Digitale Werkzeuge in der Schule/Funktioniert's? Übergang von der SI zur SII/Terme und Gleichungen

In diesem Lernpfad geht es um das Wiederhohlen und Vertiefen deines Wissens über Terme und Gleichungen. Du findest hier Übungsaufgaben zu den Themen Terme aufstellen, Terme umformen und Gleichungen Lösen. Der Lernpfad orientiert sich dabei an der Tabelle zur Selbsteinschätzung des Diagnosetests Matematik zum Übergang SI / SII, sodass du gezielt die Aufgaben bearbeiten kannst, bei denen du dich noch verbessern möchtest. Solltest du bei einer Aufgabe nicht weiterkommen, findest du unter dieser verschiedene Tipps, die dir helfen könnten. Versuche die Aufgabe jedoch zunächst ohne Hilfe zu bearbeiten; klappt dies nicht oder stimmt deine Lösung nicht mit der angegebenen Lösung überein, so kannst du dir nacheinander die Tipps anschauen. Falls es mehrere Tipps gibt, starte damit dir Tipp 1 anzuschauen und versuche dann zunächst wieder die Aufgabe zu lösen, usw.

Terme aufstellen

Aufgabe 1: "Flächeninhalt"

Klicke alle Terme an, die den Flächeninhalt der Fläche beschreiben

<popup name="Tipp 1">Mache dir bewusst, welche Bedeutung die einzelnen Glieder der Terme haben</popup> <popup name="Tipp 2">Zeichne die Rechtecke, die durch die einzelnen Term-Glieder repräsentiert werden, in dein Heft und überprüfe, ob sich daraus die Figur zusammen setzen lässt</popup>

Aufgabe 2: "Kerze"

Eine Kerze ist 15 cm hoch und brennt pro Stunde 3,5 cm ab. Stelle einen Term auf, mitdem du die Höhe der Kerze zu einem beliebigen Zeitpunkt berechnen kannst.

<popup name="Tipp 1">Die allgemeine Geradengleichung lautet $y=n*x+m$, wobei n die Steigung und m der y-Achsenabschnitt ist. Welche Bedeutung haben diese im Sachzusammenhang?</popup> <popup name="Tipp 2">Liegt ein positives oder ein negatives Wachstum vor?</popup> <popup name="Lösung">$y=15-3.5x$ , wobei y die Höhe in cm und x die Zeit in Stunden ist</popup>

Aufgabe 3: "Krankenhaus"

Einem Patienten soll nach einer Operation innerhalb von 8 Stunden 100 ml Infusionslösung über einen Tropf verabreicht werden. Innerhalb der ersten vier Stunden laufen bereits 40 ml durch den Tropf. Um die restlichen 60 ml in den verbleibenden vier Stunden zu verabreichen wird die Tropfgeschwindigkeit auf 15 ml pro Stunde erhöht.

Stelle einen Term für das Volumen der bereits verabreichten Infusionslösung ab 4 Stunden auf.

<popup name="Tipp 1">Welche der gegebenen Werte entspricht der Steigung und dem Startwert?</popup> <popup name="Tipp 2">Welchen y-Wert muss der Term für $x=4$ aufweisen?</popup> <popup name="Lösung">$y=15(x-4)+40$</popup>

Terme zusammenfassen

Aufgabe 1: "Terme mit einer Variablen"

Fasse die Terme zusammen

a) $3x+5x$

b) $15y-6y$

c) $11x+x$

<popup name="Tipp 1">Um bei Addition/Subtraktion zusammenzufassen, ignoriere die Variable zunächst. Beispiel: Um $2x+7x$ zu berechnen, rechne $2+7=9$ und erhalte insgesamt $2x+7x=9x$</popup> <popup name="Tipp 2">Der Vorfaktor $1$ wird in der Regel nicht ausgeschrieben. Steht also kein Faktor vor einer Variablen, so handelt es sich um $1$.</popup> <popup name="Lösung">a) $8x$

b) $9y$

c) $12x$</popup>

Aufgabe 2: "Terme mit einer Variablen und Konstanten"

