Digitale Werkzeuge in der Schule/Funktioniert's? Übergang von der SI zur SII/Quadratische Funktionen

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Version vom 23. März 2021, 18:24 Uhr von Maurice Krause (Diskussion | Beiträge)
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Quadratische Funktionen

In diesem Lernpfad geht es darum, dass du im Bereich der quadratischen Funktionen noch etwas sicherer wirst.

Im Laufe dieses Lernpfads kannst du also noch einmal die Scheitelpunktform und die Normalform der quadratischen Funktion wiederholen und einige Übungsaufgaben dazu erledigen.

Am Ende dieses Lernpfads erwartet dich dann noch eine Anwendungsaufgabe zu diesem Themengebiet.


Die Scheitelpunktform

Die Parameter der Scheitelpunktform

1. Die Parameter der Scheitelpunktform erkunden

Fülle den folgenden Lückentext aus.



Falls du nicht mehr genau weißt, was die einzelnen Parameter machen, schaue dir das Applet unter dem Lückentext noch einmal an und probiere aus.
GeoGebra


Scheitelpunktformen und ihre Graphen

2. Zuordnung von Scheitelpunktformen zu ihren Graphen

Ordne den angegebenen Graphen ihre Scheitelpunktform zu, indem du die zusammengehörigen Felder aufeinander ziehst.



Falls du eine falsche Zuordnung getroffen hast, schaue noch einmal in Aufgabe 1 nach, wie die Scheitelpunktform aussieht und was die einzelnen Parameter am Graphen verändern.


3. Zeichnen von Graphen anhand der Scheitelpunktform

Skizziere die angegebenen Funktionen als Graphen in dein Heft:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://projekte.zum.de/projekte.zum.de/v1/“:): {\displaystyle 1.\quad f(x)=3(x-2)^2+1}
Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://projekte.zum.de/projekte.zum.de/v1/“:): {\displaystyle 2.\quad g(x)=-0,5(x+1)^2-2}

Schaue dir die Funktion bezüglich ihrer Parameter a,d und e genau an. Mache dir dann klar, wie der Graph ungefähr aussehen muss.
Falls du nicht mehr ganz im Kopf hast, was die einzelnen Parameter machen, schaue dir die Aufgabe 1 noch einmal an.
Datei:Lösungen zu Skizzen.png
Lösungen zu den Skizzen


Funktionsgleichungen aufstellen

4. Funktionsgleichungen aufstellen

Stelle mit Hilfe der angegebenen Punkte die Funktionsgleichung auf:

Wanted: Parabel

a) Wir suchen die Parabel f mit dem Scheitelpunkt S(-3I1), die durch den Punkt P(2I6) verläuft.

Der Scheitelpunkt liefert dir die Parameter d und e der Scheitelpunktform (s. Aufgabe 1), es fehlt also nur noch der Parameter a.
Die Parabel läuft durch den Punk P(2I6), es gilt also f(2)=6. Um a zu bestimmen, kannst du deshalb den Punkt P in die Gleichung einsetzen und nach a auflösen. Das bedeutet, dass du die Gleichung so umstellst, dass a auf einer Seite allein steht.
Man setzt einen Punkt P(xIy) in eine Gleichung ein, indem man den x-Wert für jedes x einsetzt und den y-Wert anstelle von f(x) schreibt.

Scheitelpunkt in die Scheitelpunktform einsetzen:
Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://projekte.zum.de/projekte.zum.de/v1/“:): {\displaystyle f(x)=a(x-(-3))^2+1=a(x+3)^2+1}
P einsetzen und nach a auflösen:
Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://projekte.zum.de/projekte.zum.de/v1/“:): {\displaystyle f(2)=6 }
Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://projekte.zum.de/projekte.zum.de/v1/“:): {\displaystyle \Leftrightarrow a(2+3)^2+1=6 }
Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://projekte.zum.de/projekte.zum.de/v1/“:): {\displaystyle \Leftrightarrow 25a+1=6 \mid -1}
Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://projekte.zum.de/projekte.zum.de/v1/“:): {\displaystyle \Leftrightarrow 25a=5 \mid :25 }
Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://projekte.zum.de/projekte.zum.de/v1/“:): {\displaystyle \Leftrightarrow a=\frac{1}{5}}
a einsetzen:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://projekte.zum.de/projekte.zum.de/v1/“:): {\displaystyle \Rightarrow f(x)=\frac{1}{5}(x+3)^2+1}

b) Gesucht ist die Parabel g, die die y-Achse bei -4 schneidet, und die ihren Scheitelpunkt bei S(1I-1) hat.

