Digitale Werkzeuge in der Schule/Ableitungen üben und vertiefen/Die Steigung in einem Punkt - die Ableitung als Tangentensteigung: Unterschied zwischen den Versionen

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'''Inhaltsübersicht'''
{{Box|Inhaltsübersicht|
:a) [[Digitale_Werkzeuge_in_der_Schule/Die_Steigung_in_einem_Punkt_-_die_Ableitung_als_Tangentensteigung#Unterscheidung_Tangente.2C_Sekante_und_Normale|Unterscheidung Tangente, Sekante und Normale]]: Aufgabe 1
:b) [[Digitale_Werkzeuge_in_der_Schule/Die_Steigung_in_einem_Punkt_-_die_Ableitung_als_Tangentensteigung#Zuordnungsaufgaben_bez.C3.BCglich_der_Tangentensteigung|Zuordnungsaufgaben bezüglich der Tangentensteigung]]: Aufgabe 2, 3, 4 und 5'''*'''
:c) [[Digitale_Werkzeuge_in_der_Schule/Die_Steigung_in_einem_Punkt_-_die_Ableitung_als_Tangentensteigung#Untersuchung_einer_Funktion|Untersuchung einer Funktion]]: Aufgabe 6, 7 und 8'''*'''


''a) Unterscheidung Tangente, Sekante und Normale - Aufgabe 1'' <br/>
<small>Die Aufgaben mit einem '''*''' sind komplexer.</small>
''b) Zuordnungsaufgaben bezüglich der Tangentensteigung - Aufgabe 2, 3, 4 und 5* ''<br/>
|Hervorhebung2}}
''c) Untersuchung einer Funktion - Aufgabe 6, 7 und 8*''<br/>


{{Lösung versteckt|1=Die Aufgaben mit einem * sind komplexer.|2=Hinweis zu *|3=schließen}}
== Unterscheidung Tangente, Sekante und Normale ==
 
 
=== Unterscheidung Tangente, Sekante und Normale===
<br/>


{{Aufgaben|1|Kannst du die Begriffe unterscheiden? Ordne jedem der drei Begriffe den entsprechenden Graphen zu!}}
{{Aufgaben|1|Kannst du die Begriffe unterscheiden? Ordne jedem der drei Begriffe den entsprechenden Graphen zu!}}
<br/>
<center>{{LearningApp|app=p1s1zd2av17|width=90%|height=400px}}</center>
 
{{LearningApp|app=p1s1zd2av17|width=100%|height=400px}}




<br/>
<br/>




== Zuordnungsaufgaben bezüglich der Tangentensteigung ==
{{Aufgaben|2|In diesem Applet siehst du den Graphen einer Funktion, in dem einige Punkte mit roten „Stecknadeln“ markiert sind. Wenn du auf die Punkte klickst, werden dir verschiedene Geraden präsentiert. Wähle dort jeweils die Gerade aus, die der Tangente in dem ausgewählten Punkt entspricht.
{{Aufgaben|2|In diesem Applet siehst du den Graphen einer Funktion, in dem einige Punkte mit roten „Stecknadeln“ markiert sind. Wenn du auf die Punkte klickst, werden dir verschiedene Geraden präsentiert. Wähle dort jeweils die Gerade aus, die der Tangente in dem ausgewählten Punkt entspricht.


''Hinweis: Tippe auf das Zeichen für den Vollbildmodus (rechts oben im Applet) und bearbeite die Aufgabe dort.''}}
''Hinweis: Tippe auf das Zeichen für den Vollbildmodus (rechts oben im Applet) und bearbeite die Aufgabe dort.''}}
{{LearningApp|app=p84w33c8a17|width=100%|height=500px}}
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{{Lösung versteckt|1=Überlege zunächst, wie stark sich der Graph an der jeweiligen Stelle bezüglich der Steigung verändert - Wächst oder fällt er?  |2=Hilfe|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=Überlege zunächst, wie stark sich der Graph an der jeweiligen Stelle bezüglich der Steigung verändert - Wächst oder fällt er?  |2=Hilfe|3=schließen}}


