Digitale Werkzeuge in der Schule/Funktioniert's? Übergang von der SI zur SII/Quadratische Funktionen: Unterschied zwischen den Versionen

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<div style="margin:0; margin-right:3px; margin-left:3px; border:3px solid #FF7F00; padding: 1em 1em 1em 1em; background-color:#C6E2FF; align:left;"> <center><table border="0" width="750px" cellpadding=5 cellspacing=15> <tr><td  width="300px" valign="top">
__NOTOC__
In diesem Lernpfad geht es darum, dass du im Bereich der quadratischen Funktionen noch etwas sicherer wirst. Im Laufe dieses Lernpfads kannst du also noch einmal die Scheitelpunktform und die Normalform der quadratischen Funktion wiederholen und einige Übungsaufgaben dazu erledigen. Am Ende dieses Lernpfads erwartet dich dann noch eine Anwendungsaufgabe zu diesem Themengebiet.
 
</td></tr></table></center> </div>
{{Box|1=Quadratische Funktionen|2=
In diesem Lernpfad geht es darum, dass du im Bereich der '''quadratischen Funktionen''' noch etwas sicherer wirst.  
 
Im Laufe dieses Lernpfads kannst du also noch einmal die '''Scheitelpunktform''' und die '''Normalform''' der quadratischen Funktion wiederholen und einige Übungsaufgaben dazu erledigen.  
 
Am Ende dieses Lernpfads erwartet dich dann noch eine Anwendungsaufgabe zu diesem Themengebiet.
|3=Lernpfad}}
 
 
== Die Scheitelpunktform==
== Die Scheitelpunktform==
=== Die Parameter der Scheitelpunktform ===
=== Die Parameter der Scheitelpunktform ===
{{Aufgaben|1 Die Parameter der Scheitelpunktform erkunden|  
 
{{Box|1=1. Die Parameter der Scheitelpunktform erkunden|2=
 
Fülle den folgenden Lückentext aus.
Fülle den folgenden Lückentext aus.
<iframe src="https://learningapps.org/watch?v=pumvik54518" style="border:0px;width:100%;height:550px" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe>
<popup Name="Tipp"> Falls du nicht mehr genau weißt, was die einzelnen Parameter machen, schaue dir das Applet unter dem Lückentext noch einmal an und probiere aus.</popup>
<iframe scrolling="no" title="Die Parameter der Scheitelpunktform" src="https://www.geogebra.org/material/iframe/id/BMqTQKE9/width/700/height/500/border/888888/smb/false/stb/false/stbh/false/ai/false/asb/false/sri/true/rc/false/ld/false/sdz/true/ctl/false" width="700px" height="500px" style="border:0px;"> </iframe>}} <br />


<br />
{{LearningApp|app=pumvik54518|width=100%|height=400px}}
 
{{Lösung versteckt|1=Falls du nicht mehr genau weißt, was die einzelnen Parameter machen, schaue dir das Applet unter dem Lückentext noch einmal an und probiere aus.|2=Tipp|3=schließen}}
 
<ggb_applet id="BMqTQKE9" width="450" height="450" />
|3=Üben}}
 
 
=== Scheitelpunktformen und ihre Graphen ===
=== Scheitelpunktformen und ihre Graphen ===


{{Aufgaben|2 Zuordnung von Scheitelpunktformen zu ihren Graphen|Ordne den angegebenen Graphen ihre Scheitelpunktform zu, indem du die zusammengehörigen Felder aufeinander ziehst.<iframe src="https://learningapps.org/watch?v=p6pzfcirn18" style="border:0px;width:100%;height:500px" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe>
{{Box|1=2. Zuordnung von Scheitelpunktformen zu ihren Graphen|2=
<popup Name="Tipp">
 
Ordne den angegebenen Graphen ihre Scheitelpunktform zu, indem du die zusammengehörigen Felder aufeinander ziehst.
 
{{LearningApp|app=p6pzfcirn18|width=100%|height=400px}}
 
{{Lösung versteckt|1=
Falls du eine falsche Zuordnung getroffen hast, schaue noch einmal in Aufgabe 1 nach, wie die Scheitelpunktform aussieht und was die einzelnen Parameter am Graphen verändern.
Falls du eine falsche Zuordnung getroffen hast, schaue noch einmal in Aufgabe 1 nach, wie die Scheitelpunktform aussieht und was die einzelnen Parameter am Graphen verändern.
</popup>}}<br />
|2=Tipp|3=schließen}}
 
|3=Üben}}


{{Aufgaben|3 Zeichnen von Graphen anhand der Scheitelpunktform|  
{{Box|1=3. Zeichnen von Graphen anhand der Scheitelpunktform|2=
Skizziere die angegebenen Funktionen als Graphen in dein Heft:<br />
Skizziere die angegebenen Funktionen als Graphen in dein Heft:<br />


