Digitale Werkzeuge in der Schule/Trainingsfeld Ableitungen/Differenzen- und Differenzialquotienten verstehen und inhaltlich deuten: Unterschied zwischen den Versionen
Main>Niklas WWU3 Keine Bearbeitungszusammenfassung |
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Der folgende Lernpfad hilft dir, dein Wissen über den Differenzial- und den Differenzenquotienten aufzufrischen. | Der folgende Lernpfad hilft dir, dein Wissen über den Differenzial- und den Differenzenquotienten aufzufrischen. | ||
:* Das erste Kapitel bietet dir | :* Das erste Kapitel bietet dir die Möglichkeit, die charakteristischen Merkmale des Differenzial- und des Differenzenquotienten in Form von Förderaufgaben zu wiederholen. '''Aufgabe 1''' führt die wichtigsten Begriffe auf und in '''Aufgabe 2''' wird der graphische Zusammenhang thematisiert. | ||
:* Im zweiten Kapitel gehen wir einen Schritt weiter. In '''Aufgabe 3, 4 und 5''' könnt ihr an verschiedenen Sachverhalten den Umgang mit dem Differenzen- und dem Differenzialquotienten üben. | :* Im zweiten Kapitel gehen wir einen Schritt weiter. In '''Aufgabe 3, 4 und 5''' könnt ihr an verschiedenen Sachverhalten den Umgang mit dem Differenzen- und dem Differenzialquotienten üben. | ||
:* Zum Schluss findet ihr in Kapitel 3 unter '''Aufgabe 6''' eine Forderaufgabe, die einige Rechenaufgaben beinhaltet. Auch hier liegt nochmal ein anderer Sachzusammenhang vor. <br /> | :* Zum Schluss findet ihr in Kapitel 3 unter '''Aufgabe 6''' eine Forderaufgabe, die einige Rechenaufgaben beinhaltet. Auch hier liegt nochmal ein anderer Sachzusammenhang vor. <br /> | ||
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===Quiz zur Grenzwertbildung=== | ===Quiz zur Grenzwertbildung=== | ||
{{Aufgaben|2 Quiz zur Grenzwertbildung| | {{Aufgaben|2 Quiz zur Grenzwertbildung| | ||
Im Folgenden seht ihr einen Graphen. Darin dargestellt | Im Folgenden seht ihr einen Graphen. Darin dargestellt ist eine Funktion, auf der die Punkte P und A markiert sind. Die blaue Gerade stellt die Tangente an die Funktion im Punkt P dar. Die gelbe Gerade ist die Sekante durch die Punkte P und Q. | ||
Ihr könnt sowohl die Punkte auf dem Graph verschieben als auch durch die Schieberegler den Abstand h zwischen den Punkten P und A verändern. | Ihr könnt sowohl die Punkte auf dem Graph verschieben als auch durch die Schieberegler den Abstand h zwischen den Punkten P und A verändern. |
Version vom 29. November 2018, 15:54 Uhr
Der folgende Lernpfad hilft dir, dein Wissen über den Differenzial- und den Differenzenquotienten aufzufrischen.
Viel Spaß beim Bearbeiten der Aufgaben und viel Erfolg! :) |
Umgang mit den Begriffen Differenzen- und Differenzialquotient (Förderaufgaben)
Unterschied zwischen Differenzen- und Differenzialquotient
Quiz zur Grenzwertbildung
Differenzen- und Differenzialquotient im Sachkontext
Sachkontextaufgabe Medikamentenkonzentration
Brauchst du Hilfe? Dann klicke hier:
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Nutze Aufgabe 1, um dir die beiden Begriffe Differenzen- und Differenzialquotient deutlich zu machen.
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<popup name="Tipp"> Ein kleines Beispiel, wie du die Einheit der durchschnittlichen Änderung mit Hilfe des Differenzenquotienten bestimmen kannst: Sei Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f(t) } eine Funktion mit Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle t } = Zeit in Stunden und Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f(t) } = Strecke in km . Der Differenzenquotient lautet ja ganz allgemein Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \frac{f(t) - f(t_0)}{t - t_0} } . Da Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f(t) } nach der Aufgabenstellung die Einheit km hat, steht im Zähler des Differenzenquotienten auch die Einheit km. Da Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle t } die Einheit Stunden hat, steht im Nenner dementsprechend die Einheit Stunden. Es ergibt sich also für die durchschnittliche Änderung der Strecke die Einheit Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \frac{km}{h} } </popup>
Hier findest du die Lösungen:
<popup name="Lösung"> zu den ersten beiden Lücken: In einem Graphen ist die y-Achse immer in Abhängigkeit von der x-Achse.
3. und 4. Lücke: Der Differenzenquotient beschreibt die durchschnittliche Änderung in einem bestimmten Intervall.
5. Lücke: Man berechnet mit dem Differenzenquotienten Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \frac {f(2) - f(0)}{2 h - 0 h} = \frac {0,55 mg/L - 0 mg/L}{2 h - 0 h} = 0,2665 \frac{mg}{L * h}} .
6. und 7. Lücke : Der berechnete Differenzenquotient entspricht der Steigung der Sekante im entsprechenden Intervall Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle [0,2] } .
8. Lücke: Im Schnitt nimmt die Medikamentenkonzentration in den ersten zwei Stunden mit einer Geschwindigkeit von Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 0,2665 \frac{mg}{L} } pro Stunde zu.
9. und 10. Lücke: Momentane Änderungsraten bestimmst du mit dem Differenzailquotienten (Ableitung).
11. Lücke: Die momentane Änderungsrate hat die gleiche Einheit wie die durchschnittliche Änderungsrate ( Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \frac{mg}{L} } pro Stunde ).
12. und 13. Lücke: Die momentane Änderungsrate in einem Punkt entspricht der Steigung der Tangente in diesem Punkt. Aus der Skizze kann man entnehmen, dass die Tangentensteigung in den ersten zwei Stunden durchgehend positiv ist. </popup>
Sachkontextaufgabe Besucherzahl im Bundestag
Uhrzeit | 10.00 | 11.00 | 12.00 | 13.00 | 14.00 | 15.00 | 16.00 | 17.00 | 18.00 |
Besucherzahl | 375 | 270 | 400 | 475 | 512 | 520 | 520 | 350 | 320 |
Sachkontextaufgabe Studenten und Geschwindigkeit
<popup name="Tipp">Die ersten Fragen von 5a und 5b kannst du jeweils durch Annäherung des Differentialquotienten beantworten. Die jeweils letzten Fragen werden durch den Differenzenquotienten berechnet.</popup>
Rechenbeispiel (Forderaufgabe)