Welche Koordinaten hat der Schnittpunkt mit der y-Achse? Bestimme zunächst die Koordinaten und gehe dann wie in Teil a) vor.

-4) einsetzen, nach a auflösen:
Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://projekte.zum.de/projekte.zum.de/v1/“:): {\displaystyle g(0)=-4}
Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://projekte.zum.de/projekte.zum.de/v1/“:): {\displaystyle a(0-1)^2-1=-4}
Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://projekte.zum.de/projekte.zum.de/v1/“:): {\displaystyle 1a-1=-4 \mid +1}
Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://projekte.zum.de/projekte.zum.de/v1/“:): {\displaystyle a=-3}
a einsetzen:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://projekte.zum.de/projekte.zum.de/v1/“:): {\displaystyle \Rightarrow g(x)=-3(x-1)^2-1}

Scheitelpunktform und Normalform

5. Rechnen mit der Scheitelpunktform und der Normalform

Fülle den Lückentext aus, indem du in die Lücken klickst und die richtige Antwort auswählst.


Von der Scheitelpunktform zur Normalform

6. Umformung von der Scheitelpunktform zur Normalform

Forme die folgenden Scheitelpunktformen in deinem Heft in die Normalenformen um und klicke dann das richtige Ergebnis an.



Benutze zum Lösen die 1. oder 2. Binomische Formel!
Behalte im Hinterkopf: 1. Punkt-vor-Strich-Rechnung und 2."Eine Klammer wird zuerst berechnet".

1. Binomische Formel: Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://projekte.zum.de/projekte.zum.de/v1/“:): {\displaystyle (a+b)^2 = a^2+2ab+b^2 }
2. Binomische Formel:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://projekte.zum.de/projekte.zum.de/v1/“:): {\displaystyle (a-b)^2 = a^2-2ab+b^2 }

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://projekte.zum.de/projekte.zum.de/v1/“:): {\displaystyle \begin{array}{rlll} f(x)&=&(x+3)^2 & \mid 1.\,Binomische\, Formel\, anwenden \\ &=&x^2+6x+9 \\ \end{array} }

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://projekte.zum.de/projekte.zum.de/v1/“:): {\displaystyle \begin{array}{rlll} g(x)&=&2(x-3)^2 & \mid 2.\, Binomische\, Formel\, anwenden \\ &=&2(x^2-6x+9) & \mid Klammer\, ausmultiplizieren \\ &=&2x^2-12x+18 \\ \end{array} }

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://projekte.zum.de/projekte.zum.de/v1/“:): {\displaystyle \begin{array}{rlll} h(x)&=&4(x+1)^2-6 & \mid 1.\, Binomische\, Formel\, anwenden \\ &=&4(x^2+2x+1)-6 & \mid Klammer\, ausmultiplizieren \\ &=&4x^2+8x+4-6 & \mid zusammenfassen \\&=&4x^2+8x-2 \\ \end{array} }

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://projekte.zum.de/projekte.zum.de/v1/“:): {\displaystyle \begin{array}{rlll} i(x)&=&-0,5(x-2)^2+6 & \mid 2.\, Binomische\, Formel\, anwenden \\ &=&-0,5(x^2-4x+4)+6 & \mid Klammer\, ausmultiplizieren \\ &=&-0,5x^2+2x-2+6 & \mid zusammenfassen \\&=&-0,5x^2+2x+4 \\ \end{array} }

Von der Normalform zur Scheitelpunktform

In Aufgabe 5 hast du wiederholt, wie man die Normalform in die Scheitelpunktform überführt. Das kannst du in Aufgabe 9 üben. Zuerst wollen wir uns aber noch einmal genau ansehen, was die quadratische Ergänzung ist und warum man sie für die Umwandlung braucht. Wenn du dich mit der quadratischen Ergänzung schon sicher fühlst, kannst du direkt Aufgabe 9 bearbeiten.

