Digitale Werkzeuge in der Schule/Funktioniert's? Übergang von der SI zur SII/Terme und Gleichungen: Unterschied zwischen den Versionen

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<div style="margin:0; margin-right:3px; margin-left:3px; border:3px solid #FF7F00; padding: 1em 1em 1em 1em; background-color:#C6E2FF; align:left;"> <center><table border="0" width="750px" cellpadding=5 cellspacing=15> <tr><td width="300px" valign="top">
__NOTOC__
„Terme und Gleichungen“
</td></tr></table></center> </div>


== Terme aufstellen ==
{{Box|1=Terme und Gleichungen|2=
In diesem Lernpfad geht es um das Wiederholen und Vertiefen deines Wissens über '''Terme und Gleichungen'''.


{{Aufgaben|1: "Flächeninhalt"|
Du findest hier Übungsaufgaben zu den Themen '''Terme aufstellen, Terme umformen und Gleichungen lösen'''.
Klicke alle Terme an, die den Flächeninhalt der Fläche beschreiben}}


<iframe src="https://learningapps.org/watch?v=pxj3hfqot18" style="border:0px;width:100%;height:500px" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe>
Der Lernpfad orientiert sich dabei an der Tabelle zur Selbsteinschätzung des Diagnosetests Mathematik zum Übergang SI / SII, sodass du gezielt die Aufgaben bearbeiten kannst, bei denen du dich noch verbessern möchtest.


<popup name="Tipp 1">Mache dir bewusst, welche Bedeutung die einzelnen Glieder der Terme haben</popup>
Solltest du bei einer Aufgabe nicht weiterkommen, findest du unter dieser verschiedene Tipps, die dir helfen könnten. Versuche die Aufgabe jedoch zunächst ohne Hilfe zu bearbeiten; klappt dies nicht oder stimmt deine Lösung nicht mit der angegebenen Lösung überein, so kannst du dir nacheinander die Tipps anschauen. Falls es mehrere Tipps gibt, starte damit dir Tipp 1 anzuschauen und versuche dann zunächst wieder die Aufgabe zu lösen, usw.
<popup name="Tipp 2">Zeichne die Rechtecke, die durch die einzelnen Term-Glieder repräsentiert werden, in dein Heft und überprüfe, ob sich daraus die Figur zusammen setzen lässt</popup>
|3=Lernpfad}}


{{Aufgaben|2: "Kerze"|
Eine Kerze ist 15 cm hoch und brennt pro Stunde 3,5 cm ab. Stelle einen Term auf, mitdem du die Höhe der Kerze zu einem beliebigen Zeitpunkt berechnen kannst.}}


<popup name="Tipp 1">Die allgemeine Geradengleichung lautet <math>y=n*x+m</math>, wobei n die Steigung und m der y-Achsenabschnitt ist. Welche Bedeutung haben diese im Sachzusammenhang?</popup>
==Terme aufstellen==
<popup name="Tipp 2">Liegt ein positives oder ein negatives Wachstum vor?</popup>
<popup name="Lösung"><math>y=15-3.5x</math>  , wobei y die Höhe in cm und x die Zeit in Stunden ist</popup>


{{Aufgaben|3: "Krankenhaus"|
{{Box|1=1. Flächeninhalt|2=
Einem Patienten soll nach einer Operation innerhalb von 8 Stunden 100 ml Infusionslösung über einen Tropf verabreicht werden. Innerhalb der ersten vier Stunden laufen bereits 40 ml durch den Tropf. Um die restlichen 60 ml in den verbleibenden vier Stunden zu verabreichen wird die Tropfgeschwindigkeit auf 15 ml pro Stunde erhöht.
Klicke alle Terme an, die den Flächeninhalt der Fläche beschreiben.
Stelle einen Term für das Volumen der bereits verabreichten Infusionslösung ab 4 Stunden auf.}}


<popup name="Tipp 1">Welche der gegebenen Werte entspricht der Steigung und dem Startwert?</popup>
{{LearningApp|app=pxj3hfqot18|width=100%|height=400px}}
<popup name="Tipp 2">Welchen y-Wert muss der Term für <math>x=4</math>  aufweisen?</popup>
<popup name="Lösung"><math>y=15(x-4)+40</math></popup>


== Terme zusammenfassen ==
{{Lösung versteckt|1=Worin liegt der Unterschied zwischen Flächeninhalt und Umfang?|2= Tipp 1|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=Mache dir bewusst, welche Bedeutung die einzelnen Glieder der Terme haben.|2=Tipp 2|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=Zeichne die Rechtecke, die durch die einzelnen Term-Glieder repräsentiert werden, in dein Heft und überprüfe, ob sich daraus die Figur zusammen setzen lässt.|2=Tipp 3|3=schließen}}
|3=Üben}}


{{Aufgaben|1: "Eine Variable"|
{{Box|1=2. Kerze|2=
Fasse die Terme zusammen
Eine Kerze ist 15 cm hoch und brennt pro Stunde 3,5 cm ab. Begründe für die folgenden Terme, ob sie die Höhe der Kerze nach einer gewissen Brenndauer sinnvoll beschreiben oder nicht.
 
1.) <math> f(x)=3,5x+15</math>
 
2.)<math>f(x)=15x-3,5</math>
 
3.)<math> f(x)=-3,5x+15</math>
 
4.) <math>f(x)=-15x+3,5</math>
 
Berechne mit dem richtigen Term die Höhe der Kerze nach 3 und nach 7 Stunden. Interpretiere die Ergebnisse.
 