<math>1.\quad f(x)=3(x-2)^2+1</math> <br />
<math>1.\quad f(x)=3(x-2)^2+1</math> <br />
<math>2.\quad g(x)=-0,5(x+1)^2-2</math>
<math>2.\quad g(x)=-0,5(x+1)^2-2</math>
<popup Name="Tipp 1"> Schaue dir die Funktion bezüglich ihrer Parameter a,d und e genau an. Mache dir dann klar, wie der Graph ungefähr aussehen muss.</popup>
 
<popup Name="Tipp 2"> Falls du nicht mehr ganz im Kopf hast, was die einzelnen Parameter machen, schaue dir die Aufgabe 1 noch einmal an. </popup>
{{Lösung versteckt|1= Schaue dir die Funktion bezüglich ihrer Parameter a,d und e genau an. Mache dir dann klar, wie der Graph ungefähr aussehen muss.|2=Tipp 1|3=schließen}}
<popup name="Lösungen zu den Graphen">[[Datei:Lösungen zu Skizzen.png|thumb|links|500px|Lösungen zu den Skizzen]]</popup>
{{Lösung versteckt|1= Falls du nicht mehr ganz im Kopf hast, was die einzelnen Parameter machen, schaue dir die Aufgabe 1 noch einmal an.|2=Tipp 2|3=schließen}}
}}<br />
 
<br />
{{Lösung versteckt|1=[[Datei:Lösungen zu Skizzen.png|thumb|links|500px|Lösungen zu den Skizzen]]}}
|3=Üben}}
 
 
=== Funktionsgleichungen aufstellen ===
=== Funktionsgleichungen aufstellen ===
{{Aufgaben|4 Funktionsgleichungen aufstellen|Stelle mit Hilfe der angegebenen Punkte die Funktionsgleichung auf:
 
{{Box|1=4. Funktionsgleichungen aufstellen|2=
Stelle mit Hilfe der angegebenen Punkte die Funktionsgleichung auf:
[[Datei:Wanted parabel.jpg|thumb|Wanted: Parabel|links]]
[[Datei:Wanted parabel.jpg|thumb|Wanted: Parabel|links]]
a) Wir suchen die Parabel f mit dem Scheitelpunkt S(-3I1), die durch den Punkt P(2I6) verläuft. <br>
a) Wir suchen die Parabel f mit dem Scheitelpunkt S(-3I1), die durch den Punkt P(2I6) verläuft. <br>
<popup Name="Tipp 1">Der Scheitelpunkt liefert dir die Parameter d und e der Scheitelpunktform (s. Aufgabe 1), es fehlt also nur noch der Parameter a. </popup>
{{Lösung versteckt|1=Der Scheitelpunkt liefert dir die Parameter d und e der Scheitelpunktform (s. Aufgabe 1), es fehlt also nur noch der Parameter a.|2=Tipp 1|3=schließen}}
<popup Name="Tipp 2">Die Parabel läuft durch den Punk P(2I6), es gilt also f(2)=6. Um a zu bestimmen, kannst du deshalb den Punkt P in die Gleichung einsetzen und nach a auflösen. Das bedeutet, dass du die Gleichung so umstellst, dass a auf einer Seite allein steht. </popup>
{{Lösung versteckt|1=Die Parabel läuft durch den Punk P(2I6), es gilt also f(2)=6. Um a zu bestimmen, kannst du deshalb den Punkt P in die Gleichung einsetzen und nach a auflösen. Das bedeutet, dass du die Gleichung so umstellst, dass a auf einer Seite allein steht.|2=Tipp 2|3=schließen}}
<popup Name="Tipp 3">Man setzt einen Punkt P(xIy) in eine Gleichung ein, indem man den x-Wert für jedes x  einsetzt und den y-Wert anstelle von f(x) schreibt. </popup>
{{Lösung versteckt|1=Man setzt einen Punkt P(xIy) in eine Gleichung ein, indem man den x-Wert für jedes x  einsetzt und den y-Wert anstelle von f(x) schreibt.|2=Tipp 3|3=schließen}}
<popup name="Lösung">
 
{{Lösung versteckt|1=
Scheitelpunkt in die Scheitelpunktform einsetzen:<br>
Scheitelpunkt in die Scheitelpunktform einsetzen:<br>
<math>f(x)=a(x-(-3))^2+1=a(x+3)^2+1</math><br>
<math>f(x)=a(x-(-3))^2+1=a(x+3)^2+1</math><br>
Zeile 47: Zeile 72:
a einsetzen:<br>
a einsetzen:<br>
<math>\Rightarrow f(x)=\frac{1}{5}(x+3)^2+1</math>
<math>\Rightarrow f(x)=\frac{1}{5}(x+3)^2+1</math>
</popup>
}}
 
b) Gesucht ist die Parabel g, die die y-Achse bei -4 schneidet, und die ihren Scheitelpunkt bei S(1I-1) hat.
b) Gesucht ist die Parabel g, die die y-Achse bei -4 schneidet, und die ihren Scheitelpunkt bei S(1I-1) hat.
<popup Name="Tipp">Welche Koordinaten hat der Schnittpunkt mit der y-Achse? Bestimme zunächst die Koordinaten und gehe dann wie in Teil a) vor.</popup>
{{Lösung versteckt|1=Welche Koordinaten hat der Schnittpunkt mit der y-Achse? Bestimme zunächst die Koordinaten und gehe dann wie in Teil a) vor.|2=Tipp|3=schließen}}
<popup name="Lösung">
 
