Info
In diesem Lernpfadkapitel lernst du das Wichtigste zum Thema Einfache Gleichungen. Am Anfang des Kapitels kannst du die wichtigsten Begriffe wiederholen und dann dein Wissen in verschiedenen Aufgaben anwenden. Zum Anfang des Kapitels sind die Aufgaben leichter und werden zum Ende hin schwerer. Wir unterscheiden folgende Aufgabentypen:
- In Aufgaben, die orange gefärbt sind, kannst du grundlegende Kompetenzen wiederholen und vertiefen.
- Aufgaben in blauer Farbe sind Aufgaben mittlerer Schwierigkeit.
- Und Aufgaben mit grünem Streifen sind Aufgaben hoher Schwierigkeit.
Viel Erfolg!
Am Ende dieses Kapitels solltest du ...
- ... wissen, was eine Variable, ein Term, eine Gleichung und die Lösungsmenge sind.
- ... vorgegebene Gleichungen nach der Variable auflösen, die Probe durchführen und die Lösungsmenge angeben können.
- ... kurze Zahlenrätsel in Gleichungen überführen und lösen können.
- ... Gleichungen aus Aufgaben im Sachzusammenhang aufstellen und lösen können.
Die wichtigsten Definitionen und Begriffe in diesem Kapitel
Die wichtigsten Begriffe, die du zum Bearbeiten der Aufgaben benötigst, werden hier in Merkkästen erklärt. Sollten dir diese Begriffe schon vertraut sein, kannst du diesen Teil überspringen und mit den Aufgaben starten. Falls du während der Bearbeitung einer Aufgabe unsicher bist, kannst du immer in diesen Abschnitt zurückkehren und dir die Merkkästen erneut durchlesen.
Variable
Variablen sind sogenannte
Platzhalter in Gleichungen. Für diese Platzhalter können beliebige Zahlen einsetzt werden, für die die Gleichung korrekt bleibt. Die Platzhalter sind in den meisten Fällen Buchstaben, wie z.B.
![{\displaystyle x}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4)
,
![{\displaystyle b}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f11423fbb2e967f986e36804a8ae4271734917c3)
,
![{\displaystyle a}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ffd2487510aa438433a2579450ab2b3d557e5edc)
,
![{\displaystyle h}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b26be3e694314bc90c3215047e4a2010c6ee184a)
....
Term
Ein Term ist eine Kombination aus Variablen, Zahlen, mathematischen Verknüpfungen (
,
,...) und Klammern.
Beispiele sind:
oder
oder
.
Gleichung
Eine
Gleichung ist ein mathematischer Ausdruck, der aus zwei
Termen besteht, die durch ein „
![{\displaystyle =}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/505a4ceef454c69dffd23792c84b90f488543743)
“–Zeichen miteinander verbunden sind.
Lösungsmenge
Um eine Gleichung zu lösen, müssen alle Zahlen gefunden werden, für die beim Einsetzen die Gleichung erfüllt ist. Die Menge aller Lösungen wird Lösungsmenge
genannt.
Beispiel:
Die Gleichung
![{\displaystyle 5-x=3}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d12cbb37a5292900f1f1e5cb8c097786e43448a3)
lässt sich leicht lösen:
![{\displaystyle x=2}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9f39b6e42e5ffb81ac7b051b9e48b9a91d0713c7)
. Dann erhalten wir die Löungsmenge
![{\displaystyle \mathbb {L} =\{2\}}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f6d7046e34e5742c8499f5d1ca6181aba15658b0)
.
Alles in der Waage
Aufgabe 1: Waagschalenvergleich
Bring die Waage für verschiedene
![{\displaystyle x}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4)
ins Gleichgewicht. Nimm dann auf beiden Seiten der Waage gleich viele Kugeln weg. Was kannst du beobachten?
Gleichungen lösen
Beispiel 1: Richtig Gleichungen lösen
Wenn du eine Gleichung lösen möchtest, musst du sie zunächst nach der Variable auflösen. Diese Variable soll am Ende isoliert, d.h. alleine, auf einer Seite der Gleichung stehen. Wir schauen uns ein Beispiel an:
.
Um diese Gleichung zu lösen, müssen wir zunächst die binomische Formel berechnen.
Jetzt können wir wie gewohnt nach
auflösen.
Probe:
.
Wir erhalten also die Lösungsmenge
.