Die quadratische Ergänzung ist ein Trick, den man benutzt, wenn die man die 1. oder 2. binomische Formel rückwärts anwenden anwenden möchte.
Zur Erinnerung:


Die ersten zwei Binomischen Formeln

1. Binomische Formel: Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://projekte.zum.de/projekte.zum.de/v1/“:): {\displaystyle (a+b)^2=a^2+2ab+b^2 }

2. Binomische Formel: Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://projekte.zum.de/projekte.zum.de/v1/“:): {\displaystyle (a-b)^2=a^2-2ab+b^2 }

Wir wollen jetzt also nicht die Klammer ausmultiplizieren, sondern den Term zu so einem Klammerausdruck umformen, z.B. den Term Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://projekte.zum.de/projekte.zum.de/v1/“:): {\displaystyle x^2+6x+15} .
Wie das funktioniert, kannst du in dieser Aufgabe noch mal wiederholen:


7. Die quadratische Ergänzung wiederholen

Wichtig: Wenn for dem x2 ein Faktor steht, muss dieser zunächst ausgeklammert werden.



8. Quadratische Ergänzung bei Vorfaktor
Ergänze in dem folgenden Beispiel die Umformungsschritte, indem du sie an die richtige Stelle ziehst.

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://projekte.zum.de/projekte.zum.de/v1/“:): {\displaystyle 3x^2-24x+60 } | Faktor 3 ausklammern
Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://projekte.zum.de/projekte.zum.de/v1/“:): {\displaystyle 3(x^2-8x+20) } | Faktor 2 "herausziehen"
Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://projekte.zum.de/projekte.zum.de/v1/“:): {\displaystyle 3(x^2-2 \cdot x \cdot 4 +20) } | quadratische Ergänzung
Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://projekte.zum.de/projekte.zum.de/v1/“:): {\displaystyle 3(x^2-2 \cdot x \cdot 4 + 4^2-4^2+20) } | 2. Binomische Formel
Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://projekte.zum.de/projekte.zum.de/v1/“:): {\displaystyle 3((x-4)^2-4^2+20) } | zusammenfassen
Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://projekte.zum.de/projekte.zum.de/v1/“:): {\displaystyle 3((x-4)^2+4) } | ausmultiplizieren
Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://projekte.zum.de/projekte.zum.de/v1/“:): {\displaystyle 3(x-4)^2+12 }


9. Umformung von der Normalform zur Scheitelpunktform


Denke daran, bei den Funktionsgleichungen von g und h den Faktor vor dem Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://projekte.zum.de/projekte.zum.de/v1/“:): {\displaystyle x^2} zunächst auszuklammern!

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://projekte.zum.de/projekte.zum.de/v1/“:): {\displaystyle f(x):}

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://projekte.zum.de/projekte.zum.de/v1/“:): {\displaystyle \begin{array}{rll} f(x)&=&x^2-8x+18 \\ &=&x^2-8x+4^2-4^2+18 \\ &=&(x-4)^2-16+18 \\ &=&(x-4)^2+2 \\ \end{array} }


Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://projekte.zum.de/projekte.zum.de/v1/“:): {\displaystyle g(x):}

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://projekte.zum.de/projekte.zum.de/v1/“:): {\displaystyle \begin{array}{rll} g(x)&=&5x^2+30x+43 \\ &=&5(x^2+6x+8.6) \\ &=&5(x^2+6x+3^2-3^2+8.6) \\ &=&5[(x+3)^2-3^2+8.6] \\ &=&5[(x+3)^2-0.4] \\ &=&5(x+3)^2-2 \end{array} }


Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://projekte.zum.de/projekte.zum.de/v1/“:): {\displaystyle h(x):}

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://projekte.zum.de/projekte.zum.de/v1/“:): {\displaystyle \begin{array}{rll} h(x)&=&0.2x^2-0.6x+0.45 \\ &=&0.2(x^2-3x+2.25) \\ &=&0.2(x^2-3x+1.5^2-1,5^2+2.25) \\ &=&0.2(x-1.5)^2 \end{array} }

Anwendungsaufgabe "Rakete"

10. Rakete

Zum Abschluss eines Volksfestes wird ein Feuerwerk vom Dach eines Parkhauses abgeschossen. Der Pyrotechniker hat für die Beschreibung der Flugbahn einer Rakete die Funktion
Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://projekte.zum.de/projekte.zum.de/v1/“:): {\displaystyle f(x)=-0.2x^2+8x+18}
aufgestellt. Dabei entspricht Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://projekte.zum.de/projekte.zum.de/v1/“:): {\displaystyle x} der horizontalen Entfernung von der Abschussstelle und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://projekte.zum.de/projekte.zum.de/v1/“:): {\displaystyle f(x)} der Höhe der Rakete; jeweils in Meter.

a) Berechne Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://projekte.zum.de/projekte.zum.de/v1/“:): {\displaystyle f(0)} und beschreibe, was dieser Wert im Anwendungskontext bedeutet.

