Digitale Werkzeuge in der Schule/Trainingsfeld Ableitungen/Von der mittleren zur lokalen Änderungsrate: Unterschied zwischen den Versionen

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{{Merke|'''Die mittlere Änderungsrate und wie man sie berechnet'''
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Die '''mittlere Änderungsrate''' einer Funktion <math>f</math> in einem Intervall [x<sub>0</sub>, x<sub>1</sub>] gibt die durchschnittliche Veränderung der Funktionswerte von f in diesem Bereich an. Anders gesagt gibt die mittlere Änderungsrate die Steigung der Sekanten an, die die Punkte (x<sub>0</sub>, f(x<sub>0</sub>)) und (x<sub>1</sub>, f(x<sub>1</sub>)) verbindet.
Die '''mittlere Änderungsrate''' einer Funktion <math>f</math> in einem Intervall <math>[x<sub>0</sub>, x<sub>1</sub>]</math> gibt die durchschnittliche Veränderung der Funktionswerte von <math>f</math> in diesem Bereich an. Anders gesagt gibt die mittlere Änderungsrate die Steigung der '''Sekanten''' an, die die Punkte <math>(x<sub>0</sub>, f(x<sub>0</sub>))</math> und <math>(x<sub>1</sub>, f(x<sub>1</sub>))</math> verbindet.
Die mittlere Änderungsrate in einem Intervall [x<sub>0</sub>, x<sub>1</sub>] berechnet man so:
 
Die mittlere Änderungsrate in einem Intervall <math>[x<sub>0</sub>, x<sub>1</sub>]</math> berechnet man so:
<math>\frac {f(x_1)-f(x_0)} {x_1-x_0}</math>.
<math>\frac {f(x_1)-f(x_0)} {x_1-x_0}</math>.
Der Ausdruck <math>\frac {f(x_1)-f(x_0)} {x_1-x_0}</math> wird auch Differenzenquotient genannt.  }}
 
Der Ausdruck <math>\frac {f(x_1)-f(x_0)} {x_1-x_0}</math> wird auch '''Differenzenquotient''' genannt.  }}


{{Merke|
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<popup name="Tipp ">
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Die mittlere Änderungsrate in einem Intervall [x<sub>0</sub>, x<sub>1</sub>] berechnet man so:
Wie man die mittlere Änderungsrate in einem Intervall [x<sub>0</sub>, x<sub>1</sub>] berechnet, schaue einmal oben im Merkkästchen '''Die mittlere Änderungsrate und wie man sie berechnet''' nach.</popup>
<math>\frac {f(x_1)-f(x_0)} {x_1-x_0}</math>.</popup>
<popup name="Tipp zu h(x)">
<popup name="Tipp zu h(x)">
Achte auf die Vorzeichen!</popup>
Achte auf die Vorzeichen!</popup>
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<popup name="Tipp "> In dieser Aufgabe wird die mittlere Änderungsrate im Intervall <math> [2010, 2018]</math> gesucht. Wenn du nicht mehr weißt, wie du diese berechnen kannst, lies in den Tipps zu Aufgabe 1 nach. </popup>
<popup name="Tipp "> In dieser Aufgabe wird die mittlere Änderungsrate im Intervall <math> [2010, 2018]</math> gesucht. Wenn du nicht mehr weißt, wie du diese berechnen kannst, lies im Merkkästchen '''Die mittlere Änderungsrate und wie man sie berechnet''' nach. </popup>


<popup name="Lösung"> Um herauszufinden, wie viele Mitglieder seit 2010 in deinem Verein durchschnittlich pro Jahr hinzugekommen sind, musst du die mittlere Änderungsrate im Intervall [2010, 2018] bestimmen. Wir können sagen, dass f(x) die Funktion ist, die jeder Jahreszahl ab 2010 die Anzahl der Mitglieder in diesem Jahr zuordnet. Dann ist f(2010)=210 und f(2018)=418. Mit diesen Werten kannst du jetzt die mittlere Änderungsrate bestimmen:
<popup name="Lösung"> Um herauszufinden, wie viele Mitglieder seit 2010 in deinem Verein durchschnittlich pro Jahr hinzugekommen sind, musst du die mittlere Änderungsrate im Intervall [2010, 2018] bestimmen. Wir können sagen, dass f(x) die Funktion ist, die jeder Jahreszahl ab 2010 die Anzahl der Mitglieder in diesem Jahr zuordnet. Dann ist f(2010)=210 und f(2018)=418. Mit diesen Werten kannst du jetzt die mittlere Änderungsrate bestimmen:
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<popup name="Tipp"> Vergleiche die mittlere Änderungsrate in den Jahren vor der Wahl des neuen Vorstands (2010-2016) und nach der Wahl des neuen Vorstands (2016-2018). Wenn du nicht mehr weißt, wie du die mittlere Änderungsrate berechnen kannst, schaue dir die Tipps zu Aufgabe 1 und 2a) nochmal an. </popup>
<popup name="Tipp"> Vergleiche die mittlere Änderungsrate in den Jahren vor der Wahl des neuen Vorstands (2010-2016) und nach der Wahl des neuen Vorstands (2016-2018). Wenn du nicht mehr weißt, wie du die mittlere Änderungsrate berechnen kannst, schaue im Merkkästchen '''Die mittlere Änderungsrate und wie man sie berechnet''' nach. </popup>


<popup name="Lösung">
<popup name="Lösung">

Version vom 17. November 2018, 10:15 Uhr


Dieser Lernpfad beschäftigt sich mit der mittleren und lokalen Änderungsrate.