{{Lösung versteckt|1=
Scheitelpunkt einsetzen:<br>
Scheitelpunkt einsetzen:<br>
<math>g(x)=a(x-1)^2-1</math>  <br>
<math>g(x)=a(x-1)^2-1</math>  <br>
Zeile 59: Zeile 86:
<math>a=-3</math><br>
<math>a=-3</math><br>
a einsetzen:<br>
a einsetzen:<br>
<math>\Rightarrow g(x)=-3(x-1)^2-1</math>
<math>\Rightarrow g(x)=-3(x-1)^2-1</math>}}
</popup>}}
|3=Üben}}


== Scheitelpunktform und Normalform ==
== Scheitelpunktform und Normalform ==


{{Aufgaben|5 Rechnen mit der Scheitelpunktform und der Normalform| Fülle den Lückentext aus, indem du in die Lücken klickst und die richtige Antwort auswählst.<iframe src="https://learningapps.org/watch?app=5077950" style="border:0px;width:100%;height:720px" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe>}}<br />
{{Box|1=5. Rechnen mit der Scheitelpunktform und der Normalform|2=Fülle den Lückentext aus, indem du in die Lücken klickst und die richtige Antwort auswählst.
<br />
 
{{LearningApp|app=5077950|width=100%|height=400px}}
|3=Üben}}
 
=== Von der Scheitelpunktform zur Normalform ===
=== Von der Scheitelpunktform zur Normalform ===
{{Aufgaben|6 Umformung von der Scheitelpunktform zur Normalform|Forme die folgenden Scheitelpunktformen in deinem Heft in die Normalenformen um und klicke dann das richtige Ergebnis an.<iframe src="https://learningapps.org/watch?v=p4jtn4wkk18" style="border:0px;width:100%;height:500px" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe>}}
 
<popup name="Tipp 1">
{{Box|1=6. Umformung von der Scheitelpunktform zur Normalform|2=
Benutze zum Lösen die 1. oder 2. Binomische Formel!
Forme die folgenden Scheitelpunktformen in deinem Heft in die Normalenformen um und klicke dann das richtige Ergebnis an.
</popup>
 
<popup Name="Tipp 2">
{{LearningApp|app=p4jtn4wkk18|width=100%|height=400px}}
Behalte im Hinterkopf: 1. Punkt-vor-Strich-Rechnung und 2."Eine Klammer wird zuerst berechnet".
 
</popup>
{{Lösung versteckt|1=
<popup Name="Tipp 3">
Benutze zum Lösen die 1. oder 2. Binomische Formel!|2=Tipp 1|3=schließen}}
 
{{Lösung versteckt|1=
Behalte im Hinterkopf: 1. Punkt-vor-Strich-Rechnung und 2."Eine Klammer wird zuerst berechnet".|2=Tipp 2|3=schließen}}
 
{{Lösung versteckt|1=
1. Binomische Formel:
1. Binomische Formel:
<math> (a+b)^2 = a^2+2ab+b^2
<math> (a+b)^2 = a^2+2ab+b^2
</math><br />
</math><br />
2. Binomische Formel:
2. Binomische Formel:
<math> (a-b)^2 = a^2-2ab+b^2
<math> (a-b)^2 = a^2-2ab+b^2
</math>
</math>
</popup>
|2=Tipp 3|3=schließen}}
<popup name="Lösung">
{{Lösung versteckt|1=
<math>
<math>
\begin{array}{rlll}
\begin{array}{rlll}
Zeile 113: Zeile 147:
\\&=&-0,5x^2+2x+4 \\
\\&=&-0,5x^2+2x+4 \\
\end{array}
\end{array}
</math>
</math>}}
</popup><br />
|3=Üben}}
<br />


=== Von der Normalform zur Scheitelpunktform ===
=== Von der Normalform zur Scheitelpunktform ===
In Aufgabe 5 hast du wiederholt, wie man die Normalform in die Scheitelpunktform überführt. Das kannst du in Aufgabe 9 üben. Zuerst wollen wir uns aber noch einmal genau ansehen, was die quadratische Ergänzung ist und warum man sie für die Umwandlung braucht. Wenn du dich mit der quadratischen Ergänzung schon sicher fühlst, kannst du direkt Aufgabe 9 bearbeiten.<br><br>
In Aufgabe 5 hast du wiederholt, wie man die Normalform in die Scheitelpunktform überführt. Das kannst du in Aufgabe 9 üben. Zuerst wollen wir uns aber noch einmal genau ansehen, was die quadratische Ergänzung ist und warum man sie für die Umwandlung braucht. Wenn du dich mit der quadratischen Ergänzung schon sicher fühlst, kannst du direkt Aufgabe 9 bearbeiten.<br><br>
'''Die quadratische Ergänzung''' ist ein Trick, den man benutzt, wenn die man die 1. oder 2. binomische Formel rückwärts anwenden anwenden möchte. <br>
'''Die quadratische Ergänzung''' ist ein Trick, den man benutzt, wenn die man die 1. oder 2. binomische Formel rückwärts anwenden anwenden möchte. <br>
Zur Erinnerung: <br>
Zur Erinnerung: <br>
{{Merke|
 
