Digitale Werkzeuge in der Schule/Unterwegs in 3-D – Punkte, Vektoren, Geraden und Ebenen im Raum

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Lernpfad

Herzlich Willkommen in dem Lernpfad "Unterwegs in 3-D – Punkte, Vektoren, Geraden und Ebenen im Raum"!

Hier entsteht im Sommersemester 2021 ein Lernpfad für Schülerinnen und Schüler der Jahrgangsstufe Q1 im Rahmen des Seminars "Digitale Werkzeuge in der Schule".

Bauarbeiter.jpg

Hier entsteht ein Diagnosetest mit der Quiz-Umgebung. Die ersten beiden Items sind Beispielitems.

1

Dies ist eine Beispielfrage.

Diese Antwortalternative ist falsch. Das zeigt das Minus-Zeichen in der Quelltextbearbeitung an.
Diese Antwortalternative ist richtig. Das zeigt das Plus-Zeichen in der Quelltextbearbeitung an.

2

Was ergibt 1+1?

1
2
3
4


Thema a:

1

Gegeben ist der Punkt und der Punkt . Welcher Vektor beschreibt die Verschiebung des Punktes auf den Punkt  ?

2

Die Bewegung eines Fußgängers wird durch den Vektor beschrieben. Welcher der folgenden Vektoren beschreibt die Bewegung einer entgegenkommenden Joggerin mit doppelter Geschwindigkeit?

3

Gegeben ist das Dreieck . Welche der folgenden Aussagen treffen auf das abgebildete Dreieck zu? Dreieck glsch rchtwklg.jpg

Es gilt .
Es gilt .


Thema b:

1

Welche der folgenden Geraden verlaufen durch die Punkte und ?

2

Welche Aussagen sind wahr?

Wenn zwei Geraden zueinander windschief sind, dann sind ihre Richtungsvektoren nicht zueinander parallel.
Wenn die Richtungsvektoren zweier Geraden im Raum nicht zueinander parallel sind, dann schneiden sich die Geraden.
Wenn sich zwei Geraden im Raum scheiden, dann sind ihre Richtungsvektoren nicht zueinander parallel.
Zwei Geraden mit parallelen Richtungsvektoren haben nie gemeinsame Punkte.
Wenn zwei Geraden mindestens einen gemeinsamen Punkt haben, dann sind ihre Richtungsvektoren nicht parallel.

3

Welche Sachsituationen können zu der Geraden definiert durch

passen?

Ein Heißluftballon startet im Punkt und befindet sich im Sinkflug.
Ein Flugzeug befindet sich zum Zeitpunkt im Punkt und fliegt mit einer Geschwindigkeit von km/min.
Ein U-Boot steigt pro Sekunde um m auf.
Ein Vogel befindet sich in km Höhe. Nach drei Minuten ist die Position desselben Vogels um km in -Richtung und km in -Richtung verschoben und die Höhe des Vogels hat sich nicht verändert.
Ein GPS-Tracker an einer Taube, die in gestartet ist, zeigt nach min die Koordinaten an.


Thema c:

1

Prüfe, welche der Vektoren orthogonal zueinander sind.

,
,
,

2

Welche Aussagen sind wahr?

Wenn zwei Vektoren und orthogonal zueinander sind, gilt für den eingeschlossenen Winkel , dass .
Um den Winkel zwischen zwei Geraden zu bestimmen, muss das Skalarprodukt der Ortsvektoren Null sein.
Das Skalarprodukt zweier gleicher Vektoren ist immer Null.
Wenn der Winkel ist, haben die Vektoren dieselbe Richtung.
Der Winkel zwischen zwei Vektoren wird mit folgender Formel berechnet: .
Für das Skalarprodukt gilt das Kommutativgesetz.

3

Wie groß ist der Winkel zwischen den Vektoren und ? Runde sinnvoll.

129°
48°
51°


Thema d (Fragen 1-3 für GK & LK. Fragen 4-5 nur LK):

1

Welche der folgenden Parametergleichungen beschreiben eine Ebene?

2

Sei eine Gerade. Welche Aussagen zu Spurpunkten treffen zu?

Unter einem Spurpunkt versteht man den Schnittpunkt einer Geraden mit einer Koordinatenebene.
Der Punkt ist der Spurpunkt der -Ebene.
Der Punkt ist nie Spurpunkt einer Geraden.
Den Spurpunkt der -Ebene berechnet man, indem man die -Koordinate gleich 0 setzt.
Jede Gerade hat drei verschiedene Spurpunkte.
Der Punkt ist Spurpunkt der -Ebene.

