Digitale Werkzeuge in der Schule/Unterwegs in 3-D – Punkte, Vektoren, Geraden und Ebenen im Raum: Unterschied zwischen den Versionen

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Um herauszufinden, welche Themen du noch einmal üben solltest, wähle bei den folgenden Aufgaben die Antworten aus, die wahr sind. Es können auch mehrere Aussagen ausgewählt werden. Wenn du alle Aufgaben bearbeitet hast, kannst du deine Antworten durch einen Klick auf "Speichern" überprüfen. Trage in deine Checkliste für die Lernpfad-Arbeit ein, welche Aufgaben du richtig und welche du falsch beantwortet hast.
 
Um herauszufinden, welche Themen du noch einmal üben solltest, wähle bei den folgenden Aufgaben die Antworten aus, die wahr sind. Es können auch mehrere Aussagen ausgewählt werden. Wenn du alle Aufgaben bearbeitet hast, kannst du deine Antworten durch einen Klick auf "Speichern" überprüfen. Trage in deine Checkliste für die Lernpfad-Arbeit ein, welche Aufgaben du richtig und welche du falsch beantwortet hast.
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|Lernpfad}}
  
 
== Diagnosetest ==
 
== Diagnosetest ==
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- <math> \vec{u} = \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix} </math>
 
- <math> \vec{u} = \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix} </math>
  
{ Gegeben ist das abgebildete gleichschenklige rechtwinkelige Dreieck <math>ABC</math>. Welche der folgenden Aussagen treffen auf das Dreieck zu? [[Datei:Dreieck glsch rchtwklg.jpg|rahmenlos|300x300px]] }
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{ Gegeben ist das abgebildete gleichschenklige rechtwinkelige Dreieck <math>ABC</math>. Welche der folgenden Aussagen treffen auf das Dreieck zu?
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[[Datei:Dreieck glsch rchtwklg.jpg|rahmenlos|800x800px]] }
 
+ <math> |\vec{AB}| = |\vec{AC}| </math>
 
+ <math> |\vec{AB}| = |\vec{AC}| </math>
 
- <math> |\vec{BC}| = |\vec{AC}| </math>
 
- <math> |\vec{BC}| = |\vec{AC}| </math>
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+ Der Punkt <math>{S_2} (1|0|8)</math> ist Spurpunkt der <math>{x_2x_3}</math>-Ebene.
 
+ Der Punkt <math>{S_2} (1|0|8)</math> ist Spurpunkt der <math>{x_2x_3}</math>-Ebene.
  
{ Eine Dachfläche liegt in einer Ebene, zu der in einem räumlichen Koordinatensystem der Punkt <math>A (0|9|4)</math> und die Richtungsvektoren <math>\vec{u} = (0|{-}2|0)</math> und <math>\vec{v} = ({-}2|0|2)</math> gehören. Der Punkt <math>(0|9|4)</math> ist die untere Ecke des Daches. Alle Punkte des Daches können beschrieben werden durch die Einschränkung der Ebenengleichung mit den Parametern <math>0 \leq t \leq 3</math> und <math>0 \leq s \leq 5</math>.}  
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{ Eine Dachfläche liegt in einer Ebene, zu der in einem räumlichen Koordinatensystem der Punkt <math>A (0|9|4)</math> und die Richtungsvektoren <math>\vec{u} = \left( \begin{smallmatrix}0\\-2\\0\\\end{smallmatrix} \right)</math> und <math>\vec{v} = \left( \begin{smallmatrix}-2\\0\\2\\\end{smallmatrix} \right)</math> gehören. Der Punkt <math>(0|9|4)</math> ist die untere Ecke des Daches. Alle Punkte des Daches können beschrieben werden durch die Einschränkung der Ebenengleichung mit den Parametern <math>0 \leq t \leq 3</math> und <math>0 \leq s \leq 5</math>.}  
 
+ Die Ebene, in der das Dach liegt, lässt sich durch die Gleichung <math>E: \vec{x} = \begin{pmatrix} 0 \\ 9 \\ 4 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ -2 \\ 0 \end{pmatrix}+ s \cdot \begin{pmatrix} -2 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix}, t,s \in \mathbb{R} </math> beschreiben.
 
+ Die Ebene, in der das Dach liegt, lässt sich durch die Gleichung <math>E: \vec{x} = \begin{pmatrix} 0 \\ 9 \\ 4 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ -2 \\ 0 \end{pmatrix}+ s \cdot \begin{pmatrix} -2 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix}, t,s \in \mathbb{R} </math> beschreiben.
 
