Digitale Werkzeuge in der Schule/Basiswissen Analysis/Von der Änderungsrate zum Änderungseffekt: Unterschied zwischen den Versionen
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{{Lösung versteckt|1= | {{Lösung versteckt|1= | ||
Ein zu Beginn leerer Wassertank wird durch dieselbe Leitung befüllt und entleert. In Figur 1 ist die momentane Durchflussrate f der Leitung für das Intervall <math>[0,9]</math> dargestellt. | Ein zu Beginn leerer Wassertank wird durch dieselbe Leitung befüllt und entleert. In Figur 1 ist die momentane Durchflussrate f der Leitung für das Intervall <math>[0, 9]</math> dargestellt. | ||
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{{Lösung versteckt|1= | {{Lösung versteckt|1= | ||
Im Intervall <math>[0;3]</math> beträgt der Zufluss <math>2\frac{l}{min}</math>. In diesen 3 Minuten fließen <math> A1 = 2 \frac{l}{min} \cdot 3\ min = 6 l </math> in den Tank. Im Intervall <math>[3;5]</math> beträgt die mittlere Zuflussrate <math>1\frac{l}{min}</math>. In diesen 2 Minuten kommen <math>A2 = \frac{1}{2} \cdot 2 \frac{l}{min} \cdot 2\ min = 2 l </math> dazu. Im Intevall <math>[5;9]</math> ist die Durchflussrate negativ. Es fließen <math>A3 = 1,5 \frac{l}{min} \cdot 4\ min = 6 l </math> ab. Man kann also die Gesamtänderung des Wasservolumens in einem Intervall <math>[a;b]</math> mit Flächeninhalten veranschaulichen, wenn man oberhalb der x-Achse liegende Flächen positiv und unterhalb der x-Achse liegenden Flächen negativ zählt. Dieser '''orientierte Flächeninhalt''' beträgt beim Wassertank: | Im Intervall <math>[0;3]</math> beträgt der Zufluss <math>2\frac{l}{min}</math>. In diesen 3 Minuten fließen <math> A1 = 2 \frac{l}{min} \cdot 3\ min = 6 l </math> in den Tank. Im Intervall <math>[3;5]</math> beträgt die mittlere Zuflussrate <math>1\frac{l}{min}</math>. In diesen 2 Minuten kommen <math>A2 = \frac{1}{2} \cdot 2 \frac{l}{min} \cdot 2\ min = 2 l </math> dazu. Im Intevall <math>[5;9]</math> ist die Durchflussrate negativ. Es fließen <math>A3 = 1{,}5 \frac{l}{min} \cdot 4\ min = 6 l </math> ab. Man kann also die Gesamtänderung des Wasservolumens in einem Intervall <math>[a;b]</math> mit Flächeninhalten veranschaulichen, wenn man oberhalb der x-Achse liegende Flächen positiv und unterhalb der x-Achse liegenden Flächen negativ zählt. Dieser '''orientierte Flächeninhalt''' beträgt beim Wassertank: | ||
<math>A1 + A2 - A3 = 2\ (FE)</math> | <math>A1 + A2 - A3 = 2\ (FE)</math> | ||
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{{Lösung versteckt|1= | {{Lösung versteckt|1= | ||
Auf dem Intervall <math> [4,7] </math> musst du die Fläche zwischen x-Achse und Funktion in zwei bekannte Flächen aufteilen. | Auf dem Intervall <math> [4, 7] </math> musst du die Fläche zwischen x-Achse und Funktion in zwei bekannte Flächen aufteilen. | ||
|2=Tipp|3=Tipp verbergen}} | |2=Tipp|3=Tipp verbergen}} | ||
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{{Lösung versteckt|1= | {{Lösung versteckt|1= | ||
* Fläche oberhalb der x-Achse: <math>49,5\ FE</math> | * Fläche oberhalb der x-Achse: <math>49{,}5\ FE</math> | ||
* Flächer unterhalb der x-Achse: <math>5\ FE</math> | * Flächer unterhalb der x-Achse: <math>5\ FE</math> | ||
* Integral/orientierter Flächeninhalt: <math>44,5\ FE</math> | * Integral/orientierter Flächeninhalt: <math>44{,}5\ FE</math> | ||
