Digitale Werkzeuge in der Schule/Fit für VERA-8/Zinsrechnung: Unterschied zwischen den Versionen
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===Zinseszins=== | |||
{{Box | |||
|1=Info | |||
|2=In diesem Abschnitt lernst du mit dem Zinseszins umzugehen. Der Zinseszins tritt auf, wenn du dein Geld mehrere Jahre auf deinem Konto lässt und jedes Jahr aufs Neue Zinsen bekommst und diese Zinsen auch auf deinem Konto lässt. Dann erhältst du nämlich auf das Geld, dass du durch die Zinsen bekommst wieder neue Zinsen - den Zinseszins. | |||
Bei den Aufgaben unterscheiden wir folgende Typen: | |||
* In Aufgaben, die '''<span style="color: #F19E4F">orange</span>''' gefärbt sind, kannst du '''grundlegende Kompetenzen''' wiederholen und vertiefen. | |||
* Aufgaben in '''<span style="color: #5E43A5">blauer</span>''' Farbe sind '''Aufgaben mittlerer Schwierigkeit'''. | |||
* Und Aufgaben mit '''<span style="color: #89C64A">grünem</span>''' Streifen sind '''Knobelaufgaben'''. | |||
Viel Erfolg!}} | |||
{{Box|1=Beispiel|2=Clara hat von ihrem Opa <math>100</math> Euro zum 10. Gebutstag bekommen und legt diese <math>100</math> € für auf ihrem Sparbuch an bis sie 18 Jahre alt ist. Sie bekommt jedes Jahr <math>5</math> % Zinsen. Clara hebt das Geld, das sie von den Zinsen bekommt nicht ab, sondern lässt es auf dem Konto und zahlt auch kein weiteres Geld ein. | |||
{{(!}} class="wikitable" | |||
{{!+}} Die Entwicklung von Claras Kontostand | |||
! Jahr | |||
! Startkapital | |||
! Zinsen | |||
! Endkapital | |||
! Rechnung | |||
{{!-}} | |||
{{!}} <math>1</math> | |||
{{!}} <math>100{,}00</math> € | |||
{{!}} <math>5{,}00</math> € | |||
{{!}} <math>105{,}00</math> € | |||
{{!}} <math>100\cdot \frac{5}{100}</math> € | |||
{{!-}} | |||
{{!}} <math>2</math> | |||
{{!}} <math>105{,}00</math> € | |||
{{!}} <math>5{,}25</math> € | |||
{{!}} <math>110{,}25</math> € | |||
{{!}} <math>105\cdot \frac{5}{100}</math> € | |||
{{!-}} | |||
{{!}} <math>3</math> | |||
{{!}} <math>110{,}25</math> € | |||
{{!}} <math>5{,}51</math> € | |||
{{!}} <math>115{,}76</math> € | |||
{{!}} <math>110{,}25\cdot \frac{5}{100}</math> € | |||
{{!-}} | |||
{{!}} <math>4</math> | |||
{{!}} <math>115{,}76</math> € | |||
{{!}} <math>5{,}79</math> € | |||
{{!}} <math>121{,}55</math> € | |||
{{!}} <math>115{,}76\cdot \frac{5}{100}</math> € | |||
{{!-}} | |||
{{!}} <math>5</math> | |||
{{!}} <math>121{,}55</math> € | |||
{{!}} <math>6{,}08</math> € | |||
{{!}} <math>127{,}63</math> € | |||
{{!}} <math>121{,}55\cdot \frac{5}{100}</math> € | |||
{{!-}} | |||
{{!}} <math>6</math> | |||
{{!}} <math>127{,}63</math> € | |||
{{!}} <math>6{,}39</math> € | |||
{{!}} <math>134{,}01</math> € | |||
{{!}} <math>127{,}63\cdot \frac{5}{100}</math> € | |||
{{!-}} | |||
{{!}} <math>7</math> | |||
{{!}} <math>134{,}01</math> € | |||
{{!}} <math>6{,}70</math> € | |||
{{!}} <math>140{,}71</math> € | |||
{{!}} <math>134{,}01\cdot \frac{5}{100}</math> € | |||
{{!-}} | |||
{{!}} <math>8</math> | |||
