Digitale Werkzeuge in der Schule/Trainingsfeld Ableitungen/Die Ableitung im Sachkontext: Unterschied zwischen den Versionen
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'''Wenn du alle Aufgaben richtig beantwortet hast:''' | |||
*Suche dir aus den in den folgenden Abschnitten genannten Themen eines (oder mehrere) aus. Zu jedem Thema gibt es neben Förder- auch Forderaufgaben, mit denen du dich beschäftigen kannst. | |||
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Version vom 26. Januar 2019, 18:01 Uhr
Auf dieser Seite findest du Aufgaben, die dein Verständnis zum Sachkontext von Ableitungen vertiefen sollen.
Du wiederholst, Ergebnisse im Sachzusammenhang zu interpretieren, Signalwörter in den Aufgabenstellungen zu erkennen und diese mit den entsprechenden rechnerischen Vorgehensweisen zu verknüpfen. Außerdem vertiefst du an verschiedenen Beispielen den Zusammenhang zwischen der Funktion und den einzelnen Ableitungen. Dies tust du vor allem mit Bezug auf die Einheiten der Funktionswerte.
- Die Aufgaben 1-3 dienen als Einstieg und sind leichter zu lösen.
- In den Aufgaben 4-5 kannst du schwierigere Probleme lösen. Falls du dich schon sehr sicher fühlst, kannst du dich an die letzte Aufgabe begeben.
Durchschnittliche Änderungsrate im Sachzusammenhang
Die Abbildung 1.1 zeigt die Entwicklung des Dieselpreises in Deutschland im Zeitraum vom 12.10.2018 (Tag 0) bis zum 18.10.2018 (Tag 6).
a) Berechne den durchschnittlichen Preisanstieg im Zeitraum vom 13.10.2018 bis zum 16.10.2018.
Hier kannst du deine Lösung eintragen und überprüfen, ob sie richtig ist.
Gesucht ist der durchschnittliche Preisanstieg in einem bestimmten Zeitraum, das bedeutet, dass die durchschnittliche Änderungsrate für diesen Zeitraum gesucht ist.
Zur Erinnerung:
Die durchschnittliche Änderungsrate auf einem Intervall Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle [a,b] }
ist die durchschnittliche Steigung zwischen den beiden Punkten Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (a / f(a)) }
und Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (b/f(b)) }
, die auf dem Graph einer Funktion Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f(x) }
liegen. Berechnet wir diese durchschnittliche Steigung wie folgt:
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \frac{\text{Preis an Tag 4} - \text{Preis an Tag 1}}{4-1}= \frac{1,36 -1,36 }{4-1}= \frac{0}{3}= 0 }
b) Beurteile die Aussagekraft des in Teil a) ermittelten Durchschnittswertes und notiere dein Ergebnis im Heft.
Wiederholung wichtiger Signalwörter
Der Graph der Funktion Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f(t) }
beschreibt die Flugbahn eines Balls. Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f(t) }
gibt die Höhe in Metern in Abhängigkeit von der Zeit Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle t }
an. Dabei beschreibt Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle t }
die Zeit in Sekunden.
Fülle den folgenden Lückentext aus:
1. Wenn die Geschwindigkeit des Balls zu einem Zeitpunkt s gesucht ist, bedeutet dies, dass ich die momentane Änderungsrate der Funktion Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f(t) } an der Stelle Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle s } bestimmen muss. Dazu berechne ich Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f '(s) } .
2. Möchte ich allerdings die Beschleunigung des Balls zu einem Zeitpunkt Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle s } betrachten, so suche ich die momentane Änderungsrate der Ableitung der Funktion Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f(t) } an der Stelle Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle s } . Dazu berechne ich Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f ''(s) } .
3. Wird nach der stärksten Steigung der Funktion Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f(t) } gefragt, so muss ich die Wendestelle bestimmen. Dafür muss Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f ''(s)=0 } und Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f '''(s) \neq 0 } gelten.
4. Soll ich die maximale Höhe des Balls angeben, so muss ich den Hochpunkt bestimmen. Dafür muss Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f '(s)= 0 } und Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f ''(s) < 0 } gelten.
5. Wann der Ball wieder auf der Erdoberfläche aufkommt, gibt die Nullstelle an. Dazu berechne ich Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f(s)=0 } .