{{Box|1=Die ersten zwei Binomischen Formeln|2=
''1. Binomische Formel:''  
''1. Binomische Formel:''  
<math>(a+b)^2=a^2+2ab+b^2 </math> <br>
<math>(a+b)^2=a^2+2ab+b^2 </math> <br>
''2. Binomische Formel:''  <math> (a-b)^2=a^2-2ab+b^2 </math>}}  
''2. Binomische Formel:''  <math> (a-b)^2=a^2-2ab+b^2 </math>|3=Merke}}  
 
Wir wollen jetzt also nicht die Klammer ausmultiplizieren, sondern den Term zu so einem Klammerausdruck umformen, z.B. den Term <math>x^2+6x+15</math>. <br>
Wir wollen jetzt also nicht die Klammer ausmultiplizieren, sondern den Term zu so einem Klammerausdruck umformen, z.B. den Term <math>x^2+6x+15</math>. <br>
Wie das funktioniert, kannst du in dieser Aufgabe noch mal wiederholen:
Wie das funktioniert, kannst du in dieser Aufgabe noch mal wiederholen:
{{Aufgaben|7 Die quadratische Ergänzung wiederholen|
<iframe src="https://learningapps.org/watch?app=5233722" style="border:0px;width:100%;height:1200px" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe>}}


'''Wichtig''': Wenn for dem x<sup>2</sup> ein Faktor steht, muss dieser zunächst ausgeklammert werden:
{{Box|1=7. Die quadratische Ergänzung wiederholen|2=
{{Aufgaben|8 Quadratische Ergänzung bei Vorfaktor|Ergänze in dem folgenden Beispiel die Umformungsschritte, indem du sie an die richtige Stelle ziehst.}}
'''Wichtig''': Wenn for dem x<sup>2</sup> ein Faktor steht, muss dieser zunächst ausgeklammert werden.
 
{{LearningApp|app=5233722|width=100%|height=400px}}
|3=Üben}}
 
{{Box|1=8. Quadratische Ergänzung bei Vorfaktor|2=Ergänze in dem folgenden Beispiel die Umformungsschritte, indem du sie an die richtige Stelle ziehst.|3=Üben}}
<div class="lueckentext-quiz">
<div class="lueckentext-quiz">
<math>3x^2-24x+60 </math> | '''Faktor 3 ausklammern''' <br>
<math>3x^2-24x+60 </math> | '''Faktor 3 ausklammern''' <br>
Zeile 143: Zeile 182:




{{Aufgaben|9 Umformung von der Normalform zur Scheitelpunktform|<iframe src="https://learningapps.org/watch?app=5078271" style="border:0px;width:100%;height:500px" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe>}}
{{Box|1=9. Umformung von der Normalform zur Scheitelpunktform|2=


<popup name="Tipp">
{{LearningApp|app=5078271|width=100%|height=400px}}
 
 
{{Lösung versteckt|1=
Denke daran, bei den Funktionsgleichungen von g und h den Faktor vor dem <math>x^2</math> zunächst auszuklammern!
Denke daran, bei den Funktionsgleichungen von g und h den Faktor vor dem <math>x^2</math> zunächst auszuklammern!
</popup>
|2=Tipp|3=schließen}}


<popup name="Lösung">
{{Lösung versteckt|1=
<math>f(x):</math>
<math>f(x):</math>
{{Lösung versteckt mit Rand|1=<math>
{{Lösung versteckt mit Rand|1=<math>
Zeile 178: Zeile 220:
\end{array}
\end{array}
</math>}}
</math>}}
</popup>
}}|3=Üben}}


== Anwendungsaufgabe "Rakete" ==
== Anwendungsaufgabe "Rakete" ==
{{Aufgaben|10 Rakete|Zum Abschluss eines Volksfestes wird ein Feuerwerk vom Dach eines Parkhauses abgeschossen. Der Pyrotechniker hat für die Beschreibung der Flugbahn einer Rakete die Funktion <br><math>f(x)=-0.2x^2+8x+18</math> <br> aufgestellt. Dabei entspricht <math>x</math> der horizontalen Entfernung von der Abschussstelle und <math>f(x)</math> der Höhe der Rakete; jeweils in Meter.<br /><br />
 