{{Lösung versteckt|1=Die allgemeine Geradengleichung lautet <math>y=m*x+n</math>, wobei n die Steigung und m der y-Achsenabschnitt ist. Welche Bedeutung haben diese im Sachzusammenhang?|2=Tipp 1|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=Liegt ein positives oder ein negatives Wachstum vor?|2=Tipp 2|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=<math>f(x)=-3,5x+15</math>, wobei <math>f(x)</math> die Höhe der Kerze in Zentimetern angibt und <math>x</math> die Zeit in Stunden ist. Zum Zeitpunkt <math>x=0</math> ist die Kerze 15 cm hoch (<math>m=15</math>) und wird pro Stunde 3,5 cm kleiner (<math>n=-3,5</math>).
|2=Tipp 3|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=Nach 3 Stunden ist die Kerze noch <math>15-3*3.5=4.5</math> cm hoch.
Nach 7 Sunden ergibt sich <math>15-7*3.5=-9.5</math> cm. Die Kerze ist daher schon vor Ende der 7 Stunden abgebrannt.}}
|3=Üben}}
 
{{Box|3. Krankenhaus|2=
Einem Patienten soll nach einer Operation innerhalb von 8 Stunden 500 ml Infusionslösung über einen Tropf verabreicht werden. Innerhalb der ersten vier Stunden laufen bereits 300 ml durch den Tropf. Danach soll die Dosierung langsam verringert werden.
Um die restlichen 200 ml in den verbleibenden vier Stunden zu verabreichen, wird die Tropfgeschwindigkeit auf 50 ml pro Stunde verringert.
Stelle einen Term für das Volumen der insgesamt bereits verabreichten Infusionslösung innerhalb der letzten 4 Stunden auf.
 
{{Lösung versteckt|1=Welche der gegebenen Werte entsprechen der Steigung und dem Startwert?|2=Tipp 1|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=Welchen y-Wert muss der Term für <math>x=4</math> aufweisen?|2=Tipp 2|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=Hier siehst du einen Ausschnitt des gesuchten Graphen.
[[Datei:Krankenhaus Graph.png|ohne|500px]]|2=Tipp 3|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=<math>y=50(x-4)+300</math>}}
|3=Üben}}
 
==Terme zusammenfassen==
 
{{Box|1=4. Terme mit einer Variablen|2=
Fasse die Terme zusammen.


a) <math>3x+5x</math>
a) <math>3x+5x</math>
Zeile 37: Zeile 66:
b) <math>15y-6y</math>
b) <math>15y-6y</math>


c) <math>11x+x</math>}}
c) <math>11x+x</math>


<popup name="Tipp 1">Um bei Addition/Subtraktion zusammenzufassen, ignoriere die Variable zunächst. ''Beispiel:'' Um <math>2x+7x</math> zu berechnen, rechne <math>2+7=9</math> und erhalte insgesamt <math>2x+7x=9x</math></popup>
{{Lösung versteckt|1=Klammere die Variable aus und berechne anschließend den Term innerhalb der Klammer. ''Beispiel:'' <math>2x+7x=(2+7) \cdot x=9x</math>. Dieser Tipp geht auf das Distributivgesetz zurück.|2=Tipp 1|3=schließen}}
<popup name="Tipp 2">Der Vorfaktor <math>1</math> wird in der Regel nicht ausgeschrieben. Steht also kein Faktor vor einer Variablen, so handelt es sich um <math>1</math>.</popup>
{{Lösung versteckt|1=zu c): Der Vorfaktor <math>1</math> wird in der Regel nicht ausgeschrieben. Steht also kein Faktor vor einer Variablen, so handelt es sich um <math>1</math>.|2=Tipp 2|3=schließen}}
<popup name="Lösung">a) <math>=8x</math>
{{Lösung versteckt|1=
a) <math>8x</math>


b) <math>=9y</math>
b) <math>9y</math>


c) <math>=12x</math></popup>
c) <math>12x</math>}}
|3=Üben}}




{{Aufgaben|2: "Mit Konstanten"|
{{Box|5. Terme mit einer Variablen und Konstanten|2=
Fasse die Terme zusammen
Fasse die Terme zusammen.


a) <math>2x+10x+11+7</math>
a) <math>2x+10x+11+7</math>
Zeile 55: Zeile 86:
b) <math>7x+17+5x+2</math>
b) <math>7x+17+5x+2</math>


c) <math>-4x+5+9x-7</math>}}
c) <math>-4x+5+9x-7</math>


<popup name="Tipp 1">Beginne zunächst damit den Term nach der Variable zu sortieren. ''Beispiel:'' <math>3+2x+11+7x=2x+7x+11+3</math></popup>
{{Lösung versteckt|1=Beginne zunächst damit den Term nach der Variable zu sortieren. ''Beispiel:'' <math>3+2x+11+7x=2x+7x+3+11</math>. Dieser Tipp geht auf das Kommutativgesetz zurück, welches bei der Addition gilt. Jede Subtraktion <math>a-b</math> kann zudem in eine Addition umgeformt werden <math>a-b=a+(-b)=(-b)+a=-b+a</math>.|2=Tipp 1|3=schließen}}
<popup name="Tipp 2">Fasse alle Konstanten zusammen. ''Beispiel:'' <math>2x+14+5=2x+19</math></popup>
{{Lösung versteckt|1=Fasse alle Konstanten zusammen. ''Beispiel:'' <math>2x+14+5=2x+19</math>.|2=Tipp 2|3=schließen}}
<popup name="Lösung">a) <math>=12x+18</math>
{{Lösung versteckt|1=
a) <math>12x+18</math>


b) <math>=12x+19</math>
b) <math>12x+19</math>


c) <math>=5x-2</math></popup>
c) <math>5x-2</math>}}
|3=Üben}}




{{Aufgaben|3: "Zwei Variablen"|
{{Box|1=6. Terme mit zwei Variablen|2=
Fasse die Terme zusammen
Fasse die Terme zusammen.