- Der Punkt <math>(-2|0|4)</math> liegt in der Ebene .
 
- Der Punkt <math>(-2|0|4)</math> liegt in der Ebene .
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{Löse das Lineare Gleichungssystem ohne Hilfsmittel mit dem Gauß-Verfahren. Welche Lösung ist korrekt?
 
{Löse das Lineare Gleichungssystem ohne Hilfsmittel mit dem Gauß-Verfahren. Welche Lösung ist korrekt?
  
<math>\begin{align} 2x + 2y + 2z & = 0 \\  -2x +2y + 4z & = 12 \\ z & = 2\\ \end{align}</math> }
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<math>\left\vert\begin{align} 2x + 2y + 2z & = 0 \\  -2x +2y + 4z & = 12 \\ z & = 2\\ \end{align}\right\vert</math> }
  
 
+ <math> x=-2,~y=0,~z=2 </math>
 
+ <math> x=-2,~y=0,~z=2 </math>
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{ Gegeben ist das folgende Lineare Gleichungssystem (LGS):  
 
{ Gegeben ist das folgende Lineare Gleichungssystem (LGS):  
  
<math>\begin{align} 3x + 2y + z & = 4 \\  3x +2y & = 5 \\ 3x + 2y + az & = 2\\ \end{align}</math>
+
<math>\left\vert\begin{align} 3x + 2y + z & = 4 \\  3x +2y & = 5 \\ 3x + 2y + az & = 2\\ \end{align}\right\vert</math>
  
 
Welche der folgenden Aussagen stimmt nicht?}
 
Welche der folgenden Aussagen stimmt nicht?}
- Das LGS hat für a=1 unendlich viele Lösungen
+
- Das LGS hat für <math>a=1</math> unendlich viele Lösungen.
- Das LGS hat für a=1 keine Lösung
+
- Das LGS hat für <math>a=1</math> keine Lösung.
+ Es gibt ein a aus den reelen Zahlen, sodass das LGS genau eine Lösung hat
+
+ Es gibt ein <math>a</math> aus den reellen Zahlen, sodass das LGS genau eine Lösung hat.
  
 
{ Bringe die Schritte des Gauß-Verfahrens in die richtige Reihenfolge
 
{ Bringe die Schritte des Gauß-Verfahrens in die richtige Reihenfolge
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e)    Mit Hilfe von geschickter Multiplikation und Division der Gleichungen, gleiche Faktoren vor den Variablen erzeugen.
 
e)    Mit Hilfe von geschickter Multiplikation und Division der Gleichungen, gleiche Faktoren vor den Variablen erzeugen.
  
f)     Alle Variablen auf die eine Seite der Gleichung bringen und den Rest auf die andere Seite.
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f)     Alle Variablen auf die eine Seite der Gleichung bringen und den Rest auf die andere Seite.}
Alle Variablen auf die eine Seite der Gleichung bringen und den Rest auf die andere }
 
 
- a, b, c, d, e, f
 
- a, b, c, d, e, f
 
- c, a, b, f, e, d
 
- c, a, b, f, e, d
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- <math> \vec{u} = \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix} </math>
 
- <math> \vec{u} = \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix} </math>
  
{ Gegeben ist das abgebildete gleichschenklige rechtwinkelige Dreieck <math>ABC</math>. Welche der folgenden Aussagen treffen auf das Dreieck zu? [[Datei:Dreieck glsch rchtwklg.jpg|rahmenlos|300x300px]] }
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{ Gegeben ist das abgebildete gleichschenklige rechtwinkelige Dreieck <math>ABC</math>. Welche der folgenden Aussagen treffen auf das Dreieck zu?
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[[Datei:Dreieck glsch rchtwklg.jpg|rahmenlos|800x800px]] }
 
+ <math> |\vec{AB}| = |\vec{AC}| </math>
 
+ <math> |\vec{AB}| = |\vec{AC}| </math>
 
- <math> |\vec{BC}| = |\vec{AC}| </math>
 
- <math> |\vec{BC}| = |\vec{AC}| </math>
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+ Der Punkt <math>{S_2} (1|0|8)</math> ist Spurpunkt der <math>{x_2x_3}</math>-Ebene.
 
+ Der Punkt <math>{S_2} (1|0|8)</math> ist Spurpunkt der <math>{x_2x_3}</math>-Ebene.
  
