Digitale Werkzeuge in der Schule/Fit für VERA-8/Volumen und Oberfläche des Prismas: Unterschied zwischen den Versionen
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|Beispiellösung| Einklappen}}|3= Arbeitsmethode}} | |Beispiellösung| Einklappen}}|3= Arbeitsmethode}} | ||
{{Box |1= Veranschaulichung|2= Bewege den Regler "'''n'''", um die Grundflächen des Prismas zu verändern und den Regler "'''Öffnen'''", um zwischen Prisma und Körpernetz zu wechseln. | {{Box |1= Veranschaulichung|2= Bewege den Regler "'''n'''", um die Grundflächen des Prismas zu verändern und den Regler "'''Öffnen'''", um zwischen Prisma und Körpernetz zu wechseln. Überlege dir, wie die Anzahl der Seitenflächen mit der Grundfläche zusammenhängt. <ggb_applet id="eUWDfCAb" width="800" height="600" border="888888" /> | ||
{{Lösung versteckt|Die Anzahl der Seitenflächen des Prismas stimmt mit der Anzahl der Ecken der Grundfläche überein. | |||
|Erklärung| Einklappen}}|3= Hervorhebung1}} | |||
{{Box|1= Aufgabe 4: | {{Box|1= Aufgabe 4: Zusammenfassung|2= Vielleicht sind dir bei den bisherigen Aufgaben schon Besonderheiten des Prismas und Unterschiede oder Gemeinsamkeiten zu anderen Körpern aufgefallen. Um dein Wissen zu vertiefen und das Erlernte zu festigen, fülle den folgenden Lückentext aus, indem du die korrekten Wörter in die jeweiligen Lücken ziehst. | ||
<div class="lueckentext-quiz"> | <div class="lueckentext-quiz"> | ||
Das Prisma besteht aus zwei '''Grundflächen''', die '''deckungsgleich und parallel''' zueinander liegen. Der Abstand der Grundflächen zueinander wird als '''Höhe''' des Prismas bezeichnet. Miteinander verbunden werden die Grundflächen durch '''Rechtecke''', die '''Seitenflächen''' genannt werden. Addierst du die '''Flächeninhalte''' aller Seitenflächen, erhältst du die '''Mantelfläche''' des Prismas. Im Vergleich mit anderen geometrischen Körpern fällt auf, dass alle '''Quader und Würfel''' Prismen sind, aber nicht jedes Prisma ein '''Quader oder Würfel''' ist. Und im Gegensatz zum '''Zylinder''', der runde Grundflächen hat, sind die Grundflächen des Prismas '''eckig'''. | Das Prisma besteht aus zwei '''Grundflächen''', die '''deckungsgleich und parallel''' zueinander liegen. Der Abstand der Grundflächen zueinander wird als '''Höhe''' des Prismas bezeichnet. Miteinander verbunden werden die Grundflächen durch '''Rechtecke''', die '''Seitenflächen''' genannt werden. Addierst du die '''Flächeninhalte''' aller Seitenflächen, erhältst du die '''Mantelfläche''' des Prismas. Im Vergleich mit anderen geometrischen Körpern fällt auf, dass alle '''Quader und Würfel''' Prismen sind, aber nicht jedes Prisma ein '''Quader oder Würfel''' ist. Und im Gegensatz zum '''Zylinder''', der runde Grundflächen hat, sind die Grundflächen des Prismas '''eckig'''. | ||
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{{Box | 1=Aufgabe 7: Rechnen | 2= Berechne die Grundfläche, die Mantelfläche und die Oberfläche in den beiden Aufgaben: <br /> | {{Box | 1=Aufgabe 7: Rechnen | 2= Berechne die Grundfläche, die Mantelfläche und die Oberfläche in den beiden Aufgaben: <br /> | ||
