Digitale Werkzeuge in der Schule/Trainingsfeld Ableitungen/Differenzen- und Differenzialquotienten verstehen und inhaltlich deuten

Der folgende Lernpfad hilft dir, dein Wissen über den Differenzial- und den Differenzenquotienten aufzufrischen. Das erste Kapitel bietet dir die Möglichkeit, die charakteristischen Merkmale des Differenzial- und des Differenzenquotienten in Form von Förderaufgaben zu wiederholen. Aufgabe 1 führt die wichtigsten Begriffe auf und in Aufgabe 2 wird der graphische Zusammenhang thematisiert. Im zweiten Kapitel gehen wir einen Schritt weiter. In Aufgabe 3, 4 und 5 könnt ihr an verschiedenen Sachverhalten den Umgang mit dem Differenzen- und dem Differenzialquotienten üben. Zum Schluss findet ihr in Kapitel 3 unter Aufgabe 6 eine Forderaufgabe, die einige Rechenaufgaben beinhaltet. Auch hier liegt nochmal ein anderer Sachzusammenhang vor. Viel Spaß beim Bearbeiten der Aufgaben und viel Erfolg! :)

Umgang mit den Begriffen Differenzen- und Differenzialquotient (Förderaufgaben)

Aufgabe 1 Unterschied zwischen Differenzen- und Differenzialquotient

- ! Differenzenquotient !! Differenzialquotient

Aufgabe 2 Quiz zur Grenzwertbildung

Im Folgenden seht ihr einen Graphen. Darin dargestellt ist eine Funktion, auf der die Punkte P und A markiert sind. Die blaue Gerade stellt die Tangente an die Funktion im Punkt P dar. Die gelbe Gerade ist die Sekante durch die Punkte P und Q.

Ihr könnt sowohl die Punkte auf dem Graph verschieben als auch durch die Schieberegler den Abstand h zwischen den Punkten P und A verändern.

Guckt euch genau an, was durch eure Verschiebungen passiert und beantwortet danach die Quizfragen unter der Graphik (die Glühbirne oben links in der Ecke könnte hilfreich sein).

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Differenzen- und Differenzialquotient im Sachkontext

Aufgabe 3 Immer diese Erkältungen...

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Brauchst du Hilfe? Dann klicke hier: <popup name="Tipp"> Nutze Aufgabe 1, um dir die beiden Begriffe Differenzen- und Differenzialquotient deutlich zu machen. </popup>

<popup name="Tipp"> Ein kleines Beispiel, wie du die Einheit der durchschnittlichen Änderung mit Hilfe des Differenzenquotienten bestimmen kannst: Sei $f(t)$ eine Funktion mit $t$ = Zeit in Stunden und $f(t)$ = Strecke in km . Der Differenzenquotient lautet ja ganz allgemein ${\frac {f(t)-f(t_{0})}{t-t_{0}}}$. Da $f(t)$ nach der Aufgabenstellung die Einheit km hat, steht im Zähler des Differenzenquotienten auch die Einheit km. Da $t$ die Einheit Stunden hat, steht im Nenner dementsprechend die Einheit Stunden. Es ergibt sich also für die durchschnittliche Änderung der Strecke die Einheit ${\frac {km}{h}}$ </popup>

Hier findest du die Lösungen:

<popup name="Lösung"> zu den ersten beiden Lücken: In einem Graphen ist die y-Achse immer in Abhängigkeit von der x-Achse.

3. und 4. Lücke: Der Differenzenquotient beschreibt die durchschnittliche Änderung in einem bestimmten Intervall.

5. Lücke: Man berechnet mit dem Differenzenquotienten ${\frac {f(2)-f(0)}{2h-0h}}={\frac {0,55mg/L-0mg/L}{2h-0h}}=0,2665{\frac {mg}{L*h}}$.

6. und 7. Lücke : Der berechnete Differenzenquotient entspricht der Steigung der Sekante im entsprechenden Intervall $[0,2]$.

8. Lücke: Im Schnitt nimmt die Medikamentenkonzentration in den ersten zwei Stunden mit einer Geschwindigkeit von $0,2665{\frac {mg}{L}}$ pro Stunde zu.

9. und 10. Lücke: Momentane Änderungsraten bestimmst du mit dem Differenzailquotienten (Ableitung).

11. Lücke: Die momentane Änderungsrate hat die gleiche Einheit wie die durchschnittliche Änderungsrate ( ${\frac {mg}{L}}$ pro Stunde ).

12. und 13. Lücke: Die momentane Änderungsrate in einem Punkt entspricht der Steigung der Tangente in diesem Punkt. Aus der Skizze kann man entnehmen, dass die Tangentensteigung in den ersten zwei Stunden durchgehend positiv ist. </popup>

Aufgabe 4 Besucherzahl im Bundestag

Nachdem im Politikunterricht das deutsche politische System behandelt wurde, soll nun ein Ausflug zum Deutschen Bundestag geplant werden. Doch bevor der Kursausflug startet, sollen die Besucherzahlen zwischen 10.00 Uhr und 18.00 Uhr analysiert werden.

Die nachfolgende Tabelle stellt die Besucherzahlen zwischen 10.00 Uhr und 18.00 Uhr dar:

Uhrzeit	10.00	11.00	12.00	13.00	14.00	15.00	16.00	17.00	18.00
Besucherzahl	375	270	400	475	512	520	520	350	320

Aufgabe 4a)

Aufgabe 4b)

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Aufgabe 4c)

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Aufgabe 5 Studenten und Geschwindigkeit

Schaue dir die Graphen an und beantworte mithilfe des Differenzen- und Differentialquotienten die anschließenden Fragen. Führe die dazu nötigen Rechnungen in deinem Heft durch. Falls du Schwierigkeiten hast, schaue dir den Tipp am Ende der Aufgabe an.

Aufgabe 5a)

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Aufgabe 5b)

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<popup name="Tipp">Die ersten Fragen von 5a und 5b kannst du jeweils durch Annäherung des Differentialquotienten beantworten. Die jeweils letzten Fragen werden durch den Differenzenquotienten berechnet.</popup>

Rechenbeispiel (Forderaufgabe)

Aufgabe 6: Preis- und Nachfrageberechnung mithilfe von Differenzen- und Differenzialquotient

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