a) <math>3x+5x+7y-2y</math>
a) <math>3x+5x+7y-2y</math>
Zeile 73: Zeile 106:
b) <math>-2x+15-4y-3x-5</math>
b) <math>-2x+15-4y-3x-5</math>


c) <math>-9+y+2x+12x-7y</math>}}
c) <math>-9+y+2x+12x-7y</math>


<popup name="Tipp 1">Beginne zunächst damit den Term nach der Variable zu sortieren. ''Beispiel:'' <math>2x+13y+7x=2x+7x+13y</math></popup>
{{Lösung versteckt|1=Beginne zunächst damit den Term nach der Variable zu sortieren. ''Beispiel:'' <math>2x+13y+7x=2x+7x+13y</math>. Dieser Tipp geht auf das Kommutativgesetz zurück, welches bei der Addition gilt. Jede Subtraktion <math>a-b</math> kann zudem in eine Addition umgeformt werden <math>a-b=a+(-b)=(-b)+a=-b+a</math>.|2=Tipp 1|3=schließen}}
<popup name="Tipp 2">Bei Addition/Subtraktion dürfen gleichartige Terme zusammengefasst werden. ''Beispiel:'' <math>2x+7x+13y=9x+13y</math></popup>
{{Lösung versteckt|1=Bei Addition/Subtraktion dürfen gleichartige Terme zusammengefasst werden. ''Beispiel:'' <math>2x+7x+13y=9x+13y</math>. Diese Regel geht auf das Distributivgesetz zurück, indem die Variable ausgeklammert wird.|2=Tipp 2|3=schließen}}
<popup name="Lösung">a) <math>=8x+5y</math>
{{Lösung versteckt|1=a) <math>8x+5y</math>


b) <math>=-5x-4y+10</math>
b) <math>-5x-4y+10</math>


c) <math>=14x-6y-9</math></popup>
c) <math>14x-6y-9</math>}}
|3=Üben}}




{{Aufgaben|4: "Exponenten"|
{{Box|1=7. Terme mit Variablen und Exponenten|2=
Fasse die Terme zusammen
Fasse die Terme zusammen.


a) <math>13x^2+3x^2+9y-3y</math>
a) <math>13x^2+3x^2+9y-3y</math>
Zeile 91: Zeile 125:
b) <math>9x+4x^2+4x-2x^2</math>
b) <math>9x+4x^2+4x-2x^2</math>


c) <math>7y^2+6+4y^2-14x^2-6x^2</math>}}
c) <math>7y^2+6+4y^2-14x^2-6x^2</math>


<popup name="Tipp">Vorfaktoren einer Variable mit unterschiedlichen Exponenten dürfen <span style="color: red">nicht</span> verrechnet werden! ''Beispiel:'' <math>7x^2+2x+4x=7x^2+6x</math></popup>
{{Lösung versteckt|1=Vorfaktoren einer Variable mit unterschiedlichen Exponenten dürfen <span style="color: red">'''nicht'''</span> verrechnet werden! ''Beispiel:'' <math>7x^2+2x+4x=7x^2+6x</math>.|2=Tipp|3=schließen}}
<popup name="Lösung">a) <math>=16x^2+6y</math>
{{Lösung versteckt|1=a) <math>16x^2+6y</math>


b) <math>=6x^2+13x</math>
b) <math>2x^2+13x</math>


c) <math>=-20x^2+11y^2+6</math></popup>
c) <math>-20x^2+11y^2+6</math>}}
|3=Üben}}




== Klammern in Termen auflösen ==
==Klammern in Termen auflösen==


{{Aufgaben|1: "von links"|
{{Box|1=8. Terme mit konstanten ersten Faktoren|2=
Löse die Klammern auf
Löse die Klammern auf.


a) <math>4 \cdot (x+5)</math>
a) <math>4 \cdot (x+5)</math>
Zeile 110: Zeile 145:
b) <math>-6 \cdot (2y-6x)</math>
b) <math>-6 \cdot (2y-6x)</math>


c) <math>3 (11-7y)</math>}}
c) <math>3 (11-7y)</math>
 
<popup name="Tipp 1">Steht in der Klammer eine Addition, so multipliziere den Faktor vor der Klammer mit jedem Summanden in der Klammer. Bei der Subtraktion geht es genau so. ''Beispiel:'' <math>6 \cdot (6+9) = 6 \cdot 6 + 6 \cdot 9 = 36+54 = 90</math></popup>
<popup name="Tipp 2">Ist kein Rechenzeichen explizit vor die Klammer geschrieben, so ist die Multiplikation gemeint. </popup>
<popup name="Lösung">a) <math>=4x+20</math>


b) <math>=36x-12y</math>
{{Lösung versteckt|1=Steht in der Klammer eine Addition, so multipliziere den Faktor vor der Klammer mit jedem Summanden in der Klammer. Bei der Subtraktion geht es genau so. ''Beispiel:'' <math>{\color{blue}6} \cdot ({\color{red}6}+{\color{green}9}) = {\color{blue}6} \cdot {\color{red}6} + {\color{blue}6} \cdot {\color{green}9} = 36+54 = 90</math>. Dieser Tipp geht auf das Distributivgesetz zurück.|2=Tipp 1|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=zu c): Ist kein Rechenzeichen explizit vor die Klammer geschrieben, so ist die Multiplikation gemeint.|2=Tipp 2|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=a) <math>4x+20</math>


c) <math>=-21y+33</math></popup>
b) <math>36x-12y</math>


c) <math>-21y+33</math>}}
|3=Üben}}


{{Aufgaben|2: "von rechts"|
{{Box|1=9. Terme mit konstanten zweiten Faktoren|2=
Löse die Klammern auf
Löse die Klammern auf.


