Digitale Werkzeuge in der Schule/Funktioniert's? Übergang von der SI zur SII/Quadratische Funktionen

In diesem Lernpfad geht es darum, dass du im Bereich der quadratischen Funktionen noch etwas sicherer wirst. Im Laufe dieses Lernpfads kannst du also noch einmal die Scheitelpunktform und die Normalform der quadratischen Funktion wiederholen und einige Übungsaufgaben dazu erledigen. Am Ende dieses Lernpfads erwartet dich dann noch eine Anwendungsaufgabe zu diesem Themengebiet.

Die Scheitelpunktform

Die Parameter der Scheitelpunktform

Aufgabe 1 Die Parameter der Scheitelpunktform erkunden

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Scheitelpunktformen und ihre Graphen

Aufgabe 2 Zuordnung von Scheitelpunktformen zu ihren Graphen

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Aufgabe 3 Zeichnen von Graphen anhand der Scheitelpunktform

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Funktionsgleichungen aufstellen

Aufgabe 4 Funktionsgleichungen aufstellen

-4) einsetzen, nach a auflösen:
$g(0)=-4$
$a(0-1)^{2}-1=-4$
$1a-1=-4\mid +1$
$a=-3$
a einsetzen:
$\Rightarrow g(x)=-3(x-1)^{2}-1$

</popup>

Scheitelpunktform und Normalform

Aufgabe 5 Rechnen mit der Scheitelpunktform und der Normalform

Fülle den Lückentext aus, indem du in die Lücken klickst und die richtige Antwort auswählst.

Von der Scheitelpunktform zur Normalform

Aufgabe 6 Umformung von der Scheitelpunktform zur Normalform

Forme die folgenden Scheitelpunktformen in deinem Heft in die Normalenformen um und klicke dann das richtige Ergebnis an.

<popup name="Tipp 1"> Benutze zum Lösen die 1. oder 2. Binomische Formel! </popup> <popup Name="Tipp 2"> Behalte im Hinterkopf: 1. Punkt-vor-Strich-Rechnung und 2."Eine Klammer wird zuerst berechnet". </popup> <popup Name="Tipp 3"> 1. Binomische Formel: $(a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}$

2. Binomische Formel: $(a-b)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}$ </popup> <popup name="Lösung"> ${\begin{array}{rlll}f(x)&=&(x+3)^{2}&\mid 1.\,Binomische\,Formel\,anwenden\\&=&x^{2}+6x+9\\\end{array}}$

${\begin{array}{rlll}g(x)&=&2(x-3)^{2}&\mid 2.\,Binomische\,Formel\,anwenden\\&=&2(x^{2}-6x+9)&\mid Klammer\,ausmultiplizieren\\&=&2x^{2}-12x+18\\\end{array}}$

${\begin{array}{rlll}h(x)&=&4(x+1)^{2}-6&\mid 1.\,Binomische\,Formel\,anwenden\\&=&4(x^{2}+2x+1)-6&\mid Klammer\,ausmultiplizieren\\&=&4x^{2}+8x+4-6&\mid zusammenfassen\\&=&4x^{2}+8x-2\\\end{array}}$

${\begin{array}{rlll}i(x)&=&-0,5(x-2)^{2}+6&\mid 2.\,Binomische\,Formel\,anwenden\\&=&-0,5(x^{2}-4x+4)+6&\mid Klammer\,ausmultiplizieren\\&=&-0,5x^{2}+2x-2+6&\mid zusammenfassen\\&=&-0,5x^{2}+2x+4\\\end{array}}$ </popup>

Von der Normalform zur Scheitelpunktform

In Aufgabe 5 hast du wiederholt, wie man die Normalform in die Scheitelpunktform überführt. Das kannst du in Aufgabe 9 üben. Zuerst wollen wir uns aber noch einmal genau ansehen, was die quadratische Ergänzung ist und warum man sie für die Umwandlung braucht. Wenn du dich mit der quadratischen Ergänzung schon sicher fühlst, kannst du direkt Aufgabe 9 bearbeiten.

Die quadratische Ergänzung ist ein Trick, den man benutzt, wenn die man die 1. oder 2. binomische Formel rückwärts anwenden anwenden möchte.
Zur Erinnerung:

Merke

1. Binomische Formel: $(a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}$

2. Binomische Formel: $(a-b)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}$

Wir wollen jetzt also nicht die Klammer ausmultiplizieren, sondern den Term zu so einem Klammerausdruck umformen, z.B. den Term $x^{2}+6x+15$.
Wie das funktioniert, kannst du in dieser Aufgabe noch mal wiederholen:

Aufgabe 7 Die quadratische Ergänzung wiederholen

Wichtig: Wenn for dem x² ein Faktor steht, muss dieser zunächst ausgeklammert werden:

Aufgabe 8 Quadratische Ergänzung bei Vorfaktor

Ergänze in dem folgenden Beispiel die Umformungsschritte, indem du sie an die richtige Stelle ziehst.