'''a)''' Prisma mit der Grundfläche eines | '''a)''' Prisma mit der Grundfläche eines Dreiecks: <math>a=2{,}5</math> cm, <math>b=2{,}6</math> cm, <math>c=2{,}16</math> cm und der Höhe des Dreiecks <math>h_a=2</math> cm und mit der Körperhöhe <math>h=12</math> cm des Prisma. | ||
{{Lösung versteckt| 1= Zeichnet euch den Körper auf. | 2= Tipp | 3=Tipp einklappen}} | {{Lösung versteckt| 1= Zeichnet euch den Körper auf. | 2= Tipp | 3=Tipp einklappen}} | ||
{{Lösung versteckt| 1= Berechnung der Grundfläche:<br> | {{Lösung versteckt| 1= Berechnung der Grundfläche:<br> | ||
<math>\begin{align} | <math>\begin{align} | ||
G = \frac{a \cdot | G = \frac{a \cdot h_a}{2} = \frac{2 \text{ cm} \cdot 2,5 \text{ cm}}{2} = 2,5 \text{ cm}^2. | ||
\end{align}</math> <br> | \end{align}</math> <br> | ||
A: Der Flächeninhalt einer Grundfläche beträgt <math>2,5 \text{ cm}^2</math>. <br> | A: Der Flächeninhalt einer Grundfläche beträgt <math>2,5 \text{ cm}^2</math>. <br> | ||
Berechnung der Mantelfläche: <br> | Berechnung der Mantelfläche: <br> | ||
<math>\begin{align} | <math>\begin{align} | ||
M = a \cdot h + b \cdot h + c \cdot h = 2 \text{ cm} \cdot 12 \text{ cm} + 2, | M = a \cdot h + b \cdot h + c \cdot h = 2{,}5 \text{ cm} \cdot 12 \text{ cm} + 2{,}6 \text{ cm} \cdot 12 \text{ cm} + 2{,}16 \text{ cm} \cdot 12 \text{ cm} = 30 \text{ cm}^2 + 31{,}2 \text{ cm}^2 + 25{,}92 \text{ cm}^2 = 87{,}12 \text{ cm}^2. | ||
\end{align}</math> <br> | \end{align}</math> <br> | ||
A: Der Flächeninhalt der Mantelfläche beträgt <math> | A: Der Flächeninhalt der Mantelfläche beträgt <math>87{,}12 \text{ cm}^2</math> . <br> | ||
Berechnung der Oberfläche:<br> | Berechnung der Oberfläche:<br> | ||
<math>\begin{align} | <math>\begin{align} | ||
O = 2 \cdot G + M = 2 \cdot 2{,}5 \text{ cm}^2 + | O = 2 \cdot G + M = 2 \cdot 2{,}5 \text{ cm}^2 + 87{,}12 \text{ cm}^2 = 92{,}12 \text{ cm}^2. | ||
\end{align}</math> | \end{align}</math> | ||
A: Der Oberflächeninhalt beträgt <math> | A: Der Oberflächeninhalt beträgt <math>92{,}12 \text{ cm}^2</math>. <br> | 2= Lösungsweg | 3=Lösungsweg einklappen}} <br /> | ||
'''b)''' Prisma mit der Grundfläche eines Parallelogramm: <math>a=8</math> cm, <math>b=5</math> cm , <math> h_a=4{,}5</math> cm und mit der Körperhöhe <math>h=9</math> cm des Prisma. <br> | '''b)''' Prisma mit der Grundfläche eines Parallelogramm: <math>a=8</math> cm, <math>b=5</math> cm , <math> h_a=4{,}5</math> cm und mit der Körperhöhe <math>h=9</math> cm des Prisma. <br> | ||
Zeile 157: | Zeile 157: | ||
G &= 2{,}5 \text{ dm}^2 = 250 \text{ cm}^2 | G &= 2{,}5 \text{ dm}^2 = 250 \text{ cm}^2 | ||
\end{align} </math> | \end{align} </math> | ||
Einsetzten der bekannten Größen in die bekannte Gleichung und anschließend wird nach <math>M</math> umgestellt: | Einsetzten der bekannten Größen in die bekannte Gleichung und anschließend wird nach <math>M</math> umgestellt: | ||
