Thema d (Fragen 1-3 für GK & LK. Fragen 4-5 nur LK):

1 Welche der folgenden Parametergleichungen beschreiben eine Ebene?

2 Sei eine Gerade. Welche Aussagen zu Spurpunkten treffen zu?

Unter einem Spurpunkt versteht man den Schnittpunkt einer Geraden mit einer Koordinatenebene.
Der Punkt ist der Spurpunkt der -Ebene.
Der Punkt ist nie Spurpunkt einer Geraden.
Den Spurpunkt der -Ebene berechnet man, indem man die -Koordinate gleich 0 setzt.
Jede Gerade hat drei verschiedene Spurpunkte.
Der Punkt ist Spurpunkt der -Ebene.

3 Nehmen wir an, die Meeresoberfläche sei eine Ebene mit der Ebenengleichung . Forscher erfassen die Koordinaten verschiedener Wale, um Daten über die großen Meeressäuger zu sammeln. Welche Wale schwimmen gerade an der Meeresoberfläche?

Wal 1 in
Wal 2 in
Wal 3 in

4 Welche Aussagen zum Thema Normalenvektor treffen zu?

Das Netz einer Tischtennisplatte kann geometrisch als Normalenvektor der Tischtennisplatte interpretiert werden.
Der Normalenvektor einer Ebene ist eindeutig.
Man kann mithilfe des Kreuzprodukts den Normalenvektor einer Ebene berechnen.
Selbst bei einer Straße mit Steigung stellt modellhaft eine Straßenlaterne einen Normalenvektor dar.
Vektor ist auf jeden Fall ein Normalenvektor der Ebene. Bildschirmfoto 2021-04-14 um 22.09.15.png

5 Gegeben ist eine Ebene in Parameterform.

ist die zugehörige Normalenform.
ist die zugehörige Normalenform.
ist die zugehörige Koordinatenform.
ist die zugehörige Koordinatenform.


Thema e (Fragen 1-3 für GK. Fragen 4-6 für LK):

1 Welche Aussagen sind wahr?

Eine Gerade und eine Ebene können windschief zueinander liegen.
Wenn eine Gerade in einer Ebene liegt, dann ist jeder Punkt auf der Geraden auch ein Punkt in der Ebene.
Der Schnittpunkt von einer Geraden mit einer Ebene ist der einzige Punkt, den beide gemeinsam haben.

2 Seien die Gleichungen einer Gerade g und einer Ebene E gegeben. Durch Gleichsetzen und Einsatz des Taschenrechners ergibt sich folgende Lösung: . Interpretiere die Lösung des Gleichungssystems.

Die Gerade liegt in der Ebene.
Die Gerade liegt parallel zur Ebene.
Die Gerade schneidet die Ebene in einem Punkt.

3 Betrachte folgende Aufgabe:

249A4415-7B6E-49F8-AF02-3A7202E8C8C2.jpg

Wie könntest du bei der Bearbeitung der Aufgabe vorgehen?

Ich setze den Stützvektor der Gerade in die Ebenengleichung ein und berechne so die Parameter r und s.
Ich setze die Geraden- und Ebenengleichung gleich und löse das LGS. Ich setze den Parameter t in die Geradengleichung ein, um den Schnittpunkt zu berechnen.
Ich setze den Punkt mit der Gerade g gleich und löse das Gleichungssystem. Durch das Einsetzen von und in ergibt sich der Schnittpunkt.

4 Welche Aussagen sind wahr?

Eine Gerade und eine Ebene können windschief zueinander liegen.
Wenn eine Gerade in einer Ebene liegt, dann ist jeder Punkt auf der Geraden auch ein Punkt in der Ebene.
Wenn die Normalenvektoren zweier Ebenen kolinear sind, dann schneiden sich die Ebenen nicht.
Um den Winkel zwischen einer Geraden g und einer Ebene E zu berechnen, nutzt man den Richtungsvektor von g und einen der Richtungsvektoren von E.

5 Seien und zwei Ebenen im Raum. Untersuche die Lagebeziehung der beiden Ebenen zueinander.

Die Ebenen schneiden sich in einem Schnittpunkt.
Die Ebenen sind identisch.
Die Ebenen sind parallel.
Die Ebenen schneiden sich in einer Schnittgeraden.

6 Welche Sachsituationen passen zu der folgenden Aufgabe: Berechne den Schnittwinkel zwischen einer Geraden und einer Ebene.

Ein Flugzeug fliegt auf einer Geraden in Richtung des ebenen Erdbodens. Um eine weiche Landung sicherstellen zu können, muss das Flugzeug in einem Winkel von 3,2° landen. Wird diese Vorgabe eingehalten?
Ein Regalbrett, dass durch das Rechteck ABCD beschrieben wird, soll in einem Winkel von 90° zur Wand ( - -Ebene) montiert werden. Ist das Regalbrett korrekt montiert?
Eine Zeltwand wird durch zwei Stangen gehalten, die auf ebenem Boden verankert werden. Um auch bei Sturm für Stabilität zu sorgen, sollte der Winkel in der Spitze des Zelts 60° betragen. Steht das Zelt stabil?