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''Hinweis: Wenn du nicht weiterkommst, kannst du auf die Glühbirne oben links im Applet tippen und erhältst einen Tipp.''}}
''Hinweis: Wenn du nicht weiterkommst, kannst du auf die Glühbirne oben links im Applet tippen und erhältst einen Tipp.''}}
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{{Aufgaben|4|Wahr oder Falsch?}}
{{Aufgaben|4|Wahr oder Falsch?}}
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{{Aufgaben|5|Tom ist sich nicht sicher, ob die Karten zu der untenstehenden Sinusfunktion gehören. <br/>
{{Aufgaben|1=5|2=Tom ist sich nicht sicher, ob die Karten zu der untenstehenden Sinusfunktion gehören. <br/>
Kannst du ihm helfen? <br/>
Kannst du ihm helfen? <br/>
Mit dem Regler kannst du die x-Werte im Graphen ändern und erhälst die passende Tangente in dem Punkt. }}
Mit dem Regler kannst du die x-Werte im Graphen ändern und erhälst die passende Tangente in dem Punkt.  


'''Teil 1)'''  
'''Teil 1)'''  
<center><ggb_applet id="qtyjMzaR" width="700" height="500" /></center>
<center><ggb_applet id="qtyjMzaR" width="700" height="500" /></center>


'''Teil 2)''' Nachdem du nun die Karten richtig einsortiert hast, erkläre Tom, warum die Karten, die nicht zu der obigen Sinusfunktion passen, falsch sind.  
'''Teil 2)''' Nachdem du nun die Karten richtig einsortiert hast, erkläre Tom, warum die Karten, die nicht zu der obigen Sinusfunktion passen, falsch sind.  
{{Lösung versteckt|1=
{{Lösung versteckt|1=
1) Die Steigung ist zwischen 0 und 2 nicht negativ. <br/>
1) Die Steigung ist zwischen 0 und 2 nicht negativ. <br/>
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2) Die Steigung ist in allen x-Werten gleich. <br/>
2) Die Steigung ist in allen x-Werten gleich. <br/>


3) Da diese Sinusfunktion auf der y-Achse um 2 nach oben verschoben wurde, ändert sich die Steigung in allen Punkten. <br/>
3) Da diese Sinusfunktion auf der y-Achse um 2 nach oben verschoben wurde, ändert sich die Steigung in allen Punkten.  


4) Die Tangente ist in x = 3 konstant. |2=Lösung Teil 2"|3=schließen}}
4) Die Tangente ist in x = 3 konstant. |2=Lösung Teil 2"|3=schließen}}
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sondern es entstehen parallele Tangenten im jeweiligen Punkt.|2=Begründung 3)|3=schließen}}
sondern es entstehen parallele Tangenten im jeweiligen Punkt.|2=Begründung 3)|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=Begründung: Tangenten sind nur an den Extrempunkten konstant.  |2=Begründung 4)|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=Begründung: Tangenten sind nur an den Extrempunkten konstant.  |2=Begründung 4)|3=schließen}}
}}






===c) Untersuchung einer Funktion===
== Untersuchung einer Funktion ==
 
 
 
{{Aufgaben|6|Steigung und Koordinaten ablesen}}
{{Aufgaben|6|Steigung und Koordinaten ablesen}}
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<center>{{LearningApp|app=piymfh66317|width=90%|height=500px}}</center>


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{{Aufgaben|7|Raupenfahrt }}
{{Aufgaben|1=7 |2=
Ein Raupenfahreug mit einer Steigfähigkeit von 76% fährt einen Hang hinauf. <br/>
Ein Raupenfahreug mit einer Steigfähigkeit von 76% fährt einen Hang hinauf.  
Die Kurve des Hangs lässt sich mit der Funktion f(x)=1/50x² beschreiben.<br/>
Die Kurve des Hangs lässt sich mit der Funktion f(x)=1/50x² beschreiben.
Für die Bauarbeiten muss die Raupe bis zur Markierungsstange bei x=20 Meter gelangen, schafft sie das?
Für die Bauarbeiten muss die Raupe bis zur Markierungsstange bei x=20 Meter gelangen, schafft sie das?}}
{{LearningApp|app=pab2g1ytv17|width=100%|height=500px}}
<center>{{LearningApp|app=pab2g1ytv17|width=90%|height=500px}}</center>
 
