Digitale Werkzeuge in der Schule/Fit für VERA-8/Unmögliche Figuren und Schrägbilder

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In diesem Lernpfadkapitel kannst du etwas über unmögliche Figuren und Schrägbilder lernen. Hier beschäftigst du dich damit, was Schrägbilder und Netze von geometrischen Körpern sind und wie du sie zeichnen kannst. Ebenfalls erwartet dich in diesem Kapitel, was unmögliche Figuren sind und woran du diese erkennen kannst. Dir stehen eine Vielzahl an verschiedenen Aufgaben zum Üben zur Verfügung.

Bei den Aufgaben unterscheiden wir folgende Typen:

-       In Aufgaben, die orange gefärbt sind, kannst du grundlegende Kompetenzen wiederholen und vertiefen.

-       Aufgaben in blauer Farbe sind Aufgaben mittlerer Schwierigkeit.

-       Und Aufgaben mit grünem Streifen sind Knobelaufgaben.


Viel Erfolg!


Wiederholung von bekannten Körpern

Erinnerung: Bekannte Körper
Würfel

Der Würfel besteht aus sechs gleichgroßen Flächen. Zudem besitzt der Würfel 12 gleichlange Kanten und acht Ecken.





Quader quadratische Grundfläche.png

Der Quader besteht aus sechs rechteckigen Seitenflächen, die im rechten Winkel aufeinander stehen. Die gegenüberliegenden Seiten sind jeweils parallel und gleich groß.






Schrägbild einer Pyramide.svg

Die Pyramide besitzt eine Grundfläche. An jeder Seite der Grundfläche liegt eine dreieckige Seitenfläche an. Die Seitenflächen werden in der Spitze der Pyramide zusammengeführt und Mantelfläche genannt.






Tetraeder.svg
Ein Tetraeder ist ein Körper mit vier dreieckigen Seitenflächen. Er wird auch als dreiseitige Pyramide bezeichnet.








Ein Prisma besitzt eine Grundfläche und eine gegenüberliegende Deckfläche, welche gleich groß sind. Die Seitenflächen werden zusammen als Mantelfläche bezeichnet. Zudem sind die Seitenkanten, die die Grundfläche und Deckfläche verbinden alle gleichlang und liegen parallel zueinander.






Schrägbild eines Zylinders.svg
Die beiden Grundflächen eines Zylinders sind kreisförmig, liegen parallel zueinander und sind gleichgroß. Außerdem werden sie durch den Mantel des Zylinders verbunden.



Übung 1: Lückentext Körper
Ziehe die korrekten Wörter in die jeweiligen Lücken.


Im Schrägbild nimmt man Körper auf der ebenen Fläche räumlich wahr.

Die Vorderseite des Quaders solltest du in Originalgröße zeichnen. Wenn der Quader eine Länge von  8 cm und eine Höhe von 2 cm hat, ist das Rechteck, das du als seine Vorderseite zeichnest,  8 cm breit und 2 cm hoch.

Ein Würfel hat 8 Ecken, 6 Flächen und 12 Kanten. Außerdem sind alle Kanten gleich lang und alle Flächen quadratisch. Auch sind die Flächen gleich groß.

Eine Pyramide ist ein Körper, der aus einem Vieleck (Drei-, Vier-, Fünfeck usw.) und mehreren Dreiecken besteht. Das Vieleck bildet die Grundfläche und die Dreiecke die Mantelfläche der Pyramide.


Übung 2: Körper in der Realität wiedererkennnen
Welche Körper sind gegeben?
GeoGebra
Schau dir die Infobox zu den bekannten Körpern noch einmal an.


Schrägbilder und Netze

Erinnerung: Schrägbilder und Körpernetze
Lies dir zur Sicherheit noch einmal die Infobox durch, oder überspringe sie, wenn du dich schon sicher fühlst.

Körpernetze und Schrägbilder sind Darstellungshilfen, die man in der Geometrie benutzt. Durch ein Schrägbild wird auf einer ebenen Fläche ein Körper räumlich dargestellt. Beispielsweise kann man einen dreidimensionalen Körper auf einem zweidimensionalen Blatt Papier abbilden.

  • Ein Körpernetz entsteht, wenn man den dreidimensionalen Körper an einigen Kanten aufschneiden und dann auseinanderklappen würde.
  • Bei einem Schrägbild zeichnest du den Köper, wie der Name schon sagt, schräg von der Seite. Hierbei ist wichtig, dass die schrägen Linien meistens im Winkel von 45° gezeichnet werden. Je nach Blickpunkt, verändert sich die Perspektive auf den Körper. Die verdeckten Linien, die man von vorne nicht sehen kann, werden gestrichelt dargestellt.


Erinnerung: Wie zeichnet man ein Schrägbild?
Merksatz
Jeder Körper hat eine Grundfläche. Zum Zeichnen von Schrägbildern werden mehrere Regeln berücksichtigt werden. Zunächst wird die Grundfläche des Körpers in wahrer Größe auf ein Blatt Papier übertragen. Die Längen, die in die Blattebene hinlaufen, werden verkürzt darstellt. Der Verkürzungsfaktor q beträgt meistens q= 0,5. Hierzu multipliziert man den Verkürzungsfaktor q mit der Länge der Kante. Zu beachten ist außerdem, dass die verkürzten Kanten schräg gezeichnet werden. Die Höhe steht immer senkrecht auf der Grundfläche und wird in der angegebenen Längeneinheit gezeichnet.
GeoGebra


Übungen: Netze

Übung 1: Würfelnetze
Giovanni, Yasmin und Mehmet haben jeweils das Netz eines Würfels gezeichnet. Beurteile, ob die Körpernetze korrekt gezeichnet wurden. Wer hat richtig gezeichnet?

(Giovanni und Yasmin) (!Alle) (!Yasmin und Mehmet) (!Giovanni und Mehmet)



Übung 2: Kanten kleben
Markiere die Kanten, die die gleiche Kantenlänge haben, in derselben Farbe!
GeoGebra
Stell dir am Besten vor, wie du die Seiten des Netzes knicken und verkleben musst, damit der Körper eines Prismas entsteht.


Übung 3: Wahr- und Falschaussagen über Schrägbilder
Bestimme, ob die folgenden Aussagen wahr oder falsch sind.

Wenn ein Quader im Schrägbild dargestellt wird, dann sind die Deck- und die Grundfläche immer gleich groß. (wahr) (!falsch)

Es gibt mehr als eine Lösung für Körpernetze von Schrägbildern. (wahr) (!falsch)

Schrägbilder haben keine versteckten Ecken oder Kanten. (wahr) (!falsch)

Schrägbilder stellen geometrische Figuren auf dem Papier dar. (wahr) (!falsch)

Falls ihr eine Frage falsch beantwortet habt, könnt ihr hier noch einmal die Erklärung zu den Lösungen nachgucken.

1) Bei der Konstruktion eines Quaders werden lediglich die nach hinten verlaufenden Kanten verkürzt dargestellt. Da Deck- und Grundfläche parallel zueinander liegen, sind sie immer gleichgroß.

2) Zu jedem Körper gibt es mehrere Netze. Je nach dem welche Kante aufgeschnitten wird, entsteht ein anderes Netz.

3) Wenn du das Schrägbild korrekt gezeichnet hast, dann solltest du aus verschiedenen Perspektiven immer alle Ecken und Kanten sehen können.

4) Du konstruierst Schrägbilder, um geometrische Figuren bzw. räumliche Körper auf dem Papier darzustellen.


Übung 4
Zeichne das Netz einer Pyramide, eines Tetraeders, eines Quaders und eines dreieckigen Prismas.
GeoGebra
GeoGebra
GeoGebra
GeoGebra


Übung 5
Sind die gegebenen Netze die Netze einer Pyramide?
GeoGebra

Netz 1 ist das Netz einer Pyramide. (wahr) (!falsch)

Netz 2 ist das Netz einer Pyramide. (!wahr) (falsch)

Netz 3 ist das Netz einer Pyramide. (wahr) (!falsch)

Netz 4 ist das Netz einer Pyramide. (!wahr) (falsch)

Netz 5 ist das Netz einer Pyramide. (!wahr) (falsch)

  • Netz 1 ist das Netz einer Pyramide, da alle Seiten der Dreiecke sich treffen, d.h. dass die benachbarten Seiten der Dreiecke jeweils gleich lang sind.
  • Netz 2 ist nicht das Netz einer Pyramide, da die längeren Seiten des höheren Dreiecks nicht mit den des weniger hohen Dreiecks übereinstimmen.
  • Netz 3 ist das Netz einer Pyramide, da alle Seiten der Dreiecke sich treffen, d.h. dass die benachbarten Seiten der Dreiecke jeweils gleich lang sind.
  • Netz 4 ist nicht das Netz einer Pyramide, da die Seiten der Dreiecke sich nicht treffen, wenn man die Dreiecke nach unten versucht zusammenzuklappen, d.h. die benachbarten Seiten der Dreiecke sind jeweils nicht gleich lang.
  • Netz 5 ist nicht das Netz einer Pyramide, da die Seiten der Dreiecke sich nicht treffen, d.h. dass die benachbarten Seiten der Dreiecke jeweils nicht gleich lang sind.


Übung 6: Netze von Prismen
Zeichne die folgenden Netze in dein Heft und ergänze fehlende Flächen, damit das Netz eines Prismas entsteht.
Schau dir zunächst noch einmal an, wie ein Prisma aussieht und welche Flächen es hat. Dann überlege dir, welche Flächen in den gegebenen Netzen fehlen könnten.
Vergleiche die angegebenen Lösungen mit deinen eigenen Netzen. Bei dieser Aufgabe solltest du beachten, dass die angegebenen Lösungen nur mögliche Lösungen sind.



Übungen: Schrägbilder


Übung 1
Memory: Gegeben sind Körpernetze und Schrägbilder. Finde die passenden Paare.
Quadratische Pyramide
120px-Hexahedron-slowturn.gif
120px-Hexahedron-slowturn
Hexahedron flat color.svg
Hexahedron flat color
120px-Tetrahedron-slowturn.gif
120px-Tetrahedron-slowturn
Tetrahedron flat
Quader mit Raumdiagonale d
Auseinander geklapptes Netz eines Quaders
dreieckiges Prisma


Übung 2: Schrägbild zeichnen
Wie sieht das Schrägbild des folgenden Körpernetzes aus? Zeichne die Lösung in dein Heft und überprüfe dein Ergebnis mit der angegebenen Lösung.
Falls du keine Idee hast, um welchen Körper es sich hier handeln könnte, schau dir oben noch einmal die Erinnerung der bekannten Körper an.
Wenn du das Netz einem Körper zu ordnen konntest, dann überlege dir welche Seiten zu einander parallel sind.
Das angegebene Netz ist das Netz eines Quaders. Jetzt solltest du es mit den angegebenen Längeneinheiten zeichnen können.
Vergleiche die angegebene Lösung mit deiner Lösung im Heft.


Übung 3: Zeichnung eines Netzes
Zeichne das Netz des folgenden Schrägbildes und benutze die angegebenen Längen. Zeichne das Netz in dein Heft.
Schrägbild Trapezprisma.jpg
Fange mit der größten quadratischen Grundfläche an, und überlege, wie du von hieraus ein Netz formen kannst.
Welche Kanten des Körper musst du ,,einschneiden" um das Netz zu formen? Überlege dir, was passiert, wenn du einige Kanten ,,einschneidest". Entsteht so dein Körpernetz?
,,Schneide" alle Kanten ein, die senkrecht von der quadratischen Grundfläche hochführen. Trenne nun die nicht-rechteckigen Seitenflächen der Grundfläche von der gegenüberliegenden Fläche der Grundfläche. Nun muss nur noch eine Kante ,,eingeschnitten" werden, um das Körpernetz zu erhalten.
Netz Trapezprisma.jpg
So sieht eine mögliche Lösung des Körpernetztes des gegebenen Schrägbildes aus. Die Seiten, die senkrecht der Grundfläche hochgehen, wurden ,,eingeschnitten". Danach wurden die anliegenden nicht-rechteckigen Seiten der Grundfläche von der gegenüberliegenden Fläche der Grundfläche getrennt. Als letztes wurde eine rechteckige Seitenfläche der Grundfläche von der gegenüberliegenden Fläche der Grundfläche getrennt.


Übung 4
Schrägbilder korrigieren: Anna und Tom haben im Unterricht ein paar Schrägbilder gezeichnet. Beurteile, ob die Schrägbilder richtig sind. Falls sie falsch sind, finde die Fehler und korrigiere die Schrägbilder.
Schrägbilder fehler.png
Korrektur.jpg


Übung 5a

Ein Quader hat eine Länge von 8 cm, eine Breite von 8 cm und eine Höhe von 4 cm. Zeichne sein Schrägbild in dein Heft und miss mit dem Lineal nach, wie weit die Ecke unten links vorn von der Ecke oben rechts hinten entfernt ist.

Die gesuchte Strecke ist ( cm lang.) (! cm lang.) (! cm lang.) (! cm lang.)

Zunächst zeichnest du in wahrer Länge die Vorderseite des Quaders. Das Rechteck hat dann eine Länge von cm und eine Höhe von cm.
Im zweiten Schritt zeichnest du von den vier Eckpunkten jeweils eine Hilfsgerade im Neigungswinkel 45°.
Jetzt multiplizierst du die angegebene Breite mit dem Verkürzungsfaktor q = . Die errechnete Kantenlänge von cm soll jetzt die Länge der Hilfsgeraden darstellen. Hier passt du deine anfänglich gezeichneten Hilfsgeraden an die Länge von cm an.
Die neu konstruierten Punkte verbindest du abschließend noch miteinander und zeichnest die nicht sichtbaren Linien gestrichelt ein.
Die gesuchte Strecke beträgt cm.


Übung 5b
Ein gleichseitiges Prisma hat eine Seitenlänge von cm und eine Höhe von cm. Zeichne das Schrägbild in dein Heft und miss mit dem Lineal nach, wie weit die vordere Ecke unten rechts von der hinteren Ecke oben entfernt ist.

Die gesuchte Strecke ist ( cm lang.) (! cm lang.) (! cm lang.) (! cm lang.)

Zunächst zeichnest du die Strecke cm in wahrer Länge.
Da es sich bei dem Körper um ein gleichseitiges Prisma handelt, schneidet die Höhe die Strecke AB genau im Mittelpunkt P. Von diesem Punkt P ziehst du nun in einem Winkel von 45° eine Hilfslinie. Um die Länge der Hilfslinie zu ermitteln, multiplizierst du die angegebene Höhe mit . Hier hätte die Strecke dann eine Länge von cm.
Jetzt verbindest du den entstandenen Punkt C mit den Punkten A und B, um die Grundfläche des Prismas zu erhalten.
Nun zeichnst du jeweils von den Punkten A, B, und C eine senkrechte Linie, die der Höhe von cm entspricht. Um die Konstruktion abzuschließen, verbindest du die weiteren Eckpunkte miteinander.
Die gesuchte Strecke beträgt cm.


Übung 6

Konstruiere die Pyramide mithilfe folgender Konstruktionsbeschreibung. Die Kantenlängen sollst du dir frei wählen.

Schritt 1: Die quadratische Grundfläche der Pyramide (linke Figur) wird als Parallelogramm ABCD (rechte Figur) gezeichnet. Dabei werden die nach hinten verlaufenden Kanten im Winkel von 45° gezeichnet und in ihrer Länge halbiert.

Schritt 2: Die Spitze S der Pyramide wird senkrecht über dem Mittelpunkt der Grundfläche ABCD angenommen.

Schritt 3: Die Spitze S der Pyramide wird mit den Eckpunkten A, B, C und D der Grundfläche verbunden. Sichtbare Linien werden durchgezeichnet. Nicht sichtbare Linien werden punktiert.

Weil die Lösung aufgrund des Programmes nicht in dieser Box angezeigt werden kann, scrolle ganz ans Ende der Seite, um die Lösung zu sehen.


Übung 7
Übung.jpg
Nur der letzte Körper kann sich durch Drehen ergeben.



Unmögliche Figuren

Unmögliche Figuren
Falls Du Dir unsicher bist, was unmögliche Figuren sind, lies Dir die Infobox einmal durch.
Unmögliche Figuren sind grafisch zweidimensionale Figuren, die dreidimensional erscheinen aber körperhaft nicht existieren können. Die geometrischen, dreidimensionalen Objekte kann man in der Realität gar nicht herstellen. Gezeichnet werden können sie auf (dem zweidimensionalen) Papier aber ohne Probleme. Bei den Figuren handelt es sich meist um optische Täuschungen.

Beispiele von unmöglichen Figuren:


Die unmögliche Lattenkiste
Unmöglicher Würfel


Übungen: unmögliche Figuren

Übung 1
Im unteren Kasten siehst du unmögliche Figuren und nicht unmögliche Figuren. Bestimme, ob die Figuren unmöglich sind oder nicht. Ziehe dafür das Bild in den zugehörigen Kasten.
unmögliche Figuren
geometrische Körper/Konstruktionen
Treppe-zp-beisp1.svg


Idee
Vielleicht kennst du ja auch schon ein paar unmögliche Figuren, natürlich nicht aus unserer Realität, aber ja aus Filmen? Eine der obigen Figuren kommt zum Beispiel in einer Szene aus Inception (2010) vor, die du dir hier auf YouTube angucken kannst:



Übung 2

Wie müsste man die unmögliche Kiste bzw. den unmöglichen Würfel verändern, damit diese/r keine unmögliche Figur mehr ist?

Man müsste die hinteren Seitenkannten des Würfels zerschneiden, um die vorderen an dieser Stelle sichtbar zu machen. Einen echten, nicht unmöglichen Kubus siehst du hier:


Falls du noch ein bisschen nachlesen möchtest, wie man den Würfel genau zerschneiden müsste, damit die Illusion im dreidimensionalen Raum dargestellt werden kann, dann schau hier auf Seite 2 nach: https://www.hochbegabte-begleiten.de/images/experimente/illusionen/Tutorium_Berlin-unm%c3%b6gliche_Figuren.pdf


Übung 3 a
Betrachte das Penrose-Dreieck. Welche Besonderheiten fallen dir auf? Wordurch wird die optische Täuschung hervorgerufen? Beantworte im Heft.
Penrose triangle.svg
In welchem Winkel stehen die Seiten des Dreiecks aufeinander?


Übung 3 b
Welches mathematische Gesetz zeigt, dass das Dreieck im Dreidimensionalen nicht existieren kann?
Was beträgt die Winkelsumme eines "möglichen" Dreiecks?
Das Penrose Dreieck hat drei Seiten, die jeweils im rechten Winkel zueinander stehen und dennoch zu einem Dreieck verbunden sind. Damit verstößt es gegen mehrere mathematische Gesetze der Geometrie. Zum Beispiel beträgt die Winkelsumme in einem Dreieck immer 180°.





Quellen



Pyramidenaufgabe Übung 6 Lösung:
GeoGebra