Fasse die Terme zusammen

a) $2x+10x+11+7$

b) $7x+17+5x+2$

c) $-4x+5+9x-7$

<popup name="Tipp 1">Beginne zunächst damit den Term nach der Variable zu sortieren. Beispiel: $3+2x+11+7x=2x+7x+11+3$</popup> <popup name="Tipp 2">Fasse alle Konstanten zusammen. Beispiel: $2x+14+5=2x+19$</popup> <popup name="Lösung">a) $12x+18$

b) $12x+19$

c) $5x-2$</popup>

Aufgabe 3: "Terme mit zwei Variablen"

Fasse die Terme zusammen

a) $3x+5x+7y-2y$

b) $-2x+15-4y-3x-5$

c) $-9+y+2x+12x-7y$

<popup name="Tipp 1">Beginne zunächst damit den Term nach der Variable zu sortieren. Beispiel: $2x+13y+7x=2x+7x+13y$</popup> <popup name="Tipp 2">Bei Addition/Subtraktion dürfen gleichartige Terme zusammengefasst werden. Beispiel: $2x+7x+13y=9x+13y$</popup> <popup name="Lösung">a) $8x+5y$

b) $-5x-4y+10$

c) $14x-6y-9$</popup>

Aufgabe 4: "Terme mit Variablen und Exponenten"

Fasse die Terme zusammen

a) $13x^{2}+3x^{2}+9y-3y$

b) $9x+4x^{2}+4x-2x^{2}$

c) $7y^{2}+6+4y^{2}-14x^{2}-6x^{2}$

<popup name="Tipp">Vorfaktoren einer Variable mit unterschiedlichen Exponenten dürfen nicht verrechnet werden! Beispiel: $7x^{2}+2x+4x=7x^{2}+6x$</popup> <popup name="Lösung">a) $16x^{2}+6y$

b) $6x^{2}+13x$

c) $-20x^{2}+11y^{2}+6$</popup>

Klammern in Termen auflösen

Aufgabe 1: "Terme mit konstanten ersten Faktoren"

Löse die Klammern auf

a) $4\cdot (x+5)$

b) $-6\cdot (2y-6x)$

c) $3(11-7y)$

<popup name="Tipp 1">Steht in der Klammer eine Addition, so multipliziere den Faktor vor der Klammer mit jedem Summanden in der Klammer. Bei der Subtraktion geht es genau so. Beispiel: $6\cdot (6+9)=6\cdot 6+6\cdot 9=36+54=90$</popup> <popup name="Tipp 2">Ist kein Rechenzeichen explizit vor die Klammer geschrieben, so ist die Multiplikation gemeint. </popup> <popup name="Lösung">a) $4x+20$

b) $36x-12y$

c) $-21y+33$</popup>

Aufgabe 2: "Terme mit konstanten zweiten Faktoren"

Löse die Klammern auf

a) $(y+2)\cdot 4$

b) $(4x+6y)\cdot 7$

c) $(10-5y)\cdot 11$

<popup name="Tipp">Ob der Faktor links oder rechts von der Klammer steht ist nicht wichtig.</popup> <popup name="Lösung">a) $4y+8$

b) $28x+42y$

c) $-55y+110$</popup>

Aufgabe 3: "Terme mit Variablen in beiden Faktoren"

Löse die Klammern auf

a) $3x\cdot (11+5y)$

b) $(11x-10y)\cdot 3x$

c) $x(x-15y)$

<popup name="Tipp 1">Auch wenn außerhalb der Klammer eine Variable steht, ändert sich das Vorgehen nicht.</popup> <popup name="Tipp 2">Achte darauf die verschiedenen Variable zu beachten.</popup> <popup name="Lösung">a) $33x+15xy$

b) $33x^{2}-30xy$

c) $x^{2}-15xy$</popup>

Aufgabe 4: "Terme mit quadratischen Klammern"