Zeile 162: | Zeile 163: | ||
<math>\begin{align} | <math>\begin{align} | ||
&\quad& O &= 2 \cdot G + | &\quad& O &= 2 \cdot G + M \\ | ||
&\Leftrightarrow& 1800 \text{ cm}^2 &= 2 \cdot 250 \text{ cm}^2 + | &\Leftrightarrow& 1800 \text{ cm}^2 &= 2 \cdot 250 \text{ cm}^2 + M \\ | ||
&\Leftrightarrow& 1800 \text{ cm}^2 &= 500 \text{ cm}^2 + | &\Leftrightarrow& 1800 \text{ cm}^2 &= 500 \text{ cm}^2 + M \\ | ||
&\Leftrightarrow& 1300 \text{ cm}^2 &= | &\Leftrightarrow& 1300 \text{ cm}^2 &= M \\ | ||
&\Leftrightarrow& | &\Leftrightarrow& 1300 \text{ cm}^2 &= M | ||
\end{align}</math> | \end{align}</math> | ||
Damit ist die fehlende Größe <math>M = | Damit ist die fehlende Größe <math>M = 1300 \text{ cm}^2 = 13 \text{ dm}^2</math>. | ||
| 2= Lösungsweg | 3=Lösungsweg einklappen}} <br /> |Farbe={{Farbe|grün}}| 3=Arbeitsmethode }} | | 2= Lösungsweg | 3=Lösungsweg einklappen}} <br /> |Farbe={{Farbe|grün}}| 3=Arbeitsmethode }} | ||
Zeile 212: | Zeile 212: | ||
{{Box | 1=Aufgabe 10: Rechnen | 2= Berechne das Volumen der beiden Körper: <br /> | {{Box | 1=Aufgabe 10: Rechnen | 2= Berechne das Volumen der beiden Körper: <br /> | ||
'''a)''' Prisma mit der Grundfläche eines | '''a)'''Prisma mit der Grundfläche eines Dreiecks: <math>a=2{,}5</math> cm, <math>b=2{,}6</math> cm, <math>c=2{,}16</math> cm und der Höhe des Dreiecks <math>h_a=2</math> cm und mit der Körperhöhe <math>h=12</math> cm des Prisma. | ||
{{Lösung versteckt| 1= Schaue dir Aufgabe 7 a) an.| 2= Tipp | 3=Lösung einklappen}} | {{Lösung versteckt| 1= Schaue dir Aufgabe 7 a) an.| 2= Tipp | 3=Lösung einklappen}} | ||
Zeile 223: | Zeile 223: | ||
'''b)''' Prisma mit der Grundfläche eines Parallelogramm: <math>a=8</math> cm, <math>b=5</math> cm , <math> h_a=4{,}5</math> cm und mit der Körperhöhe <math>h=9</math> cm des Prisma. <br> | '''b)''' Prisma mit der Grundfläche eines Parallelogramm: <math>a=8</math> cm, <math>b=5</math> cm , <math> h_a=4{,}5</math> cm und mit der Körperhöhe <math>h=9</math> cm des Prisma. <br> | ||
{{Lösung versteckt| 1= Schaue dir Aufgabe | {{Lösung versteckt| 1= Schaue dir Aufgabe 7 b) an.| 2= Tipp | 3=Lösung einklappen}} | ||
{{Lösung versteckt| 1= Berechnen des Volumens:<br> | {{Lösung versteckt| 1= Berechnen des Volumens:<br> | ||
<math>\begin{align} | <math>\begin{align} | ||
V = | V = 36 \text{ cm}^2 \cdot 9 \text{ cm} = 324 \text { cm}^3 | ||
\end{align}</math> <br> | \end{align}</math> <br> | ||
A: Das Volumen beträgt <math> | A: Das Volumen beträgt <math>324 \text{ cm}^3</math>.| 2= Lösungsweg | 3=Lösung einklappen}} <br /> <br /> | 3=Arbeitsmethode }} | ||
{{Box| 1=Aufgabe 11: Berechne die fehlenden Größen | 2= Bei einem Prisma sind <math>G</math> der Flächeninhalt einer Grundfläche, <math>M</math> der Mantelflächeninhalt, <math>O</math> der Oberflächeninhalt, <math>h</math> die Höhe und <math>V</math> das Volumen des Körpers. Berechne die fehlenden Größen. <br/> | {{Box| 1=Aufgabe 11: Berechne die fehlenden Größen | 2= Bei einem Prisma sind <math>G</math> der Flächeninhalt einer Grundfläche, <math>M</math> der Mantelflächeninhalt, <math>O</math> der Oberflächeninhalt, <math>h</math> die Höhe und <math>V</math> das Volumen des Körpers. Berechne die fehlenden Größen. <br/> | ||