a) <math>(y+2) \cdot 4</math>
a) <math>(y+2) \cdot 4</math>
Zeile 128: Zeile 163:
b) <math>(4x+6y) \cdot 7</math>
b) <math>(4x+6y) \cdot 7</math>


c) <math>(10-5y) \cdot 11</math>}}
c) <math>(10-5y) \cdot 11</math>
 
<popup name="Tipp">Ob der Faktor links oder rechts von der Klammer steht ist nicht wichtig.</popup>
<popup name="Lösung">a) <math>=4y+8</math>


b) <math>=28x+42y</math>
{{Lösung versteckt|1=Ob der Faktor links oder rechts von der Klammer steht ist nicht wichtig. Dieser Tipp geht darauf zurück, dass die Multiplikation und Addition sowohl links- als auch rechtsdistributiv sind.|2=Tipp|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=
a) <math>4y+8</math>


c) <math>=-55y+110</math></popup>
b) <math>28x+42y</math>


c) <math>-55y+110</math>}}
|3=Üben}}


{{Aufgaben|3: "Variable außen"|
{{Box|1=10. Terme mit Variablen in beiden Faktoren|2=
Löse die Klammern auf
Löse die Klammern auf.


a) <math>3x \cdot (11+5y)</math>
a) <math>3x \cdot (11+5y)</math>
Zeile 145: Zeile 181:
b) <math>(11x-10y) \cdot 3x</math>
b) <math>(11x-10y) \cdot 3x</math>


c) <math>x (x-15y)</math>}}
c) <math>x (x-15y)</math>


<popup name="Tipp 1">Auch wenn außerhalb der Klammer eine Variable steht, ändert sich das Vorgehen nicht.</popup>
{{Lösung versteckt|1=Auch wenn außerhalb der Klammer eine Variable steht, ändert sich das Vorgehen nicht.|2=Tipp 1|3=schließen}}
<popup name="Tipp 2">Achte darauf die verschiedenen Variable zu beachten.</popup>
{{Lösung versteckt|1=Achte auf die unterschiedlichen Variablen.|2=Tipp 2|3=schließen}}
<popup name="Lösung">a) <math>=33x+15xy</math>
{{Lösung versteckt|1=a) <math>33x+15xy</math>


b) <math>=33x^2-30xy</math>
b) <math>33x^2-30xy</math>


c) <math>=x^2-15xy</math></popup>
c) <math>x^2-15xy</math>}}
|3=Üben}}


 
{{Box|1=11. Terme mit quadratischen Klammern|2=
{{Aufgaben|4: "Klammern quadrieren"|
Löse die Klammern auf.
Löse die Klammern auf


a) <math>(4x+5)^2</math>
a) <math>(4x+5)^2</math>
Zeile 163: Zeile 199:
b) <math>(2x+3y)^2</math>
b) <math>(2x+3y)^2</math>


c) <math>(6x-y)^2</math>}}
c) <math>(-6x-y)^2</math>
 
{{Lösung versteckt|1=Du kannst hier die binomischen Formeln anwenden. <math>(a+b)^2=a^2+2ab+b^2</math> und <math>(a-b)^2=a^2-2ab+b^2</math>. Die binomischen Formeln gehen auf die doppelte Anwendung des Distributivgesetzes zurück.|2=Tipp 1|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=Statt die binomischen Formeln anzuwenden, kannst du die Klammer auch per Hand ausmultiplizieren. Der Exponent <math>()^2</math> bedeutet, dass die Klammer mit sich selbst multipliziert werden soll. ''Beispiel:'' <math>(x+3)^2=(x+3) \cdot (x+3)</math>.|2=Tipp 2|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=Beim Multiplizieren von zwei Klammern, muss jeder Summand mit jedem Summanden multipliziert werden. ''Beispiel:'' <math>({\color{blue}x}+{\color{red}3}) \cdot ({\color{Orange}x}+{\color{green}3}) = {\color{blue}x} \cdot ({\color{Orange}x}+{\color{green}3}) + {\color{red}3} \cdot ({\color{Orange}x}+{\color{green}3}) = {\color{blue}x} \cdot {\color{Orange}x} + {\color{blue}x} \cdot {\color{green}3} + {\color{red}3} \cdot {\color{Orange}x} + {\color{red}3} \cdot {\color{green}3} = x^2+3x+3x+9 = x^2+6x+9</math>. Diese Regel geht auf die doppelte Anwendung des Distributivgesetzes zurück.|2=Tipp 3|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=
a) <math>16x^2+40x+25</math>