3

Eine Dachfläche liegt in einer Ebene, zu der in einem räumlichen Koordinatensystem der Punkt A und die Richtungsvektoren und gehören. Der Punkt ist die untere Ecke des Daches. Alle Punkte des Daches können beschrieben werden durch die Einschränkung der Ebenengleichung mit den Parametern und .

Die Ebene, in der das Dach liegt, lässt sich durch die Gleichung beschreiben.
Der Punkt liegt in der Ebene .
Der Punkt liegt innerhalb der Dachfläche.
Der Punkt liegt in der Ebene, aber außerhalb der Dachfläche.

4

Welche Aussagen zum Thema Normalenvektor treffen zu?

Die Eckfahne beim Fußball kann geometrisch als Normalenvektor des Fußballfeldes interpretiert werden.
Der Normalenvektor einer Ebene ist eindeutig.
Das Skalarprodukt eines Normalenvektors und eines Richtungsvektors derselben Ebene ist 0.
Selbst bei einer Straße mit Steigung stellt modellhaft eine Straßenlaterne einen Normalenvektor dar.
Vektor ist ein Normalenvektor der Ebene. Bildschirmfoto 2021-04-20 um 01.18.48.png

5

Gegeben ist eine Ebene in Parameterform.

ist die zugehörige Koordinatenform.
ist die zugehörige Koordinatenform.
ist die zugehörige Koordinatenform.
ist die zugehörige Normalenform.


Thema e (Fragen 1-3 für GK. Fragen 4-6 für LK):

1

Welche Aussagen sind wahr?

Eine Gerade und eine Ebene können windschief zueinander liegen.
Wenn eine Gerade in einer Ebene liegt, dann ist jeder Punkt auf der Geraden auch ein Punkt in der Ebene.
Wenn eine Gerade und eine Ebene keinen gemeinsamen Punkt haben, liegen sie parallel zueinander.

2

Seien die Gleichungen einer Gerade und einer Ebene gegeben. Um die Lagebeziehung zwischen Gerade und Ebene zu untersuchen, hat Noah die Gleichungen gleichgesetzt. Mit dem Gauß-Verfahren erhält er das folgende Gleichungssystem: . Wie muss Noah sein Ergebnis interpretieren?

Die Gerade liegt in der Ebene.
Die Gerade liegt parallel zur Ebene.
Die Gerade schneidet die Ebene in einem Punkt.

3

Betrachte folgende Aufgabe:

Der Sinkflug eines Flugzeuges wird durch die Gerade modelliert. Der Parameter entspricht dabei der Zeit in Minuten ab dem Beginn des Sinkfluges. Der Boden wird durch die Ebene modelliert.

Wo landet das Flugzeug?

Wie könntest du bei der Bearbeitung der Aufgabe vorgehen?

Ich setze den Stützvektor der Gerade in die Ebenengleichung ein und berechne so die Parameter und .
Ich setze die Geraden- und Ebenengleichung gleich und löse das LGS. Ich setze den Parameter in die Geradengleichung ein, um den Schnittpunkt zu berechnen.
Ich setze den Punkt mit der Gerade gleich und löse das Gleichungssystem. Durch das Einsetzen von und in ergibt sich der Schnittpunkt.

4

Welche Aussagen sind wahr?

Eine Gerade und eine Ebene können windschief zueinander liegen.
Wenn eine Gerade in einer Ebene liegt, dann ist jeder Punkt auf der Geraden auch ein Punkt in der Ebene.
Wenn die Normalenvektoren zweier Ebenen kolinear sind, dann schneiden sich die Ebenen nicht.

5

Seien und zwei Ebenen und eine Gerade im Raum. Wie liegen , und zueinander?

Die Ebenen sind identisch.
Die Ebenen sind parallel.
Die Ebenen schneiden sich in einer Schnittgeraden.
Der Winkel zwischen der Gerade und der Ebene beträgt .
Die Gerade liegt orthogonal zu beiden Ebenen.
Die Gerade liegt parallel zur Ebene .

6

Welche Fragestellungen in den gegebenen Situationen könnten durch die Berechnung des Winkels zwischen einer Geraden und einer Ebene beantwortet werden?

Ein Flugzeug fliegt auf einer Geraden in Richtung des ebenen Erdbodens. Um eine weiche Landung sicherstellen zu können, muss das Flugzeug in einem Winkel von laden. Wird diese Vorgabe eingehalten?
Ein Regalbrett, dass durch das Rechteck beschrieben wird, soll in einem Winkel von zur Wand montiert werden. Ist das Regalbrett korrekt montiert?
Eine Zeltwand wird durch zwei Stangen gehalten, die auf ebenem Boden verankert werden. Um auch bei Sturm für Stabilität zu sorgen, sollte der Winkel in der Spitze des Zelts betragen. Steht das Zelt stabil?