Lies noch einmal nach, was Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://projekte.zum.de/projekte.zum.de/v1/“:): {\displaystyle x} und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://projekte.zum.de/projekte.zum.de/v1/“:): {\displaystyle f(x)} angeben. Was bedeutet es, wenn Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://projekte.zum.de/projekte.zum.de/v1/“:): {\displaystyle x=0} ist?

b) Berechne, wie weit die Rakete fliegen würde, bis sie auf den Boden auftrifft.

Überlege dir, welchen Wert Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://projekte.zum.de/projekte.zum.de/v1/“:): {\displaystyle f(x)} annehmen muss, wenn die Rakete auf den Boden auftritt.
Setze Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://projekte.zum.de/projekte.zum.de/v1/“:): {\displaystyle f(x)=0} und berechne die Nullstellen mithilfe der p-q-Formel.

Die p-q-Formel:Für eine Gleichung Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://projekte.zum.de/projekte.zum.de/v1/“:): {\displaystyle 0=x^2+px+q} liefert die p-q-Formel die Lösungen

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://projekte.zum.de/projekte.zum.de/v1/“:): {\displaystyle x_{1/2}= -\frac{p}{2} \pm \sqrt{{\left ( \frac{p}{2} \right )}^2 -q} } .
Denke daran, dass dabei vor dem Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://projekte.zum.de/projekte.zum.de/v1/“:): {\displaystyle x^2} kein Vorfaktor stehten darf. Diesen kann man eliminieren, indem man auf beiden Seiten der Gleichung durch den Vorfaktor teilt.

c) Nach wieviel Metern erreicht die Rakete ihre maximale Höhe? Welche Höhe erreicht sie?

Gesucht ist der Scheitelpunkt der Funktion. Erinnere dich daran, wo man den Scheitelpunkt ablesen kann.
Wenn du nicht weiterweißt, schaue in den Aufgaben 7, 8 und 9 noch einmal nach.

d) Bei gleichbleibendem Startpunkt soll die Flugbahn so verändert werden, dass nach 10 m Entfernung vom Startpunkt die maximale Höhe von 120 m erreicht wird. Bestimme eine Funktionsgleichung für diese neue Flugbahn.

Stelle die Gleichung mit Hilfe des Scheitelpunktes Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://projekte.zum.de/projekte.zum.de/v1/“:): {\displaystyle S(10\mid120)} und des Punktes Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://projekte.zum.de/projekte.zum.de/v1/“:): {\displaystyle P(0\mid18)} auf.
Gehe wie in Aufgabe 4 vor.


Zusatzaufgabe* Berechne die horizontale Entfernung vom Startpunkt, in der die Rakete theoretisch eine Flughöhe von 30 m hat.

Gesucht sind die x-Werte, für die Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://projekte.zum.de/projekte.zum.de/v1/“:): {\displaystyle f(x)=30} ist.

a)

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://projekte.zum.de/projekte.zum.de/v1/“:): {\displaystyle \begin{array}{rll} f(0)&=&-0.2 \cdot 0^2+8 \cdot 0+18 \\ &=& 18 \end{array} }
Das Dach, von dem die Rakete abgeschossen wird, ist 18 Meter hoch.


b)

Nullstellenberechnung:
Dafür müssen wir im ersten Schritt beim Summanden Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://projekte.zum.de/projekte.zum.de/v1/“:): {\displaystyle x^2} den Vorfaktor eliminieren.
Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://projekte.zum.de/projekte.zum.de/v1/“:): {\displaystyle \begin{array}{rlll} 0 & = & -0.2x^2+8x+18 & \mid :-0.2 \\ &=& x^2-40x-90 \end{array} }
Im zweiten Schritt benutzen wir die p-q-Formel, um die Nullstellen der Funktion zu bestimmen.
Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://projekte.zum.de/projekte.zum.de/v1/“:): {\displaystyle \Rightarrow p=-40, q=-90 }

