Digitale Werkzeuge in der Schule/Basiswissen Analysis/Von der Randfunktion zur Integralfunktion: Unterschied zwischen den Versionen
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{{Box|Aufgabe 9: Zahnlogo|[[Datei:Graphische Darstellung des Zahnlogos.jpg|mini|240px|rechts|Skizze des Zahn-Logos]]In einer Zahnarztpraxis soll ein neues Logo entworfen werden. Dazu wurde die nebenstehende Zeichnung angefertigt, welche durch die Funktionen <math> f(x)=- \frac{x^2}{2} + 2 </math> und <math> g(x)= x^4- \frac{15}{4} \cdot x^2 - 1 </math> das Zahnlogo bildet. Dabei entspricht eine Längeneinheit in dem Graphen | {{Box|Aufgabe 9: Zahnlogo|[[Datei:Graphische Darstellung des Zahnlogos.jpg|mini|240px|rechts|Skizze des Zahn-Logos]]In einer Zahnarztpraxis soll ein neues Logo entworfen werden. Dazu wurde die nebenstehende Zeichnung angefertigt, welche durch die Funktionen <math> f(x)=- \frac{x^2}{2} + 2 </math> und <math> g(x)= x^4- \frac{15}{4} \cdot x^2 - 1 </math> das Zahnlogo bildet. Dabei entspricht eine Längeneinheit in dem Graphen 1 cm. Nun soll dieses Logo mit einer Dicke von 1 mm aus Silber (1 cm<sup>3</sup> Silber wiegt 10,5 g) produziert werden. Wie schwer wird das Logo dann werden? | ||
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{{Lösung versteckt|Zur Berechnung der Fläche wird dieses Integral genötigt: <math> \int_{-2}^2 f(x) + g(x)\, dx </math>.|Tipp 2|Tipp 2}} | {{Lösung versteckt|Zur Berechnung der Fläche wird dieses Integral genötigt: <math> \int_{-2}^2 f(x) + g(x)\, dx </math>.|Tipp 2|Tipp 2}} | ||
{{Lösung versteckt|Hast du daran gedacht, alle Einheiten einheitlich anzupassen? Die Dicke von | {{Lösung versteckt|Hast du daran gedacht, alle Einheiten einheitlich anzupassen? Die Dicke von 1 mm muss auf jeden Fall noch in cm umgerechnet werden.| Tipp 3| Tipp 3}} | ||
{{Lösung versteckt| Wenn du die Fläche des Logos <math>A_{\text{Logo}} </math> wie in Tipp 1 berechnet hast, kannst du das <math>V_{\text{Logo}}</math> nun durch das Produkt von <math>A_{\text{Logo}} </math> und der Dicke (beachte Tipp 2!) berechnen.| Tipp 3| Tipp 3}} | {{Lösung versteckt| Wenn du die Fläche des Logos <math>A_{\text{Logo}} </math> wie in Tipp 1 berechnet hast, kannst du das <math>V_{\text{Logo}}</math> nun durch das Produkt von <math>A_{\text{Logo}} </math> und der Dicke (beachte Tipp 2!) berechnen.| Tipp 3| Tipp 3}} | ||
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{{Lösung versteckt|Zunächst wird der Flächeninhalt berechnet: | {{Lösung versteckt|Zunächst wird der Flächeninhalt berechnet: | ||
<math>A_{\text{Logo}} = \int_{-2}^2 f(x) + g(x)\, dx | <math>\begin{align} | ||
A_{\text{Logo}} &= \int_{-2}^2 f(x) + g(x)\, dx\\ | |||
= \int_{-2}^2 (- \frac{x^2}{2} + 2) + (x^4- \frac{15}{4} \cdot x^2 - 1 )\, dx | &= \int_{-2}^2 (- \frac{x^2}{2} + 2) + (x^4- \frac{15}{4} \cdot x^2 - 1 )\, dx\\ | ||
&= \int_{-2}^2 x^4- \frac{15}{4} \cdot x^2 - \frac{1}{2} \cdot x + 1 \, dx\\ | |||
= \int_{-2}^2 x^4- \frac{15}{4} \cdot x^2 - \frac{1}{2} \cdot x + 1 \, dx | &= \left[ \frac{1}{5} x^5 - \frac{5}{4} x^3 - \frac{1}{4} x^2 + x \right]\\ | ||
&= 3{,}2 | |||
= \left[ \frac{1}{5} x^5 - \frac{5}{4} x^3 - \frac{1}{4} x^2 + x \right] | <math>\begin{align} | ||
= 3{,}2 | |||
Wenn ihr die Fläche des Logos berechnet habt, könnt ihr mit Hilfe der angegebenen Dicke des Logos das Volumen berechnen: | Wenn ihr die Fläche des Logos berechnet habt, könnt ihr mit Hilfe der angegebenen Dicke des Logos das Volumen berechnen: | ||
<math>V_{\text{Logo}}= A_{\text{Logo}} \cdot | <math>V_{\text{Logo}}= A_{\text{Logo}} \cdot \text{Dicke}_{\text{Logo}} = 3{,}2 {cm}^2 \cdot 0{,}1 cm = 0{,}32 {cm}^3 </math> | ||
Das Gewicht wird dann wie folgt angegeben:<math>V_{\text{Logo}} \cdot \text{Dichte}_{\text{Silber}}= 0{,}32 [{cm}^3] \cdot 10{,}5 \left[\frac{g}{{cm}^3} \right] = 3{,}36 [g] </math> | Das Gewicht wird dann wie folgt angegeben:<math>V_{\text{Logo}} \cdot \text{Dichte}_{\text{Silber}}= 0{,}32 [\text{cm}^3] \cdot 10{,}5 \left[\frac{\text{g}}{{\text{cm}}^3} \right] = 3{,}36 [\text{g}] </math> | ||
Das fertige Logo aus Silber wiegt | Das fertige Logo aus Silber wiegt 3,36 g. | ||
|Lösungsweg + Lösung anzeigen | Lösungsweg + Lösung verbergen}} | Arbeitsmethode| }} | |Lösungsweg + Lösung anzeigen | Lösungsweg + Lösung verbergen}} | Arbeitsmethode| }} | ||
Version vom 13. Juni 2020, 00:56 Uhr
Einführung: Integral
Rechnen mit Integralen
Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung
Mittelwerte mithilfe des Integrals bestimmen
Partielle Integration
Integration durch Substitution
Aufgaben zu den verschiedenen Integrationsverfahren
Flächeninhalte von Integralen
Rotationskörper (Zusatz: nur für LK's)