{{Box|1=10. Rakete|2=Zum Abschluss eines Volksfestes wird ein Feuerwerk vom Dach eines Parkhauses abgeschossen. Der Pyrotechniker hat für die Beschreibung der Flugbahn einer Rakete die Funktion <br><math>f(x)=-0.2x^2+8x+18</math> <br> aufgestellt. Dabei entspricht <math>x</math> der horizontalen Entfernung von der Abschussstelle und <math>f(x)</math> der Höhe der Rakete; jeweils in Meter.<br /><br />


a) Berechne <math>f(0)</math> und beschreibe, was dieser Wert im Anwendungskontext bedeutet.<br />
a) Berechne <math>f(0)</math> und beschreibe, was dieser Wert im Anwendungskontext bedeutet.<br />
<popup name="Tipp"> Lies noch einmal nach, was <math>x</math> und <math>f(x)</math> angeben. Was bedeutet es, wenn <math>x=0</math> ist? </popup><br />
{{Lösung versteckt|1= Lies noch einmal nach, was <math>x</math> und <math>f(x)</math> angeben. Was bedeutet es, wenn <math>x=0</math> ist?|2=Tipp|3=schließen}}<br />


b) Berechne, wie weit die Rakete fliegen würde, bis sie auf den Boden auftrifft. <br />
b) Berechne, wie weit die Rakete fliegen würde, bis sie auf den Boden auftrifft. <br />
<popup name="Tipp 1"> Überlege dir, welchen Wert <math>f(x)</math> annehmen muss, wenn die Rakete auf den Boden auftritt. </popup>
{{Lösung versteckt|1= Überlege dir, welchen Wert <math>f(x)</math> annehmen muss, wenn die Rakete auf den Boden auftritt.|2=Tipp 1|3=schließen}}
<popup name="Tipp 2"> Setze <math>f(x)=0</math> und berechne die Nullstellen mithilfe der p-q-Formel. </popup>
{{Lösung versteckt|1= Setze <math>f(x)=0</math> und berechne die Nullstellen mithilfe der p-q-Formel.|2=Tipp 2|3=schließen}}
<popup name="Tipp 3"> '''Die p-q-Formel:'''Für eine Gleichung <math>0=x^2+px+q</math> liefert die p-q-Formel die Lösungen<br />
{{Lösung versteckt|1= '''Die p-q-Formel:'''Für eine Gleichung <math>0=x^2+px+q</math> liefert die p-q-Formel die Lösungen<br />
<math>
<math>
x_{1/2}= -\frac{p}{2} \pm \sqrt{{\left ( \frac{p}{2} \right )}^2 -q}
x_{1/2}= -\frac{p}{2} \pm \sqrt{{\left ( \frac{p}{2} \right )}^2 -q}
  </math>.<br> Denke daran, dass dabei vor dem <math>x^2</math> kein Vorfaktor stehten darf. Diesen kann man eliminieren, indem man auf beiden Seiten der Gleichung durch den Vorfaktor teilt.<br>
  </math>.<br> Denke daran, dass dabei vor dem <math>x^2</math> kein Vorfaktor stehten darf. Diesen kann man eliminieren, indem man auf beiden Seiten der Gleichung durch den Vorfaktor teilt.<br>
</popup><br />
|2=Tipp 3|3=schließen}}


c) Nach wieviel Metern erreicht die Rakete ihre maximale Höhe? Welche Höhe erreicht sie?<br />
c) Nach wieviel Metern erreicht die Rakete ihre maximale Höhe? Welche Höhe erreicht sie?<br />
<popup name="Tipp 1"> Gesucht ist der Scheitelpunkt der Funktion. Erinnere dich daran, wo man den Scheitelpunkt ablesen kann. </popup>
{{Lösung versteckt|1= Gesucht ist der Scheitelpunkt der Funktion. Erinnere dich daran, wo man den Scheitelpunkt ablesen kann.|2=Tipp 1|3=schließen}}
<popup name="Tipp 2"> Wenn du nicht weiterweißt, schaue in den Aufgaben 7, 8 und 9 noch einmal nach. </popup><br />
{{Lösung versteckt|1= Wenn du nicht weiterweißt, schaue in den Aufgaben 7, 8 und 9 noch einmal nach.|2=Tipp 2|3=schließen}}


d) Bei gleichbleibendem Startpunkt soll die Flugbahn so verändert werden, dass nach 10 m Entfernung vom Startpunkt die maximale Höhe von 120 m erreicht wird. Bestimme eine Funktionsgleichung für diese neue Flugbahn.
d) Bei gleichbleibendem Startpunkt soll die Flugbahn so verändert werden, dass nach 10 m Entfernung vom Startpunkt die maximale Höhe von 120 m erreicht wird. Bestimme eine Funktionsgleichung für diese neue Flugbahn.
<popup name="Tipp 1"> Stelle die Gleichung mit Hilfe des Scheitelpunktes <math> S(10I120)</math> und des Punktes <math>P(0I18)</math> auf.</popup>
{{Lösung versteckt|1= Stelle die Gleichung mit Hilfe des Scheitelpunktes <math> S(10\mid120)</math> und des Punktes <math>P(0\mid18)</math> auf.|2=Tipp 1|3=schließen}}
<popup name="Tipp 2"> Gehe wie in Aufgabe 4 vor. </popup><br />
{{Lösung versteckt|1= Gehe wie in Aufgabe 4 vor.|2=Tipp 2|3=schließen}}
 