{ Eine Dachfläche liegt in einer Ebene, zu der in einem räumlichen Koordinatensystem der Punkt <math>A (0|9|4)</math> und die Richtungsvektoren <math>\vec{u} = (0|{-}2|0)</math> und <math>\vec{v} = ({-}2|0|2)</math> gehören. Der Punkt <math>(0|9|4)</math> ist die untere Ecke des Daches. Alle Punkte des Daches können beschrieben werden durch die Einschränkung der Ebenengleichung mit den Parametern <math>0 \leq t \leq 3</math> und <math>0 \leq s \leq 5</math>.}  
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{ Eine Dachfläche liegt in einer Ebene, zu der in einem räumlichen Koordinatensystem der Punkt <math>A (0|9|4)</math> und die Richtungsvektoren <math>\vec{u} = \left( \begin{smallmatrix}0\\-2\\0\\\end{smallmatrix} \right)</math> und <math>\vec{v} = \left( \begin{smallmatrix}-2\\0\\2\\\end{smallmatrix} \right)</math> gehören. Der Punkt <math>(0|9|4)</math> ist die untere Ecke des Daches. Alle Punkte des Daches können beschrieben werden durch die Einschränkung der Ebenengleichung mit den Parametern <math>0 \leq t \leq 3</math> und <math>0 \leq s \leq 5</math>.}  
 
+ Die Ebene, in der das Dach liegt, lässt sich durch die Gleichung <math>E: \vec{x} = \begin{pmatrix} 0 \\ 9 \\ 4 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ -2 \\ 0 \end{pmatrix}+ s \cdot \begin{pmatrix} -2 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix}, t,s \in \mathbb{R} </math> beschreiben.
 
+ Die Ebene, in der das Dach liegt, lässt sich durch die Gleichung <math>E: \vec{x} = \begin{pmatrix} 0 \\ 9 \\ 4 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ -2 \\ 0 \end{pmatrix}+ s \cdot \begin{pmatrix} -2 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix}, t,s \in \mathbb{R} </math> beschreiben.
 
- Der Punkt <math>(-2|0|4)</math> liegt in der Ebene .
 
- Der Punkt <math>(-2|0|4)</math> liegt in der Ebene .
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{ Welche Aussagen zum Thema Normalenvektor treffen zu? }
 
{ Welche Aussagen zum Thema Normalenvektor treffen zu? }
- Die Eckfahne beim Fußball kann geometrisch als Normalenvektor des Fußballfeldes interpretiert werden.
+
+ Die Eckfahne beim Fußball kann geometrisch als Normalenvektor des Fußballfeldes interpretiert werden.
 
- Der Normalenvektor einer Ebene ist eindeutig.
 
- Der Normalenvektor einer Ebene ist eindeutig.
- Das Skalarprodukt eines Normalenvektors und eines Richtungsvektors derselben Ebene ist 0.
+
+ Das Skalarprodukt eines Normalenvektors und eines Richtungsvektors derselben Ebene ist 0.
 
- Selbst bei einer Straße mit Steigung stellt modellhaft eine Straßenlaterne einen Normalenvektor dar.
 
- Selbst bei einer Straße mit Steigung stellt modellhaft eine Straßenlaterne einen Normalenvektor dar.
- Vektor <math>\vec{n}</math> ist ein Normalenvektor der Ebene. [[Datei:Bildschirmfoto 2021-04-20 um 01.18.48.png|rahmenlos|225x225px]]
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+ Vektor <math>\vec{n}</math> ist ein Normalenvektor der Ebene. [[Datei:Bildschirmfoto 2021-04-20 um 01.18.48.png|rahmenlos|225x225px]]
  
 
{ Gegeben ist eine Ebene in Parameterform. <math>E: \vec{x} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 2{,}5 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -2 \end{pmatrix}+ s \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ -1{,}5 \end{pmatrix}, t,s \in \mathbb{R} </math> }
 
{ Gegeben ist eine Ebene in Parameterform. <math>E: \vec{x} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 2{,}5 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -2 \end{pmatrix}+ s \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ -1{,}5 \end{pmatrix}, t,s \in \mathbb{R} </math> }
 
- <math>E: 2x_1-1{,}5x_2-x_3=2{,}5 </math> ist die zugehörige Koordinatenform.
 
