Digitale Werkzeuge in der Schule/Fit für VERA-8/Lineare Funktionen: Unterschied zwischen den Versionen
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'''<span style="color: orange">b)</span>''' <math>f(x) = -3x+ 3</math> | '''<span style="color: orange">b)</span>''' <math>f(x) = -3x+ 3</math> | ||
'''<span style="color: blue">c)</span>''' <math>f(x)= -\frac{5}{6}x+ 2,5</math> | '''<span style="color: blue">c)</span>''' <math>f(x)= -\frac{5}{6}x+ 2{,}5</math> | ||
{{Lösung versteckt|1= Es gibt zwei mögliche Wege einen Graphen zu zeichnen. | {{Lösung versteckt|1= Es gibt zwei mögliche Wege einen Graphen zu zeichnen. | ||
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{{Lösung versteckt|1= | {{Lösung versteckt|1= | ||
[[Datei:Geogebra-export (2).png|rechts|mini|200px]] | [[Datei:Geogebra-export (2).png|rechts|mini|200px]] | ||
Betrachten wir als Beispiel die Funktionsgleichung <math>f(x)= -1,5x+4</math>. <br/> | Betrachten wir als Beispiel die Funktionsgleichung <math>f(x)= -1{,}5x+4</math>. <br/> | ||
Dabei gibt <math>b=4</math> den Schnittpunkt mit der <math>y</math>- Achse im Koordinatensystem an. Wir wissen also, dass der Graph der Funktion durch den Punkt <math>P(0|4)</math> verläuft. <br/> | Dabei gibt <math>b=4</math> den Schnittpunkt mit der <math>y</math>- Achse im Koordinatensystem an. Wir wissen also, dass der Graph der Funktion durch den Punkt <math>P(0|4)</math> verläuft. <br/> | ||
Nun betrachten wir die Steigung welche durch <math>m= - 1,5</math> gegeben ist. Du kannst dann vom Punkt <math>P(0|4)</math> eine Einheit nach rechts und 1,5 nach unten gehen, weil die Steigung negativ ist. <br/> | Nun betrachten wir die Steigung welche durch <math>m= - 1{,}5</math> gegeben ist. Du kannst dann vom Punkt <math>P(0|4)</math> eine Einheit nach rechts und <math>1{,}5</math> nach unten gehen, weil die Steigung negativ ist. <br/> | ||
( An dem Punkt könntest du, wenn dir 1,5 nicht so gut passt, auch ein Vielfaches nehmen. Du darfst dann aber nicht vergessen auch zunächst das Vielfache nach rechts zu gehen) | ( An dem Punkt könntest du, wenn dir <math>1{,}5</math> nicht so gut passt, auch ein Vielfaches nehmen. Du darfst dann aber nicht vergessen auch zunächst das Vielfache nach rechts zu gehen) | ||
|2= Möglichkeit 1|3= Möglichkeit 1 schließen}} | |2= Möglichkeit 1|3= Möglichkeit 1 schließen}} | ||
{{Lösung versteckt|1= | {{Lösung versteckt|1= | ||
[[Datei:Geogebra-export (2).png|rechts|mini|200px]] | [[Datei:Geogebra-export (2).png|rechts|mini|200px]] | ||
Betrachten wir die Funktionsgleichung <math>f(x)= -1,5x+4</math> <br/> | Betrachten wir die Funktionsgleichung <math>f(x)= -1{,}5x+4</math> <br/> | ||
Bei diesem Verfahren setzt du zwei verschiedene <math>x</math>-Werte in die Gleichung ein. Versuche einfache Werte zu wählen.<br/> | Bei diesem Verfahren setzt du zwei verschiedene <math>x</math>-Werte in die Gleichung ein. Versuche einfache Werte zu wählen.<br/> | ||
Du könntest zum Beispiel <math>x=0</math> wählen. Dann wäre <math>f(0)=-1,5\cdot0+4= 0.</math> Dies wäre der Punkt <math>A(0|4)</math>. <br/> | Du könntest zum Beispiel <math>x=0</math> wählen. Dann wäre <math>f(0)=-1{,}5\cdot0+4= 0.</math> Dies wäre der Punkt <math>A(0|4)</math>. <br/> | ||
Als nächstes wählst du eine andere Zahl, z. B. <math>x=4</math>. Dann wäre <math>f(4)= -1,5\cdot4+4=-6+4= -2</math>. Dies wäre der Punkt <math>B(4|-6)</math>. <br/> | Als nächstes wählst du eine andere Zahl, z. B. <math>x=4</math>. Dann wäre <math>f(4)= -1{,}5\cdot4+4=-6+4= -2</math>. Dies wäre der Punkt <math>B(4|-6)</math>. <br/> | ||