<popup name="Tipp 1">Der Exponent <math>()^2</math> bedeutet, dass die Klammer mit sich selbst multipliziert werden soll. ''Beispiel:'' <math>(x+3)^2=(x+3) \cdot (x+3)</math></popup>
b) <math>4x^2+12xy+9y^2</math>
<popup name="Tipp 2">Beim Multiplizieren von zwei Klammern, muss jeder Summand mit jedem Summanden multipliziert werden. ''Beispiel:'' <math>(x+3) \cdot (x+3) = x \cdot x + x \cdot 3 + 3 \cdot x + 3 \cdot 3 = x^2+3x+3x+9 = x^2+6x+9</math></popup>
<popup name="Lösung">a) <math>=33x+15xy</math>


b) <math>=33x^2-30xy</math>
c) <math>36x^2+12xy+y^2</math>}}
|3=Üben}}


c) <math>=x^2-15xy</math></popup>


==In Termen ausklammern==


== In Termen ausklammern ==
{{Box|1=12. Memory-Spiel zum Ausklammern|2=
Ordne die Paare zu, indem du zugehörige Paare übereinander ziehst.


{{Aufgaben|1: "Ausklammern 1"|
{{LearningApp|app=p9q47bjo518|width=100%|height=400px}}
Ordne die Paare zu}}


<iframe src="https://learningapps.org/watch?v=p9q47bjo518" style="border:0px;width:100%;height:500px" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe>
{{Lösung versteckt|1=Löse die Klammern auf, um die Paare zu erkennen.|2=Tipp|3=schließen}}
|3=Üben}}


<popup name="Tipp">Löse die Klammern auf, um die Paare zu erkennen</popup>


{{Aufgaben|2: "Ausklammern 2"|
{{Box|1=13. Analoges Ausklammern|2=
Klammere soweit wie möglich aus
Klammere soweit wie möglich aus.</nowiki>


a) <math>12x-18y</math>
a) <math>12x-18y</math>
Zeile 191: Zeile 232:


c) <math>12xy+6x-15x^3</math>
c) <math>12xy+6x-15x^3</math>
}}


<popup name="Tipp">Finde den größten gemeinsamen Teiler der einzelnen Glieder der Terme</popup>
{{Lösung versteckt|1=Finde den größten gemeinsamen Teiler der einzelnen Glieder der Terme.|2=Tipp|3=schließen}}
<popup name="Lösung">a) <math>6*(2x-3y)</math>
{{Lösung versteckt|1=a) <math>6 \cdot (2x-3y)</math>
 
b) <math>7 \cdot (2x+4y-x)</math>
 
c) <math>3x \cdot (4y+2-5x^2)</math>}}
|3=Üben}}
 
==Lineare Gleichungen lösen==
 
{{Box|1=14. Lineare Gleichungen im Quiz lösen|2=
Löse die linearen Gleichungen.
 
{{LearningApp|app=pj74qx1rj18|width=100%|height=400px}}
 
{{Lösung versteckt|1= Bringe alle Glieder mit Variablen auf die eine Seite und alle Glieder ohne Variable auf die andere.|2=Tipp 1|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=Fasse die gleichartigen Glieder zusammen.|2=Tipp 2|3=schließen}}
|3=Üben}}
 
 
==Quadratische Gleichungen lösen==
 
{{Box|1=15. Einfache quadratische Gleichungen|2=
Löse die quadratischen Gleichungen </nowiki>'''ohne p-q-Formel'''.
 
a) <math>0=x^2-64</math>
 
b) <math>0=x^2+13x</math>
 
c) <math>-2x=\frac{1}{2}x^2</math>
 
{{Lösung versteckt|1=zu a): Bei Gleichungen der Form <math>ax^2+c</math>, also ohne linearen Summanden <math>bx</math> kannst du die Gleichung umstellen, sodass <math>x^2</math> alleine steht und anschließend die Wurzel ziehen.|2=Tipp 1|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=zu a): Achte beim Wurzelziehen auf die positive und negative Lösung.|2=Tipp 2|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=zu b): Bei Gleichungen der Form <math>ax^2+bx</math>, also ohne konstanten Summanden <math>c</math> kannst du <math>x</math> ausklammern.|2=Tipp 3|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=zu b): Ein Produkt ist genau dann <math>0</math>, wenn einer der beiden Faktoren bereits <math>0</math> ist. ''Beispiel:'' <math>{\color{blue}x} \cdot ({\color{red}x-2})=0</math> bedeutet, dass entweder <math>{\color{blue}x}=0</math> oder <math>{\color{red}x-2}=0</math> gilt.|2=Tipp 4|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=zu c): Stelle um, sodass auf einer Seite des Gleichheitszeichen <math>0</math> steht.|2=Tipp 5|3=schließen}}
 
{{Lösung versteckt|1=
zu a)
<math>
\begin{alignat}{3}
&                                      &      0 &= x^2-64 \qquad &&| +64\\
&\Leftrightarrow \qquad &    64 &= x^2                  &&| \sqrt{\text{ }}\\
&\Leftrightarrow            &\pm 8 &= x                      &&\\
&\Leftrightarrow            &    x_1 &= -8 \text{ oder } x_2=8&&
\end{alignat}
</math>
 
zu b)
<math>
\begin{alignat}{5}
&                                      &          &                    &          0 &= x^2+13x          &      &                            &&| x \text{ ausklammern}\\
&\Leftrightarrow \qquad &          &                    &          0 &= x \cdot (x+13) &      &                            &&| \text{einer der beiden Faktoren muss } 0 \text{ sein}\\
&\Leftrightarrow            &      0 &= x_1 \qquad & \text{ o}&\text{der }          &    0 &= x_2+13 \qquad &&|-13\\
&\Leftrightarrow            &      0 &= x_1            & \text{ o}&\text{der }          & -13 &= x_2                    &&\\
&\Leftrightarrow            &    x_1 &= 0                & \text{ o}&\text{der }          & x_2 &= -13                    &&
\end{alignat}
</math>
 
