Digitale Werkzeuge in der Schule/Fit für VERA-8/Zinsrechnung/Zinseszins: Unterschied zwischen den Versionen
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|1=Erweiterung der Zinsformel | |1=Erweiterung der Zinsformel | ||
|2=Die Zinsformel kann | |2=Die Zinsformel kann auch für die Berechnung des Zinseszins genutzt werden: | ||
<math> K=100</math> € werden mit einem Zinssatz <math> p=5</math> % vier Jahre lang gespart. | <math> K=100</math> € werden mit einem Zinssatz <math> p=5</math> % vier Jahre lang gespart. | ||
<math>K_1</math> bezeichnet das Kapital nach einem Jahr, <math>K_2</math> nach zwei Jahren und so weiter. Damit ist <math>K_n</math> das Kapital nach <math>n</math> Jahren. | <math>K_1</math> bezeichnet das Kapital nach einem Jahr, <math>K_2</math> nach zwei Jahren und so weiter. Damit ist <math>K_n</math> das Kapital nach <math>n</math> Jahren. | ||
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Für das erste Jahr gilt | Für das erste Jahr gilt | ||
<math> K\cdot(1 + 1\cdot \frac{z}{100}) = K_1</math> | <math> K\cdot(1 + 1\cdot \frac{z}{100}) = K_1</math> | ||
<math> = 100</math>€<math>\cdot(1 + 1\cdot \frac{z}{100}) = 105</math>€. | Für <math>K = 100</math>€ folgt dann <math>100 </math>€<math>\cdot(1 + 1\cdot \frac{z}{100}) = 105</math>€. | ||
Für das zweite Jahr gilt dann | Für das zweite Jahr gilt dann | ||
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Das kann auch in einem Rechenschritt vereinfacht werden: | Das kann auch in einem Rechenschritt vereinfacht werden: | ||
Jetz setzen wir für <math> K_1</math>. die Formel für das erste Jahr | Jetz setzen wir für das Kapital nach einem Jahr <math> K_1</math>. die Formel für das erste Jahr <math> K\cdot(1 + 1\cdot \frac{z}{100}) = K_1</math> ein: | ||
<math> (K_1)\cdot(1 + 1\cdot \frac{z}{100}) = (K\cdot(1 + 1\cdot \frac{z}{100}))\cdot(1 + 1\cdot \frac{z}{100}) = K_2</math> | |||
<math> K_1\cdot(1 + 1\cdot \frac{z}{100}) = K\cdot(1 + 1\cdot \frac{z}{100})\cdot(1 + 1\cdot \frac{z}{100}) = K_2</math> | |||
Für das dritte Jahr ergibt sich dann | Für das dritte Jahr ergibt sich dann | ||
<math> | <math>K\cdot(1 + 1\cdot \frac{z}{100})\cdot(1 + 1\cdot \frac{z}{100})\cdot(1 + 1\cdot \frac{z}{100}) = K_3</math> | ||
Du kannst für jedes weitere Jahr einmal die Formel mit <math>\cdot(1 + 1\cdot \frac{z}{100})</math> multiplizieren. | Du kannst für jedes weitere Jahr einmal die Formel mit <math>\cdot(1 + 1\cdot \frac{z}{100})</math> multiplizieren. | ||
Noch kürzer lässt sich das als Potenz schreiben: | Noch kürzer lässt sich das als Potenz schreiben: | ||
<math> | <math>K\cdot(1 + 1\cdot \frac{z}{100})\cdot(1 + 1\cdot \frac{z}{100})= K\cdot(1 + 1\cdot \frac{z}{100})^2= K_2</math> | ||
oder für das dritte Jahr | oder für das dritte Jahr | ||
<math> | <math>K\cdot(1 + 1\cdot \frac{z}{100})\cdot(1 + 1\cdot \frac{z}{100})\cdot(1 + 1\cdot \frac{z}{100})= K\cdot(1 + 1\cdot \frac{z}{100})^3= K_3</math>. | ||
Für das <math>n</math>-te Jahr gilt dann | Für das <math>n</math>-te Jahr gilt dann | ||
<math> | <math>K\cdot(1 + 1\cdot \frac{z}{100})\cdot</math> ...<math>n</math>- mal ...<math>\cdot (1 + 1\cdot \frac{z}{100})= K\cdot(1 + 1\cdot \frac{z}{100})^n= K_n</math>. | ||
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{{Lösung versteckt|1= Mögliche Rechnung: <math>(800+x)\cdot(1 + 1\cdot \frac{4}{100})^4= 1170</math> | {{Lösung versteckt|1= Mögliche Rechnung: <math>(800+x)\cdot(1 + 1\cdot \frac{4}{100})^4= 1170</math> | ||
umstellen nach <math>x</math>: <math>(800+x)= 1170:(1 + 1\cdot \frac{4}{100})^4</math> | umstellen nach <math>x</math>: <math>(800+x)= 1170:(1 + 1\cdot \frac{4}{100})^4</math> | ||
<math>x= 1170:(1 + 1\cdot \frac{4}{100})^4-800=200{,}121</math> | Daraus folgt <math>x= 1170:(1 + 1\cdot \frac{4}{100})^4-800=200{,}121</math> | ||
Der zweite Bonus beträgt ungefähr <math>200</math>€. |2=Lösung zu 4. b)|3=Einklappen}} | Der zweite Bonus beträgt ungefähr <math>200</math>€. |2=Lösung zu 4. b)|3=Einklappen}} | ||
Version vom 26. November 2020, 14:45 Uhr
roter Graph | Entwicklung mit Zinseszins |
blauer Graph | Entwicklung mit Zinsen ohne Zinseszins |
grüner Graph | Entwicklung ohne Zinsen |
Hier gibt es kein richtig oder falsch. Dir ist bestimmt viel Unterschiedliches aufgefallen.