{{!}} <math>140{,}71</math> € | |||
{{!}} <math>7{,}04</math> € | |||
{{!}} <math>147{,}75</math> € | |||
{{!}} <math>140{,}71\cdot \frac{5}{100}</math> € | |||
{{!-}} | |||
{{!)}} | |||
|3=Hervorhebung1}} | |||
<br /> | |||
{{Box | 1=Aufgabe 1: Vergleich Zins und Zinseszins |2= Hier ist ein Diagramm von der Entwicklung von Claras Kontostand aus dem Beispiel für <math>50</math> Jahre dargestellt. | |||
[[Datei:Claras Kontostand v 3.png|600px|right|Claras Kontostand]] | |||
'''a)''' Ordne den Graphen die verschiedenen Entwicklungen zu. | |||
<div class="zuordnungs-quiz"> | |||
{{{!}} | |||
{{!}}roter Graph{{!}}{{!}}Entwicklung mit Zinseszins | |||
{{!}}- | |||
{{!}}blauer Graph{{!}}{{!}}Entwicklung mit Zinsen ohne Zinseszins | |||
{{!}}- | |||
{{!}}grüner Graph{{!}}{{!}}Entwicklung ohne Zinsen | |||
{{!}}} | |||
</div> | |||
'''b)''' Was fällt dir bei der Betrachtung der verschiedenen Verläufe der Graphen auf? Was bedeuten diese Auffäligkeiten für Claras Kontostand? | |||
{{Lösung versteckt|1= Schaue dir vor allem die Unterschiede zwischen der Entwicklung mit Zinseszinsen und der Entwicklung mit Zinsen, aber ohne Zinseszinsen an. Was bedeuten die Abstände zwischen den Graphen für Claras Kontostand?|2=Allgemeiner Tipp zu Aufgabe 1. b) |3=Einklappen}} | |||
{{Lösung versteckt|1= Hier gibt es kein richtig oder falsch. Dir ist bestimmt viel Unterschiedliches aufgefallen. | |||
Hier sind nur einige Auffälligkeiten: | |||
Am Anfang sind der rote und der blaue Graph fast gleich, erst ab etwa <math>10</math> Jahren gibt es nennenswerte Unterschiede. Das bedeutet, dass es für die ersten Jahre fast keinen Unterschied macht, ob Clara Zinseszins bekommt oder nur einfache Zinsen. | |||
Ab <math>10</math> Jahren wird der Unterschied zwischen dem blauen und den roten Graphen immer größer. Das bedeutet, dass es langfristig einen erheblichen Unterschied macht, ob Clara Zinseszins bekommt oder nur einfachen Zins. | |||
Der Unterschied zwischen dem blauen und roten Graphen wird mit den Jahren immer schneller größer. Das bedeutet: Je länger Clara spart, desto mehr Gewicht hat der Zinseszins gegenüber dem einfachen Zins. |2=Lösung zu 1. b)|3=Einklappen}} | |||
| 3=Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }} | |||
{{Box | Aufgabe 2: Rechnen mit und ohne Zinseszins | | |||
Maja hat inzwischen <math> 900</math> € gespart. Sie ist 13 Jahre alt und möchte dieses Geld für ihren Führerschein anlegen. Sie bekommt von der Bank 6% Zinsen pro Jahr. Ein Führerschein kostet ungefähr <math> 1125</math> €. | |||
'''a)''' Hat Maja mit 17 Jahren genügend Geld auf ihrem Konto, um den Führerschein zu bezahlen? | |||
{{Lösung versteckt|1= Ein schrittweises Vorgehen hilft. |2=kleiner Tipp zu Aufgabe 2 a) |3=Einklappen}} | |||
{{Lösung versteckt|1= Du kannst damit beginnen auszurechnen wieviel Geld Maja nach einem Jahr hat. Dieses errechnete Geld ist dann das Kapital für das zweite Jahr, so kannst du das zweite Jahr berechnen und bekommst dann das Kapital für das dritte Jahr raus. Du kannst das so lange fortführen, bis Maja <math>17</math> Jahre alt ist. |2=großer Tipp zu Aufgabe 2 a) |3=Einklappen}} | |||