Zusatzaufgabe* Berechne die horizontale Entfernung vom Startpunkt, in der die Rakete theoretisch eine Flughöhe von 30 m hat.
Zusatzaufgabe* Berechne die horizontale Entfernung vom Startpunkt, in der die Rakete theoretisch eine Flughöhe von 30 m hat.
<popup name="Tipp"> Gesucht sind die x-Werte, für die <math>f(x)=30</math> ist. </popup>
{{Lösung versteckt|1= Gesucht sind die x-Werte, für die <math>f(x)=30</math> ist.|2=Tipp|3=schließen}}
<br />}}
 
<popup name="Lösung zu a)">
{{Lösung versteckt|1=
a)
{{Lösung versteckt mit Rand|
<math>
<math>
\begin{array}{rll}
\begin{array}{rll}
Zeile 212: Zeile 258:
&=& 18
&=& 18
\end{array}  
\end{array}  
</math> <br> Das Dach, von dem die Rakete abgeschossen wird, ist 18 Meter hoch.
</math> <br> Das Dach, von dem die Rakete abgeschossen wird, ist 18 Meter hoch. }}
 
<br>
</popup>
b)
 
{{Lösung versteckt mit Rand|
<popup name="Lösung zu b)">
Nullstellenberechnung:<br />
Nullstellenberechnung:<br />
Dafür müssen wir im ersten Schritt beim Summanden <math>x^2</math> den Vorfaktor eliminieren.<br />
Dafür müssen wir im ersten Schritt beim Summanden <math>x^2</math> den Vorfaktor eliminieren.<br />
<math>
<math>
\begin{array}{rlll}
\begin{array}{rlll}
f(x) & = & -0.2x^2+8x+18 & \mid :-0.2 \\
0 & = & -0.2x^2+8x+18 & \mid :-0.2 \\
  &=& x^2-40x-90   
  &=& x^2-40x-90   
\end{array}
\end{array}
Zeile 233: Zeile 278:
  &=& 20 \pm 22.14 \\
  &=& 20 \pm 22.14 \\
\end{array}
\end{array}
  </math><br>
  </math><br />
<math>
<math>
\Rightarrow x_1=22.14+20=42.14 </math> und <math>  x_2=-22.14+20=-2.14
\Rightarrow x_1=22.14+20=42.14 </math> und <math>  x_2=-22.14+20=-2.14
</math><br />
</math><br />
Da wir wissen wollen, wie weit die Rakete fliegen würde, bis sie auf dem Boden aufkommt, müssen wir nur den größeren x-Wert betrachten. Also kommt die Rakete nach ca. 42.14 Metern auf dem Boden auf.
Da wir wissen wollen, wie weit die Rakete fliegen würde, bis sie auf dem Boden aufkommt, müssen wir nur den größeren x-Wert betrachten. Also kommt die Rakete nach ca. 42.14 Metern auf dem Boden auf.}}
 
c)
</popup>
{{Lösung versteckt mit Rand|
 
Umwandeln in die Scheitelpunktform: <br />
<popup name="Lösung zu c)"> Umwandeln in die Scheitelpunktform: <br>
<math>  
<math>  
\begin{array}{rlll}
\begin{array}{rlll}
Zeile 251: Zeile 295:
\end{array}  
\end{array}  
</math><br />
</math><br />
Der Scheitelpunkt liegt bei S(20|98), die maximale Höhe von 98 Metern wird also bei einer horizontalen Entfernung von 20 Metern erreicht.  
Der Scheitelpunkt liegt bei <math>S(20\mid 98)</math>, die maximale Höhe von 98 Metern wird also bei einer horizontalen Entfernung von 20 Metern erreicht. }}
</popup>
d)
 
{{Lösung versteckt mit Rand|
<popup name="Lösung zu d)">
Scheitelpunkt einsetzen:<br />
Scheitelpunkt einsetzen:<br>
<math>f(x)=a(x-10)^2+120</math>  <br>
<math>f(x)=a(x-10)^2+120</math>  <br>
Schnittpunkt mit der y-Achse P(0|18) einsetzen, nach a auflösen:<br>
Schnittpunkt mit der y-Achse <math>P(0\mid18)</math> einsetzen, nach a auflösen:<br>
<math>\begin{array}{rlll}
<math>
\begin{array}{rlll}
f(0)&=&18 \\
f(0)&=&18 \\
a(0-10)^2+120&=&18 \\
a(0-10)^2+120&=&18 \\
Zeile 264: Zeile 308:
a&=&-1.02
a&=&-1.02
\end{array}
\end{array}
</math><br>
</math><br />
a einsetzen:<br>
a einsetzen:<br />
<math>\Rightarrow f(x)=-1.02(x-10)^2+120</math>
<math>\Rightarrow f(x)=-1.02(x-10)^2+120</math>
</popup>
}}
 
