Digitale Werkzeuge in der Schule/Basiswissen Analysis/Von der Randfunktion zur Integralfunktion: Unterschied zwischen den Versionen
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{{Box|1=Allgemeine Info|2= | {{Box|1=Allgemeine Info|2= | ||
Zuerst erklären wir Dir wichtige Begriffe und Zusammenhänge. Danach kannst Du selbständig die Aufgaben bearbeiten. Du benötigst Papier und Stifte, Lineal und Taschenrechner. Zu jedem Kapitel wurden Aufgaben beigefügt, die Dir dabei helfen das Wissen besser zu verstehen und zu vertiefen. | Zuerst erklären wir Dir wichtige Begriffe und Zusammenhänge. Danach kannst Du selbständig die Aufgaben bearbeiten. Du benötigst Papier und Stifte, Lineal und Taschenrechner. Zu jedem Kapitel wurden Aufgaben beigefügt, die Dir dabei helfen das Wissen besser zu verstehen und zu vertiefen. | ||
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{{Lösung versteckt|Da wir den Durchschnittswert der Funktion in den ersten 8 Tagen brauchen, nehmen wir die Formel zur Bestimmung des Mittelwertes:<math> M= \frac{1}{b-a} \cdot \int_{a}^{b} k(x)\,dx </math> | {{Lösung versteckt|Da wir den Durchschnittswert der Funktion in den ersten 8 Tagen brauchen, nehmen wir die Formel zur Bestimmung des Mittelwertes:<math> M= \frac{1}{b-a} \cdot \int_{a}^{b} k(x)\,dx </math> | ||
<math> M = \frac{1}{8 - 0} \cdot \int_{8}^{0} - x^4 + 40 \cdot x^3 - 500 \cdot x^2 + 2000 \cdot x + 1 \,dx = \frac{1}{8} \cdot ( - \frac{1}{5} \cdot 8^5 + 10 \cdot 8^4 - \frac{500}{3} \cdot 8^3 + 1000 \cdot 8^2 + 8 - 0) = 1635,13</math> | <math> M = \frac{1}{8 - 0} \cdot \int_{8}^{0} - x^4 + 40 \cdot x^3 - 500 \cdot x^2 + 2000 \cdot x + 1 \,dx = \frac{1}{8} \cdot ( - \frac{1}{5} \cdot 8^5 + 10 \cdot 8^4 - \frac{500}{3} \cdot 8^3 + 1000 \cdot 8^2 + 8 - 0) = 1635{,}13</math> | ||
Antwortsatz: Im Durchschnitt gibt es ungefähr 1635 Bakterien. |Lösung anzeigen|Lösung verbergen}} | Antwortsatz: Im Durchschnitt gibt es ungefähr 1635 Bakterien. |Lösung anzeigen|Lösung verbergen}} | ||
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Nun können wir die Formel, wie folgt, berechnen: | Nun können wir die Formel, wie folgt, berechnen: | ||
<math>M = \frac{1}{4 - 2} \int_{4}^{2} - x^4 + 40 \cdot x^3 - 500 \cdot x^2 + 2000 \cdot x + 1 \,dx = \frac{1}{2} \cdot ( - \frac{1}{5} \cdot 4^5 + 10 \cdot 4^4 - \frac{500}{3} \cdot 4^3 + 1000 \cdot 4^2 + 4 - ( - \frac{1}{5} \cdot 2^5 + 10 \cdot 2^4 - \frac{500}{3} \cdot 2^3 + 1000 \cdot 2^2 + 2 )) \approx 2435,13 </math> | <math>M = \frac{1}{4 - 2} \int_{4}^{2} - x^4 + 40 \cdot x^3 - 500 \cdot x^2 + 2000 \cdot x + 1 \,dx = \frac{1}{2} \cdot ( - \frac{1}{5} \cdot 4^5 + 10 \cdot 4^4 - \frac{500}{3} \cdot 4^3 + 1000 \cdot 4^2 + 4 - ( - \frac{1}{5} \cdot 2^5 + 10 \cdot 2^4 - \frac{500}{3} \cdot 2^3 + 1000 \cdot 2^2 + 2 )) \approx 2435{,}13 </math> | ||
Antwortsatz: Zwischen dem 2. und 4. Tag werden durchschnittlich ungefähr 2435 Bakterien gezüchtet. | Antwortsatz: Zwischen dem 2. und 4. Tag werden durchschnittlich ungefähr 2435 Bakterien gezüchtet. | ||
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<math>\int_{7}^{3} - x^2 + 10 \cdot x - 17 \,dx = \left[ - \frac{7^3}{3} + 5 \cdot 7^2 - 17 \cdot 7 \right]- \left[ - \frac{3^3}{3} + 5 \cdot 3^2 - 17 \cdot 3 \right]= \frac{80}{3} </math> | <math>\int_{7}^{3} - x^2 + 10 \cdot x - 17 \,dx = \left[ - \frac{7^3}{3} + 5 \cdot 7^2 - 17 \cdot 7 \right]- \left[ - \frac{3^3}{3} + 5 \cdot 3^2 - 17 \cdot 3 \right]= \frac{80}{3} </math> | ||
Antwortsatz: Für das Kirchenfenster wurden ungefähr <math> 26,67 m^2 </math> Glas benötigt. |Lösung anzeigen |Lösungsweg verbergen}}| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} }} | Antwortsatz: Für das Kirchenfenster wurden ungefähr <math> 26{,}67 m^2 </math> Glas benötigt. |Lösung anzeigen |Lösungsweg verbergen}}| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} }} | ||
==Partielle Integration== | ==Partielle Integration== | ||
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{{Box|Aufgabe 9: Zahnlogo|[[Datei:Graphische Darstellung des Zahnlogos.jpg|mini|240px|rechts|Skizze des Zahn-Logos]]In einer Zahnarztpraxis soll ein neues Logo entworfen werden. Dazu wurde die nebenstehende Zeichnung angefertigt, welche durch die Funktionen <math> f(x)=- \frac{x^2}{2} + 2 </math> und <math> g(x)= x^4- \frac{15}{4} \cdot x^2 - 1 </math> das Zahnlogo bildet. Dabei entspricht eine Längeneinheit in dem Graphen <math>1 cm </math>. Nun soll dieses Logo mit einer Dicke von <math>1 mm</math> aus Silber (<math> 1 cm^3 </math> Silber wiegt <math>10,5 | {{Box|Aufgabe 9: Zahnlogo|[[Datei:Graphische Darstellung des Zahnlogos.jpg|mini|240px|rechts|Skizze des Zahn-Logos]]In einer Zahnarztpraxis soll ein neues Logo entworfen werden. Dazu wurde die nebenstehende Zeichnung angefertigt, welche durch die Funktionen <math> f(x)=- \frac{x^2}{2} + 2 </math> und <math> g(x)= x^4- \frac{15}{4} \cdot x^2 - 1 </math> das Zahnlogo bildet. Dabei entspricht eine Längeneinheit in dem Graphen <math>1 cm </math>. Nun soll dieses Logo mit einer Dicke von <math>1 mm</math> aus Silber (<math> 1 cm^3 </math> Silber wiegt <math>10{,}5 g</math>) produziert werden. Wie schwer wird das Logo dann werden? | ||
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= \left[ \frac{1}{5} x^5 - \frac{5}{4} x^3 - \frac{1}{4} x^2 + x \right] | = \left[ \frac{1}{5} x^5 - \frac{5}{4} x^3 - \frac{1}{4} x^2 + x \right] | ||
= 3,2 cm^2 </math> | = 3{,}2 cm^2 </math> | ||
Wenn ihr die Fläche des Logos berechnet habt, könnt ihr mit Hilfe der angegebenen Dicke des Logos das Volumen berechnen: | Wenn ihr die Fläche des Logos berechnet habt, könnt ihr mit Hilfe der angegebenen Dicke des Logos das Volumen berechnen: | ||
<math>V_{Logo}= A_{Logo} \cdot Dicke_{Logo} = 3,2 {cm}^2 \cdot 0,1 cm = 0,32 {cm}^3 </math> | <math>V_{Logo}= A_{Logo} \cdot Dicke_{Logo} = 3{,}2 {cm}^2 \cdot 0{,}1 cm = 0{,}32 {cm}^3 </math> | ||
Das Gewicht wird dann wie folgt angegeben:<math>V_{Logo} \cdot Dichte_{Silber}= 0,32 [{cm}^3] \cdot 10,5 \left[\frac{{cm}^3}{g} \right] = 3,36 [g] </math> | Das Gewicht wird dann wie folgt angegeben:<math>V_{Logo} \cdot Dichte_{Silber}= 0{,}32 [{cm}^3] \cdot 10{,}5 \left[\frac{{cm}^3}{g} \right] = 3{,}36 [g] </math> | ||
Das fertige Logo aus Silber wiegt <math> 3,36 g </math>. | Das fertige Logo aus Silber wiegt <math> 3{,}36 g </math>. | ||
|Lösungsweg + Lösung anzeigen | Lösungsweg + Lösung verbergen}} | Arbeitsmethode| Farbe=#0000CD }} | |Lösungsweg + Lösung anzeigen | Lösungsweg + Lösung verbergen}} | Arbeitsmethode| Farbe=#0000CD }} | ||
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Nun wird die Potenzregel angewendet und resubstitutiert. Im zweiten Term kann zudem die Linearität des Integrals ausgenutzt werden. Insgesamt gilt dann: | Nun wird die Potenzregel angewendet und resubstitutiert. Im zweiten Term kann zudem die Linearität des Integrals ausgenutzt werden. Insgesamt gilt dann: | ||
<math>V_{rot} = \pi \left[ \frac{(x-15)^3}{27} \right]_{0}^{4} - \pi \left[ \frac{x^5+20x^3}{180}+x \right]_{0}^{4} \approx 185,05. </math> | <math>V_{rot} = \pi \left[ \frac{(x-15)^3}{27} \right]_{0}^{4} - \pi \left[ \frac{x^5+20x^3}{180}+x \right]_{0}^{4} \approx 185{,}05. </math> | ||
| Lösung anzeigen| Lösung verbergen}} | | Lösung anzeigen| Lösung verbergen}} | ||
|Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} }} | |Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} }} |
Version vom 12. Juni 2020, 13:19 Uhr
Einführung: Integral
Rechnen mit Integralen
Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung
Mittelwerte mithilfe des Integrals bestimmen
Partielle Integration
Integration durch Substitution
Aufgaben zu den verschiedenen Integrationsverfahren
Flächeninhalte von Integralen
Rotationskörper (Zusatz: nur für LK's)