{{Lösung versteckt|1=Legt man ein Steigungsdreieck an die Tangente am Punkt f(20), so kann man beispielweise die Werte f(15)=4 und f(25)=12 ablesen.
{{Lösung versteckt|1=Legt man ein Steigungsdreieck an die Tangente am Punkt f(20), so kann man beispielweise die Werte f(15)=4 und f(25)=12 ablesen.
Die Steigung in % lässt sich durch Δy/Δx*100 bestimmen, nimmt man f(15)=4 und f(25)=12 ist Δx=10 und Δy=8.
Die Steigung in % lässt sich durch Δy/Δx*100 bestimmen, nimmt man f(15)=4 und f(25)=12 ist Δx=10 und Δy=8.
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{{Box|1=Aufgabe 8*|2=Kann es in einem Punkt einer Funktion zwei oder mehr Tangenten geben?!
Luis und Marie sind sich uneinig. Beide schauen sich den untenstehenden Graphen an.
Luis sagt: "Wenn ich mir die Steigung im Punkt P(6/6)anschauen, sehe ich zwei Tangenten."
Marie entgegnet: "Also ich sehe da überhaupt keine Tangente. Da kann gar keine sein, oder?!"


{{Aufgaben|8*|Kann es in einem Punkt einer Funktion zwei oder mehr Tangenten geben?! <br/>
'''a)'''
Luis und Marie sind sich uneinig. Beide schauen sich den untenstehenden Graphen an. <br/>
*Überleg dir, welche zwei Tangenten Luis meint und warum?
Luis sagt: "Wenn ich mir die Steigung im Punkt P(6/6)anschauen, sehe ich zwei Tangenten." <br/>
*Denkst du es gibt hier eine Tangente oder sogar mehrere?
Marie entgegnet: "Also ich sehe da überhaupt keine Tangente. Da kann gar keine sein, oder?!"}}
*Zeichne Luis` Tangenten mit dem Graphen in dein Heft und ergänze ggf. deine Tangente(n).
<center><ggb_applet id="SM67Ex9h" width=90% height="505" /></center>  
{{Lösung versteckt|1=Hast du dir wirklich Gedanken gemacht?
{{Lösung versteckt|1=Luis betrachtet die Steigung im Punkt P(6/6).  


Dabei schaut er sich die Steigung links und rechts von P an. |2=Hinweis a)|3=schließen}}
|2=Hinweis zu a)|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=Luis hat sich überlegt, wie die Steigung links und rechts vom Punkt P(6/6) ist.
Falls es jedoch eine Steigung in einem Punkt einer Funktion gibt, so muss diese eindeutig sein.


<br/>
Ansonsten ist die Funktion nicht differenzierbar.
[[Datei:Zwei Tangenten.png|rahmenlos|500px|Fläche 1]]
|2=Lösung|3=schließen}}


'''a)''' Überleg dir, welche zwei Tangenten Luis meint und warum? <br/>
'''b)'''  
Denkst du es gibt hier eine Tangente oder sogar mehrere?  <br/>
*Zeichne die Steigung der Funktion in dein Heft. Du kannst dich auf die Intervalle [0;6] und [6;12] beschränken.
Zeichne Luis` Tangenten mit dem Graphen in dein Heft und ergänze ggf. deine Tangente(n).  
*Wie verläuft die Steigung und was passiert im Punkt P(6/6)?|3=Üben}}
<div class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Lösung" data-collapsetext="schließen">
Die Steigung verläuft im Intervall [0;6] und [6;12] linear. Jedoch gibt es im Punkt P(6/6) einen Sprung.  


<br/>
Hier ist die Ableitung also nicht stetig (zusammenhängend) und daher im Intervall [0;12] nicht differenzierbar, wie oben schon zu sehen war.
<br/>
<ggb_applet id="SM67Ex9h" width="700" height="505" />


 
Damit du die Ableitung in einem Punkt berechnen kannst, muss die Funktion dort auch differenzierbar sein.  
{{Lösung versteckt|1=Hast du dir wirklich Gedanken gemacht?
<center><ggb_applet id="UbVMmQJr" width=90% height="505" /></center>
 
</div>
Luis betrachtet die Steigung im Punkt P(6|6). <br/>
Dabei schaut er sich die Steigung links und rechts von P an. <br/>|2=Hinweis zu a)|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=Luis hat sich überlegt, wie die Steigung links und rechts vom Punkt P(6|6) ist.
Falls es jedoch eine Steigung in einem Punkt einer Funktion gibt, so muss diese eindeutig sein. <br/>
Ansonsten ist die Funktion nicht differenzierbar.
:::[[Datei:Zwei Tangenten.png|rahmenlos|500px|Fläche 1]]
|2=Lösung a)|3=schließen}}




<br/>
{{Navigation verstecken|
<br/>
'''Wenn du alle Aufgaben richtig beantwortet hast:'''
*Suche dir aus den in den folgenden Abschnitten genannten Themen eines (oder mehrere) aus. Zu jedem Thema gibt es neben Förder- auch Forderaufgaben, mit denen du dich beschäftigen kannst.