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://projekte.zum.de/projekte.zum.de/v1/“:): {\displaystyle \begin{array}{rll} x_{1/2} &=& -\frac{-40}{2} \pm \sqrt{{\left ( \frac{-40}{2} \right )}^2 -(-90)} \\ &=& 20 \pm 22.14 \\ \end{array} }
Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://projekte.zum.de/projekte.zum.de/v1/“:): {\displaystyle \Rightarrow x_1=22.14+20=42.14 } und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://projekte.zum.de/projekte.zum.de/v1/“:): {\displaystyle x_2=-22.14+20=-2.14 }

Da wir wissen wollen, wie weit die Rakete fliegen würde, bis sie auf dem Boden aufkommt, müssen wir nur den größeren x-Wert betrachten. Also kommt die Rakete nach ca. 42.14 Metern auf dem Boden auf.

c)

Umwandeln in die Scheitelpunktform:
Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://projekte.zum.de/projekte.zum.de/v1/“:): {\displaystyle \begin{array}{rlll} f(x) & = & -0.2x^2+8x+18 &\mid -0.2 \, vorklammern \\ &=& -0.2(x^2-40x-90) &\mid quadratische \, Erg\ddot{a} nzung +20^2-20^2 \\ &=& -0.2(x^2-2 \cdot 20x+20^2-20^2-90) & \mid 2. Binomische \, Formel \\ &=& -0.2[(x-20)^2-490] & \mid ausmultiplizieren \\ &=& -0.2 (x-20)^2+98 \end{array} }

Der Scheitelpunkt liegt bei Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://projekte.zum.de/projekte.zum.de/v1/“:): {\displaystyle S(20\mid 98)} , die maximale Höhe von 98 Metern wird also bei einer horizontalen Entfernung von 20 Metern erreicht.

d)

Scheitelpunkt einsetzen:
Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://projekte.zum.de/projekte.zum.de/v1/“:): {\displaystyle f(x)=a(x-10)^2+120}
Schnittpunkt mit der y-Achse Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://projekte.zum.de/projekte.zum.de/v1/“:): {\displaystyle P(0\mid18)} einsetzen, nach a auflösen:
Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://projekte.zum.de/projekte.zum.de/v1/“:): {\displaystyle \begin{array}{rlll} f(0)&=&18 \\ a(0-10)^2+120&=&18 \\ 100a+120&=&18 &\mid -120 \\ a&=&-1.02 \end{array} }
a einsetzen:
Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://projekte.zum.de/projekte.zum.de/v1/“:): {\displaystyle \Rightarrow f(x)=-1.02(x-10)^2+120}

Zusatzaufgabe:

Wir müssen also den x-Wert zum zugehörigen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://projekte.zum.de/projekte.zum.de/v1/“:): {\displaystyle f(x)=30} berechnen.
Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://projekte.zum.de/projekte.zum.de/v1/“:): {\displaystyle 30=-0.2x^2+8x+18 \mid -30 }
Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://projekte.zum.de/projekte.zum.de/v1/“:): {\displaystyle \Leftrightarrow 0=-0.2x^2+8x-12 }

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://projekte.zum.de/projekte.zum.de/v1/“:): {\displaystyle \begin{array}{rlll} 0 & = & -0.2x^2+8x-12 & \mid :(-0.2) \\ &=& x^2-40x+60 \end{array} }
Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://projekte.zum.de/projekte.zum.de/v1/“:): {\displaystyle \Rightarrow p=-40, q=60}

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://projekte.zum.de/projekte.zum.de/v1/“:): {\displaystyle \begin{array}{rll} x_{1/2} &=& -\frac{-40}{2} \pm \sqrt{{\left ( \frac{-40}{2} \right )}^2 -60} \\ &=& 20 \pm 18.44 \\ \end{array} }

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://projekte.zum.de/projekte.zum.de/v1/“:): {\displaystyle \Rightarrow x_1=18.44+20=38.44 } und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://projekte.zum.de/projekte.zum.de/v1/“:): {\displaystyle x_2=-18.44+20=1.56}
Die Rakete hat also theoretisch nach ca. 1.56 Metern und nach ca. 38.44 Metern eine Flughöhe von 30 Metern.