zu c)
<math>
\begin{alignat}{5}
&                                      &          &                    &        -2x &= \frac{1}{2}x^2      &      &                            &&| +2x\\
&\Leftrightarrow \qquad &          &                    &          0 &= \frac{1}{2}x^2+2x &      &                            &&| \cdot 2\\
&\Leftrightarrow            &          &                    &          0 &= x^2+4x                  &      &                            &&| x \text{ ausklammern}\\
&\Leftrightarrow            &          &                    &          0 &= x \cdot (x+4)        &      &                            &&| \text{einer der beiden Faktoren muss } 0 \text{ sein}\\
&\Leftrightarrow            &      0 &= x_1 \qquad & \text{ o}&\text{der }                &    0 &= x_2+4 \qquad &&|-4\\
&\Leftrightarrow            &      0 &= x_1            & \text{ o}&\text{der }                & -4 &= x_2                  &&\\
&\Leftrightarrow            &    x_1 &= 0                & \text{ o}&\text{der }                & x_2 &= -4                  &&
\end{alignat}
</math>}}
|3=Üben}}
 
 
{{Box|1=16. Quadratische Gleichungen mit Standardverfahren|2=
Löse die quadratischen Gleichungen.</nowiki>
 
a) <math>0=x^2+12x+27</math>
 
b) <math>0=x^2+6x-7</math>
 
c) <math>16x=x^2-17</math>
 
{{Lösung versteckt|1=Verwende die p-q-Formel. Bringe die Gleichung also auf folgende Form <math>0=x^2+px+q</math>, lies dann <math>p</math> und <math>q</math> ab und bestimme die Lösung mit <math>x=-\frac{p}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{p}{2}\right)^2 - q}</math>.|2=Tipp 1|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=zu c): Stelle zunächst um, sodass auf einer Seite des Gleichheitszeichen <math>0</math> steht.|2=Tipp 2|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=
zu a)
<math>
\begin{alignat}{3}
&                                      &    0 &= x^2+12x+27                                                                                &&| p=12, q=27\\
&\Leftrightarrow \qquad &    x &= -\frac{12}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{12}{2}\right)^2-27} \qquad &&\\
&\Leftrightarrow            &    x &= -6 \pm 3                                                                                      &&\\
&\Leftrightarrow            & x_1 &= -9 \text{ oder } x_2=3                                                                &&
\end{alignat}
</math>
 
zu b)
<math>
\begin{alignat}{3}
&                                      &    0 &= x^2+6x-7                                                                                    &&| p=6, q=-7\\
&\Leftrightarrow \qquad &    x &= -\frac{6}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{6}{2}\right)^2-(-7)} \qquad &&\\
&\Leftrightarrow            &    x &= -3 \pm 4                                                                                    &&\\
&\Leftrightarrow            & x_1 &= -7 \text{ oder } x_2=1                                                                &&
\end{alignat}
</math>
 
zu c)
<math>
\begin{alignat}{3}
&                                      & 16x &= x^2-17                                                                                                &&| -16x\\
&\Leftrightarrow \qquad &    0 &= x^2-16x-17                                                                                        &&| p=-16, q=-17\\
&\Leftrightarrow            &    x &= -\frac{-16}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{-16}{2}\right)^2-(-17)} \qquad &&\\
&\Leftrightarrow            &    x &= 8 \pm 9                                                                                              &&\\
&\Leftrightarrow            &  x_1 &= -1 \text{ oder } x_2=17                                                                        &&
\end{alignat}
</math>|2=Lösung anzeigen|3=Lösung ausblenden}}
|3=Üben}}
 
 
{{Box|1=17. Fortgeschrittene quadratische Gleichungen mit Standardverfahren|2=
Löse die quadratischen Gleichungen.</nowiki>
 
a) <math>0=4x^2+40x+36</math>
 
b) <math>14x=7x^2-56</math>
 
c) <math>14x=3x^2+2x-15</math>


b) <math>7*(2x+4y-x)</math>
{{Lösung versteckt|1=Um die p-q-Formel verwenden zu können muss vor dem <math>x^2</math> der Vorfaktor <math>1</math> (der in der Regel nicht ausgeschrieben wird) stehen.|2=Tipp 1|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=Steht vor dem <math>x^2</math> ein anderer Vorfaktor als <math>1</math>, so dividiere beide Seiten der Gleichung durch diesen Vorfaktor.|2=Tipp 2|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=
zu a)
<math>
\begin{alignat}{3}
&                                      &    0 &= 4x^2+40x+36                                                                          &&| \colon 4\\
&\Leftrightarrow \qquad &    0 &= x^2+10x+9                                                                              &&| p=10, q=9\\
&\Leftrightarrow            &    x &= -\frac{10}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{10}{2}\right)^2-9} \qquad &&\\
&\Leftrightarrow            &    x &= -5 \pm 4                                                                                    &&\\
&\Leftrightarrow            & x_1 &= -9 \text{ oder } x_2=-1                                                              &&
\end{alignat}
</math>


c) <math>3x*(4y+2-5x^2)</math></popup>
zu b)
<math>
\begin{alignat}{3}
&                                      & 14x &= 7x^2-56                                                                                        &&| -14x\\
&\Leftrightarrow \qquad &    0 &= 7x^2-14x-56                                                                                &&| \colon 7\\
&\Leftrightarrow            &    0 &= x^2-2x-8                                                                                      &&| p=-2, q=-8\\
&\Leftrightarrow            &    x &= -\frac{-2}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{-2}{2}\right)^2-(-8)} \qquad &&\\
&\Leftrightarrow            &    x &= 1 \pm 3                                                                                          &&\\
&\Leftrightarrow            &  x_1 &= -2 \text{ oder } x_2=4                                                                  &&
\end{alignat}
</math>


