Digitale Werkzeuge in der Schule/Basiswissen Analysis/Von der Randfunktion zur Integralfunktion: Unterschied zwischen den Versionen
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==Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung== | ==Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung== | ||
{{Box|Die Verbindung zwischen Integralen und Differentialen| | {{Box|Die Verbindung zwischen Integralen und Differentialen|Mit dem Hauptsatz kannst du die bestimmten Integrale leichter ausrechnen. Der Hauptsatz der Integral- und Differentialgleichung heißt so, weil er zeigt, dass Integrale nichts anderes sind als die Stammfunktion <math> H(x)</math>(<math> = \int h(x)\, dx </math>) der Funktion h(x), die du integrieren möchtest. Würdest du die Stammfunktion, also das unbestimmte Integral differenzieren, würdest du wieder deine ursprüngliche Funktion bekommen: <math> H'(x) = h(x)</math>. | ||
Diese Verbindung von Integralen und Differentialen wird beim Hauptsatz in zwei Teilen beschrieben: | |||
'''Der erste Teil des Hauptsatzes''' | '''Der erste Teil des Hauptsatzes''' | ||
Du hast eine Funktion <math> h(x) </math> auf dem Intervall <math>[a, b]</math> . Wenn du nun das bestimmte Integral <math> \int h(x)\, dx = H(x) </math> der Funktion bestimmen möchtest, kannst du dies mithilfe dieser Formel tun: | |||
<math>\int_{a}^{b} h(x)\, dx = H(b) - H(a) </math>, wobei <math> H'(x) = h(x) </math> ist. | <math>\int_{a}^{b} h(x)\, dx = H(b) - H(a) </math>, wobei, wie schon oben erwähnt, <math> H'(x) = h(x) </math> ist. | ||
Mit dieser Variante lässt sich auch die Stammfunktion <math> H </math> | |||
Mit dieser Variante lässt sich auch die Stammfunktion <math> H(x) </math> herausfinden. Dafür brauchst du nur deren Ableitung und die erste Grenze <math> a </math> des Intervalls kennen. Wenn du diese Informationen bekannt sind, kannst du mithilfe dieser Formel die Stammfunktion bestimmen: | |||
<math> H(x) = H(a) + H(x) - H(a) = H(a) + \int_{a}^{x} h(t)\, dt </math> | <math> H(x) = H(a) + H(x) - H(a) = H(a) + \int_{a}^{x} h(t)\, dt </math> | ||
Version vom 16. Juni 2020, 19:26 Uhr
Einführung: Integral
Rechnen mit Integralen
Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung
Mittelwerte mithilfe des Integrals bestimmen
Partielle Integration
Integration durch Substitution
Aufgaben zu den verschiedenen Integrationsverfahren
Flächeninhalte von Integralen
Rotationskörper (Zusatz: nur für LK's)