Digitale Werkzeuge in der Schule/Fit für VERA-8/Unmögliche Figuren und Schrägbilder

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In diesem Lernpfadkapitel kannst du etwas über unmögliche Figuren und Schrägbilder lernen. Hier beschäftigst du dich damit, was Schrägbilder und Netze von geometrischen Körpern sind und wie du sie zeichnen kannst. Ebenfalls erwartet dich in diesem Kapitel, was unmögliche Figuren sind und woran du diese erkennen kannst. Dir stehen eine Vielzahl an verschiedenen Aufgaben zum Üben zur Verfügung.

Bei den Aufgaben unterscheiden wir folgende Typen:

-       In Aufgaben, die orange gefärbt sind, kannst du grundlegende Kompetenzen wiederholen und vertiefen.

-       Aufgaben in blauer Farbe sind Aufgaben mittlerer Schwierigkeit.

-       Und Aufgaben mit grünem Streifen sind Knobelaufgaben.


Viel Erfolg!


Wiederholung von bekannten Körpern

Erinnerung: Was für Körper kennen wir nochmal?
Würfel

Der Würfel besteht aus sechs gleichgroßen Flächen. Zudem besitzt der Würfel 12 gleichlange Kanten und acht Ecken.






Schrägbild einer Pyramide.svg

Die Pyramide besitzt eine Grundfläche. Die Seitenflächen werden in der Spitze der Pyramide zusammengeführt und Mantelfläche genannt.






Tetraeder.svg
Ein Tetraeder ist ein Körper mit vier dreieckigen Seitenflächen. Er wird auch als dreiseitige Pyramide bezeichnet.






Schrägbild eines Kegels.svg
Die Grundfläche eines Kegels ist ein Kreis. Die Mantelfläche wird durch die Grundfläche und die Spitze des Kegels verbunden.






Ein Prisma besitzt eine Grundfläche und eine gegenüberliegende Deckfläche, welche gleich groß sind. Die Seitenflächen werden zusammen als Mantelfläche bezeichnet. Zudem sind die Seitenkanten, die die Grundfläche und Deckfläche verbinden alle gleichlang und liegen parallel zueinander.






Schrägbild eines Zylinders.svg

Die beiden Grundflächen eines Zylinders sind kreisförmig, liegen parallel zueinander und sind gleichgroß. Außerdem werden sie durch den Mantel des Zylinders verbunden.






Quader quadratische Grundfläche.png
Der Quader besteht aus sechs rechteckigen Seitenflächen, die im rechten Winkel aufeinander stehen. Die gegenüberliegenden Seiten sind jeweils parallel und gleich groß.



Übung 1
Zieh die korrekten Wörter in die jeweiligen Lücken.


Die Vorderseite des Quaders solltest du in Originalgröße zeichnen. Wenn der Quader eine Länge von  8 cm und eine Höhe von 2 cm hat, ist das Rechteck, das du als seine Vorderseite zeichnest,  8 cm breit und 2 cm hoch.

Ein Würfel hat 8 Ecken, 6 Flächen und 12 Kanten. Außerdem gilt, dass die Kanten alle gleich lang und die Flächen alle quadratisch sind. Auch sind die Flächen gleich groß. Im Schrägbild nimmt man den Würfel auf der ebenen Fläche räumlich wahr.

Eine Pyramide ist ein Körper, der aus einem Vieleck (Drei-, Vier-, Fünfeck usw.) und mehreren Dreiecken besteht. Das Vieleck bildet die Grundfläche und die Dreiecke die Mantelfläche der Pyramide.

Ein Zylinder ist ein Rotationskörper und besteht aus drei Flächen. Ein Kreis bildet seine Grundfläche. Die kreisförmige Deckfläche ist parallel zu dieser. Die gekrümmte Mantelfläche stellt ausgebreitet ein Rechteck dar.


Übung 2
Welche Körper sind gegeben?
GeoGebra



Schrägbilder und Netze

Erinnerung: Schrägbilder und Körpernetze
Vielleicht kannst du dich noch an das Thema Schrägbilder und Körpernetze aus der fünften Klasse erinnern. Lies dir zur Sicherheit noch einmal die Infobox durch, oder überspringe sie, wenn du dich schon sicher fühlst.

Körpernetze und Schrägbilder sind Darstellungshilfen, die man in der Geometrie benutzt. Durch ein Schrägbild wird auf einer ebenen Fläche ein Körper räumlich dargestellt. Beispielsweise kann man einen dreidimensionalen Körper auf einem zweidimensionalen Blatt Papier abbilden.

