Digitale Werkzeuge in der Schule/Trainingsfeld Ableitungen/Die Ableitung im Sachkontext: Unterschied zwischen den Versionen

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'''c)''' Wie viele Kilometer ist das Auto von Peters Familie in dem Zeitraum von Minute 67 bis Minute 82 gefahren?
'''a)''' Wie viele Kilometer hat Peters Familie in den ersten 2 Stunden näherungsweise zurückgelegt?
 
Schreibe die Lösung in dein Heft. <br />
<popup name="Tipp 1">Beachte die Einheiten. Die Fahrtzeit ist in Minuten [min] angegeben und die Geschwindigkeit in Stundenkilometer/Kilometer pro Stunde [km/h].</popup>
<popup name="Tipp 2">Wie lang ist die Zeit zwischen Minute 67 bis Minute 82? Rechne diese Differenz von Minuten [min] in Stunden [h] um.</popup>
<popup name="Tipp 3">In dem Zeitraum liegen 15 Minuten, die entsprechen 1/4 Stunde. Wenn man 15 Minuten, also eine Viertelstunde, mit einer Geschwindigkeit von 50 km/h fährt. Wie viel Strecke hat man dann zurückgelegt?</popup>
<popup name="Lösung">Von Minute 67 bis Minute 82 ist eine Viertelstunde vergangen, in der die Familie 12,5 km zurückgelegt hat.</popup> <br />
 
'''d)''' Wie viele Kilometer hat Peters Familie in den ersten 2 Stunden näherungsweise zurückgelegt?


"Näherungsweise" bedeutet an dieser Stelle musst du nur die Phasen konstanter Geschwindigkeit in Betracht ziehen. Schreibe die Lösung in dein Heft.<br />
"Näherungsweise" bedeutet an dieser Stelle musst du nur die Phasen konstanter Geschwindigkeit in Betracht ziehen. Schreibe die Lösung in dein Heft.<br />
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<popup name="Lösung"> Strecke AB (6 Minuten): <math>0,1 h * 30 km/h = 3 km</math>  <br/> Strecke CD (20 Minuten): <math>0,333 h * 50 km/h = 16,666 km</math>  <br/> Strecke EF (30 Minuten): <math>0,5 h * 100 km/h = 50 km</math>  <br/> Strecke GH (15 Minuten): <math>0,25 h * 50 km/h = 12,5 km</math> <br/> Strecke IJ (35 Minuten): <math>0,583 h * 100 km/h = 58,33 km</math>  <br/> '''Insgesamt also:''' <math>3 km + 16,66 km + 50 km + 12,5 km + 58,33 km = 140,5</math> </popup>
<popup name="Lösung"> Strecke AB (6 Minuten): <math>0,1 h * 30 km/h = 3 km</math>  <br/> Strecke CD (20 Minuten): <math>0,333 h * 50 km/h = 16,666 km</math>  <br/> Strecke EF (30 Minuten): <math>0,5 h * 100 km/h = 50 km</math>  <br/> Strecke GH (15 Minuten): <math>0,25 h * 50 km/h = 12,5 km</math> <br/> Strecke IJ (35 Minuten): <math>0,583 h * 100 km/h = 58,33 km</math>  <br/> '''Insgesamt also:''' <math>3 km + 16,66 km + 50 km + 12,5 km + 58,33 km = 140,5</math> </popup>
<br />
<br />
'''e)''' Wir nehmen an, der abgebildete Graph beschreibt die Ableitung einer Funktion. Was gibt dann die Funktion an und wovon ist sie abhängig?  
 
'''b)''' Berechne die durchschnittliche Geschwindigkeit, die Peters Familie in den ersten zwei Stunden gefahren ist.<br />
<popup name="Lösung">Die durchschnittliche Geschwindigkeit ergibt sich durch die gefahrene Strecke dividiert durch die Zeitspanne (2h). Aus Aufgabenteil '''d)''' kennen wir die gefahrene Strecke näherungsweise:
<br/>Also: '''140,5 km / 2 h = 70,25 km/h'''
<br/>''Auch hier kann dein Ergebnis abweichen, wenn du in '''d)''' ein anderes Ergebnis berechnet hast''</popup>}}
<br/>
 
'''c)''' Wir nehmen an, der abgebildete Graph beschreibt die Ableitung einer Funktion. Was gibt dann die Funktion an und wovon ist sie abhängig?  