{{Lösung versteckt|1= Maja hat mit 17 Jahren genügend Geld auf ihrem Konto für den Führerschein. Nach einem Jahr hat sie <math>954</math>€, nach zwei Jahren <math>1011{,}24</math> €, nach drei Jahren<math>1071{,}94</math> € und nach vier Jahren dann <math>1136{,}23</math> €.|2=Lösung zu 2. a)|3=Einklappen}} | |||
'''b)''' Wieviel Geld hätte Maja mit 17 Jahren, wenn sie statt <math> 6</math> % nur <math>4</math> % Zinsen bekommen würde? | |||
{{Lösung versteckt|1= Wo liegt der Unteschied zu Aufgabe 2 a)? |2=kleiner Tipp zu Aufgabe 2 b) |3=Einklappen}} | |||
{{Lösung versteckt|1= Diese Aufgabe kannst du genauso Lösen wie Aufgabe 2 a), nur der Wert für <math>p</math> und damit auch der für <math>Z</math> ist anders.|2=großer Tipp zu 2. b)|3=Einklappen}} | |||
{{Lösung versteckt|1= Maja hätte nach einem Jahr <math>936</math> €, nach zwei Jahren <math>973{,}44</math> €, nach drei Jahren<math>1012{,}38</math> € und nach vier Jahren dann <math>1052{,}87</math> € auf ihrem Konto.|2=Lösung zu 2. b)|3=Einklappen}} | |||
'''c)''' Wie lange müsste Maja warten, bis sie ihren Führerschein bei <math>4</math> % Zinsen bezahlen könnte? | |||
{{Lösung versteckt|1= Reicht ihr Geld mit <math>17</math> Jahren? Wie ist es mit <math>18</math> oder <math>19</math> Jahren?|2=kleiner Tipp zu Aufgabe 2 c) |3=Einklappen}} | |||
{{Lösung versteckt|1= Du kannst dein Ergebnis aus Aufgabe 2 b) verwenden und dann wie in der Aufgabe 2 b) weiterrechnen bis Maja genügend Geld für ihren Führerschein beisammen hat.|2=großer Tipp zu 2 c)|3=Einklappen}} | |||
{{Lösung versteckt|1= Maja hätte mit <math>17</math> Jahren erst <math>1052{,}87</math> € auf ihrem Konto. Mit <math>18</math> Jahren hätte sie dann <math>1094{,}99</math> € und mit <math>19</math> Jahren dann <math>1138{,}79</math> € auf ihrem Konto. Der Führerschein kostet ungefähr <math> 1125</math> €, somit müsste Maja <math>6</math> Jahre lang warten bis sie genügend Geld für den Führerschein beisammen hat.|2=Lösung zu 2 c)|3=Einklappen}} | |||
'''d)''' Maja überlegt, ob sie das Geld, das sie jedes Jahr an Zinsen bekommt immer abheben soll und in ihre Spardose wirft. Was würdest du ihr raten? | |||
{{Lösung versteckt|1= Ändert das etwas an den Zinsen, die Maja bekommt?|2=kleiner Tipp zu Aufgabe 2 d) |3=Einklappen}} | |||
{{Lösung versteckt|1= Auf welches Geld bekommt Maja dann jedes Jahr Zinsen? Wieviel Zinsen würde sie dann jedes Jahr bekommen? Was bedeutet das für ihren Führerschein?|2=großer Tipp zu 2 d)|3=Einklappen}} | |||
{{Lösung versteckt|1= Es gibt hierfür keine eindeutige Lösung. Hier ist eine mögliche Argumentation. Du hast jedoch möglicherweise eine andere gute Argumentation gefunden: Wenn Maja das so macht, dann würde sie jedes Jahr nur auf ihre <math>900</math> € Zinsen bekommen und keine Zinseszinsen. Sie würde bei <math>6</math> % dann jedes Jahr <math>54</math> € bekommen. Nach vier Jahren hätte Maja <math>1116</math> €. Das würde nicht für den Führerschein reichen.|2=Lösung zu 2 d)|3=Einklappen}} | |||