<math> \begin{align} | <math> \begin{align} | ||
O &= 35 \text{ dm}^2, \\ | |||
M &= | M &= 2800 \text{ cm}^2 \text{ und} \\ | ||
V &= 35000 \text{ cm}^3. \end{align}</math> <br> | V &= 35000 \text{ cm}^3. \end{align}</math> <br> | ||
Zeile 252: | Zeile 252: | ||
</math> | </math> | ||
Einsetzen der bekannten Größen in die bekannte Gleichung und anschließend wird nach <math>G</math> umgestellt: | |||
<math>\begin{alignat}{2} | <math>\begin{alignat}{2} | ||
&\quad& O &= 2 \cdot G + | &\quad& O &= 2 \cdot G + M \\ | ||
&\Leftrightarrow& \ 3500 \text{ cm}^2 &= 2 \cdot G + 2800 \text{ cm}^2\\ | |||
&\Leftrightarrow& \ 3500 \text{ cm}^2 &= 2 \cdot G + 2800 \text{ cm}^2 \\ | |||
&\Leftrightarrow& \ 700 \text { cm}^2 &= 2 \cdot G \\ | &\Leftrightarrow& \ 700 \text { cm}^2 &= 2 \cdot G \\ | ||
&\Leftrightarrow& \ G &= 350 \text{ cm}^2 | &\Leftrightarrow& \ G &= 350 \text{ cm}^2 | ||
Zeile 266: | Zeile 265: | ||
<math>\begin{alignat}{2} | <math>\begin{alignat}{2} | ||
&\quad& V &= h \cdot G \\ | &\quad& V &= h \cdot G \\ | ||
&\Leftrightarrow& 35000 \text{ cm}^3 &= h \cdot | &\Leftrightarrow& 35000 \text{ cm}^3 &= h \cdot 350 \text{ cm}^2\\ | ||
&\Leftrightarrow& | &\Leftrightarrow& 100 \text{ cm} &= h | ||
\end{alignat}</math> <br> | \end{alignat}</math> <br> | ||
A: Die Höhe beträgt <math> | A: Die Höhe beträgt <math>100 \text{ cm}</math> und die Grundfläche ist <math>350 \text{ cm}^2 </math>. | ||
<br /> | 2= Lösungsweg | 3=Lösung einklappen}} <br /> |Farbe={{Farbe|grün}}| 3=Arbeitsmethode }} | <br /> | 2= Lösungsweg | 3=Lösung einklappen}} <br /> |Farbe={{Farbe|grün}}| 3=Arbeitsmethode }} | ||
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{{Box |1= Hinweis |2= In diesem Abschnitt beschäftigst du dich mit weiterführenden Inhalten, die später wichtig werden können. Zum Beispiel gibt es auch '''Prismen mit unregelmäßigen Grundflächen'''. Außerdem wirst du auch '''schräge Prismen''' kennenlernen, die dann aber eine etwas abgeänderte Definition bei Prismen erfordern.|3= Merksatz}} | {{Box |1= Hinweis |2= In diesem Abschnitt beschäftigst du dich mit weiterführenden Inhalten, die später wichtig werden können. Zum Beispiel gibt es auch '''Prismen mit unregelmäßigen Grundflächen'''. Außerdem wirst du auch '''schräge Prismen''' kennenlernen, die dann aber eine etwas abgeänderte Definition bei Prismen erfordern.|3= Merksatz}} | ||
{{Box | 1= Aufgabe 12: Unregelmäßige | {{Box | 1= Aufgabe 12: Unregelmäßige Grundflächen|2= Du hast bereits mit Prismen mit unregelmäßiger Form der Grundflächen gearbeitet, dir darüber aber kaum Gedanken gemacht, weil du rechtwinklige Dreiecke oder Parallelogramme kennst und recht einfach berechnen kannst. Aber es gibt auch kompliziertere Fälle. Viele von diesen sind Kombinationen bekannter Flächen, z. B. unterschiedlichen Rechtecken und/oder Dreiecken. Später kann es sehr wichtig werden, diese unregelmäßigen Grundflächen zur leichteren Berechnung wieder in einzelne Teilflächen zu zerlegen. Finde im Applet zur passenden unregelmäßigen Grundform eine mögliche Zerlegung und "klebe" sie aneinander! Bist du fertig, klicke auf das blaue Häkchen unten rechts. | ||