Thema f (nur LK):

1 Welche Abstände kann man sinnvoll berechnen?

Den Abstand zwischen zwei parallelen Geraden.
Den Abstand zwischen zwei unterschiedlichen, nicht parallelen Ebenen.
Den Abstand von einem Punkt zu einer Ebene.
Den Abstand einer Geraden zu einer parallelen Ebene.
Den Abstand zwischen zwei sich schneidenden Geraden.
Den Abstand von einem Punkt zu einer Geraden.
Den Abstand zwischen windschiefen Geraden.
Den Abstand zwischen parallelen Ebenen.
Den Abstand zwischen einer Geraden und einer Ebene, die sich schneiden.

2 Wie könntest du den Abstand des Punktes P von der Geraden g: sicher bestimmen?

1. Eine Hilfsebene H aufstellen, die die Gerade g enthält. 2. Die zu H orthogonale Gerade f durch P bestimmen. 3. Den Schnittpunkt S von f mit H bestimmen und den Abstand d(P,S) berechnen.
1. Eine Hilfsebene H aufstellen, die P enthält und orthgonal zu g ist. 2. Den Schnittpunkt S zwischen g und H bestimmen. 3. Den Abstand d(P,S) berechnen.
1. Einen beliebigen Punkt R auf der Geraden g wählen. 2. Den Abstand d(P,R) berechnen.
1. Einen beliebigen Verbindungsvektor vom Punkt P zu einem Geradenpunkt L (in Abhängigkeit vom Parameter t) aufstellen. 2. t so bestimmen, dass der Verbindungsvektor orthogonal zum Richtungsvektor der Geraden ist. 3. Für dieses t den Abstand d(P,L) berechnen.

3 Welche Sachsituationen passen zu der folgenden Aufgabe? Aufgabe: Berechne den Abstand des Punktes P zur Ebene E. Sachsituationen:

Lukas ist 1,80m groß und steht auf einer Wiese unter einer Seilbahn. Er möchte wissen, wie nah ihm die Gondeln höchstens kommen können. Er kennt seine Position und den Verlauf der Seilbahn.
Eine Drohne schwebt in der Luft an einer Stelle über der Dachfläche eines Hauses. Hält sie die nötige Entfernung von 5m zur Dachfläche ein?
Julia und Juan wohnen gegenüber. Sie möchten eine Schnur von Julias Fenster in der 1. Etage zu Juans Fenster in der Hauswand in der 2. Etage spannen. Wie lang muss die Schnur sein?
Ein Schiff fährt entlang einer Geraden und ein U-Boot taucht entlang einer Geraden im Meer. Wie nah könnten sie sich höchstens kommen?
Eine Glühbirne hängt über einem Tisch. Kann Nuria mit ihrem Kopf die Glühbirne berühren, wenn sie auf dem Tisch steht? Sie ist 1,40m groß.


Thema g:

1 Löse das Lineare Gleichungssystem ohne Hilfsmittel mit dem Gauß-Verfahren. Welche Lösung ist korrekt?

das Lineare Gleichungssystem hat keine Lösung

2 Die Lagebeziehung der Geraden

g:  und h:  wurde untersucht. 

Unter der Verwendung des Gauß-Verfahrens ergibt sich das folgende Gleichungssystem in Zeilenstufenform:

.

Wie ist die Lagebeziehung der beiden Geraden?

parallel
schneiden sich
identisch
windschief

3 Bringe die Schritte des Gauß-Verfahrens in die richtige Reihenfolge

a)    Durch Addition und Subtraktion von Gleichungen die einzelnen Variablen eliminieren.

b)    Das Lineare Gleichungssystem in die Zeilenstufenform bringen.

c)    Die zugehörigen Variablen alle untereinander bringen.

d)    Durch Einsetzen die Variablen berechnen.

e)    Mit Hilfe von geschickter Multiplikation und Division der Gleichungen, gleiche Faktoren vor den Variablen erzeugen.

f)     Alle Variablen auf die eine Seite der Gleichung bringen und den Rest auf die andere Seite. Alle Variablen auf die eine Seite der Gleichung bringen und den Rest auf die andere

a, b, c, d, e, f
c, a, b, f, e, d
a, c, b, f, d, e
f, c, e, a, b, d


Wie geht es nun weiter?

Wenn du alle Aufgaben richtig beantwortet hast:

  • Suche dir aus den folgenden Kapiteln eines (oder mehrere) aus. In jedem Kapitel gibt es auch Knobelaufgaben, mit denen du dich beschäftigen kannst.

Wenn du einen oder auch mehrere Fehler gemacht hast: