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Quadratische Funktionen
In diesem Lernpfad geht es darum, dass du im Bereich der quadratischen Funktionen noch etwas sicherer wirst.
Im Laufe dieses Lernpfads kannst du also noch einmal die Scheitelpunktform und die Normalform der quadratischen Funktion wiederholen und einige Übungsaufgaben dazu erledigen.
Am Ende dieses Lernpfads erwartet dich dann noch eine Anwendungsaufgabe zu diesem Themengebiet.
Die Scheitelpunktform
Die Parameter der Scheitelpunktform
1. Die Parameter der Scheitelpunktform erkunden
Fülle den folgenden Lückentext aus.
Falls du nicht mehr genau weißt, was die einzelnen Parameter machen, schaue dir das Applet unter dem Lückentext noch einmal an und probiere aus.
Scheitelpunktformen und ihre Graphen
2. Zuordnung von Scheitelpunktformen zu ihren Graphen
Ordne den angegebenen Graphen ihre Scheitelpunktform zu, indem du die zusammengehörigen Felder aufeinander ziehst.
Falls du eine falsche Zuordnung getroffen hast, schaue noch einmal in Aufgabe 1 nach, wie die Scheitelpunktform aussieht und was die einzelnen Parameter am Graphen verändern.
3. Zeichnen von Graphen anhand der Scheitelpunktform
Skizziere die angegebenen Funktionen als Graphen in dein Heft:
Schaue dir die Funktion bezüglich ihrer Parameter a,d und e genau an. Mache dir dann klar, wie der Graph ungefähr aussehen muss.
Falls du nicht mehr ganz im Kopf hast, was die einzelnen Parameter machen, schaue dir die Aufgabe 1 noch einmal an.
Funktionsgleichungen aufstellen
4. Funktionsgleichungen aufstellen
Stelle mit Hilfe der angegebenen Punkte die Funktionsgleichung auf:
a) Wir suchen die Parabel f mit dem Scheitelpunkt S(-3I1), die durch den Punkt P(2I6) verläuft.
Der Scheitelpunkt liefert dir die Parameter d und e der Scheitelpunktform (s. Aufgabe 1), es fehlt also nur noch der Parameter a.
Die Parabel läuft durch den Punk P(2I6), es gilt also f(2)=6. Um a zu bestimmen, kannst du deshalb den Punkt P in die Gleichung einsetzen und nach a auflösen. Das bedeutet, dass du die Gleichung so umstellst, dass a auf einer Seite allein steht.
Man setzt einen Punkt P(xIy) in eine Gleichung ein, indem man den x-Wert für jedes x einsetzt und den y-Wert anstelle von f(x) schreibt.
b) Gesucht ist die Parabel g, die die y-Achse bei -4 schneidet, und die ihren Scheitelpunkt bei S(1I-1) hat.
Welche Koordinaten hat der Schnittpunkt mit der y-Achse? Bestimme zunächst die Koordinaten und gehe dann wie in Teil a) vor.
Scheitelpunktform und Normalform
5. Rechnen mit der Scheitelpunktform und der Normalform
Fülle den Lückentext aus, indem du in die Lücken klickst und die richtige Antwort auswählst.
Von der Scheitelpunktform zur Normalform
6. Umformung von der Scheitelpunktform zur Normalform
Forme die folgenden Scheitelpunktformen in deinem Heft in die Normalenformen um und klicke dann das richtige Ergebnis an.
Benutze zum Lösen die 1. oder 2. Binomische Formel!
Behalte im Hinterkopf: 1. Punkt-vor-Strich-Rechnung und 2."Eine Klammer wird zuerst berechnet".
1. Binomische Formel:
2. Binomische Formel:
Von der Normalform zur Scheitelpunktform
In Aufgabe 5 hast du wiederholt, wie man die Normalform in die Scheitelpunktform überführt. Das kannst du in Aufgabe 9 üben. Zuerst wollen wir uns aber noch einmal genau ansehen, was die quadratische Ergänzung ist und warum man sie für die Umwandlung braucht. Wenn du dich mit der quadratischen Ergänzung schon sicher fühlst, kannst du direkt Aufgabe 9 bearbeiten.