| Arbeitsmethode }} | |||
{{Box | |||
|1=erweiterte Zinsformel für den Zinseszins | |||
|2=Die Zinsformel kann auch für die Berechnung des Zinseszins genutzt werden: | |||
<math> K=100</math> € werden mit einem Zinssatz <math> p=5</math> % vier Jahre lang gespart. | |||
<math>K_1</math> bezeichnet das Kapital nach einem Jahr, <math>K_2</math> nach zwei Jahren und so weiter. Damit ist <math>K_n</math> das Kapital nach <math>n</math> Jahren. | |||
{{Lösung versteckt|1= | |||
Für das erste Jahr lässt sich das Kapital so berechnen: | |||
<math> K\cdot(1 + 1\cdot \frac{z}{100}) = K_1</math> | |||
Für <math>K = 100</math> € folgt dann <math>100 </math>€<math>\cdot(1 + 1\cdot \frac{z}{100}) = 105</math> €. | |||
Für das zweite Jahr lässt sich das Kapital so berechnen: | |||
<math> K_1\cdot(1 + 1\cdot \frac{z}{100}) = K_2</math> | |||
<math> = 105</math> € <math>\cdot(1 + 1\cdot \frac{z}{100}) = 110{,}25</math> €. |2=Bisherige Rechenweise |3=Einklappen}} | |||
{{Lösung versteckt|1= Das kann auch in einem Rechenschritt vereinfacht werden: | |||
Jetz setzen wir für das Kapital nach einem Jahr <math> K_1</math> in die Formel für das erste Jahr <math> K\cdot(1 + 1\cdot \frac{z}{100}) = K_1</math> ein: | |||
<math> (K_1)\cdot(1 + 1\cdot \frac{z}{100}) = (K\cdot(1 + 1\cdot \frac{z}{100}))\cdot(1 + 1\cdot \frac{z}{100}) = K_2</math> | |||
Für das dritte Jahr ergibt sich dann | |||
<math>K\cdot(1 + 1\cdot \frac{z}{100})\cdot(1 + 1\cdot \frac{z}{100})\cdot(1 + 1\cdot \frac{z}{100}) = K_3</math> | |||
Du kannst für jedes weitere Jahr einmal die Formel mit <math>(1 + 1\cdot \frac{z}{100})</math> multiplizieren.|2=Vereinfachen |3=Einklappen}} | |||
{{Lösung versteckt|1= Noch kürzer lässt sich das als Potenz schreiben: | |||
<math>K\cdot(1 + 1\cdot \frac{z}{100})\cdot(1 + 1\cdot \frac{z}{100})= K\cdot(1 + 1\cdot \frac{z}{100})^2= K_2</math> | |||
oder für das dritte Jahr | |||
<math>K\cdot(1 + 1\cdot \frac{z}{100})\cdot(1 + 1\cdot \frac{z}{100})\cdot(1 + 1\cdot \frac{z}{100})= K\cdot(1 + 1\cdot \frac{z}{100})^3= K_3</math>. | |||
Für ein beliebiges Jahr, das Jahr Nummer <math>n</math> wird dann <math>K</math> insgesamt <math>n</math>-mal mit dem Faktor <math>1 + 1\cdot \frac{z}{100}</math> multipliziert: | |||
<math>K\cdot(1 + 1\cdot \frac{z}{100})\cdot</math> ... <math>n</math>- mal ...<math>\cdot (1 + 1\cdot \frac{z}{100})= K\cdot(1 + 1\cdot \frac{z}{100})^n= K_n</math>.|2=Die erweiterte Zinsformel |3=Einklappen}} | |||
|3=Merksatz}} | |||
{{Box | Aufgabe 3: Anwendung der erweiterten Zinsformel | | |||
Schauen wir uns nochmal die Situation von Maja aus der letzten Aufgabe an. | |||
a) Angenommen Maja bekommt weiterhin <math>6</math> % Zinsen, aber macht doch kein Führerschein und spart das Geld einfach weiterhin. Wieviel Geld hätte sie dann nach <math>6</math> Jahren gespart? | |||