'''b)''' Zeichne die Steigung der Funktion in dein Heft. Du kannst dich auf die Intervalle [0;6] und [6;12] beschränken.
Wie verläuft die Steigung und was passiert im Punkt P(6|6)?


<br/>
'''Wenn du einen oder auch mehrere Fehler gemacht hast:'''
<br/>
*bei den Aufgaben 1 - 3, gehe zu: [[Digitale Werkzeuge in der Schule/Von der mittleren zur momentanen (lokalen) Änderungsrate|Von der mittleren zur momentanen (lokalen) Änderungsrate]]
{{Lösung versteckt|1=Die Steigung verläuft im Intervall [0;6] und [6;12] linear. Jedoch gibt es im Punkt P(6|6) einen Sprung.
*bei den Aufgaben 4 - 6, gehe zu: [[Digitale Werkzeuge in der Schule/Die Steigung in einem Punkt - die Ableitung als Tangentensteigung|Die Steigung in einem Punkt - die Ableitung als Tangentensteigung]]
*bei den Aufgaben 7 - 9, gehe zu: [[Digitale Werkzeuge in der Schule/Differenzen- und Differentialquotienten verstehen und inhaltlich deuten|Differenzen- und Differenzialquotienten verstehen und inhaltlich deuten]]  
*bei den Aufgaben 10 - 12, gehe zu: [[Digitale Werkzeuge in der Schule/Graphisches Ableiten - Die Ableitung als Funktionsdetektor|Graphisches Ableiten - Die Ableitung als Funktionsdetektor]]  
*bei den Aufgaben 13 - 15, gehe zu: [[Digitale Werkzeuge in der Schule/Die Ableitung im Sachkontext anwenden|Die Ableitung im Sachkontext anwenden]]


Hier ist die Ableitung also nicht stetig (zusammenhängend) und daher im Intervall [0;12] nicht differenzierbar, wie oben schon zu sehen war.
<small><<< zurück zu [[Digitale_Werkzeuge_in_der_Schule/Ableitungen_üben_und_vertiefen|Ableitungen üben und vertiefen]]</small>


Damit du die Ableitung in einem Punkt berechnen kannst, muss die Funktion dort auch differenzierbar sein.
|Wie geht es weiter?|schließen}}
<center><ggb_applet id="UbVMmQJr" width="800" height="505" /></center>
|2=Lösung b)|3=schließen}}





Version vom 4. Januar 2019, 15:20 Uhr

Inhaltsübersicht
a) Unterscheidung Tangente, Sekante und Normale: Aufgabe 1
b) Zuordnungsaufgaben bezüglich der Tangentensteigung: Aufgabe 2, 3, 4 und 5*
c) Untersuchung einer Funktion: Aufgabe 6, 7 und 8*

Die Aufgaben mit einem * sind komplexer.

Unterscheidung Tangente, Sekante und Normale

Aufgabe 1
Kannst du die Begriffe unterscheiden? Ordne jedem der drei Begriffe den entsprechenden Graphen zu!



Zuordnungsaufgaben bezüglich der Tangentensteigung

Aufgabe 2

In diesem Applet siehst du den Graphen einer Funktion, in dem einige Punkte mit roten „Stecknadeln“ markiert sind. Wenn du auf die Punkte klickst, werden dir verschiedene Geraden präsentiert. Wähle dort jeweils die Gerade aus, die der Tangente in dem ausgewählten Punkt entspricht.

Hinweis: Tippe auf das Zeichen für den Vollbildmodus (rechts oben im Applet) und bearbeite die Aufgabe dort.

Überlege zunächst, wie stark sich der Graph an der jeweiligen Stelle bezüglich der Steigung verändert - Wächst oder fällt er?



Aufgabe 3

Du siehst im Folgenden den Graphen einer Funktion. Bestimme rechnerisch für die x-Werte unter der Abbildung, welche Steigung m die Tangente an diesen Stellen besitzt.