Zusatzaufgabe:
<popup name="Lösung zu Zusatzaufgabe*">
{{Lösung versteckt mit Rand|
Wir müssen also den x-Wert zum zugehörigen f(x)=30 berechnen.<br />
Wir müssen also den x-Wert zum zugehörigen <math>f(x)=30</math> berechnen. <br>
<math>30=-0.2x^2+8x+18 \mid -30 </math> <br />  
<math>30=-0.2x^2+8x+18 \mid -30 </math> <br />  
<math>\Leftrightarrow 0=-0.2x^2+8x-12 </math><br />
<math>\Leftrightarrow 0=-0.2x^2+8x-12 </math><br />
Zeile 288: Zeile 332:
\end{array}
\end{array}
  </math><br>
  </math><br>
<math>
<math>
\Rightarrow x_1=18.44+20=38.44 </math> und <math> x_2=-18.44+20=1.56
\Rightarrow x_1=18.44+20=38.44 </math> und <math> x_2=-18.44+20=1.56</math><br />
</math><br />
Die Rakete hat also theoretisch nach ca. 1.56 Metern und nach ca. 38.44 Metern eine Flughöhe von 30 Metern.
Die Rakete hat also theoretisch nach ca. 1.56 Metern und nach ca. 38.44 Metern eine Flughöhe von 30 Metern.
}}
}}|3=Üben}}


</popup>
[[Kategorie:Digitale Werkzeuge in der Schule|!]]

Version vom 14. Januar 2019, 13:32 Uhr


Quadratische Funktionen

In diesem Lernpfad geht es darum, dass du im Bereich der quadratischen Funktionen noch etwas sicherer wirst.

Im Laufe dieses Lernpfads kannst du also noch einmal die Scheitelpunktform und die Normalform der quadratischen Funktion wiederholen und einige Übungsaufgaben dazu erledigen.

Am Ende dieses Lernpfads erwartet dich dann noch eine Anwendungsaufgabe zu diesem Themengebiet.


Die Scheitelpunktform

Die Parameter der Scheitelpunktform

1. Die Parameter der Scheitelpunktform erkunden

Fülle den folgenden Lückentext aus.



Falls du nicht mehr genau weißt, was die einzelnen Parameter machen, schaue dir das Applet unter dem Lückentext noch einmal an und probiere aus.
GeoGebra


Scheitelpunktformen und ihre Graphen

2. Zuordnung von Scheitelpunktformen zu ihren Graphen

Ordne den angegebenen Graphen ihre Scheitelpunktform zu, indem du die zusammengehörigen Felder aufeinander ziehst.



Falls du eine falsche Zuordnung getroffen hast, schaue noch einmal in Aufgabe 1 nach, wie die Scheitelpunktform aussieht und was die einzelnen Parameter am Graphen verändern.


3. Zeichnen von Graphen anhand der Scheitelpunktform

Skizziere die angegebenen Funktionen als Graphen in dein Heft:


Schaue dir die Funktion bezüglich ihrer Parameter a,d und e genau an. Mache dir dann klar, wie der Graph ungefähr aussehen muss.
Falls du nicht mehr ganz im Kopf hast, was die einzelnen Parameter machen, schaue dir die Aufgabe 1 noch einmal an.
Datei:Lösungen zu Skizzen.png
Lösungen zu den Skizzen


Funktionsgleichungen aufstellen

4. Funktionsgleichungen aufstellen

Stelle mit Hilfe der angegebenen Punkte die Funktionsgleichung auf:

Wanted: Parabel

a) Wir suchen die Parabel f mit dem Scheitelpunkt S(-3I1), die durch den Punkt P(2I6) verläuft.

Der Scheitelpunkt liefert dir die Parameter d und e der Scheitelpunktform (s. Aufgabe 1), es fehlt also nur noch der Parameter a.
Die Parabel läuft durch den Punk P(2I6), es gilt also f(2)=6. Um a zu bestimmen, kannst du deshalb den Punkt P in die Gleichung einsetzen und nach a auflösen. Das bedeutet, dass du die Gleichung so umstellst, dass a auf einer Seite allein steht.
Man setzt einen Punkt P(xIy) in eine Gleichung ein, indem man den x-Wert für jedes x einsetzt und den y-Wert anstelle von f(x) schreibt.

Scheitelpunkt in die Scheitelpunktform einsetzen:

P einsetzen und nach a auflösen:





a einsetzen:

b) Gesucht ist die Parabel g, die die y-Achse bei -4 schneidet, und die ihren Scheitelpunkt bei S(1I-1) hat.

Welche Koordinaten hat der Schnittpunkt mit der y-Achse? Bestimme zunächst die Koordinaten und gehe dann wie in Teil a) vor.

-4) einsetzen, nach a auflösen:




a einsetzen:

Scheitelpunktform und Normalform

5. Rechnen mit der Scheitelpunktform und der Normalform

Fülle den Lückentext aus, indem du in die Lücken klickst und die richtige Antwort auswählst.


Von der Scheitelpunktform zur Normalform

6. Umformung von der Scheitelpunktform zur Normalform

Forme die folgenden Scheitelpunktformen in deinem Heft in die Normalenformen um und klicke dann das richtige Ergebnis an.



Benutze zum Lösen die 1. oder 2. Binomische Formel!
Behalte im Hinterkopf: 1. Punkt-vor-Strich-Rechnung und 2."Eine Klammer wird zuerst berechnet".