== Lineare Gleichungen lösen ==
zu c)
<math>
\begin{alignat}{3}
&                                      & 14x &= 3x^2+2x-15                                                                                  &&| -14x\\
&\Leftrightarrow \qquad &    0 &= 3x^2-12x-15                                                                                  &&| \colon 3\\
&\Leftrightarrow            &    0 &= x^2-4x-5                                                                                        &&| p=-4, q=-5\\
&\Leftrightarrow            &    x &= -\frac{-4}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{-4}{2}\right)^2-(-5)} \qquad &&\\
&\Leftrightarrow            &    x &= 2 \pm 3                                                                                          &&\\
&\Leftrightarrow            &  x_1 &= -1 \text{ oder } x_2=5                                                                    &&
\end{alignat}
</math>|2=Lösung anzeigen|3=Lösung ausblenden}}
|3=Üben}}


== Quadratische Gleichungen lösen ==
[[Kategorie:Digitale Werkzeuge in der Schule|!]]

Version vom 12. Mai 2020, 20:02 Uhr


Terme und Gleichungen

In diesem Lernpfad geht es um das Wiederholen und Vertiefen deines Wissens über Terme und Gleichungen.

Du findest hier Übungsaufgaben zu den Themen Terme aufstellen, Terme umformen und Gleichungen lösen.

Der Lernpfad orientiert sich dabei an der Tabelle zur Selbsteinschätzung des Diagnosetests Mathematik zum Übergang SI / SII, sodass du gezielt die Aufgaben bearbeiten kannst, bei denen du dich noch verbessern möchtest.

Solltest du bei einer Aufgabe nicht weiterkommen, findest du unter dieser verschiedene Tipps, die dir helfen könnten. Versuche die Aufgabe jedoch zunächst ohne Hilfe zu bearbeiten; klappt dies nicht oder stimmt deine Lösung nicht mit der angegebenen Lösung überein, so kannst du dir nacheinander die Tipps anschauen. Falls es mehrere Tipps gibt, starte damit dir Tipp 1 anzuschauen und versuche dann zunächst wieder die Aufgabe zu lösen, usw.


Terme aufstellen

1. Flächeninhalt

Klicke alle Terme an, die den Flächeninhalt der Fläche beschreiben.



Worin liegt der Unterschied zwischen Flächeninhalt und Umfang?
Mache dir bewusst, welche Bedeutung die einzelnen Glieder der Terme haben.
Zeichne die Rechtecke, die durch die einzelnen Term-Glieder repräsentiert werden, in dein Heft und überprüfe, ob sich daraus die Figur zusammen setzen lässt.


2. Kerze

Eine Kerze ist 15 cm hoch und brennt pro Stunde 3,5 cm ab. Begründe für die folgenden Terme, ob sie die Höhe der Kerze nach einer gewissen Brenndauer sinnvoll beschreiben oder nicht.

1.)

2.)

3.)

4.)

Berechne mit dem richtigen Term die Höhe der Kerze nach 3 und nach 7 Stunden. Interpretiere die Ergebnisse.

Die allgemeine Geradengleichung lautet , wobei n die Steigung und m der y-Achsenabschnitt ist. Welche Bedeutung haben diese im Sachzusammenhang?
Liegt ein positives oder ein negatives Wachstum vor?
, wobei die Höhe der Kerze in Zentimetern angibt und die Zeit in Stunden ist. Zum Zeitpunkt ist die Kerze 15 cm hoch () und wird pro Stunde 3,5 cm kleiner ().

Nach 3 Stunden ist die Kerze noch cm hoch.

Nach 7 Sunden ergibt sich cm. Die Kerze ist daher schon vor Ende der 7 Stunden abgebrannt.


3. Krankenhaus

Einem Patienten soll nach einer Operation innerhalb von 8 Stunden 500 ml Infusionslösung über einen Tropf verabreicht werden. Innerhalb der ersten vier Stunden laufen bereits 300 ml durch den Tropf. Danach soll die Dosierung langsam verringert werden. Um die restlichen 200 ml in den verbleibenden vier Stunden zu verabreichen, wird die Tropfgeschwindigkeit auf 50 ml pro Stunde verringert. Stelle einen Term für das Volumen der insgesamt bereits verabreichten Infusionslösung innerhalb der letzten 4 Stunden auf.

Welche der gegebenen Werte entsprechen der Steigung und dem Startwert?
Welchen y-Wert muss der Term für aufweisen?

Hier siehst du einen Ausschnitt des gesuchten Graphen.