  • Ein Körpernetz entsteht, wenn man den dreidimensionalen Körper an einigen Kanten aufschneiden und dann auseinanderklappen würde.
  • Bei einem Schrägbild zeichnest du den Köper, wie der Name schon sagt, schräg von der Seite. Hierbei ist wichtig, dass die schrägen Linien meistens im Winkel von 45° gezeichnet werden. Je nach Blickpunkt, verändert sich die Perspektive auf den Körper. Die verdeckten Linien, die man von vorne nicht sehen kann, werden gestrichelt dargestellt.


Erinnerung: Wie zeichnet man ein Schrägbild?
Lies hier nochmal nach.
Jeder Körper hat eine Grundfläche. Zum Zeichnen von Schrägbildern müssen mehrere Regeln berücksichtigt werden. Zunächst wird die Grundfläche des Körpers in wahrer Größe auf ein Blatt Papier übertragen. Die wahren Längen, die in die Blattebene hinlaufen, werden verkürzt darstellt. Der Verkürzungsfaktor q beträgt meistens q= 0,5. Hierzu multipliziert man den Verkürzungsfaktor q mit der Länge der Kante. Zu beachten ist außerdem, dass die verkürzten Kanten schräg gezeichnet werden. Die Höhe steht immer senkrecht auf der Grundfläche und wird in wahrer Länge gezeichnet.
GeoGebra


Übungen: Netze

Übung 1
Giovanni, Yasmin und Mehmet haben jeweils das Netz eines Würfels gezeichnet. Beurteile, ob die Körpernetze korrekt gezeichnet wurden. Wer hat richtig gezeichnet?

(Giovanni und Yasmin) (!Alle) (!Yasmin und Mehmet) (!Giovanni und Mehmet)



Übung 2
Markiere die Kanten, die die gleiche Kantenlänge haben, in derselben Farbe!
GeoGebra


Übung 3
Bestimme, ob die Aussagen wahr oder falsch sind:

In einem Quader sind die Deck- und die Grundfläche immer gleich groß. (wahr) (!falsch)

Die Kugel besitzt ein Netz. (!wahr) (falsch)

Es gibt mehr als eine Lösung für Körpernetze von Schrägbildern. (wahr) (!falsch)

Schrägbilder haben keine versteckten Ecken oder Kanten. (wahr) (!falsch)

Schrägbilder sind Abbildungen geometrischer Figuren. (wahr) (!falsch)

Falls ihr eine Frage falsch beantwortet habt, könnt ihr hier nochmal die Erklärung zu den Lösungen nachgucken.

1) Bei der Konstruktion eines Quaders werden lediglich die nach hinten verlaufenden Kanten verkürzt dargestellt. Da Deck- und Grundfläche parallel zueinander liegen, sind sie immer gleichgroß.

2) Das Netz einer Kugel kann man nicht zeichnen, da ihre Oberfläche aus einer gekrümmten Fläche besteht.

3) Zu jedem Körper gibt es mehrere Netze. Je nach dem welche Kante aufgeschnitten wird, entsteht ein anderes Netz.

4) Wenn du das Schrägbild korrekt gezeichnet hast, dann solltest du aus verschiedenen Perspektiven immer alle Ecken und Kanten sehen können.

5) Du konstruierst Schrägbilder, um geometrische Figuren bzw. räumliche Körper auf dem Papier darzustellen.


Übung 4a
Zeichne das Netz einer Pyramide, eines Tetraeders, eines Quaders und eines dreieckigen Prismas.
GeoGebra
GeoGebra
GeoGebra
GeoGebra


Übung 4b
Wenn du deine gezeichneten Netze betrachtest, hast du schon eine Idee, wie man den Flächeninhalt dieser Figuren berechnen kann? Kannst du die dazugehörigen Formeln herleiten?
In einer Pyramide verstecken sich Dreiecke und ein Quadrat als geometrische Form. In einem Tetraeder versteckt sich das Dreieck, im Quader das Rechteck und einem Prisma sind Dreiecke und Rechtecke zu finden.

OPyramide = a² + 4 ( a h)

OTetraeder = a²

OQuader = 2 (a b + a c + b c)

OPrisma = 2 G + M


Übung 5
Sind die gegebenen Netze die Netze einer Pyramide?
GeoGebra

Netz 1 ist das Netz einer Pyramide. (wahr) (!falsch)

Netz 2 ist das Netz einer Pyramide. (!wahr) (falsch)

Netz 3 ist das Netz einer Pyramide. (wahr) (!falsch)

Netz 4 ist das Netz einer Pyramide. (!wahr) (falsch)

Netz 5 ist das Netz einer Pyramide. (!wahr) (falsch)

  • Netz 1 ist das Netz einer Pyramide, da alle Seiten der Dreiecke sich treffen, d.h. dass die benachbarten Seiten der Dreiecke jeweils gleich lang sind.
  • Netz 2 ist nicht das Netz einer Pyramide, da die längeren Seiten des höheren Dreiecks nicht mit den des weniger hohen Dreiecks übereinstimmen.
  • Netz 3 ist das Netz einer Pyramide, da alle Seiten der Dreiecke sich treffen, d.h. dass die benachbarten Seiten der Dreiecke jeweils gleich lang sind.
  • Netz 4 ist nicht das Netz einer Pyramide, da die Seiten der Dreiecke sich nicht treffen, wenn man die Dreiecke nach unten versucht zusammenzuklappen, d.h. die benachbarten Seiten der Dreiecke sind jeweils nicht gleich lang.
  • Netz 5 ist nicht das Netz einer Pyramide, da die Seiten der Dreiecke sich nicht treffen, d.h. dass die benachbarten Seiten der Dreiecke jeweils nicht gleich lang sind.


Übung 6
Zeichne die folgenden Netze in dein Heft und ergänze fehlende Flächen, damit das Netz eines Prismas entsteht.
Vergleiche die angegebenen Lösungen mit deinen eigenen Netzen.



Übungen: Schrägbilder

Bei den folgenden Aufgaben benötigst du dein Heft, ein Lineal oder Geodreieck und einen Bleistift.


Übung 1
Memory: Gegeben sind Körpernetze und Schrägbilder. Finde die passenden Paare.
Quadratische Pyramide
120px-Hexahedron-slowturn.gif
120px-Hexahedron-slowturn
Hexahedron flat color.svg
Hexahedron flat color
120px-Tetrahedron-slowturn.gif
120px-Tetrahedron-slowturn
Tetrahedron flat
Quader mit Raumdiagonale d
Auseinander geklapptes Netz eines Quaders
dreieckiges Prisma


Übung 2
Wie sieht das Schrägbild des folgenden Körpernetzes aus? Zeichne die Lösung in Dein Heft und überprüfe Dein Ergebnis mit der angegebenen Lösung.
Das Körpernetz ist das Netz eines Quaders. Vergleiche die angegebene Lösung mit deiner Lösung im Heft.


Übung 3
Konstruiere das Netz des folgenden Schrägbildes und benutze die angegebenen Längen. Zeichne das Netz in dein Heft.
Schrägbild Trapezprisma.jpg
Überlege dir zuerst, mit welcher Fläche du dein Netz beginnst. Fange mit der größten quadratischen Grundfläche an, und überlege, wie du von hieraus ein Netz formen kannst.
Welche Kanten des Körper musst du ,,einschneiden" um das Netz zu formen? Überlege dir, was passiert, wenn du einige Kanten einschneidest. Entsteht so dein Körpernetz?
Schneide alle Kanten ein, die senkrecht von der quadratischen Grundfläche hochführen. Nun fehlt nur noch eine Kante, um das Netz zu vervollständigen.
Netz Trapezprisma.jpg
So sieht eine mögliche Lösung des Körpernetztes des gegebenen Schrägbildes aus. Die Seiten, die senkrecht der Grundfläche hochgehen, wurden eingeschnitten. Zudem wurden die beiden anliegenden rechteckigen Seitenflächen der Grundfläche getrennt.


Übung 4
Schrägbilder korrigieren: Anna und Tom haben im Unterricht ein paar Schrägbilder gezeichnet. Beurteile, ob die Schrägbilder richtig sind. Falls sie falsch sind, finde die Fehler und korrigiere die Schrägbilder.
Schrägbilder fehler.png
Korrektur.jpg


Übung 5a

Ein Quader hat eine Länge von 8 cm, eine Breite von 8 cm und eine Höhe von 4 cm. Zeichne sein Schrägbild in dein Heft und miss mit dem Lineal nach, wie weit die Ecke unten links vorn von der Ecke oben rechts hinten entfernt ist. Gib dein Ergebnis auf eine Nachkommastelle gerundet (z. B. ) im Antwortsatz ein. Die gesuchte Strecke ist ________ cm lang.

Zunächst zeichnest du in wahrer Länge die Vorderseite des Quaders. Das Rechteck hat dann eine Länge von 8 cm und eine Höhe von 4 cm. Im zweiten Schritt zeichnest du von den vier Eckpunkten jeweils eine Hilfsgerade im Neigungswinkel 45°. Jetzt musst du die angegebene Breite mit dem Verkürzungsfaktor q = 0,5 multiplizieren. Die errechnte Kantenlänge von 4 cm soll jetzt die Länge der Hilfsgeraden darstellen. Hier musst du deine anfänglich gezeichneten Hilfsgeraden an die Länge von 4 cm anpassen. Die neu konstruierten Punkte musst du abschließend noch miteinander verbinden und die nicht sichtbaren Linien gestrichelt einzeichnen.
Die gesuchte Strecke beträgt 12,8 cm.


Übung 5b
Ein gleichseitiges Prisma hat eine Seitenlänge von cm und eine Höhe von cm. Zeichne das Schrägbild ein dein Heft und miss mit dem Lineal nach, wie weit die vordere Ecke unten rechts von der hinteren Ecke oben entfernt ist. Gib dein Ergebnis auf eine Nachkommastelle gerundet im Antwortsatz ein. Die gesuchte Strecke ist ________ cm lang.
Zunächst zeichnest du die Strecke AB = 6 cm in wahrer Länge. Da es sich bei dem Körper um ein gleichseitiges Prisma handelt, schneidet die Höhe die Strecke AB genau im Mittelpunkt P. Von diesem Punkt P musst du nun in einem Winkel von 45° eine Hilfslinie ziehen. Um die Länge der Hilfslinie zu ermitteln, musst du die angegebene Höhe mit 0,5 multiplizieren. Hier hätte die Strecke dann eine Länge von 2,5 cm. Jetzt musst du den entstandenen Punkt C mit den Punkten A und B verbinden, um die Grundfläche des Prismas zu erhalten. Nun musst du jeweils von den Punkten A, B, und C eine senkrechte Linie zeichnen, die der Höhe von 5 cm entspricht. Um die Konstruktion abzuschließen, musst du die weiteren Eckpunkte miteinander verbinden.
Die gesuchte Strecke beträgt cm.


Übung 6

Konstruiere die Pyramide mithilfe folgender Konstruktionsbeschreibung. Die Kantenlängen sollst du dir frei wählen.

Schritt 1: Die quadratische Grundfläche der Pyramide (linke Figur) wird als Parallelogramm ABCD (rechte Figur) gezeichnet. Dabei werden die nach hinten verlaufenden Kanten im Winkel von 45° gezeichnet und in ihrer Länge halbiert.

Schritt 2: Die Spitze S der Pyramide wird senkrecht über dem Mittelpunkt der Grundfläche ABCD angenommen.

Schritt 3: Die Spitze S der Pyramide wird mit den Eckpunkten A, B, C und D der Grundfläche verbunden. Sichtbare Linien werden durchgezeichnet. Nicht sichtbare Linien werden punktiert.

Weil die Lösung aufgrund des Programmes nicht in dieser Box angezeigt werden kann, scrolle ganz ans Ende der Seite, um die Lösung zu sehen.


Übung 7
Übung.jpg
Nur der letzte Körper kann sich durch Drehen ergeben.


Übungen: Oberfläche und Volumen von Quadern und Pyramiden

Übung 1
Ein Quader hat die Seitenlängen cm, cm und cm. Berechne den Oberflächeninhalt und das Volumen des Quaders.

Lösung Oberfläche: (132 cm²) (!138 cm²) (!142 cm²)

Lösung Volumen: (!65 cm³) (80 cm³) (!75 cm³)

OQuader = 2 (a b + a c + b c)

VQuader = a b c

OQuader = 2 (a b + a c + b c) = 2 (5 2 + 5 8 + 2 8) = 132

VQuader = a b c = 5 2 8 = 80


Übung 2
Eine Pyramide hat eine Höhe von cm. Die Länge der Kante beträgt 1 cm. Berechne den Oberflächeninhalt und das Volumen der Pyramide.

Lösung Oberfläche: (11 cm²) (!18 cm²) (! 22 cm²)

Lösung Volumen: (! cm³) (! cm³) ( cm³)

OPyramide = a² + 4 ( a h)

VPyramide = h

OPyramide = a² + 4 ( a h) = 1² + 4 ( 1 5) = 1 + 4 = 11

VPyramide = h = 5 =


Übung 3a

Ein LKW, welcher einen deutschen Supermarkt mit Früchten aus Portugal beliefert, ist m lang und m breit. Seine Ladefläche hat ein Volumen von 105 m³.