1. Binomische Formel:
2. Binomische Formel:







Von der Normalform zur Scheitelpunktform

In Aufgabe 5 hast du wiederholt, wie man die Normalform in die Scheitelpunktform überführt. Das kannst du in Aufgabe 9 üben. Zuerst wollen wir uns aber noch einmal genau ansehen, was die quadratische Ergänzung ist und warum man sie für die Umwandlung braucht. Wenn du dich mit der quadratischen Ergänzung schon sicher fühlst, kannst du direkt Aufgabe 9 bearbeiten.

Die quadratische Ergänzung ist ein Trick, den man benutzt, wenn die man die 1. oder 2. binomische Formel rückwärts anwenden anwenden möchte.
Zur Erinnerung:


Die ersten zwei Binomischen Formeln

1. Binomische Formel:

2. Binomische Formel:

Wir wollen jetzt also nicht die Klammer ausmultiplizieren, sondern den Term zu so einem Klammerausdruck umformen, z.B. den Term .
Wie das funktioniert, kannst du in dieser Aufgabe noch mal wiederholen:


7. Die quadratische Ergänzung wiederholen

Wichtig: Wenn for dem x2 ein Faktor steht, muss dieser zunächst ausgeklammert werden.



8. Quadratische Ergänzung bei Vorfaktor
Ergänze in dem folgenden Beispiel die Umformungsschritte, indem du sie an die richtige Stelle ziehst.

| Faktor 3 ausklammern
| Faktor 2 "herausziehen"
| quadratische Ergänzung
| 2. Binomische Formel
| zusammenfassen
| ausmultiplizieren


9. Umformung von der Normalform zur Scheitelpunktform


Denke daran, bei den Funktionsgleichungen von g und h den Faktor vor dem zunächst auszuklammern!



Anwendungsaufgabe "Rakete"

10. Rakete

Zum Abschluss eines Volksfestes wird ein Feuerwerk vom Dach eines Parkhauses abgeschossen. Der Pyrotechniker hat für die Beschreibung der Flugbahn einer Rakete die Funktion

aufgestellt. Dabei entspricht der horizontalen Entfernung von der Abschussstelle und der Höhe der Rakete; jeweils in Meter.

a) Berechne und beschreibe, was dieser Wert im Anwendungskontext bedeutet.

Lies noch einmal nach, was und angeben. Was bedeutet es, wenn ist?

b) Berechne, wie weit die Rakete fliegen würde, bis sie auf den Boden auftrifft.

Überlege dir, welchen Wert annehmen muss, wenn die Rakete auf den Boden auftritt.
Setze und berechne die Nullstellen mithilfe der p-q-Formel.

Die p-q-Formel:Für eine Gleichung liefert die p-q-Formel die Lösungen

.
Denke daran, dass dabei vor dem kein Vorfaktor stehten darf. Diesen kann man eliminieren, indem man auf beiden Seiten der Gleichung durch den Vorfaktor teilt.

c) Nach wieviel Metern erreicht die Rakete ihre maximale Höhe? Welche Höhe erreicht sie?

Gesucht ist der Scheitelpunkt der Funktion. Erinnere dich daran, wo man den Scheitelpunkt ablesen kann.
Wenn du nicht weiterweißt, schaue in den Aufgaben 7, 8 und 9 noch einmal nach.

d) Bei gleichbleibendem Startpunkt soll die Flugbahn so verändert werden, dass nach 10 m Entfernung vom Startpunkt die maximale Höhe von 120 m erreicht wird. Bestimme eine Funktionsgleichung für diese neue Flugbahn.

Stelle die Gleichung mit Hilfe des Scheitelpunktes und des Punktes auf.
Gehe wie in Aufgabe 4 vor.


Zusatzaufgabe* Berechne die horizontale Entfernung vom Startpunkt, in der die Rakete theoretisch eine Flughöhe von 30 m hat.

Gesucht sind die x-Werte, für die ist.

a)


Das Dach, von dem die Rakete abgeschossen wird, ist 18 Meter hoch.


b)

Nullstellenberechnung:
Dafür müssen wir im ersten Schritt beim Summanden den Vorfaktor eliminieren.

Im zweiten Schritt benutzen wir die p-q-Formel, um die Nullstellen der Funktion zu bestimmen.


und

Da wir wissen wollen, wie weit die Rakete fliegen würde, bis sie auf dem Boden aufkommt, müssen wir nur den größeren x-Wert betrachten. Also kommt die Rakete nach ca. 42.14 Metern auf dem Boden auf.

c)

Umwandeln in die Scheitelpunktform:

Der Scheitelpunkt liegt bei , die maximale Höhe von 98 Metern wird also bei einer horizontalen Entfernung von 20 Metern erreicht.

d)

Scheitelpunkt einsetzen:

Schnittpunkt mit der y-Achse einsetzen, nach a auflösen:

a einsetzen:

Zusatzaufgabe:

Wir müssen also den x-Wert zum zugehörigen berechnen.





und
Die Rakete hat also theoretisch nach ca. 1.56 Metern und nach ca. 38.44 Metern eine Flughöhe von 30 Metern.