$3x^{2}-24x+60$ | Faktor 3 ausklammern
$3(x^{2}-8x+20)$ | Faktor 2 "herausziehen"
$3(x^{2}-2\cdot x\cdot 4+20)$ | quadratische Ergänzung
$3(x^{2}-2\cdot x\cdot 4+4^{2}-4^{2}+20)$ | 2. Binomische Formel
$3((x-4)^{2}-4^{2}+20)$ | zusammenfassen
$3((x-4)^{2}+4)$ | ausmultiplizieren
$3(x-4)^{2}+12$

Aufgabe 9 Umformung von der Normalform zur Scheitelpunktform

<popup name="Tipp"> Denke daran, bei den Funktionsgleichungen von g und h den Faktor vor dem $x^{2}$ zunächst auszuklammern! </popup>

<popup name="Lösung"> $f(x):$ [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden]

${\begin{array}{rll}f(x)&=&x^{2}-8x+18\\&=&x^{2}-8x+4^{2}-4^{2}+18\\&=&(x-4)^{2}-16+18\\&=&(x-4)^{2}+2\\\end{array}}$

$g(x):$ [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden]

${\begin{array}{rll}g(x)&=&5x^{2}+30x+43\\&=&5(x^{2}+6x+8.6)\\&=&5(x^{2}+6x+3^{2}-3^{2}+8.6)\\&=&5[(x+3)^{2}-3^{2}+8.6]\\&=&5[(x+3)^{2}-0.4]\\&=&5(x+3)^{2}-2\end{array}}$

$h(x):$ [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden]

${\begin{array}{rll}h(x)&=&0.2x^{2}-0.6x+0.45\\&=&0.2(x^{2}-3x+2.25)\\&=&0.2(x^{2}-3x+1.5^{2}-1,5^{2}+2.25)\\&=&0.2(x-1.5)^{2}\end{array}}$

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Anwendungsaufgabe "Rakete"

Aufgabe 10 Rakete

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<popup name="Lösung zu a)"> ${\begin{array}{rll}f(0)&=&-0.2\cdot 0^{2}+8\cdot 0+18\\&=&18\end{array}}$
Das Dach, von dem die Rakete abgeschossen wird, ist 18 Meter hoch.

</popup>

<popup name="Lösung zu b)"> Nullstellenberechnung:
Dafür müssen wir im ersten Schritt beim Summanden $x^{2}$ den Vorfaktor eliminieren.
${\begin{array}{rlll}f(x)&=&-0.2x^{2}+8x+18&\mid :-0.2\\&=&x^{2}-40x-90\end{array}}$
Im zweiten Schritt benutzen wir die p-q-Formel, um die Nullstellen der Funktion zu bestimmen.
$\Rightarrow p=-40,q=-90$

${\begin{array}{rll}x_{1/2}&=&-{\frac {-40}{2}}\pm {\sqrt {{\left({\frac {-40}{2}}\right)}^{2}-(-90)}}\\&=&20\pm 22.14\\\end{array}}$
$\Rightarrow x_{1}=22.14+20=42.14$ und $x_{2}=-22.14+20=-2.14$
Da wir wissen wollen, wie weit die Rakete fliegen würde, bis sie auf dem Boden aufkommt, müssen wir nur den größeren x-Wert betrachten. Also kommt die Rakete nach ca. 42.14 Metern auf dem Boden auf.

</popup>

<popup name="Lösung zu c)"> Umwandeln in die Scheitelpunktform:
${\begin{array}{rlll}f(x)&=&-0.2x^{2}+8x+18&\mid -0.2\,vorklammern\\&=&-0.2(x^{2}-40x-90)&\mid quadratische\,Erg{\ddot {a}}nzung+20^{2}-20^{2}\\&=&-0.2(x^{2}-2\cdot 20x+20^{2}-20^{2}-90)&\mid 2.Binomische\,Formel\\&=&-0.2[(x-20)^{2}-490]&\mid ausmultiplizieren\\&=&-0.2(x-20)^{2}+98\end{array}}$
Der Scheitelpunkt liegt bei S(20|98), die maximale Höhe von 98 Metern wird also bei einer horizontalen Entfernung von 20 Metern erreicht. </popup>

<popup name="Lösung zu d)">

Scheitelpunkt einsetzen:
$f(x)=a(x-10)^{2}+120$
Schnittpunkt mit der y-Achse P(0|18) einsetzen, nach a auflösen:
${\begin{array}{rlll}f(0)&=&18\\a(0-10)^{2}+120&=&18\\100a+120&=&18&\mid -120\\a&=&-1.02\end{array}}$
a einsetzen:
$\Rightarrow f(x)=-1.02(x-10)^{2}+120$ </popup>

<popup name="Lösung zu Zusatzaufgabe*"> Wir müssen also den x-Wert zum zugehörigen f(x)=30 berechnen.
$30=-0.2x^{2}+8x+18\mid -30$
$\Leftrightarrow 0=-0.2x^{2}+8x-12$

${\begin{array}{rlll}0&=&-0.2x^{2}+8x-12&\mid :(-0.2)\\&=&x^{2}-40x+60\end{array}}$
$\Rightarrow p=-40,q=60$

${\begin{array}{rll}x_{1/2}&=&-{\frac {-40}{2}}\pm {\sqrt {{\left({\frac {-40}{2}}\right)}^{2}-60}}\\&=&20\pm 18.44\\\end{array}}$
$\Rightarrow x_{1}=18.44+20=38.44$ und $x_{2}=-18.44+20=1.56$
Die Rakete hat also theoretisch nach ca. 1.56 Metern und nach ca. 38.44 Metern eine Flughöhe von 30 Metern.

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