Hier sind nur einige Auffälligkeiten:
Am Anfang sind der rote und der blaue Graph fast gleich, erst ab etwa Jahren gibt es nennenswerte Unterschiede. Das bedeutet, dass es für die ersten Jahre fast keinen Unterschied macht, ob Clara Zinseszins bekommt oder nur einfache Zinsen.
Ab Jahren wird der Unterschied zwischen dem blauen und den roten Graphen immer größer. Das bedeutet, dass es langfristig einen erheblichen Unterschied macht, ob Clara Zinseszins bekommt oder nur einfachen Zins.
Der Unterschied zwischen dem blauen und roten Graphen wird mit den Jahren immer schneller größer. Das bedeutet: Je länger Clara spart, desto mehr Gewicht hat der Zinseszins gegenüber dem einfachen Zins.
{{Box | Aufgabe 4: Coronabonus | Detlef arbeitet als Krankenpfleger. Daher hat er einen Corona-Bonus von erhalten. Seine Frau ist Professorin, deshalb sind sie als Familie finanziell gut abgesichert. Er möchte deswegen des Corona-Bonuses sparen.
a) Seine Bankberaterin bei der SparBank sagt ihm: "Bei uns bekommen Sie so viel Zinsen, dass Sie nach vier Jahren schon ungefähr 136 Euro mehr haben." Wie hoch liegt der Zinssatz bei der SparBank?
mögliche Rechnung:
Detlef erhällt vier Prozent Zinsen pro Jahr.b) Detlef entscheidet sich sein Geld bei der SparBank anzulegen. Er erhällt durch den zweiten Lockdown eine weitere Bonuszahlung, sodass er nach vier Jahren schon ungefähr hätte. Wie groß ist diese Bonuszahlung?
Mögliche Rechnung:
umstellen nach : Daraus folgt
Der zweite Bonus beträgt ungefähr €.c) Detlef ruft danach noch bei der GrünBank an. Die Bankberaterin der GrünBank unterbreitet ihm folgendes Angebot:" Bei uns können Sie zwischen zwei Angeboten auswählen. Wir können ihnen einerseits das kurzsparer Angebot, bei dem Sie jedes halbe Jahr zwei Prozent Zinsen erhalten anbieten. Sie können alternativ das langsparer Angebot annehmen, bei dem Sie nach 5 Jahren Prozent Zinsen erhalten, wenn das ihr Geld die vollen fünf Jahre auf ihrem Konto verweilt." Zu welchem Angebot würdest du Detlef raten, um seine € bestmöglichst anzulegen? Zur Auswahl stehen das von der Sparbank, das kurzsparer Angebot und das langsparer Angebot der Grünbank?
Es gibt nicht die eine richtige Lösung. Hier sind einige mögliche Argumente, aber du hast vielleicht auch andere gute Argumente gefunden:
Bei zwei Prozent Zinsen halbjährlich ist Detlef am flexibelsten, da er nicht ein ganzes bzw. fünf Jahre warten muss um die Zinsen zu bekommen.
Bei zwei Prozent Zinsen alle 6 Monate bekommt er mehr Geld als bei vier Prozent Zinsen jährlich, weil er dann jedes Jahr zwei mal zwei Prozent (also vier Prozent) auf sein Startkapital und dazu am Ende des Jahres schon die die Zinseszinsen des ersten Halbjahres bekommt.
Rechnerischer Vergleich nach fünf Jahren: SparBank: GrünBank kurzsparer:
GrünBank langsparer:d) Die Pflegekräfte leisten sowohl in der Pandemie, als auch in Zeiten ohne Pandemie Herausragendes und werden schlecht bezahlt. Deswegen gibt es zusätzlich zu den Bonuszahlungen eine längst überfällige Lohnerhöhung. Da Detlef nur eine halbe Stelle hat, weil er sich um die Tochter kümmert, bekommt er Euro zusätzlich im Monat. Diese Euro spart er zusätzlich zu den €. Wieviel Geld hat er jetzt insgesamt nach drei Jahren auf seinem Konto, wenn er bei der SparBank spart?
Mögliche Rechnung: nach einem Jahr: nach zwei Jahren: nach drei Jahren:
Detlef hat nach drei Jahren mit der Lohnerhöhung <1709{,}23> € auf seinem KontoLink zum nächsten Kapitel:
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