{{Lösung versteckt|1= Nutze die erweiterte Zinsformel.|2=kleiner Tipp zu 3 a)|3=Einklappen}} | |||
{{Lösung versteckt|1= Mache dir noch einmal klar wofür <math>K{,}z{,}n</math> und <math>K_n</math> stehen. Welche Werte sind das in diesem Beispiel?|2=großer Tipp zu 3 a)|3=Einklappen}} | |||
{{Lösung versteckt|1= Hier ist der Rechenweg mit der erweiterten Zinsformel. | |||
<math>K\cdot(1 + 1\cdot \frac{z}{100})^n= K_n</math> mit <math>K=900</math>, <math>z=6</math> und <math>n=20</math> lässt sich das dann so berechnen: | |||
<math>900\cdot(1 + 1\cdot \frac{6}{100})^{20}= 2886,42</math> | |||
Maja hätte nach <math>20</math> Jahren <math>2886,42</math> € gespart. |2=Lösung zu 3 a)|3=Einklappen}} | |||
b) Ein realistischer Zinssatz beträgt zurzeit eher <math>0{,}3</math> % Zinsen. Könnte Maja jemals mit ihrem Erspartem bei so einem Zinssatz ihren Führerschein bezahlen? | |||
Wieviel Geld hätte sie mit <math>17</math> , <math>50</math> oder <math>100</math> Jahren? | |||
{{Lösung versteckt|1= Nutze unbedingt die erweiterte Zinsformel.|2=kleiner Tipp zu 3 a)|3=Einklappen}} | |||
{{Lösung versteckt|1= Mache dir noch einmal klar wofür <math>K{,}z{,}n</math> und <math>K_n</math> stehen. Welche Werte sind das in diesem Beispiel?|2=großer Tipp zu 3 a)|3=Einklappen}} | |||
{{Lösung versteckt|1= Hier sind die Rechenwege mit der erweiterten Zinsformel. | |||
Mit <math>17</math> Jahren hat Maja <math>900 </math> €<math>\cdot(1 + 1\cdot \frac{0{,}3}{100})^{4}= 910{,}85</math> €. | |||
Mit <math>50</math> Jahren hat Maja <math>900 </math> €<math>\cdot(1 + 1\cdot \frac{0{,}3}{100})^{37}= 1005{,}49</math> €. | |||
Mit <math>100</math> Jahren hat Maja <math>900 </math> €<math>\cdot(1 + 1\cdot \frac{0{,}3}{100})^{87}= 1167{,}95</math> €. | |||
Maja könnte mit dem Ersparten zwar noch ihren Führerschein bezahlen, jedoch ist sie dann schon im Rentenalter. |2=Lösung zu 3 a)|3=Einklappen}} | |||
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }} | |||
{{Box | Aufgabe 4: Coronabonus | | |||
Detlef arbeitet als Krankenpfleger. Daher hat er einen Corona-Bonus von <math>1000\euro</math> erhalten. Seine Frau ist Professorin, deshalb sind sie als Familie finanziell gut abgesichert. Er möchte deswegen <math>800\euro</math> des Corona-Bonuses sparen. | |||
'''a)''' Seine Bankberaterin bei der SparBank sagt ihm: "Bei uns bekommen Sie so viel Zinsen, dass Sie nach vier Jahren schon ungefähr 136 Euro mehr haben." Wie hoch liegt der Zinssatz bei der SparBank? | |||
{{Lösung versteckt|1= Manchmal hilft es abzuschätzen und dann auszuprobieren|2=kleiner Tipp zu 4 a)|3=Einklappen}} | |||
{{Lösung versteckt|1= Die Zinsen bei einer Bank liegen irgendwo zwischen <math>2</math> % und <math>7</math> %. Du kannst dich durch Ausprobieren an die Lösung rantasten.|2=großer Tipp zu 4 a)|3=Einklappen}} | |||
{{Lösung versteckt|1= mögliche Rechnung: <math>800\cdot(1 + 1\cdot \frac{4}{100})^4= 935{,}89</math> | |||