6. Außerdem gibt der y-Achsenabschnitt an, aus welcher Höhe der Ball abgeworfen wurde. Hierzu berechne ich Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f(0) } .
7. Suche ich die durchschnittliche Geschwindigkeit in einem Bereich m bis n, so suche ich für diesen Bereich die durchschnittliche Änderungsrate, dies ist gerade der Wert des Differentenquotienten.
Funktionswerte und Ergebnisse im Sachzusammenhang deuten
a) Bestimme die folgenden Werte und trage sie unten in die Lücken ein.
1. Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle h(2)}
2. Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle h(4)-h(1)}
3. Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \frac{h(4)-h(1)}{4-1}}
4. Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle h'(3)}
5. Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \frac{h(t)-h(4,5)}{t-4,5}}
für t → 4,5
6. Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle h'(4,5)}
b) Interpretiere alle Ergebnisse aus a) im Sachzusammenhang. Schreibe deine Überlegungen in dein Heft.
- Die Rakete hat nach zwei Sekunden eine Höhe von 28 Metern.
- Zwischen der ersten und der vierten Sekunde überwindet die Rakete eine Höhe von 105 Metern.
- Zwischen der ersten und der vierten Sekunde beträgt die durchschnittliche Geschwindigkeit der Rakete Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 35\frac{m}{s}} .
- Drei Sekunden nach dem Start ist die momentane Geschwindigkeit der Rakete Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 42\frac{m}{s}} .
- 4,5 Sekunden nach dem Start der Rakete beträgt die Geschwindigkeit der Rakete Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 63\frac{m}{s}} .
- siehe 5.
c) Wie groß ist die Beschleunigung des Feuerwerkskörpers drei Sekunden nach dem Start?
d) Erkläre, warum die oben angegebene Funktion h(t) nur in den ersten fünf Sekunden nach dem Start geeignet ist, um den Sachverhalt zu beschreiben. Schreibe die Erklärung in dein Heft.
Einheiten der Ableitungsfunktion
a) Eine Funktion f(t) beschreibt die zurückgelegte Strecke eines Fahrradfahrers in Metern in Abhängigkeit von der Zeit t in Sekunden. Vervollständige die folgenden Aussagen.
Wenn man die Ableitung bildet, verändert sich die Einheit der Funktionswerte!
Dies kann man sich anhand des Differentialquotienten Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}}
für h → 0 klar machen, der schließlich der Ableitung an der Stelle Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x_o}
, also Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f'(x_0)}
entspricht. Aus dem Differentialquotienten kann man die Einheit herleiten: Im Zähler stehen Werte der Ausgangsfunktion f und im Nenner steht h, also ein Wert der x-Achse. Man dividiert also die Einheit der Funktionswerte durch die Einheit der x-Achse.
Bei a) ist die Einheit der Funktionswerte der Funktion f(t) Meter. Die Werte der x-Achse sind in der Einheit Sekunden gegeben. Man erhält hier also für die Funktionswerte der Ableitungsfunktion die Einheit m/s. Dies steht für eine Geschwindigkeit.
b) In einem Wald werden nach einer Rodung neue Bäume gepflanzt. Der Förster misst die durchschnittliche Höhe der Bäume in Metern monatlich aus, notiert seine Messwerte und modelliert den Sachverhalt in einer Funktion f(x). Vervollständige die folgenden Aussagen.
c) Zum Herbst wird das Wasser im städtischen Freibad aus dem Becken abgelassen. Eine Funktion f'(x) ist die Ableitungsfunktion von f(x) und beschreibt die Abflussrate in Kubikmetern pro Stunde, wobei x die Zeit in Stunden angibt. Vervollständige die folgende Aussage.
Funktionsuntersuchung
Ein Zoo ist bekanntermaßen in den Sommerferien am besten besucht. Die Besucherzahlen (in 100 Personen) eines bestimmten Zoos können durch die Funktion
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle b(t) = - 0,05 t^3 + 1,8 t^2 - 19,2 t + 62,5}
für Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 10 < t \leq 19,5}
näherungsweise beschrieben werden. Dabei gibt Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle t}
die Uhrzeit in Stunden an.
Rechne die folgenden Aufgaben im Heft und vergleiche mit den angegebenen Lösungsvorschlägen.
a) Zu welcher Uhrzeit befinden sich am meisten Besucher in dem Zoo? Und wie viele sind es?