- <math>E: 2x_1-1{,}5x_2-x_3=2{,}5 </math> ist die zugehörige Koordinatenform.
- <math>E: 2x_1+1{,}5x_2+x_3=2{,}5 </math> ist die zugehörige Koordinatenform.
+
+ <math>E: 2x_1+1{,}5x_2+x_3=2{,}5 </math> ist die zugehörige Koordinatenform.
 
- <math>E: 2x_1+1{,}5x_2+x_3=0 </math> ist die zugehörige Koordinatenform.
 
- <math>E: 2x_1+1{,}5x_2+x_3=0 </math> ist die zugehörige Koordinatenform.
- <math>E: \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1{,}5 \\ 1 \end{pmatrix} \cdot\ [ \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix}- \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 2{,}5 \end{pmatrix} ] = 0</math> ist die zugehörige Normalenform.  
+
+ <math>E: \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1{,}5 \\ 1 \end{pmatrix} \cdot\ [ \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix}- \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 2{,}5 \end{pmatrix} ] = 0</math> ist eine zugehörige Normalenform.  
  
 
{ Welche Aussagen sind wahr? }
 
{ Welche Aussagen sind wahr? }
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{Löse das Lineare Gleichungssystem ohne Hilfsmittel mit dem Gauß-Verfahren. Welche Lösung ist korrekt?
 
{Löse das Lineare Gleichungssystem ohne Hilfsmittel mit dem Gauß-Verfahren. Welche Lösung ist korrekt?
  
<math>\begin{align} 2x + 2y + 2z & = 0 \\  -2x +2y + 4z & = 12 \\ z & = 2\\ \end{align}</math> }
+
<math>\left\vert\begin{align} 2x + 2y + 2z & = 0 \\  -2x +2y + 4z & = 12 \\ z & = 2\\ \end{align}\right\vert</math> }
  
 
+ <math> x=-2,~y=0,~z=2 </math>
 
+ <math> x=-2,~y=0,~z=2 </math>
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{ Gegeben ist das folgende Lineare Gleichungssystem (LGS):  
 
{ Gegeben ist das folgende Lineare Gleichungssystem (LGS):  
  
<math>\begin{align} 3x + 2y + z & = 4 \\  3x +2y & = 5 \\ 3x + 2y + az & = 2\\ \end{align}</math>
+
<math>\left\vert\begin{align} 3x + 2y + z & = 4 \\  3x +2y & = 5 \\ 3x + 2y + az & = 2\\ \end{align}\right\vert</math>
  
 
Welche der folgenden Aussagen stimmt nicht?}
 
Welche der folgenden Aussagen stimmt nicht?}
- Das LGS hat für a=1 unendlich viele Lösungen
+
- Das LGS hat für <math>a=1</math> unendlich viele Lösungen.
- Das LGS hat für a=1 keine Lösung
+
- Das LGS hat für <math>a=1</math> keine Lösung.
+ Es gibt ein a aus den reelen Zahlen, sodass das LGS genau eine Lösung hat
+
+ Es gibt ein <math>a</math> aus den reellen Zahlen, sodass das LGS genau eine Lösung hat.
  
 
{ Bringe die Schritte des Gauß-Verfahrens in die richtige Reihenfolge
 
{ Bringe die Schritte des Gauß-Verfahrens in die richtige Reihenfolge
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e)    Mit Hilfe von geschickter Multiplikation und Division der Gleichungen, gleiche Faktoren vor den Variablen erzeugen.
 
e)    Mit Hilfe von geschickter Multiplikation und Division der Gleichungen, gleiche Faktoren vor den Variablen erzeugen.
  
f)     Alle Variablen auf die eine Seite der Gleichung bringen und den Rest auf die andere Seite.
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f)     Alle Variablen auf die eine Seite der Gleichung bringen und den Rest auf die andere Seite.}
Alle Variablen auf die eine Seite der Gleichung bringen und den Rest auf die andere }
 
 
- a, b, c, d, e, f
 
- a, b, c, d, e, f
 
- c, a, b, f, e, d
 
- c, a, b, f, e, d

Aktuelle Version vom 30. Juni 2021, 17:07 Uhr


Lernpfad

Herzlich Willkommen in dem Lernpfad "Unterwegs in 3-D – Punkte, Vektoren, Geraden und Ebenen im Raum"!

Hier kannst du das Thema Analytische Geometrie üben, wiederholen und vertiefen und und dich so auch auf das Abitur vorbereiten.

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Diagnosetest


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