  • In Aufgabe 1 kannst du die Berechnung der mittlere Änderungsrate anhand von Rechenbeispielen ohne Sachzusammenhang wiederholen. Diese Aufgabe ist eine Förderaufgabe.
  • In Aufgabe 2 übst du die Berechnung der mittlere Änderungsrate im Sachkontext. Diese Aufgabe ist eine Förderaufgabe. Wenn du schon sicher bei der Berechnung mittleren Änderungsraten bist, kannst du Aufgabe 1 und 2 auch überspringen.
  • In Aufgabe 3 beschäftigst du dich mit der Unterscheidung der mittleren und lokale Änderungsrate. In Teilaufgaben a) und b) geht es darum, festzustellen, wie sich die beiden Änderungsraten unterscheiden. Dies ist eine Förderaufgabe.
  • In Aufgabe 4 musst du im Sachzusammenhang unterscheiden, welche der beiden Änderungsraten berechnet werden soll. Diese Aufgabe ist eine Förderaufgabe.
  • Den Zusammenhang von mittlerer und lokaler Änderungsrate erarbeitest du in Aufgabe 5.Dies ist eine Förderaufgabe.
  • In Aufgabe 6 geht es um die geometrischen Zusammenhänge. Dies ist eine Forderaufgabe.

Viel Spaß beim Bearbeiten! :)


Die wichtigsten Begriffe dieses Kapitels

Bevor du mit den Aufgaben beginnst, sind hier schonmal die wichtigsten Begriffe dieses Kapitels in Merkkästchen erklärt. Wenn du dir während der Bearbeitung der einzelnen Aufgaben unsicher bist, kannst du sie dir immer wieder anschauen, um dich zu erinnern. Falls du schon sicher im Umgang mit den folgenden Begriffen bist, kannst du sie zu Anfang auch einfach überlesen und direkt mit den Aufgaben beginnen.



Merke

Die mittlere Änderungsrate und wie man sie berechnet

Die mittlere Änderungsrate einer Funktion in einem Intervall gibt die durchschnittliche Veränderung der Funktionswerte von in diesem Bereich an. Anders gesagt gibt die mittlere Änderungsrate die Steigung der Sekanten an, die die Punkte und verbindet.

Die mittlere Änderungsrate in einem Intervall berechnet man so: .

Der Ausdruck wird auch Differenzenquotient genannt.


Merke

Die lokale Änderungsrate und wie man sie berechnet

Die lokale Änderungsrate einer Funktion gibt die Steigung in einem Punkt an. Anders gesagt, gibt die lokale Änderungsrate die Steigung der Tangente an der Stelle an. Die Steigung der Tangente entspricht der Ableitung der Funktion . Somit lässt sich die lokale Änderungsrate mit Hilfe der Ablteitung berechnen. Eine weitere Methode zur Bestimmung der lokalen Änderungsrate ist, den Grenzwert des Differenzenquotienten zu bilden.

Der Grenzwert heißt Differenzialquotient.

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Merke
Sekante: Eine Sekante ist eine Gerade zwischen zwei Punkten. Ihre Steigung heißt Sekantensteigung und gibt die mittlere Änderungsrate zwischen diesen beiden Punkten an.
Sekante durch zwei Punkte eines Funktionsgraphen


Merke

Tangente: Eine Tangente ist eine Gerade, die eine Kurve in einem bestimmten Punkt berührt. Dort haben die Kurve und die Tangente dieselbe Steigung. Diese Steigung entspricht der Ableitung der Funktion in diesem Punkt.

Graph einer Funktion mit eingezeichneter Tangente an einem Punkt. Diese Abbildung zeigt, dass die Tangente mehr als einen gemeinsamen Punkt mit dem Graphen haben kann. Graph der Funktion Tangente


Berechnung der mittleren Änderungsrate

Aufgabe 1: Berechnung der mittleren Änderungsrate
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Berechnung der mittleren Änderungsrate im Sachkontext

Aufgabe 2: Berechnung der mittleren Änderungsrate im Sachkontext
{{{2}}}



Unterscheidung der Änderungsraten

Aufgabe 3: Unterscheidung der mittleren und lokalen Änderungsrate

- ! mittlere Änderungsrate !! lokale Änderungsrate


Änderungsraten im Sachzusammenhang

Aufgabe 4: Änderungsraten im Sachzusammenhang
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Zusammenhang von mittlerer und lokaler Änderungsrate

Aufgabe 5: Zusammenhang von mittleren und lokalen Änderungsrate
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Geometrischer Zusammenhang von mittlerer und lokaler Änderungsrate

Aufgabe 6: Geometrischer Zusammenhang von mittleren und lokalen Änderungsrate (Forder-Aufgabe)
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