Digitale Werkzeuge in der Schule/Trainingsfeld Ableitungen/Von der mittleren zur lokalen Änderungsrate: Unterschied zwischen den Versionen
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Main>Anne WWU3 Keine Bearbeitungszusammenfassung |
Main>Anne WWU3 Keine Bearbeitungszusammenfassung |
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{{Merke|'''Die mittlere Änderungsrate und wie man sie berechnet''' | {{Merke|'''Die mittlere Änderungsrate und wie man sie berechnet''' | ||
Die '''mittlere Änderungsrate''' einer Funktion <math>f</math> in einem Intervall <math>[x_0, x_1]</math> gibt die durchschnittliche Veränderung der Funktionswerte von <math>f</math> in diesem Bereich an. Anders gesagt gibt die mittlere Änderungsrate die Steigung der '''Sekanten''' an, die die Punkte <math>(x_0, f(x_0))</math> und <math>(x_1, f(x_1)))</math> verbindet. | Die '''mittlere Änderungsrate''' einer Funktion <math>f</math> in einem Intervall <math>[x_0, x_1]</math> gibt die durchschnittliche Veränderung der Funktionswerte von <math>f</math> in diesem Bereich an. Anders gesagt gibt die mittlere Änderungsrate die Steigung der '''Sekanten''' an, die die Punkte <math>(x_0, f(x_0))</math> und <math>(x_1, f(x_1)))</math> verbindet. | ||
Die mittlere Änderungsrate in einem Intervall <math>[x_0, x_1]</math> berechnet man so: | Die mittlere Änderungsrate in einem Intervall <math>[x_0, x_1]</math> berechnet man so: | ||
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Der Ausdruck <math>\frac {f(x_1)-f(x_0)} {x_1-x_0}</math> wird auch '''Differenzenquotient''' genannt.}} | Der Ausdruck <math>\frac {f(x_1)-f(x_0)} {x_1-x_0}</math> wird auch '''Differenzenquotient''' genannt.}} | ||
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'''Die lokale Änderungsrate und wie man sie berechnet''' | '''Die lokale Änderungsrate und wie man sie berechnet''' | ||
Die '''lokale Änderungsrate''' einer Funktion <math>f</math> gibt die Steigung in einem Punkt an. Anders gesagt, gibt die lokale Änderungsrate die Steigung der '''Tangente''' an der Stelle <math>x</math> an. Die Steigung der Tangente entspricht der '''Ableitung''' der Funktion <math>f</math>. Somit lässt sich die lokale Änderungsrate mit Hilfe der Ablteitung <math>f'(x)</math> berechnen. | Die '''lokale Änderungsrate''' einer Funktion <math>f</math> gibt die Steigung in einem Punkt an. Anders gesagt, gibt die lokale Änderungsrate die Steigung der '''Tangente''' an der Stelle <math>x</math> an. Die Steigung der Tangente entspricht der '''Ableitung''' der Funktion <math>f</math>. Somit lässt sich die lokale Änderungsrate mit Hilfe der Ablteitung <math>f'(x)</math> berechnen. | ||
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Der Grenzwert von '''<math>\frac{f(x+h)-f(x)} {h}</math>''' für h gegen 0 heißt '''Differenzialquotient'''.}} | Der Grenzwert von '''<math>\frac{f(x+h)-f(x)} {h}</math>''' für h gegen 0 heißt '''Differenzialquotient'''.}} | ||
{{Merke|'''Tangente''' | {{Merke|'''Sekante''' | ||
Eine Sekante ist eine Gerade zwischen zwei Punkten. Ihre Steigung heißt Sekantensteigung und gibt die mittlere Änderungsrate zwischen diesen beiden Punkten an. [[File:Afgeleide.svg|250px|links|rahmenlos|Sekante durch zwei Punkte eines Funktionsgraphen]]}} | |||
{{Merke|'''Tangente''' | |||
Eine Tangente ist eine Gerade, die eine Kurve in einem bestimmten Punkt berührt. Dort haben die Kurve und die Tangente dieselbe Steigung. Diese Steigung entspricht der Ableitung der Funktion in diesem Punkt. | |||
[[File:Tangente2.svg|250px|links|rahmenlos|Graph einer Funktion mit eingezeichneter Tangente an einem Punkt. Diese Abbildung zeigt, dass die Tangente mehr als einen gemeinsamen Punkt mit dem Graphen haben kann. Graph der Funktion Tangente]]}} | [[File:Tangente2.svg|250px|links|rahmenlos|Graph einer Funktion mit eingezeichneter Tangente an einem Punkt. Diese Abbildung zeigt, dass die Tangente mehr als einen gemeinsamen Punkt mit dem Graphen haben kann. Graph der Funktion Tangente]]}} |
Version vom 29. November 2018, 16:08 Uhr
Dieser Lernpfad beschäftigt sich mit der mittleren und lokalen Änderungsrate.
Viel Spaß beim Bearbeiten! :) |
Die wichtigsten Begriffe dieses Kapitels
Bevor du mit den Aufgaben beginnst, sind hier schonmal die wichtigsten Begriffe dieses Kapitels in Merkkästchen erklärt. Wenn du dir während der Bearbeitung der einzelnen Aufgaben unsicher bist, kannst du sie dir immer wieder anschauen, um dich zu erinnern. Falls du schon sicher im Umgang mit den folgenden Begriffen bist, kannst du sie zu Anfang auch einfach überlesen und direkt mit den Aufgaben beginnen.
Berechnung der mittleren Änderungsrate
Berechnung der mittleren Änderungsrate im Sachkontext
Unterscheidung der Änderungsraten
Änderungsraten im Sachzusammenhang
Zusammenhang von mittlerer und lokaler Änderungsrate