Setzt man die Maximalstelle in die Funktion ein erhält man: Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle b(16) = 11,3} . Da die Besucherzahlen in 100 Personen angegeben werden, ergibt sich die Lösung, wenn man 11,3 mit 100 multipliziert.
Die Antwort: Mit 1130 Besuchern sind um 16:00 Uhr die meisten Menschen im Zoo.
b) Begründe den so gewählten Definitionsbereich.
c) Wann ist die Besucherzahl am geringsten?
d) Zu welcher Uhrzeit ist der Andrang in den Zoo am größten?
e) Im Winter können die Besucherzahlen für diesen Zoo durch die Funktion Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle g(t) = 0,0625 t^3 - 3,25 t ^2 + 52,8125 t - 265,625} beschrieben werden. Im folgenden ist der Graph der Funktion gezeichnet:
Wie lauten die Öffnungszeiten im Winter? Argumentiere im Sachzusammenhang und mit der zweiten Ableitung.
Da nur positive Werte für Besucherzahlen Sinn ergeben, muss der Zoo für Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 10 \leq t \leq 17} , also zwischen 10:00 Uhr und 17:00 Uhr, geöffnet sein.
Forderaufgabe: Ausblick auf die Integralrechnung
Familie Müller fährt zusammen in den Urlaub. Der Sohn Peter möchte gerne wissen, wie weit sie insgesamt gefahren sind. Dazu hat er die Geschwindigkeit des Autos zu bestimmten Zeitpunkten auf der Anzeige im Auto abgelesen und sich notiert. Die Geschwindigkeit stellt Peter vereinfacht mit einem Graphen, wie in Abbildung 6.1, dar.
a) Wie viele Kilometer hat Peters Familie in den ersten 2 Stunden näherungsweise zurückgelegt?
"Näherungsweise" bedeutet: An dieser Stelle musst du nur die Phasen konstanter Geschwindigkeit in Betracht ziehen. Schreibe die Lösung in dein Heft.
Strecke CD (20 Minuten): Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 0,333 h \cdot 50 km/h = 16,666 km}
Strecke EF (30 Minuten): Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 0,5 h \cdot 100 km/h = 50 km}
Strecke GH (15 Minuten): Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 0,25 h \cdot 50 km/h = 12,5 km}
Strecke IJ (35 Minuten): Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 0,583 h \cdot 100 km/h = 58,33 km}
Insgesamt also: Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 3 km + 16,66 km + 50 km + 12,5 km + 58,33 km = 140,5 km}
b) Berechne die durchschnittliche Geschwindigkeit, die Peters Familie in den ersten zwei Stunden gefahren ist.
Die durchschnittliche Geschwindigkeit ergibt sich durch die gefahrene Strecke dividiert durch die Zeitspanne (2h). Aus Aufgabenteil a) kennen wir die gefahrene Strecke näherungsweise:
Also: 140,5 km / 2 h = 70,25 km/h
c) Wir nehmen an, der abgebildete Graph beschreibt die Ableitung einer Funktion. Was gibt dann die Funktion an und wovon ist sie abhängig?
Schreibe die Lösung in dein Heft.
d) Wir nehmen wieder an, der abgebildete Graph stellt die Ableitung einer Funktion dar. Skizziere diese Funktion in dein Heft.
Wenn du alle Aufgaben richtig beantwortet hast:
- Suche dir aus den in den folgenden Abschnitten genannten Themen eines (oder mehrere) aus. Zu jedem Thema gibt es neben Förder- auch Forderaufgaben, mit denen du dich beschäftigen kannst.
Wenn du einen oder auch mehrere Fehler gemacht hast:
- bei den Aufgaben 1 - 3, gehe zu: Von der mittleren zur lokalen Änderungsrate
- bei den Aufgaben 4 - 7, gehe zu: Differenzen- und Differenzialquotienten verstehen und inhaltlich deuten
- bei den Aufgaben 8 - 11, gehe zu: Die Steigung eines Funktionsgraphen in einem Punkt
- bei den Aufgaben 12 - 14, gehe zu: Graphisches Ableiten
- bei den Aufgaben 15 - 17, gehe zu: Die Ableitung im Sachkontext
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