Detlef erhällt vier Prozent Zinsen pro Jahr. |2=Lösung zu 4 a)|3=Einklappen}} | |||
'''b)''' Detlef entscheidet sich sein Geld bei der SparBank anzulegen. Er erhällt durch den zweiten Lockdown eine weitere Bonuszahlung, sodass er nach vier Jahren schon ungefähr <math>1170\euro</math> hätte. Wie groß ist diese Bonuszahlung? | |||
{{Lösung versteckt|1= Wie groß ist der Unterschied zwischen dem Geld nach vier Jahren mit und ohne Bonuszahlung? Was sagt dieser Unterschied über die Bonuszahlung aus?|2=kleiner Tipp zu 4 b)|3=Einklappen}} | |||
{{Lösung versteckt|1= Aus dem Unterschied zwischen dem Geld nach vier Jahren mit und ohne Bonuszahlung kannst du errechnen wie hoch diese Bonuszahlung ist. Der Unterschied setzt sich nur aus der Bonuszahlung und den Zinsen und Zinseszinsen dieser zusammen.|2=großer Tipp zu 4 b)|3=Einklappen}} | |||
{{Lösung versteckt|1= Mögliche Rechnung: <math>(800+x)\cdot(1 + 1\cdot \frac{4}{100})^4= 1170</math> | |||
umstellen nach <math>x</math>: <math>(800+x)= 1170:(1 + 1\cdot \frac{4}{100})^4</math> | |||
Daraus folgt <math>x= 1170:(1 + 1\cdot \frac{4}{100})^4-800=200{,}121</math> | |||
Der zweite Bonus beträgt ungefähr <math>200</math> €. |2=Lösung zu 4 b)|3=Einklappen}} | |||
'''c)''' Detlef ruft danach noch bei der GrünBank an. Die Bankberaterin der GrünBank unterbreitet ihm folgendes Angebot:" Bei uns können Sie zwischen zwei Angeboten auswählen. Wir können ihnen einerseits das kurzsparer Angebot, bei dem Sie jedes halbe Jahr zwei Prozent Zinsen erhalten anbieten. Sie können alternativ das langsparer Angebot annehmen, bei dem Sie nach 5 Jahren <math>22</math> Prozent Zinsen erhalten, wenn das ihr Geld die vollen fünf Jahre auf ihrem Konto verweilt." Zu welchem Angebot würdest du Detlef raten, um seine <math>1000</math> € bestmöglichst anzulegen? Zur Auswahl stehen das von der Sparbank, das kurzsparer Angebot und das langsparer Angebot der Grünbank? | |||
{{Lösung versteckt|1= Wo bekommt er mehr Geld? Gibt es noch andere Aspekte die wichtig sein können?|2=kleiner Tipp zu 4 c)|3=Einklappen}} | |||
{{Lösung versteckt|1=Du kannst gucken wie groß der Unterschied des Geldes nach einem, zwei und fünf Jahren ist. Was passiert, wenn Detlef das Geld nach 4 Jahren abhebt?|2=großer Tipp zu 4 c)|3=Einklappen}} | |||
{{Lösung versteckt|1= Es gibt nicht die eine richtige Lösung. Hier sind einige mögliche Argumente, aber du hast vielleicht auch andere gute Argumente gefunden: | |||
Bei zwei Prozent Zinsen halbjährlich ist Detlef am flexibelsten, da er nicht ein ganzes bzw. fünf Jahre warten muss um die Zinsen zu bekommen. | |||
Bei zwei Prozent Zinsen alle 6 Monate bekommt er mehr Geld als bei vier Prozent Zinsen jährlich, weil er dann jedes Jahr zwei mal zwei Prozent (also vier Prozent) auf sein Startkapital und dazu am Ende des Jahres schon die die Zinseszinsen des ersten Halbjahres bekommt. | |||
Rechnerischer Vergleich nach fünf Jahren: | |||
SparBank:<math>1000\cdot(1 + 1\cdot \frac{4}{100})^5= 1216{,}65</math> | |||