Aufgabe 2: Lösungsmenge bestimmen
Bestimme die Lösungsmenge der Gleichung. Führe, wenn möglich, eine Probe durch.
Wenn du nicht mehr weißt, was die Lösungsmenge ist, schau bei den Definitionen nach.
a)
Probe:
![{\displaystyle {\begin{aligned}&&8^{2}-64&=0\\\Leftrightarrow &&64-64&=0\\\Leftrightarrow &&0&=0\end{aligned}}}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8d8d0994150d091f5d3e7019bb2d918f3d5f4838)
b)
Das ist ein Widerspruch. Deshalb ist die Lösungsmenge leer:
![{\displaystyle \mathbb {L} =\{\}}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/997dcc229a91a87d787ae13ebfe42078e64cb3eb)
.
c)
Ein Produkt ist dann
, wenn einer der Faktoren
ist. Deshalb kann man die Aufgabe so lösen:
Probe:
![{\displaystyle {\begin{aligned}&&5\cdot (5-5)&=0\\\Leftrightarrow &&5\cdot 0&=0\\\Leftrightarrow &&0&=0\end{aligned}}}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4143c0e772a13e7fe9b22466058009889d996da4)
d)
Probe:
![{\displaystyle {\begin{aligned}&&3\cdot 3+7&=16\\\Leftrightarrow &&9+7&=16\\\Leftrightarrow &&16&=16\end{aligned}}}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3237f8c18fd23748b5fa7e9dd42f34e52217c606)
e)
Probe:
![{\displaystyle {\begin{aligned}&&\left({\frac {8}{3}}+3\right)^{2}-\left({\frac {8}{3}}\right)^{2}&=25\\\Leftrightarrow &&\left({\frac {17}{3}}\right)^{2}-\left({\frac {8}{3}}\right)^{2}&=25\\\Leftrightarrow &&{\frac {289}{9}}-{\frac {64}{9}}&=25\\\Leftrightarrow &&{\frac {289-64}{9}}&=25\\\Leftrightarrow &&{\frac {225}{9}}&=25\\\Leftrightarrow &&25&=25\\\end{aligned}}}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/161199d6e3731d61100f37f71b57827871a663ed)
Zahlenrätsel
Aufgabe 3: Finde die gesuchte Zahl
Wenn man zur Zahl
![{\displaystyle 12}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a522d3aa5812a136a69f06e1b909d809e849be39)
das Doppelte einer Zahl addiert, so erhält man das Vierfache der gesuchten Zahl. Stelle eine geeignete Gleichung auf und gib die gesuchte Zahl an.
Überleg dir, wie man das Doppelte und das Vierfache einer Zahl als Term schreibt.
Zunächst übersetzen wir die Informationen aus der Aufgabenstellung in eine mathematische Schreibweise:
Das Doppelte einer Zahl:
Zur Zahl
das Doppelte einer Zahl addieren:
. Dies wird die linke Seite der Gleichung bilden.
Das Vierfache der gesuchten Zahl:
. Dies ist die rechte Seite der Gleichung.
Wir erhalten also die Gleichung:
.
Um das gesuchte
zu finden, müssen wir die Gleichung lösen, indem wir sie nach
umstellen. Achte darauf alle Umformungen immer auf beiden Seiten der Gleichung durchzuführen.
.
Die gesuchte Zahl ist
.
Probe:
\Leftrightarrow
\Leftrightarrow
![{\displaystyle 24=24}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/16d9b223bdffe66d254eb3b289bef85d4e26a373)
Aufgabe 4: Alter der Mutter
Die Mutter von Leon ist
![{\displaystyle 3}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/991e33c6e207b12546f15bdfee8b5726eafbbb2f)
-mal so alt wie er. In
![{\displaystyle 12}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a522d3aa5812a136a69f06e1b909d809e849be39)
Jahren wird sie doppelt so alt sein wie Leon. Wie alt sind Leon und seine Mutter heute?
Beachte, dass sich das doppelte Alter auf das Alter in
![{\displaystyle 12}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a522d3aa5812a136a69f06e1b909d809e849be39)
Jahren bezieht.
Sei M = Alter der Mutter und L = Alter von Leon.
und
setze
ein
Dann ergibt sich durch Einsetzen in die erste Gleichung:
Führe nun die Probe durch und setze in die zweite Gleichung ein:
Leon ist
![{\displaystyle 12}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a522d3aa5812a136a69f06e1b909d809e849be39)
Jahre alt und seine Mutter ist
![{\displaystyle 36}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a162192c8f313a9ae7a2d558fe8af7746043d845)
Jahre alt.