Hinweis: Wenn du nicht weiterkommst, kannst du auf die Glühbirne oben links im Applet tippen und erhältst einen Tipp.



Aufgabe 4
Wahr oder Falsch?




Aufgabe 5

Tom ist sich nicht sicher, ob die Karten zu der untenstehenden Sinusfunktion gehören.
Kannst du ihm helfen?
Mit dem Regler kannst du die x-Werte im Graphen ändern und erhälst die passende Tangente in dem Punkt.

Teil 1)

GeoGebra

Teil 2) Nachdem du nun die Karten richtig einsortiert hast, erkläre Tom, warum die Karten, die nicht zu der obigen Sinusfunktion passen, falsch sind.

1) Die Steigung ist zwischen 0 und 2 nicht negativ.

2) Die Steigung ist in allen x-Werten gleich.

3) Da diese Sinusfunktion auf der y-Achse um 2 nach oben verschoben wurde, ändert sich die Steigung in allen Punkten.

4) Die Tangente ist in x = 3 konstant.
Begründung: Nachdem die Funktion den y-Wert 3 erreicht hat, fällt die Funktion. Somit muss die Steigung negativ werden.
Begründung: Die Steigung ist nur in linearen Funktionen (g(x) = m*x + b) gleich.

Begründung: Durch die Verschiebung einer Funktion auf der y-Achse verändert sich nicht die Steigung,

sondern es entstehen parallele Tangenten im jeweiligen Punkt.
Begründung: Tangenten sind nur an den Extrempunkten konstant.



Untersuchung einer Funktion

Aufgabe 6
Steigung und Koordinaten ablesen



Aufgabe 7

Ein Raupenfahreug mit einer Steigfähigkeit von 76% fährt einen Hang hinauf. Die Kurve des Hangs lässt sich mit der Funktion f(x)=1/50x² beschreiben.

Für die Bauarbeiten muss die Raupe bis zur Markierungsstange bei x=20 Meter gelangen, schafft sie das?

Legt man ein Steigungsdreieck an die Tangente am Punkt f(20), so kann man beispielweise die Werte f(15)=4 und f(25)=12 ablesen. Die Steigung in % lässt sich durch Δy/Δx*100 bestimmen, nimmt man f(15)=4 und f(25)=12 ist Δx=10 und Δy=8.

Die Steigung des Hangs beträgt 80% somit übersteigt diese die Steigfähigkeit der Raupe.




Aufgabe 8*

Kann es in einem Punkt einer Funktion zwei oder mehr Tangenten geben?! Luis und Marie sind sich uneinig. Beide schauen sich den untenstehenden Graphen an. Luis sagt: "Wenn ich mir die Steigung im Punkt P(6/6)anschauen, sehe ich zwei Tangenten." Marie entgegnet: "Also ich sehe da überhaupt keine Tangente. Da kann gar keine sein, oder?!"

a)

  • Überleg dir, welche zwei Tangenten Luis meint und warum?
  • Denkst du es gibt hier eine Tangente oder sogar mehrere?
  • Zeichne Luis` Tangenten mit dem Graphen in dein Heft und ergänze ggf. deine Tangente(n).
GeoGebra

Hast du dir wirklich Gedanken gemacht?

Luis betrachtet die Steigung im Punkt P(6/6).

Dabei schaut er sich die Steigung links und rechts von P an.

Luis hat sich überlegt, wie die Steigung links und rechts vom Punkt P(6/6) ist. Falls es jedoch eine Steigung in einem Punkt einer Funktion gibt, so muss diese eindeutig sein.

Ansonsten ist die Funktion nicht differenzierbar.

Fläche 1

b)

  • Zeichne die Steigung der Funktion in dein Heft. Du kannst dich auf die Intervalle [0;6] und [6;12] beschränken.
  • Wie verläuft die Steigung und was passiert im Punkt P(6/6)?

Die Steigung verläuft im Intervall [0;6] und [6;12] linear. Jedoch gibt es im Punkt P(6/6) einen Sprung.

Hier ist die Ableitung also nicht stetig (zusammenhängend) und daher im Intervall [0;12] nicht differenzierbar, wie oben schon zu sehen war.

Damit du die Ableitung in einem Punkt berechnen kannst, muss die Funktion dort auch differenzierbar sein.

GeoGebra