GrünBank kurzsparer:<math>1000\cdot(1 + 1\cdot \frac{2}{100})^{5*2}= 1218{,}99</math> | |||
GrünBank langsparer:<math>1000\cdot(1 + 1\cdot \frac{22}{100})= 1220</math> | |||
|2=Lösung zu 4 c)|3=Einklappen}} | |||
'''d)''' Die Pflegekräfte leisten sowohl in der Pandemie, als auch in Zeiten ohne Pandemie Herausragendes und werden schlecht bezahlt. Deswegen gibt es zusätzlich zu den Bonuszahlungen eine längst überfällige Lohnerhöhung. Da Detlef nur eine halbe Stelle hat, weil er sich um die Tochter kümmert, bekommt er <math>15</math> Euro zusätzlich im Monat. Diese <math>15</math> Euro spart er zusätzlich zu den <math>1000</math> €. Wieviel Geld hat er jetzt insgesamt nach drei Jahren auf seinem Konto, wenn er bei der SparBank spart? | |||
{{Lösung versteckt|1= Aus welchen Teilen setzt sich Detlefs Kontostand am Ende jeden Jahres zusammen?|2=kleiner Tipp zu 4 d)|3=Einklappen}} | |||
{{Lösung versteckt|1= Detlef zahlt jedes Jahr zusätzliches Geld auf sein Konto zum Sparen ein. Auch für dieses Geld erhält er ab dann Zinsen.|2=großer Tipp zu 4 d)|3=Einklappen}} | |||
{{Lösung versteckt|1= Mögliche Rechnung: | |||
nach einem Jahr: <math>(1000+15\cdot12)\cdot\left(1 + 1\cdot \frac{4}{100}\right)= 1227{,}2</math> | |||
nach zwei Jahren: <math>(1227{,}2+15\cdot 12)\cdot\left(1 + 1\cdot \frac{4}{100}\right)= 1463{,}49</math> | |||
nach drei Jahren: <math>(1463{,}49+15\cdot 12)\cdot\left(1 + 1\cdot \frac{4}{100}\right)= 1709{,}23</math> | |||
Detlef hat nach drei Jahren mit der Lohnerhöhung <math>1709{,}23</math> € auf seinem Konto | |||
|2=Lösung zu 4 d)|3=Einklappen}} | |||
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} }} | |||
===Appendix für den Fall das auffällt, dass ein Kapitel für eine einzige Seite zuviel ist=== | |||
Diese Seite dient zur Übersicht zu allen Seiten des '''Lernpfads Zinsrechnung'''. | Diese Seite dient zur Übersicht zu allen Seiten des '''Lernpfads Zinsrechnung'''. | ||
Version vom 29. November 2020, 16:06 Uhr
Einführung
Das wirst du heute lernen:
- Was Zinsen, Zinseszinz, Zinssatz und Kapital sind.
- Was die Zinsformel ist und wieso sie so lautet.
- Wie du die Zinsformel im Alltag benutzen kannst.
- Wie du die Zinsformel in Sachaufgaben anwenden kannst.
Das solltest du schon können
Damit du da alles hier möglichst schnell lernen kannst, erklären wir einige Dinge weniger ausführlich. Die setzen wir dann voraus.
- Bruchrechnung: Du solltest grob wissen, wie man mit Brüchen rechnet.
- Prozentrechnung: Du solltest wissen, wie du den Prozentwert, Grundwert und Prozentsatz berechnen kannst.
- Termumformungen: Du solltest Terme mithilfe von Termumformungen nach einer Unbekannten auflösen können.
Prozentrechnung
Zinsen zu berechnen ist eigentlich nur Prozentrechnung - mit etwas anderem Namen. Die Formel aus der Prozentrechnung kennst du ja schon:
.
Dabei ist der Prozentwert, der Grundwert und der Prozentsatz. Möchtest du zum Beispiel wissen, was von g Mehl sind, rechnest du das mit genau dieser Formel aus:
.