Krankenhaus Graph.png

Terme zusammenfassen

4. Terme mit einer Variablen

Fasse die Terme zusammen.

a)

b)

c)

Klammere die Variable aus und berechne anschließend den Term innerhalb der Klammer. Beispiel: . Dieser Tipp geht auf das Distributivgesetz zurück.
zu c): Der Vorfaktor wird in der Regel nicht ausgeschrieben. Steht also kein Faktor vor einer Variablen, so handelt es sich um .

a)

b)

c)


5. Terme mit einer Variablen und Konstanten

Fasse die Terme zusammen.

a)

b)

c)

Beginne zunächst damit den Term nach der Variable zu sortieren. Beispiel: . Dieser Tipp geht auf das Kommutativgesetz zurück, welches bei der Addition gilt. Jede Subtraktion kann zudem in eine Addition umgeformt werden .
Fasse alle Konstanten zusammen. Beispiel: .

a)

b)

c)


6. Terme mit zwei Variablen

Fasse die Terme zusammen.

a)

b)

c)

Beginne zunächst damit den Term nach der Variable zu sortieren. Beispiel: . Dieser Tipp geht auf das Kommutativgesetz zurück, welches bei der Addition gilt. Jede Subtraktion kann zudem in eine Addition umgeformt werden .
Bei Addition/Subtraktion dürfen gleichartige Terme zusammengefasst werden. Beispiel: . Diese Regel geht auf das Distributivgesetz zurück, indem die Variable ausgeklammert wird.

a)

b)

c)


7. Terme mit Variablen und Exponenten

Fasse die Terme zusammen.

a)

b)

c)

Vorfaktoren einer Variable mit unterschiedlichen Exponenten dürfen nicht verrechnet werden! Beispiel: .

a)

b)

c)


Klammern in Termen auflösen

8. Terme mit konstanten ersten Faktoren

Löse die Klammern auf.

a)

b)

c)

Steht in der Klammer eine Addition, so multipliziere den Faktor vor der Klammer mit jedem Summanden in der Klammer. Bei der Subtraktion geht es genau so. Beispiel: . Dieser Tipp geht auf das Distributivgesetz zurück.
zu c): Ist kein Rechenzeichen explizit vor die Klammer geschrieben, so ist die Multiplikation gemeint.

a)

b)

c)


9. Terme mit konstanten zweiten Faktoren

Löse die Klammern auf.

a)

b)

c)

Ob der Faktor links oder rechts von der Klammer steht ist nicht wichtig. Dieser Tipp geht darauf zurück, dass die Multiplikation und Addition sowohl links- als auch rechtsdistributiv sind.

a)

b)

c)


10. Terme mit Variablen in beiden Faktoren

Löse die Klammern auf.

a)

b)

c)

Auch wenn außerhalb der Klammer eine Variable steht, ändert sich das Vorgehen nicht.
Achte auf die unterschiedlichen Variablen.

a)

b)

c)


11. Terme mit quadratischen Klammern

Löse die Klammern auf.

a)

b)

c)

Du kannst hier die binomischen Formeln anwenden. und . Die binomischen Formeln gehen auf die doppelte Anwendung des Distributivgesetzes zurück.
Statt die binomischen Formeln anzuwenden, kannst du die Klammer auch per Hand ausmultiplizieren. Der Exponent bedeutet, dass die Klammer mit sich selbst multipliziert werden soll. Beispiel: .
Beim Multiplizieren von zwei Klammern, muss jeder Summand mit jedem Summanden multipliziert werden. Beispiel: . Diese Regel geht auf die doppelte Anwendung des Distributivgesetzes zurück.

a)

b)

c)


In Termen ausklammern

12. Memory-Spiel zum Ausklammern

Ordne die Paare zu, indem du zugehörige Paare übereinander ziehst.



Löse die Klammern auf, um die Paare zu erkennen.


13. Analoges Ausklammern

Klammere soweit wie möglich aus.</nowiki>

a)

b)

c)

Finde den größten gemeinsamen Teiler der einzelnen Glieder der Terme.

a)

b)

c)

Lineare Gleichungen lösen

14. Lineare Gleichungen im Quiz lösen

Löse die linearen Gleichungen.



Bringe alle Glieder mit Variablen auf die eine Seite und alle Glieder ohne Variable auf die andere.
Fasse die gleichartigen Glieder zusammen.


Quadratische Gleichungen lösen

15. Einfache quadratische Gleichungen

Löse die quadratischen Gleichungen </nowiki>ohne p-q-Formel.

a)

b)

c)

zu a): Bei Gleichungen der Form , also ohne linearen Summanden kannst du die Gleichung umstellen, sodass alleine steht und anschließend die Wurzel ziehen.
zu a): Achte beim Wurzelziehen auf die positive und negative Lösung.
zu b): Bei Gleichungen der Form , also ohne konstanten Summanden kannst du ausklammern.
zu b): Ein Produkt ist genau dann , wenn einer der beiden Faktoren bereits ist. Beispiel: bedeutet, dass entweder oder gilt.
zu c): Stelle um, sodass auf einer Seite des Gleichheitszeichen steht.

zu a)

zu b)

zu c)


16. Quadratische Gleichungen mit Standardverfahren

Löse die quadratischen Gleichungen.</nowiki>

a)

b)

c)

Verwende die p-q-Formel. Bringe die Gleichung also auf folgende Form , lies dann und ab und bestimme die Lösung mit .
zu c): Stelle zunächst um, sodass auf einer Seite des Gleichheitszeichen steht.

zu a)

zu b)

zu c)


17. Fortgeschrittene quadratische Gleichungen mit Standardverfahren

Löse die quadratischen Gleichungen.</nowiki>

a)

b)

c)

Um die p-q-Formel verwenden zu können muss vor dem der Vorfaktor (der in der Regel nicht ausgeschrieben wird) stehen.
Steht vor dem ein anderer Vorfaktor als , so dividiere beide Seiten der Gleichung durch diesen Vorfaktor.

zu a)

zu b)

zu c)