Digitale Werkzeuge in der Schule/Basiswissen Analysis/Von der Randfunktion zur Integralfunktion: Unterschied zwischen den Versionen
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==Aufgaben zu den verschiedenen Integrationsverfahren== | ==Aufgaben zu den verschiedenen Integrationsverfahren== | ||
{{Box|Aufgabe 6: Integration von komplexeren Funktionen| | {{Box|Aufgabe 6: Integration von komplexeren Funktionen|Bestimme jeweils die Stammfunktion der Funktion und falls angegeben den Wert des bestimmten Intervalls. Hierfür benötigt ihr einen Zettel und einen Stift, um die Funktion schriftlich zu integrieren. | ||
a) <math> f(x) = x \cdot sin(x) </math> | a) <math> f(x) = x \cdot sin(x) </math> | ||
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Und der Lösungsweg für diese Aufgabe lautet: | Und der Lösungsweg für diese Aufgabe lautet: | ||
<math> F(x)= \ | <math> F(x)= \int x \cdot sin(x) \,dx = \left[x \cdot (-cos(x)) \right] - \int 1 \cdot (-cos(x)) \, dx | ||
= x \cdot (-cos(x)) - (-sin(x)) = - x \cdot cos(x) + sin(x) + C </math>|Lösung anzeigen|Lösung verbergen}} | = x \cdot (-cos(x)) - (-sin(x)) = - x \cdot cos(x) + sin(x) + C </math>|Lösung anzeigen|Lösung verbergen}} | ||
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{{Box|Aufgabe 9: Zahnlogo|[[Datei:Graphische Darstellung des Zahnlogos.jpg|mini|240px|rechts|Skizze des Zahn-Logos]]In einer Zahnarztpraxis soll ein neues Logo entworfen werden. Dazu wurde die nebenstehende Zeichnung angefertigt, welche durch die Funktionen <math> f(x)=- \frac{x^2}{2} + 2 </math> und <math> g(x)= x^4- \frac{15}{4} \cdot x^2 - 1 </math> das Zahnlogo bildet. Dabei entspricht eine Längeneinheit in dem Graphen <math>1 cm </math>. Nun soll dieses Logo mit einer Dicke von <math>1 | {{Box|Aufgabe 9: Zahnlogo|[[Datei:Graphische Darstellung des Zahnlogos.jpg|mini|240px|rechts|Skizze des Zahn-Logos]]In einer Zahnarztpraxis soll ein neues Logo entworfen werden. Dazu wurde die nebenstehende Zeichnung angefertigt, welche durch die Funktionen <math> f(x)=- \frac{x^2}{2} + 2 </math> und <math> g(x)= x^4- \frac{15}{4} \cdot x^2 - 1 </math> das Zahnlogo bildet. Dabei entspricht eine Längeneinheit in dem Graphen <math>1 cm </math>. Nun soll dieses Logo mit einer Dicke von <math>1 \text{mm}</math> aus Silber (<math> 1 \text{cm}^3 </math> Silber wiegt <math>10{,}5 \text{g}</math>) produziert werden. Wie schwer wird das Logo dann werden? | ||
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{{Lösung versteckt|Zur Berechnung der Fläche wird dieses Integral genötigt: <math> \int_{-2}^2 f(x) + g(x)\, dx </math>.|Tipp 2|Tipp 2}} | {{Lösung versteckt|Zur Berechnung der Fläche wird dieses Integral genötigt: <math> \int_{-2}^2 f(x) + g(x)\, dx </math>.|Tipp 2|Tipp 2}} | ||
{{Lösung versteckt|Hast du daran gedacht, alle Einheiten einheitlich anzupassen? Die Dicke von <math> 1 mm </math> muss auf jeden Fall noch in <math> cm </math> umgerechnet werden.| Tipp 3| Tipp 3}} | {{Lösung versteckt|Hast du daran gedacht, alle Einheiten einheitlich anzupassen? Die Dicke von <math>1 \text{mm}</math> muss auf jeden Fall noch in <math>\text{cm}</math> umgerechnet werden.| Tipp 3| Tipp 3}} | ||
{{Lösung versteckt| Wenn du die Fläche des Logos <math>A_{Logo} </math> wie in Tipp 1 berechnet hast, kannst du das <math>V_{Logo}</math> nun durch das Produkt von <math>A_{Logo} </math> und der Dicke (beachte Tipp 2!) berechnen.| Tipp 3| Tipp 3}} | {{Lösung versteckt| Wenn du die Fläche des Logos <math>A_{\text{Logo}} </math> wie in Tipp 1 berechnet hast, kannst du das <math>V_{\text{Logo}}</math> nun durch das Produkt von <math>A_{\text{Logo}} </math> und der Dicke (beachte Tipp 2!) berechnen.| Tipp 3| Tipp 3}} | ||
{{Lösung versteckt|Zunächst wird der Flächeninhalt berechnet: | {{Lösung versteckt|Zunächst wird der Flächeninhalt berechnet: | ||
<math>A_{Logo} = \int_{-2}^2 f(x) + g(x)\, dx | <math>A_{\text{Logo}} = \int_{-2}^2 f(x) + g(x)\, dx | ||
= \int_{-2}^2 (- \frac{x^2}{2} + 2) + (x^4- \frac{15}{4} \cdot x^2 - 1 )\, dx | = \int_{-2}^2 (- \frac{x^2}{2} + 2) + (x^4- \frac{15}{4} \cdot x^2 - 1 )\, dx | ||
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Wenn ihr die Fläche des Logos berechnet habt, könnt ihr mit Hilfe der angegebenen Dicke des Logos das Volumen berechnen: | Wenn ihr die Fläche des Logos berechnet habt, könnt ihr mit Hilfe der angegebenen Dicke des Logos das Volumen berechnen: | ||
<math>V_{Logo}= A_{Logo} \cdot Dicke_{Logo} = 3{,}2 {cm}^2 \cdot 0{,}1 cm = 0{,}32 {cm}^3 </math> | <math>V_{\text{Logo}}= A_{\text{Logo}} \cdot Dicke_{\text{Logo}} = 3{,}2 {cm}^2 \cdot 0{,}1 cm = 0{,}32 {cm}^3 </math> | ||
Das Gewicht wird dann wie folgt angegeben:<math>V_{Logo} \cdot | Das Gewicht wird dann wie folgt angegeben:<math>V_{\text{Logo}} \cdot \text{Dichte}_{\text{Silber}}= 0{,}32 [{cm}^3] \cdot 10{,}5 \left[\frac{g}{{cm}^3} \right] = 3{,}36 [g] </math> | ||
Das fertige Logo aus Silber wiegt <math> 3{,}36 g </math>. | Das fertige Logo aus Silber wiegt <math> 3{,}36 g </math>. |
Version vom 13. Juni 2020, 00:51 Uhr
Einführung: Integral
Rechnen mit Integralen
Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung
Mittelwerte mithilfe des Integrals bestimmen
Partielle Integration
Integration durch Substitution
Aufgaben zu den verschiedenen Integrationsverfahren
Flächeninhalte von Integralen
Rotationskörper (Zusatz: nur für LK's)