Zinsrechnung Alltagsbeispiele
Hier wirst du anhand von zwei Beispielen lernen, wo Zinsen im Alltag zu finden sind.
Du bist im Alltag bestimmt schon einmal Zinsen begegnet. Heutzutage hat jeder ein Konto und/oder ein Sparbuch. Das Geld, dass du dort einzahlst, wird verzinst. D.h. du erhälst Geld dafür, dass das Geld bei deiner Bank ist. Diese Zinsen sind natürlich nicht sehr hoch. Die Zinsformel wirst du später noch genauer kennen lernen.
Außerdem, wenn du oder jemand in deinem Umfeld etwas Größeres kaufen möchte, spielen auch hier Zinsen eine große Rolle. Beim Kauf eines Hauses, einer Wohnung, einem Auto, einem Motorrad, einem Computer, einer Solaranlage und und und wird in der Regel ein Kredit benötigt, denn nur die wenigsten haben beispielsweise 100.000 € irgendwo rumliegen. Zinsen von Krediten musst du der Bank zusätzlich bezahlen. Sie sind sozusagen der Preis für den Kredit.
Zinsformel
In der Zinsrechnung berechnen wir nun ebenfalls den Prozentwert von einem bestimmten Geldbetrag. Statt Prozentsatz sagen wir also Zinssatz und anstelle von Grundwert sprechen wir nun von Kapital. Zuletzt sind die Zinsen dann der Prozentwert. Statt mit aufwändigen Worten zu rechnen, kürzen wir diese Begriffe nun (wie in der Mathematik üblich) mit einem Buchstaben ab:
Dabei sind die Zinsen, das Kapital und der Zinssatz. Als Formel ergibt sich somit:
Beispielaufgabe zur Zinsformel mit Lösung
Probieren wir die Zinsformel doch mal zusammen anhand eines Beispiels aus:
Lösung:
Gegeben: €, .
Gesucht: Kapital nach einem Jahr.
Rechnung: Um das Kapital nach einem Jahr zu bestimmen, berechnen wir zunächst die Zinsen:. Nach einem Jahr hat sie demnach das Kapital von ihrem Geburtstag plus die Zinsen, , auf dem Konto.
Antwort: Katharina hat an ihrem nächsten Geburtstag € auf dem Konto.
berechnen geht sogar noch schneller
In der Beispielaufgabe haben wir am Ende das Kapital noch mit den Zinsen verrechnet. Das können wir auch direkt in einer einzelnen Rechnung machen:
.
.
.
.
In eurem Buch wird als abgekürzt. Es ist allerdings euch überlassen, ob ihr das lieber ausschreiben möchtet oder eben abkürzen wollt.
Probieren wir diese Formel doch direkt mal aus mit € und aus der Beispielaufgabe "Katharinas Geburtstag" aus.
.
Damit können wir mit dieser Formel also das berechnen der Zinsen, sowie das addieren der Zinsen zu dem bestehenden Kapital überspringen. Wie in der Lösung kommen wir also auch auf € kommen.
Aufgaben
Zinseszins
Appendix für den Fall das auffällt, dass ein Kapitel für eine einzige Seite zuviel ist
Diese Seite dient zur Übersicht zu allen Seiten des Lernpfads Zinsrechnung.
Um mit dem Lernpfad zu starten, beginne mit der Einführung.
Einführung: Das müsst ihr können:
Digitale Werkzeuge in der Schule/Fit für VERA-8/Zinsrechnung/Einführung
Alltagsbeispiele: Hier begegnen euch Zinsen im Alltag:
Digitale Werkzeuge in der Schule/Fit für VERA-8/Zinsrechnung/Alltagsbeispiele
Zinsformel: Hier wird euch die Formel erklärt:
Digitale Werkzeuge in der Schule/Fit für VERA-8/Zinsrechnung/Zinsformel
Zinseszins: Jetzt wird es spannend:
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Abschlussvideo: Was anschauliches zum Schluss:
Digitale Werkzeuge in der Schule/Fit für VERA-8/Zinsrechnung/Abschlussvideo
Projekt von Ole W., David B. und Alexander A.