Löse die Klammern auf

a) $(4x+5)^{2}$

b) $(2x+3y)^{2}$

c) $(-6x-y)^{2}$

<popup name="Tipp 1">Der Exponent $()^{2}$ bedeutet, dass die Klammer mit sich selbst multipliziert werden soll. Beispiel: $(x+3)^{2}=(x+3)\cdot (x+3)$</popup> <popup name="Tipp 2">Beim Multiplizieren von zwei Klammern, muss jeder Summand mit jedem Summanden multipliziert werden. Beispiel: $(x+3)\cdot (x+3)=x\cdot x+x\cdot 3+3\cdot x+3\cdot 3=x^{2}+3x+3x+9=x^{2}+6x+9$</popup> <popup name="Lösung">a) $16x^{2}+49x+25$

b) $4x^{2}+12xy+9y^{2}$

c) $36x^{2}+12xy+y^{2}$</popup>

In Termen ausklammern

Aufgabe 1: "Memory-Spiel zum Ausklammern"

Ordne die Paare zu

<popup name="Tipp">Löse die Klammern auf, um die Paare zu erkennen</popup>

Aufgabe 2: "Analoges Ausklammern"

Klammere soweit wie möglich aus

a) $12x-18y$

b) $14x+28y-7x$

c) $12xy+6x-15x^{3}$

<popup name="Tipp">Finde den größten gemeinsamen Teiler der einzelnen Glieder der Terme</popup> <popup name="Lösung">a) $6*(2x-3y)$

b) $7*(2x+4y-x)$

c) $3x*(4y+2-5x^{2})$</popup>

Lineare Gleichungen lösen

Aufgabe 1: "Lineare Gleichungen im Quiz lösen"

Löse die linearen Gleichung

<popup name="Tipp 1"> Bringe alle Glieder mit Variablen auf die eine Seite und alle Glieder ohne Variable auf die andere</popup> <popup name="Tipp 2">Fasse die gleichartigen Glieder zusammen</popup>

Quadratische Gleichungen lösen

Aufgabe 1: "Einfache quadratische Gleichungen"

Löse die quadratische Gleichung

a) $0=x^{2}-64$

b) $0=x^{2}+13x$

c) $-4x=x^{2}$

<popup name="Tipp">Bei diesen Aufgaben benötigst du nicht die p-q-Formel Beispiel: $(x+3)^{2}=(x+3)\cdot (x+3)$</popup> <popup name="Lösung">a) $x_{1}=-8$ oder $x_{2}=8$

b) $x_{1}=-13$ oder $x_{2}=0$

c) $x_{1}=-4$ oder $x_{2}=0$</popup>

Aufgabe 2: "Quadratische Gleichungen mit Standardverfahren"

Löse die quadratische Gleichung

a) $0=x^{2}+12x+27$

b) $0=x^{2}+6x-7$

c) $16x=x^{2}-17$

<popup name="Tipp">Verwende die p-q-Formel. Bringe die Gleichung also auf folgende Form $0=x^{2}+px+q$, lies dann $p$ und $q$ ab und bestimme die Lösung mit $x=-{\frac {p}{2}}\pm {\sqrt {\left({\frac {p}{2}}\right)^{2}-q}}$</popup> <popup name="Lösung">a) $x_{1}=-9$ oder $x_{2}=-3$

b) $x_{1}=-7$ oder $x_{2}=1$

c) $x_{1}=-1$ oder $x_{2}=17$</popup>

Aufgabe 3: "Fortgeschrittene quadratische Gleichungen mit Standardverfahren"

Löse die quadratische Gleichung

a) $0=4x^{2}+40x+36$

b) $14x=7x^{2}-56$

c) $14x=3x^{2}+2x-15$

<popup name="Tipp 1">Um die p-q-Formel verwenden zu können muss vor dem $x_{2}$ der Vorfaktor $1$ (der in der Regel nicht ausgeschrieben wird) stehen.</popup> <popup name="Tipp 2">Steht vor dem $x_{2}$ ein anderer Vorfaktor als $1$, so dividiere beide Seiten der Gleichung durch diesen Vorfaktor.</popup> <popup name="Lösung">a) $x_{1}=-9$ oder $x_{2}=-1$

b) $x_{1}=-2$ oder $x_{2}=4$

c) $x_{1}=-1$ oder $x_{2}=5$</popup>