Schreibe die Lösung in dein Heft.<br />
Schreibe die Lösung in dein Heft.<br />
<popup name="Tipp">Betrachte die vorherigen Aufgaben und ihre Ergebnisse noch einmal.</popup>
<popup name="Tipp">Betrachte die Aufgabe '''a)''' und ihre Ergebnisse noch einmal.</popup>
<popup name="Lösung">Wenn die Ableitung die '''Geschwindigkeit in Abhängigkeit von der Zeit''' angibt, dann gibt die Funktion die '''Strecke in Abhängigkeit von der Zeit''' an.</popup> <br />
<popup name="Lösung">Wenn die Ableitung die '''Geschwindigkeit in Abhängigkeit von der Zeit''' angibt, dann gibt die Funktion die '''Strecke in Abhängigkeit von der Zeit''' an.</popup> <br />
<br/>


'''f)''' Berechne die durchschnittliche Geschwindigkeit, die Peters Familie in den ersten zwei Stunden gefahren ist.<br />
'''d)''' Wir nehmen wieder an, der abgebildete Graph stellt die Ableitung einer Funktion dar. Skizziere diese Funktion in dein Heft.
<popup name="Lösung">Die durchschnittliche Geschwindigkeit ergibt sich durch die gefahrene Strecke dividiert durch die Zeitspanne (2h). Aus Aufgabenteil '''d)''' kennen wir die gefahrene Strecke näherungsweise:
<popup name="Tipp"></popup>
<br/>Also: '''140,5 km / 2 h = 70,25 km/h'''
<popup name="Tipp"> Wir wissen aus Aufgabenteil '''a)''', dass die Familie in bestimmten Zeitabständen gewisse Wege zurückgelegt hat und insgesamt nach 2 Stunden 140,5 km gefahren ist. </popup>
<br/>''Auch hier kann dein Ergebnis abweichen, wenn du in '''d)''' ein anderes Ergebnis berechnet hast''</popup>}}
<popup name="Lösung">[[Datei:Autofahrt(Strecke).png|800px|zentriert|thumb|Abb. 6.2: Skizze über die gefahrene Strecke von Peters Familie.]]</popup>
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Version vom 18. November 2018, 16:26 Uhr

Auf dieser Seite findest du Aufgaben, die dein Verständnis zum Sachkontext von Ableitungen vertiefen sollen. Du wiederholst, Ergebnisse im Sachzusammenhang zu interpretieren, Signalwörter in den Aufgabenstellungen zu erkennen und diese mit den entsprechenden rechnerischen Vorgehensweisen zu verknüpfen. Außerdem vertiefst du an verschiedenen Beispielen den Zusammenhang zwischen der Funktion und den einzelnen Ableitungen. Dies tust du vor allem mit Bezug auf die Einheiten der Funktionswerte.

Die Aufgaben 1-3 dienen als Einstieg und sind leichter zu lösen. In den Aufgaben 4-5 kannst du schwierigere Probleme lösen. Falls du dich schon sehr sicher fühlst, kannst du dich an die letzte Aufgabe begeben.


Durchschnittliche Änderungsrate im Sachzusammenhang

Aufgabe 1: Dieselpreise
{{{2}}}

Wiederholung wichtiger Signalwörter

Aufgabe 2: Zuordnen
{{{2}}}


Funktionswerte und Ergebnisse im Sachzusammenhang deuten

Aufgabe 3: Silvesterkracher
{{{2}}}


Einheiten der Ableitungsfunktion

Aufgabe 4: Aussagen der Ableitungsfunktion und Änderung der Einheiten
{{{2}}}


Funktionsuntersuchung

Aufgabe 5: Ein Tag im Zoo
{{{2}}}


Forderaufgabe: Ausblick auf die Integralrechnung

Aufgabe 6 : Die Autofahrt
{{{2}}}


c) Wir nehmen an, der abgebildete Graph beschreibt die Ableitung einer Funktion. Was gibt dann die Funktion an und wovon ist sie abhängig?

Schreibe die Lösung in dein Heft.
<popup name="Tipp">Betrachte die Aufgabe a) und ihre Ergebnisse noch einmal.</popup> <popup name="Lösung">Wenn die Ableitung die Geschwindigkeit in Abhängigkeit von der Zeit angibt, dann gibt die Funktion die Strecke in Abhängigkeit von der Zeit an.</popup>

d) Wir nehmen wieder an, der abgebildete Graph stellt die Ableitung einer Funktion dar. Skizziere diese Funktion in dein Heft. <popup name="Tipp"></popup> <popup name="Tipp"> Wir wissen aus Aufgabenteil a), dass die Familie in bestimmten Zeitabständen gewisse Wege zurückgelegt hat und insgesamt nach 2 Stunden 140,5 km gefahren ist. </popup>

<popup name="Lösung">

Abb. 6.2: Skizze über die gefahrene Strecke von Peters Familie.

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