{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=11748288}} | {{LearningApp|width=100%|height=500px|app=11748288}} | ||
|Farbe={{Farbe|orange}}| 3= Arbeitsmethode}} | |Farbe={{Farbe|orange}}| 3= Arbeitsmethode}} | ||
{{Box |1= Aufgabe 13: Gedankenexperiment | 2= Stelle dir vor, du hast vier gleiche Kartenspiele. '''1. Schritt:''' Du stapelst sie genau übereinander und erhälst dadurch ein Prisma! '''2. Schritt:''' So gerade nach oben findest du es aber langweilig, deshalb verschiebst du jede einzelne Karte immer ein wenig mehr auf eine Seite und bringst so den Stapel in eine Schräge. Du bekommst so ein schräges Prisma! '''Frage:''' Was verändert sich? Was bleibt gleich? | {{Box |1= Aufgabe 13: Gedankenexperiment | 2= Stelle dir vor, du hast vier gleiche Kartenspiele. '''1. Schritt:''' Du stapelst sie genau übereinander und erhälst dadurch ein Prisma! '''2. Schritt:''' So gerade nach oben findest du es aber langweilig, deshalb verschiebst du jede einzelne Karte immer ein wenig mehr auf eine Seite und bringst so den Stapel in eine Schräge. Du bekommst so ein schräges Prisma! '''Frage:''' Was verändert sich? Was bleibt gleich? Bist du fertig, klicke auf das blaue Häkchen unten rechts. | ||
{{Lösung versteckt| 1= [[Datei:Bilder1.png|mini]] | 2= Hilfe, falls du es dir nicht vorstellen kannst | 3= Hilfe einklappen}} | {{Lösung versteckt| 1= [[Datei:Bilder1.png|mini]] | 2= Hilfe, falls du es dir nicht vorstellen kannst | 3= Hilfe einklappen}} | ||
{{Lösung versteckt| 1= Gleich bleiben Winkel in den Grundflächen, da wir die oberste und unterste Karte nicht verändern und sie "Rechtecke" bleiben. Das Volumen bzw. die Höhe würden sich nur ändern, wenn man Karten wegnimmt oder dazulegt. <br> | |||
Die veränderte Form des Körpers bzw. der Oberfläche ist eine logische Folge der Verschiebungen der Karten, was du auch auf dem zweiten Bild der Hilfe sehen kannst. Bei den bisher bekannten "geraden" Prismen haben wir zwischen Grundflächen und Seitenflächen immer rechte Winkel von 90°. Bei "schrägen" Prismen muss es aber Winkel geben, die ungleich 90° sind. [[Datei:Vorderansichten Seitenflächen von "geraden" und "schrägen" Prismen.png|center|mini]] | |||
| 2= Hinweise zur Lösung | 3= Hinweise einklappen }} | |||
{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=p48z32tft20}} | {{LearningApp|width=100%|height=500px|app=p48z32tft20}} | ||
|Farbe={{Farbe|green}}|3= Arbeitsmethode}} | |Farbe={{Farbe|green}}|3= Arbeitsmethode}} |
Aktuelle Version vom 18. Dezember 2020, 16:30 Uhr
Das Prisma
Prismen und andere Körper
Vor dem Rechnen: Verständnis, Größen und Einheiten
Oberfläche eines Prismas
Volumen eines Prismas
Ausblick