Thema f (nur LK):

1

Welche Abstände lassen sich unter keinen Umständen sinnvoll definieren?

Der Abstand zwischen zwei parallelen Geraden.
Der Abstand zwischen zwei unterschiedlichen, nicht parallelen Ebenen.
Der Abstand von einem Punkt zu einer Ebene.
Der Abstand einer Geraden zu einer parallelen Ebene.
Der Abstand zwischen zwei sich schneidenden Geraden.
Der Abstand von einem Punkt zu einer Geraden.
Der Abstand zwischen windschiefen Geraden.
Der Abstand zwischen parallelen Ebenen.
Der Abstand zwischen einer Geraden und einer Ebene, die sich schneiden.

2

Wie könntest du den Abstand des Punktes von der Geraden sicher bestimmen?

1. Eine Hilfsebene aufstellen, die die Gerade enthält. 2. Die zu orthogonale Gerade durch bestimmen. 3. Den Schnittpunkt von mit bestimmen und den Abstand berechnen.
1. Eine Hilfsebene aufstellen, die enthält und orthgonal zu ist. 2. Den Schnittpunkt zwischen und bestimmen. 3. Den Abstand berechnen.
1. Einen beliebigen Punkt auf der Geraden wählen. 2. Den Abstand berechnen.
1. Einen beliebigen Verbindungsvektor vom Punkt zu einem Geradenpunkt (in Abhängigkeit vom Parameter ) aufstellen. 2. so bestimmen, dass der Verbindungsvektor orthogonal zum Richtungsvektor der Geraden ist. 3. Für dieses den Abstand berechnen.

3

Welche Fragestellungen in den gegebenen Situationen könnten durch die Berechnung des Abstandes eines Punktes zu einer Ebene beantwortet werden?

Lukas ist groß und steht auf einer Wiese unter einer Seilbahn. Er möchte wissen, wie nah ihm die Gondeln höchstens kommen können. Er kennt seine Position und den Verlauf der Seilbahn.
Eine Drohne schwebt in der Luft an einer Stelle über der Dachfläche eines Hauses. Hält sie die nötige Entfernung von zur Dachfläche ein?
Julia und Juan wohnen gegenüber. Sie möchten eine Schnur von Julias Fenster in der 1. Etage zu Juans Fenster in der Hauswand in der 2. Etage spannen. Wie lang muss die Schnur sein?
Ein Schiff fährt auf einer geradlinigen Route und ein U-Boot taucht entlang einer Geraden im Meer. Wie nah könnten sie sich höchstens kommen?
Eine Glühbirne hängt über einem Tisch. Kann Nuria mit ihrem Kopf die Glühbirne berühren, wenn sie auf dem Tisch steht? Sie ist groß.


Thema g:

1

Löse das Lineare Gleichungssystem ohne Hilfsmittel mit dem Gauß-Verfahren. Welche Lösung ist korrekt?

das Lineare Gleichungssystem hat keine Lösung

2

Gegeben ist das folgende Lineare Gleichungssystem (LGS):

Welche der folgenden Aussagen stimmt nicht?

Das LGS hat für a=1 unendlich viele Lösungen
Das LGS hat für a=1 keine Lösung
Es gibt ein a aus den reelen Zahlen, sodass das LGS genau eine Lösung hat

3

Bringe die Schritte des Gauß-Verfahrens in die richtige Reihenfolge

a)    Durch Addition und Subtraktion von Gleichungen die einzelnen Variablen eliminieren.

b)    Das Lineare Gleichungssystem in die Zeilenstufenform bringen.

c)    Die zugehörigen Variablen alle untereinander bringen.

d)    Durch Einsetzen die Variablen berechnen.

e)    Mit Hilfe von geschickter Multiplikation und Division der Gleichungen, gleiche Faktoren vor den Variablen erzeugen.

f)     Alle Variablen auf die eine Seite der Gleichung bringen und den Rest auf die andere Seite. Alle Variablen auf die eine Seite der Gleichung bringen und den Rest auf die andere

a, b, c, d, e, f
c, a, b, f, e, d
a, c, b, f, d, e
f, c, e, a, b, d


Wie geht es nun weiter?

Wenn du alle Aufgaben richtig beantwortet hast:

  • Suche dir aus den folgenden Kapiteln eines (oder mehrere) aus. In jedem Kapitel gibt es auch Knobelaufgaben, mit denen du dich beschäftigen kannst.

Wenn du einen oder auch mehrere Fehler gemacht hast: