Digitale Werkzeuge in der Schule/Fit für VERA-8/Stochastik: Unterschied zwischen den Versionen
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In diesem Lernpfadkapitel kannst du deine Kenntnisse in der Stochastik verbessern und vertiefen. Es gibt | In diesem Lernpfadkapitel kannst du deine Kenntnisse in der Stochastik verbessern und vertiefen. Es gibt drei Themengebiete, auf die du über das Inhaltsverzeichnis zugreifen kannst. | ||
Zum Lösen der Aufgaben benötigst du Stift, Papier und deinen Taschenrechner. Bitte runde Dezimalzahlen auf 2 Nachkommastellen genau. | Zum Lösen der Aufgaben benötigst du Stift, Papier und deinen Taschenrechner. Bitte runde Dezimalzahlen auf 2 Nachkommastellen genau. | ||
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{{Box | Zufallsexperimente | | {{Box | Zufallsexperimente | | ||
Ein '''Zufallsexperiment''' ist ein Versuch mit zufälligem Ausgang. Zunächst schaust du, wie viele mögliche Ergebnisse es zu dem gefragten Ereignis gibt. Außerdem | Ein '''Zufallsexperiment''' ist ein Versuch mit zufälligem Ausgang. Zunächst schaust du, wie viele mögliche Ergebnisse es zu dem gefragten Ereignis gibt. Außerdem ist die Zahl aller möglichen Ergebnisse wichtig. | ||
Die Wahrscheinlichkeit berechnet sich dann aus <math>\tfrac{\text{Anzahl der Ergebnisse zu gefragten Ereignis}}{\text{Anzahl aller möglichen Ergebnisse}} </math>. | Merksatz}} | Die Wahrscheinlichkeit berechnet sich dann aus <math>\tfrac{\text{Anzahl der Ergebnisse zu gefragten Ereignis}}{\text{Anzahl aller möglichen Ergebnisse}} </math>. | ||
Anders als bei der relativen Häufigkeit, können die Ergebnisse an sich mit unterschiedlicher Wahrscheinlichkeit auftreten.| Merksatz}} | |||
{{Box | Beispiel zu den Zufallsexperimenten | | |||
Berechnet man die Wahrscheinlichkeit davon, dass beim Drehen dieses Glücksrad auf "rot" stehen bleibt, so betrachtet man den Anteil der roten Fläche an der gesamten Fläche des Glückrades. | |||
Diese beträgt <math>75 %</math>. Das heißt, die Wahrschienlichkeit, dass das Glücksrad auf rot stehen bleibt, liegt bei <math>75 %</math> oder <math>\tfrac{3}{4}</math>. | Hervorhebung1}} | |||
{{Box | Baumdiagramme| | {{Box | Baumdiagramme| | ||
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In einer Klasse sind 14 Jungen und 13 Mädchen. Es werden Beauftragte für verschiedene Klassendienste gelost. | In einer Klasse sind 14 Jungen und 13 Mädchen. Es werden Beauftragte für verschiedene Klassendienste gelost. | ||
'''a)''' Für den Blumendienst wird eine Person gelost. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass es ein Junge ist? | '''a)''' Für den Blumendienst wird eine Person gelost. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass es ein Junge ist? | ||
Wenn du hier die Wahrscheinlichkeit in Prozent berechnest, gib die Prozentzahl mit zwei Nachkommastellen an. | |||
{{Lösung versteckt|1= Zeichne ein Baumdiagramm. Was sind die Ereignisse? | {{Lösung versteckt|1= Zeichne ein Baumdiagramm. Was sind die Ereignisse? | ||
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[[Datei:Baumdiagramm A1 a.jpg|zentriert]] | [[Datei:Baumdiagramm A1 a.jpg|zentriert]] | ||
Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Junge den Dienst bekommt, liegt also bei <math>\tfrac{14}{27}</math>. | Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Junge den Dienst bekommt, liegt also bei <math>\tfrac{14}{27}</math> bzw. bei ungefähr <math>51{,}85 %</math>. | ||
|2= Lösung |3= Lösung}} | |2= Lösung |3= Lösung}} | ||
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{{Lösung versteckt|1= Wie viele Personen stehen nun zur Auswahl? {{ Lösung versteckt| 1= Zeichne ein Baumdiagramm. Wie viele Ereignisse gibt es?|2=Tipp|3=Tipp}}|2=Tipps|3=Tipp}} | {{Lösung versteckt|1= Wie viele Personen stehen nun zur Auswahl? {{ Lösung versteckt| 1= Zeichne ein Baumdiagramm. Wie viele Ereignisse gibt es?|2=Tipp|3=Tipp}}|2=Tipps|3=Tipp}} | ||
{{Lösung versteckt|1= Wenn man ein Baumdiagramm zeichnet, so müssen | {{Lösung versteckt|1= Wenn man ein Baumdiagramm zeichnet, so müssen drei Ereignisse dargestellt werden: | ||
1. Ein Junge wird gelost. | 1. Ein Junge wird gelost. | ||
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[[Datei:Baumdiagramm A1 b.jpg|zentriert]] | [[Datei:Baumdiagramm A1 b.jpg|zentriert]] | ||
Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Lehrperson selbst die Tafel putzen muss, liegt bei <math>\tfrac{1}{28}</math>. | Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Lehrperson selbst die Tafel putzen muss, liegt bei <math>\tfrac{1}{28}</math> bzw. bei <math>3{,}57 %</math>. | ||
|2= Lösung |3= Lösung}} | |2= Lösung |3= Lösung}} | ||
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{{Box | Komplementärregel| | {{Box | Komplementärregel| | ||
Hat ein Experiment genau zwei Ereignisse, so spricht man von Ereignis und Gegenereignis. Die Wahrscheinlichkeiten der beiden ergeben in der Summe 1: | Hat ein Experiment genau zwei Ereignisse, so spricht man von Ereignis <math>E</math> und Gegenereignis <math>\bar E</math>. Die Wahrscheinlichkeiten der beiden ergeben in der Summe <math>1</math>: | ||
<math>P(E)+P(\bar E)=1</math> | <math>P(E)+P(\bar E)=1</math>. | ||
| Merksatz}} | | Merksatz}} | ||
{{Box | Aufgabe 7: Schulfest | | {{Box | Aufgabe 7: Schulfest | | ||
Bei eurem Schulfest gibt es eine Tombola. Es geht darum, aus einem Glas eine Kugel | Bei eurem Schulfest gibt es eine Tombola. Es geht darum, aus einem Glas eine Kugel zu ziehen. Bevor du ohne Hinschauen ziehen darfst, wird dir einmal der Inhalt des Glases gezeigt. Du zählst die Kugeln. Außerdem steht ein Schild neben der Urne (Abbildung 2). Du kannst auf die Bilder klicken, um sie in vergrößerter Form zu sehen. | ||
[[Datei:Urne A2 1.jpg|mini|Abbildung 1]][[Datei:Plakat.jpg|mini|Abbildung 2]] | [[Datei:Urne A2 1.jpg|mini|links|Abbildung 1]][[Datei:Plakat.jpg|mini|zentriert|Abbildung 2]] | ||
{{Lösung versteckt| 1= Es sind 20 blaue | {{Lösung versteckt| 1= Es sind <math>20</math> blaue, <math>12</math> rote, <math>9</math> gelbe und <math>3</math> grüne Kugeln. |2=Hilfe, falls du die Farben nicht unterscheiden kannst.|3=Hilfe, falls du die Farben nicht unterscheiden kannst.}} | ||
Nun ziehst du ohne hinzuschauen eine Kugel. | Nun ziehst du ohne hinzuschauen eine Kugel. | ||
'''a)''' Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass du einen Stift gewinnst (gelbe Kugel)? Gib die Lösung in Prozent an. | '''a)''' Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass du einen Stift gewinnst (gelbe Kugel)? Gib die Lösung in Prozent an. Runde das Ergebnis auf zwei Nachkommastellen. | ||
{{Lösung versteckt| 1= Zeichne ein Baumdiagramm. Wie viele Ereignisse gibt es?|2=Tipp|3=Tipp}} | {{Lösung versteckt| 1= Zeichne ein Baumdiagramm. Wie viele Ereignisse gibt es?|2=Tipp|3=Tipp}} | ||
{{Lösung versteckt|1= Hier kann man das Baumdiagramm auf | {{Lösung versteckt|1= Hier kann man das Baumdiagramm auf zwei Arten zeichnen. | ||
Man kann | Man kann ein Baumdiagramm mit vier Ereignissen zeichnen: | ||
1. Die Kugel ist grün. | 1. Die Kugel ist grün. | ||
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[[Datei:Baumdiagramm A2 a.jpg|zentriert]] | [[Datei:Baumdiagramm A2 a.jpg|zentriert]] | ||
Optional kann man man | Optional kann man man ein Baumdiagramm mit zwei Ereignissen zeichnen: | ||
1. Die Kugel ist gelb. | 1. Die Kugel ist gelb. | ||
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Rechne das nun in Prozent um: | Rechne das nun in Prozent um: | ||
<math>\tfrac{9}{44} \approx 0,2045 = 20,45 %.</math> | <math>\tfrac{9}{44} \approx 0{,}2045 = 20{,}45 %.</math> | ||
Die Wahrscheinlichkeit einen Stift zu gewinnen liegt bei 20,45%. | Die Wahrscheinlichkeit einen Stift zu gewinnen liegt bei <math>20{,}45 %</math>. | ||
|2= Lösung |3= Lösung }} | |2= Lösung |3= Lösung }} | ||
'''b)''' Oben auf dem Plakat steht: "Hier ist Gewinnen wahrscheinlicher, als Verlieren!". Stimmt das? | '''b)''' Oben auf dem Plakat steht: "Hier ist Gewinnen wahrscheinlicher, als Verlieren!". Stimmt das? Begründe. | ||
{{Lösung versteckt| 1= Zeichne ein Baumdiagramm. Wie viele Ereignisse gibt es?|2=Tipp|3=Tipp}} | {{Lösung versteckt| 1= Berechne zunächst die einzelnen Wahrscheinlichkeiten.Gibt die Lösung wieder in Prozent an. Runde das Ergebnis auf zwei Nachkommastellen. {{Lösung versteckt| 1= Zeichne ein Baumdiagramm. Wie viele Ereignisse gibt es?|2=Tipp|3=Tipp}}|2=Tipp|3=Tipp}} | ||
<quiz display="simple"> | <quiz display="simple"> | ||
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</quiz> | </quiz> | ||
{{Lösung versteckt|1= Auch hier kann das Baumdiagramm auf | {{Lösung versteckt|1= Auch hier kann das Baumdiagramm auf zwei Arten gezeichnet werden: | ||
Man kann | Man kann ein Baumdiagramm mit vier Ereignissen zeichnen: | ||
1. Die Kugel ist grün. | 1. Die Kugel ist grün. | ||
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[[Datei:Baumdiagramm A2 a.jpg|zentriert]] | [[Datei:Baumdiagramm A2 a.jpg|zentriert]] | ||
Optional kann eines mit | Optional kann eines mit zwei Ereignissen gezeichnet werden: | ||
Die Wahrscheinlichkeit für das Gewinnen ergibt sich aus der Komplementärregel. Die relative Häufigkeit der blauen Kugeln, mit denen man verliert, liegt bei <math>\tfrac{20}{44}=\tfrac{5}{11}</math>. Die Komplementärregel ergibt dann für das Gewinnen: <math>1-\tfrac{5}{11}=\tfrac{6}{11}</math>. | Die Wahrscheinlichkeit für das Gewinnen ergibt sich aus der Komplementärregel. Die relative Häufigkeit der blauen Kugeln, mit denen man verliert, liegt bei <math>\tfrac{20}{44}=\tfrac{5}{11}</math>. Die Komplementärregel ergibt dann für das Gewinnen: <math>1-\tfrac{5}{11}=\tfrac{6}{11}</math>. | ||
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Nun rechnet man die Brüche in Prozent um: | Nun rechnet man die Brüche in Prozent um: | ||
Wahrscheinlichkeit zu verlieren: <math>\tfrac{5}{11} \approx 0,4545 = 45,45 %</math>. | Wahrscheinlichkeit zu verlieren: <math>\tfrac{5}{11} \approx 0{,}4545 = 45{,}45 %</math>. | ||
Wahrscheinlichkeit zu gewinnen: <math>100%-45,45%=54,55%</math>. | Wahrscheinlichkeit zu gewinnen: <math>100 %-45{,}45%=54{,}55%</math>. | ||
Die Wahrscheinlichkeit, zu gewinnen liegt bei 54,55 %, die zu verlieren bei 45,45%. Die Aussage stimmt also. | Die Wahrscheinlichkeit, zu gewinnen liegt bei <math>54{,}55 %</math>, die zu verlieren bei <math>45{,}45 %</math>. Die Aussage stimmt also. | ||
|2= Lösung |3= Lösung }} | |2= Lösung |3= Lösung }} | ||
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[[Datei:Pfadregel Multiplikation.jpg|zentriert]] | [[Datei:Pfadregel Multiplikation.jpg|zentriert]] | ||
Die Wahrscheinlichkeit von (Ereignis A <math>\mid</math> Ereignis B) ist dann: | Die Wahrscheinlichkeit von (Ereignis A <math>\mid</math> Ereignis B)* ist dann: | ||
<math>P(\text{Ereignis A} | \text{Ereignis B})= \text{Wahrscheinlichkeit A} \cdot \text{Wahrscheinlichkeit B} </math> | <math>P(\text{Ereignis A} | \text{Ereignis B})= \text{Wahrscheinlichkeit A} \cdot \text{Wahrscheinlichkeit B} </math> | ||
* Diese Schreibweise heißt, dass das Ereignis B bereits bekannt ist. Man möchte nun schauen, wie wahrscheinlich es ist, dass davor bereits Ereignis A eingetreten ist. Man sagt dann: "Die Wahrscheinlichkeit für Ereignis A unter der Voraussetzung, dass Ereignis B eingetreten ist." | |||
| Merksatz}} | | Merksatz}} | ||
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[[Datei:Glücksrad A3.jpg|zentriert]] | [[Datei:Glücksrad A3.jpg|zentriert]] | ||
{{Lösung versteckt| 1= Es gibt | {{Lösung versteckt| 1= Es gibt ein rotes Feld, zwei orangene, vier gelbe, fünf grüne und sieben blaue Felder. |2=Hilfe, falls du die Farben nicht unterscheiden kannst.|3=Hilfe, falls du die Farben nicht unterscheiden kannst.}} | ||
Man kann Folgendes gewinnen: | Man kann Folgendes gewinnen: | ||
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'''a)''' Du hast einmal gedreht und landest auf einem grünen Feld. Du darfst also | '''a)''' Du hast einmal gedreht und landest auf einem grünen Feld. Du darfst also noch einmal drehen. Beim zweiten Drehen landest du auf dem roten Feld. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass diese beiden Fälle direkt hintereinander eintreten? | ||
{{Lösung versteckt| 1= Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit | {{Lösung versteckt| 1= Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit noch einmal drehen zu dürfen? Zeichne hierzu ein Baumdiagramm. {{Lösung versteckt| 1= Nun kannst du das Baumdiagramm fortführen. Verwende die Pfadmultiplikationsregel.|2=Tipp|3= Tipp}}|2=Tipp|3=Tipp}} | ||
{{Lösung versteckt|1= | {{Lösung versteckt|1= | ||
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</quiz> | </quiz> | ||
{{Lösung versteckt|1= Ein vereinfachtes Baumdiagramm hat | {{Lösung versteckt|1= Ein vereinfachtes Baumdiagramm hat zwei Ereignisse: | ||
1. Das Feld ist rot. | 1. Das Feld ist rot. |
Version vom 28. November 2020, 14:05 Uhr
Absolute und relative Häufigkeit
Zufallsexperimente
Laplace-Experimente