Nun zeichne beide Punkte in ein Koordinatensystem ein. Verbinde diese mit einer Geraden durch die Punkte. | Nun zeichne beide Punkte in ein Koordinatensystem ein. Verbinde diese mit einer Geraden durch die Punkte. | ||
|2= Möglichkeit 2|3= Möglichkeit 2 schließen}} | |2= Möglichkeit 2|3= Möglichkeit 2 schließen}} | ||
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'''Möglichkeit 1:'''<br/> | '''Möglichkeit 1:'''<br/> | ||
Die Funktionsgleichung <math> f(x)=2x-1 </math> schneidet die <math>y</math>- Achse im Punkt <math> P(0|-1) </math> ,da <math> b=-1 </math> den Schnittpunkt mit der <math>y</math>-Achse angibt. Diesen Wert kannst du also direkt ablesen. <br/> | Die Funktionsgleichung <math> f(x)=2x-1 </math> schneidet die <math>y</math>- Achse im Punkt <math> P(0|-1) </math> ,da <math> b=-1 </math> den Schnittpunkt mit der <math>y</math>-Achse angibt. Diesen Wert kannst du also direkt ablesen. <br/> | ||
Nun betrachten wir die Steigung <math> m=2 </math>. Wir können vom Punkt <math> P </math> nun eine Einheit nach rechts und 2 nach oben gehen, da die Steigung positiv ist.<br/> Verbindet man nun diese Punkte, so erhält man den Graph der Funktion.<br/> | Nun betrachten wir die Steigung <math> m=2 </math>. Wir können vom Punkt <math> P </math> nun eine Einheit nach rechts und <math>2</math> nach oben gehen, da die Steigung positiv ist.<br/> Verbindet man nun diese Punkte, so erhält man den Graph der Funktion.<br/> | ||
'''Möglichkeit 2:'''<br/> | '''Möglichkeit 2:'''<br/> | ||
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'''Möglichkeit 1:'''<br/> | '''Möglichkeit 1:'''<br/> | ||
Die Funktionsgleichung <math> f(x) = -3x+ 3 </math> schneidet die <math>y</math>- Achse im Punkt <math> P(0|3) </math> ,da <math> b=3 </math> den Schnittpunkt mit der <math>y</math>-Achse angibt. Diesen Wert kannst du also direkt ablesen. <br/> | Die Funktionsgleichung <math> f(x) = -3x+ 3 </math> schneidet die <math>y</math>- Achse im Punkt <math> P(0|3) </math> ,da <math> b=3 </math> den Schnittpunkt mit der <math>y</math>-Achse angibt. Diesen Wert kannst du also direkt ablesen. <br/> | ||
Nun betrachten wir die Steigung <math> m=-3 </math>. Wir können vom Punkt <math> P </math> nun eine Einheit nach rechts und 3 nach unten gehen, da die Steigung negativ ist.<br/> Verbindet man nun diese Punkte, so erhält man den Graph der Funktion.<br/> | Nun betrachten wir die Steigung <math> m=-3 </math>. Wir können vom Punkt <math> P </math> nun eine Einheit nach rechts und <math>3</math> nach unten gehen, da die Steigung negativ ist.<br/> Verbindet man nun diese Punkte, so erhält man den Graph der Funktion.<br/> | ||
'''Möglichkeit 2:'''<br/> | '''Möglichkeit 2:'''<br/> | ||
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{{Lösung versteckt|1=[[Datei:Geogebra-export (5).png|mini|rechts]] | {{Lösung versteckt|1=[[Datei:Geogebra-export (5).png|mini|rechts]] | ||
'''Möglichkeit 1:''' <br/> | '''Möglichkeit 1:''' <br/> | ||
Die Funktionsgleichung <math> f(x)= -\frac{5}{6}x+ 2,5</math> schneidet die <math>y</math>- Achse im Punkt <math> P(0|2,5) </math> ,da <math> b=2,5 </math> den Schnittpunkt mit der <math>y</math>-Achse angibt. Diesen Wert kannst du also direkt ablesen. <br/> | Die Funktionsgleichung <math> f(x)= -\frac{5}{6}x+ 2{,}5</math> schneidet die <math>y</math>- Achse im Punkt <math> P(0|2,5) </math> ,da <math> b=2{,}5 </math> den Schnittpunkt mit der <math>y</math>-Achse angibt. Diesen Wert kannst du also direkt ablesen. <br/> | ||
Nun betrachten wir die Steigung <math> m=-\frac{5}{6} </math>. Wir könnten vom Punkt <math> P </math> nun eine Einheit nach rechts und <math>\frac{5}{6}</math> nach unten gehen, da die Steigung negativ ist.<br/> Da dies allerdings schwierig und ungenau abzulesen ist, bietet es sich hier an, stattdessen ein Vielfaches der Steigung zu gehen. Multiplizieren wir die Steigung z. B. mit 3 erhalten wir <math> \frac{5}{6}\cdot3=\frac{15}{6} =\frac{5}{2}=2,5 </math>. Dieser Wert ist deutlich einfacher einzuzeichnen in ein Koordinatensystem. Wir gehen nun also von dem Punkt <math> P </math> 3 Einheiten nach rechts, weil wir die Steigung ja mit 3 multipliziert haben. Dann gehen wir 2,5 Einheiten nach unten, da die Steigung negativ ist. Nun sind wir bei dem Punkt <math> Q=(3|0) </math> ausgekommen, welchen man gut in ein Koordinatensystem einzeichnen kann.<br/> Verbindet man nun diese Punkte, so erhält man den Graph der Funktion.<br/> | Nun betrachten wir die Steigung <math> m=-\frac{5}{6} </math>. Wir könnten vom Punkt <math> P </math> nun eine Einheit nach rechts und <math>\frac{5}{6}</math> nach unten gehen, da die Steigung negativ ist.<br/> Da dies allerdings schwierig und ungenau abzulesen ist, bietet es sich hier an, stattdessen ein Vielfaches der Steigung zu gehen. Multiplizieren wir die Steigung z. B. mit <math>3</math> erhalten wir <math> \frac{5}{6}\cdot3=\frac{15}{6} =\frac{5}{2}=2{,}5 </math>. Dieser Wert ist deutlich einfacher einzuzeichnen in ein Koordinatensystem. Wir gehen nun also von dem Punkt <math> P </math> <math>3</math> Einheiten nach rechts, weil wir die Steigung ja mit <math>3</math> multipliziert haben. Dann gehen wir <math>2{,}5</math> Einheiten nach unten, da die Steigung negativ ist. Nun sind wir bei dem Punkt <math> Q=(3|0) </math> ausgekommen, welchen man gut in ein Koordinatensystem einzeichnen kann.<br/> Verbindet man nun diese Punkte, so erhält man den Graph der Funktion.<br/> | ||
'''Möglichkeit 2:'''<br/> | '''Möglichkeit 2:'''<br/> | ||
Bei dieser Lösungsmöglichkeit wählen wir zwei verschiedene <math>x</math>- Werte. | Bei dieser Lösungsmöglichkeit wählen wir zwei verschiedene <math>x</math>- Werte. | ||
Zunächst könnte man <math> x= 0 </math> in die Funktionsgleichung einsetzten und man erhält <math> f(0)= -\frac{5}{6}\cdot0+ 2,5= 2,5 </math>, also den Punkt <math> A=(0|2,5) </math>.<br/> | Zunächst könnte man <math> x= 0 </math> in die Funktionsgleichung einsetzten und man erhält <math> f(0)= -\frac{5}{6}\cdot0+ 2{,}5= 2{,}5 </math>, also den Punkt <math> A=(0|2,5) </math>.<br/> | ||
Als nächstes könnte man z. B. <math> x=3 </math> wählen. Dann erhält man durch einsetzten in die Funktionsgleichung <math> f(3)=-\frac{5}{6}\cdot3+ 2,5=-\frac{15}{6}+ 2,5= -\frac{5}{2}+2,5=-2,5+2,5=0 </math>. Dies wäre dann der Punkt <math> B=(3|0) </math>.<br/> | Als nächstes könnte man z. B. <math> x=3 </math> wählen. Dann erhält man durch einsetzten in die Funktionsgleichung <math> f(3)=-\frac{5}{6}\cdot3+ 2{,}5=-\frac{15}{6}+ 2{,}5= -\frac{5}{2}+2{,}5=-2{,}5+2{,}5=0 </math>. Dies wäre dann der Punkt <math> B=(3|0) </math>.<br/> | ||
Nun verbindet man im letzten Schritt die beiden Punkte und erhält den Graphen der Funktion. | Nun verbindet man im letzten Schritt die beiden Punkte und erhält den Graphen der Funktion. | ||
|2=Lösung zu c)|3=Lösung zu c) schließen}} | |2=Lösung zu c)|3=Lösung zu c) schließen}} |
Version vom 30. November 2020, 07:52 Uhr
Wiederholung: Was ist eine Funktion?
Lineare Funktionen erkennen
Graph einer linearen Funktion
Bestimmung von Funktionsgleichungen
Graphen und ihre Punkte
Schnittpunkte von linearen Funktionen
Schnittpunkt mit der -Achse (Nullstelle)
Schnittpunkt von zwei linearen Funktionen
Anwendungsaufgaben
Löse die folgenden Aufgaben in deinem Heft.