Rechnen mit Gleichungen im Sachzusammenhang
Aufgabe 5: Volleyballfeld abstecken
Nick und Tom sollen für ein Sportfest ein Volleyballfeld abstecken. Dafür sollen sie ein
![{\displaystyle 66}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/752f1ff1308853f827999728f4df24562f5a8898)
m langes Seil und sechs Pfosten verwenden. Für das Umwickeln aller Pfosten werden insgesamt drei Meter Seil benötigt. Das Spielfeld soll aus zwei quadratischen Flächen bestehen. Wie lang ist eine Seite von einer der quadratischen Flächen, wenn man davon ausgeht, dass Nick und Tom das gesamte Seil benutzen?
Um die Gleichung aufzustellen, benötigst du den Umfang des Spielfeldes.
Benutze die Skizze, um einen Term für den Umfang des Spielfeldes aufzustellen.
Skizzierung des Volleyballfeldes
Beachte, dass zusätzlich Seil für das Abspannen an den Pfosten benötigt wird.
Die gesuchte Seitenlänge bezeichnen wir mit
![{\displaystyle x}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4)
.
Skizzierung des Volleyballfeldes
Den Umfang des Spielfeldes erhalten wir durch den Term
![{\displaystyle 7x}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1ca0b9494d351fbeeeea05ad8190031239f75c13)
.
Wir erhalten die Gleichung:
, da insgesamt
Meter Seil zur Verfügung stehen und drei Meter Seil für die Abspannung an den Pfosten benötigt werden.
Diese Gleichung können wir lösen:
.
Probe:
Eine Seite ist
![{\displaystyle 9}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/32d3d1e1f9dfe0254c628379e69a69711fe4eabd)
m lang.
Aufgabe 6: Getränkelager füllen
In einem Lager eines Restaurants sollen möglichst viele
cm hohe Getränkekisten übereinander gestapelt werden. Die Raumhöhe beträgt
m.
a) Wie viele Getränkekisten können übereinander gestapelt werden? Stelle eine Gleichung auf und berechne.
b) Eine Getränkekiste ist
![{\displaystyle 40}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/686d435c2512a705c6680b84e9d172f259941f7a)
cm lang und
![{\displaystyle 40}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/686d435c2512a705c6680b84e9d172f259941f7a)
cm breit. Das Lager hat eine Grundfläche von
![{\displaystyle 10}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4ec811eb07dcac7ea67b413c5665390a1671ecb0)
x
![{\displaystyle 10}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4ec811eb07dcac7ea67b413c5665390a1671ecb0)
m. Wie viele Getränkekisten finden insgesamt im Lager Platz?
Beachte die Umrechnung der Einheiten.
zu b) Berechne zuerst, wie viele Getränkekisten auf dem Lagerboden Platz finden.
a) Zuerst muss die Höhe einer Getränkekiste in Meter umgerechnet werden:
cm
m.
Jetzt kann die Gleichung aufgestellt werden:
,
wobei
die Höhe einer Getränkekiste in Metern und
die Höhe des Lagerraumes in Metern angibt. Die Variable x bezeichnet in der Gleichung die Anzahl der Kisten, die in den Lagerraum gestellt werden können.
Jetzt muss x mit Hilfe der aufgestellten Gleichung berechnet werden.
.
Das Ergebnis
muss auf
abgerundet werden, da nur ganze Kisten gestapelt werden können. Es können in dem Lagerraum also
Getränkekisten übereinander gestapelt werden.
b) Zuerst legen wir den Boden des Raumes mit Getränkekisten aus. Dazu stellen wir folgende Gleichung auf:
.
In dieser Gleichung gibt der Teil
die Grundfläche des Raumes in m² an. Der Teil
berechnet die Grundfläche der Getränkekisten in m². Die Variable x bezeichnet die Anzahl der Getränkekisten.
Wir wissen nun also, dass
Getränkekisten auf dem Boden des Lagers Platz finden.
Aus Aufgabenteil a) wissen wir bereits, dass
Getränkekisten übereinander gestapelt werden können. Also bleibt zu berechnen:
.
In dem Lagerraum finden also insgesamt
![{\displaystyle 3750}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/883add77dd943249a0e43852a1bbbdecf0ceea9b)
Getränkekisten Platz.