Die quadratische Ergänzung ist ein Trick, den man benutzt, wenn die man die 1. oder 2. binomische Formel rückwärts anwenden anwenden möchte.
Zur Erinnerung:
Die ersten zwei Binomischen Formeln
1. Binomische Formel:
2. Binomische Formel:
Wir wollen jetzt also nicht die Klammer ausmultiplizieren, sondern den Term zu so einem Klammerausdruck umformen, z.B. den Term .
Wie das funktioniert, kannst du in dieser Aufgabe noch mal wiederholen:
7. Die quadratische Ergänzung wiederholen
Wichtig: Wenn for dem x2 ein Faktor steht, muss dieser zunächst ausgeklammert werden.
8. Quadratische Ergänzung bei Vorfaktor
Ergänze in dem folgenden Beispiel die Umformungsschritte, indem du sie an die richtige Stelle ziehst.
9. Umformung von der Normalform zur Scheitelpunktform
Denke daran, bei den Funktionsgleichungen von g und h den Faktor vor dem
zunächst auszuklammern!
Anwendungsaufgabe "Rakete"
10. Rakete
Zum Abschluss eines Volksfestes wird ein Feuerwerk vom Dach eines Parkhauses abgeschossen. Der Pyrotechniker hat für die Beschreibung der Flugbahn einer Rakete die Funktion
aufgestellt. Dabei entspricht der horizontalen Entfernung von der Abschussstelle und der Höhe der Rakete; jeweils in Meter.
a) Berechne und beschreibe, was dieser Wert im Anwendungskontext bedeutet.
Lies noch einmal nach, was
und
angeben. Was bedeutet es, wenn
ist?
b) Berechne, wie weit die Rakete fliegen würde, bis sie auf den Boden auftrifft.
Überlege dir, welchen Wert
annehmen muss, wenn die Rakete auf den Boden auftritt.
Setze
und berechne die Nullstellen mithilfe der p-q-Formel.
Die p-q-Formel:Für eine Gleichung liefert die p-q-Formel die Lösungen
.
Denke daran, dass dabei vor dem
kein Vorfaktor stehten darf. Diesen kann man eliminieren, indem man auf beiden Seiten der Gleichung durch den Vorfaktor teilt.
c) Nach wieviel Metern erreicht die Rakete ihre maximale Höhe? Welche Höhe erreicht sie?
Gesucht ist der Scheitelpunkt der Funktion. Erinnere dich daran, wo man den Scheitelpunkt ablesen kann.
Wenn du nicht weiterweißt, schaue in den Aufgaben 7, 8 und 9 noch einmal nach.
d) Bei gleichbleibendem Startpunkt soll die Flugbahn so verändert werden, dass nach 10 m Entfernung vom Startpunkt die maximale Höhe von 120 m erreicht wird. Bestimme eine Funktionsgleichung für diese neue Flugbahn.
Stelle die Gleichung mit Hilfe des Scheitelpunktes
und des Punktes
auf.
Gehe wie in Aufgabe 4 vor.
Zusatzaufgabe* Berechne die horizontale Entfernung vom Startpunkt, in der die Rakete theoretisch eine Flughöhe von 30 m hat.
Gesucht sind die x-Werte, für die
ist.
a)
[Lösung anzeigen][Lösung ausblenden]
Das Dach, von dem die Rakete abgeschossen wird, ist 18 Meter hoch.
b)
[Lösung anzeigen][Lösung ausblenden]
c)
[Lösung anzeigen][Lösung ausblenden]
Umwandeln in die Scheitelpunktform:
Der Scheitelpunkt liegt bei
, die maximale Höhe von 98 Metern wird also bei einer horizontalen Entfernung von 20 Metern erreicht.
d)
[Lösung anzeigen][Lösung ausblenden]
Zusatzaufgabe:
[Lösung anzeigen][Lösung ausblenden]