Auf dem Weg nach Deutschland muss der LKW einen Tunnel durchfahren. Dieser Tunnel kann nur von Fahrzeugen durchfahren werden, die eine maximale Höhe von m nicht überschreiten. Passt der LKW durch den Tunnel? Berechne die Höhe des LKWs.

Der LKW... (...kann durch den Tunnel durchfahren.) (!...ist zu hoch.)

Der LKW hat die Form eines Quaders.
Stelle die Formel zur Volumenberechnung zur Höhe um.

Volumen = Länge Breite Höhe

Höhe = Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle \frac{Volumen}{Länge \cdot Breite}}

H =


Übung 3b
Der belieferte Supermarkt möchte bereits vor der Ankunft wissen, wie viele Orangenkisten mit der Lieferung gebracht werden, um im Lagerraum ausreichend Platz zu schaffen. Eine Kiste ist ein Meter lang, m hoch und m breit. Wie viele Kisten passen auf die Ladefläche des LKWs?

Auf den LKW passen… (!675 Kisten) (!683 Kisten) (656 Kisten) (!612 Kisten)

Berechne zunächst das Volumen einer Orangenkisten.
Du kennst das Volumen des LKWs. Jetzt musst Du ausrechnen, wie viele Kisten in das Volumen des LKWs passen.
Bezeichne die Anzahl der Kisten mit x. Nutze zum Ausrechnen diese Formel: VLKW = VKiste x. Beachte, dass du das Ergebnis abrunden musst. Angefangene Kisten können im LKW nicht verstaut werden.

VLKW = VKiste x

x =

x =

x =

Auf den LKW passen 656 Kisten.


Unmögliche Figuren

Unmögliche Figuren
Falls Du Dir unsicher bist, was unmögliche Figuren sind, lies Dir die Infobox einmal durch.
Unmögliche Figuren sind grafisch zweidimensionale Figuren, die dreidimensional erscheinen aber körperhaft nicht existieren können. Die geometrischen, dreidimensionalen Objekte kann man in der Realität gar nicht herstellen. Gezeichnet werden können sie auf (dem zweidimensionalen) Papier aber ohne Probleme. Bei den Figuren handelt es sich meist um optische Täuschungen.

Beispiele von unmöglichen Figuren:


Die unmögliche Lattenkiste
Unmöglicher Würfel


Übungen: unmögliche Figuren

Übung 1
Im unteren Kasten siehst du unmögliche Figuren und nicht unmögliche Figuren. Bestimme, ob die Figuren unmöglich sind oder nicht. Ziehe dafür das Bild in den zugehörigen Kasten.
unmögliche Figuren
geometrische Körper/Konstruktionen
Treppe-zp-beisp1.svg


Idee
Vielleicht kennst du ja auch schon ein paar unmögliche Figuren, natürlich nicht aus unserer Realität, aber ja aus Filmen? Eine der obigen Figuren kommt zum Beispiel in einer Szene aus Inception (2010) vor, die du dir hier auf YouTube angucken kannst:



Übung 2

Wie müsste man die unmögliche Kiste bzw. den unmöglichen Würfel verändern, damit diese/r keine unmögliche Figur mehr ist?

Man müsste die hinteren Seitenkannten des Würfels zerschneiden, um die vorderen an dieser Stelle sichtbar zu machen. Einen echten, nicht unmöglichen Kubus siehst du hier:


Falls du noch ein bisschen nachlesen möchtest, wie man den Würfel genau zerschneiden müsste, damit die Illusion im dreidimensionalen Raum dargestellt werden kann, dann schau hier auf Seite 2 nach: https://www.hochbegabte-begleiten.de/images/experimente/illusionen/Tutorium_Berlin-unm%c3%b6gliche_Figuren.pdf


Übung 3 a
Betrachte das Penrose-Dreieck. Welche Besonderheiten fallen dir auf? Wordurch wird die optische Täuschung hervorgerufen? Beantworte im Heft.
Penrose triangle.svg
In welchem Winkel stehen die Seiten des Dreiecks aufeinander?


Übung 3 b
Welches mathematische Gesetz zeigt, dass das Dreieck im Dreidimensionalen nicht existieren kann?
Was beträgt die Winkelsumme eines "möglichen" Dreiecks?
Das Penrose Dreieck hat drei Seiten, die jeweils im rechten Winkel zueinander stehen und dennoch zu einem Dreieck verbunden sind. Damit verstößt es gegen mehrere mathematische Gesetze der Geometrie. Zum Beispiel beträgt die Winkelsumme in einem Dreieck immer 180°.





Quellen



Pyramidenaufgabe Übung 6 Lösung:
GeoGebra