* Der Körper hat eine Strecke von 44,5 m vom Startpunkt zurückgelegt. | * Der Körper hat eine Strecke von 44,5 m vom Startpunkt zurückgelegt. | ||
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{{Lösung versteckt|1= | {{Lösung versteckt|1= | ||
Skizziere eine beliebige Stammfunktion zu folgender Funktion auf dem Intervall <math>I=[-5,5]</math>. Zeichne zunächst die Funktion und dann eine zugehörige Stammfunktion in ein Koordinatensystem auf einen Zettel. Nutze charakteristische Punkte (Nullstellen, Extrempunkte, etc.), um den Graph der Stammfunktion zu zeichnen. | Skizziere eine beliebige Stammfunktion zu folgender Funktion auf dem Intervall <math>I=[-5, 5]</math>. Zeichne zunächst die Funktion und dann eine zugehörige Stammfunktion in ein Koordinatensystem auf einen Zettel. Nutze charakteristische Punkte (Nullstellen, Extrempunkte, etc.), um den Graph der Stammfunktion zu zeichnen. | ||
{{Lösung versteckt|1= | {{Lösung versteckt|1= | ||
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{{Lösung versteckt|1= | {{Lösung versteckt|1= | ||
<math>g(4) = \frac{86}{3} \approx 28,7 </math> | <math>g(4) = \frac{86}{3} \approx 28{,}7 </math> | ||
<math>28,7 \cdot 100=28700 </math> | <math>28{,}7 \cdot 100=28700 </math> | ||
Antwort: Nach 4 Stunden sind es ca. 28700 Bakterien. | Antwort: Nach 4 Stunden sind es ca. 28700 Bakterien. | ||
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{{!-}} | {{!-}} | ||
{{!}} Änderungsrate z(t) in ME/h | {{!}} Änderungsrate z(t) in ME/h | ||
{{!}} 0,0 | {{!}} 0{,}0 | ||
{{!}} -0,041 | {{!}} -0{,}041 | ||
{{!}} -0,037 | {{!}} -0{,}037 | ||
{{!}} -0,026 | {{!}} -0{,}026 | ||
{{!}} -0,009 | {{!}} -0{,}009 | ||
{{!}} 0,046 | {{!}} 0{,}046 | ||
{{!}} 0,031 | {{!}} 0{,}031 | ||
{{!}} 0,019 | {{!}} 0{,}019 | ||
{{!}} 0,006 | {{!}} 0{,}006 | ||
{{!)}} | {{!)}} | ||
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{{!}} | {{!}} | ||
{{!}} | {{!}} | ||
{{!}} 2,33 | {{!}} 2{,}33 | ||
{{!}} | {{!}} | ||
{{!}} 2,33 | {{!}} 2{,}33 | ||
{{!}} 2,45 | {{!}} 2{,}45 | ||
{{!}} 2,53 | {{!}} 2{,}53 | ||
{{!}} | {{!}} | ||
{{!)}} | {{!)}} | ||
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{{Lösung versteckt|1= | {{Lösung versteckt|1= | ||
Berechne die Flächen unter den Intervallen <math>[0,3], [0,6], [0,12], [0,24]</math>. | Berechne die Flächen unter den Intervallen <math>[0, 3], [0, 6], [0, 12], [0, 24]</math>. | ||
|2=Tipp 2| 3= Tipp verbergen}} | |2=Tipp 2| 3= Tipp verbergen}} | ||
{{Lösung versteckt|1= | {{Lösung versteckt|1= | ||
# Für <math>t=0</math>: Bei Tagesanbruch wurden 2,6 ME CO₂ im Teich gemessen (siehe Aufgabe). | # Für <math>t=0</math>: Bei Tagesanbruch wurden 2,6 ME CO₂ im Teich gemessen (siehe Aufgabe). | ||
# Für <math>t=3</math>: Wir betrachten die Fläche auf dem Intervall <math>[0.3]</math>. Die erste Seite des Dreiecks ist die Länge des Intervalls und beträgt 3. Die zweite Seite des Dreiecks ist der Punkt (3,-0,041) und damit -0,041. Daraus ergibt sich die folgende Gesamtmenge:<math>A_1 = \frac {3h \cdot (-0,041 \frac{ME}{h})}{2} + 2,6 ME</math> ≈ <math>2,54 ME</math> (aufgerundet) | # Für <math>t=3</math>: Wir betrachten die Fläche auf dem Intervall <math>[0.3]</math>. Die erste Seite des Dreiecks ist die Länge des Intervalls und beträgt 3. Die zweite Seite des Dreiecks ist der Punkt (3,-0{,}041) und damit -0{,}041. Daraus ergibt sich die folgende Gesamtmenge:<math>A_1 = \frac {3h \cdot (-0{,}041 \frac{ME}{h})}{2} + 2{,}6 ME</math> ≈ <math>2{,}54 ME</math> (aufgerundet) | ||
# Für <math>t=6</math>: Wir betrachten die Fläche <math>A_2</math> auf dem Intervall <math>[0,6]</math>. Den Flächeninhalt auf dem Intervall <math> [0,3]</math> kennen wir bereits als <math>A_1</math>. Die Fläche unter dem Graphen auf dem Intervall <math>[3,6]</math> besteht aus einer Vierecks- und einer Dreiecksfläche und wird wie folgt berechnet: <math>A_2 = A_1 + 3h \cdot (-0,037 \frac{ME}{h}) + \frac {3h \cdot (-0,005 \frac{ME}{h})}{2}</math> ≈ <math>2,42 ME</math> (aufgerundet). | # Für <math>t=6</math>: Wir betrachten die Fläche <math>A_2</math> auf dem Intervall <math>[0, 6]</math>. Den Flächeninhalt auf dem Intervall <math> [0, 3]</math> kennen wir bereits als <math>A_1</math>. Die Fläche unter dem Graphen auf dem Intervall <math>[3, 6]</math> besteht aus einer Vierecks- und einer Dreiecksfläche und wird wie folgt berechnet: <math>A_2 = A_1 + 3h \cdot (-0{,}037 \frac{ME}{h}) + \frac {3h \cdot (-0{,}005 \frac{ME}{h})}{2}</math> ≈ <math>2{,}42 ME</math> (aufgerundet). | ||
# Für <math>t= 12, 24</math> mit dem gleichen Verfahren. | # Für <math>t= 12, 24</math> mit dem gleichen Verfahren. | ||
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{{!-}} | {{!-}} | ||
{{!}} Gesamtmenge CO₂ in ME | {{!}} Gesamtmenge CO₂ in ME | ||
{{!}} '''2,6''' | {{!}} '''2{,}6''' | ||
{{!}} '''2,54''' | {{!}} '''2{,}54''' | ||
{{!}} '''2,42''' | {{!}} '''2{,}42''' | ||
{{!}} 2,33 | {{!}} 2{,}33 | ||
{{!}} '''2,28''' | {{!}} '''2{,}28''' | ||
{{!}} 2,33 | {{!}} 2{,}33 | ||
{{!}} 2,45 | {{!}} 2{,}45 | ||
{{!}} 2,53 | {{!}} 2{,}53 | ||
{{!}} '''2,57''' | {{!}} '''2{,}57''' | ||
{{!)}} | {{!)}} | ||
|2= Lösung|3= Lösung verbergen}} | |2= Lösung|3= Lösung verbergen}} | ||
Zeile 676: | Zeile 676: | ||
{{Lösung versteckt | {{Lösung versteckt | ||
|1= | |1= | ||
* |Ein Technik-Unternehmen hat ein neues Smartphone auf den Markt gebracht. Nach 9 Monaten will das Unternehmen prüfen, wie lukrativ das neue Handy in den ersten 9 Monaten war. Der monatliche Gewinn, der durch das Smartphone eingespielt wurde, kann durch die folgende Funktion dargestellt werden: <math>f(x)=-x^3+4,5x^2+34x-50</math> | * |Ein Technik-Unternehmen hat ein neues Smartphone auf den Markt gebracht. Nach 9 Monaten will das Unternehmen prüfen, wie lukrativ das neue Handy in den ersten 9 Monaten war. Der monatliche Gewinn, der durch das Smartphone eingespielt wurde, kann durch die folgende Funktion dargestellt werden: <math>f(x)=-x^3+4{,}5x^2+34x-50</math> | ||
Die x-Achse gibt die Anzahl der Monate an und die y-Achse den Gewinn in Millionen (€). | Die x-Achse gibt die Anzahl der Monate an und die y-Achse den Gewinn in Millionen (€). | ||
Zeile 688: | Zeile 688: | ||
{{Lösung versteckt|1= | {{Lösung versteckt|1= | ||
Stammfunktion: <math> F(x) = -\frac{1}{4}x^4+\frac{4,5}{3}x^3+17x^2-50x </math> | Stammfunktion: <math> F(x) = -\frac{1}{4}x^4+\frac{4{,}5}{3}x^3+17x^2-50x </math> | ||
# <math>\int_{0}^{2} f(x) dx = F(2) - F(0) = -24 - 0 = -24</math> | # <math>\int_{0}^{2} f(x) dx = F(2) - F(0) = -24 - 0 = -24</math> | ||
# <math>\int_{0}^{7} f(x) dx = F(7) - F(0) = 397,25</math> | # <math>\int_{0}^{7} f(x) dx = F(7) - F(0) = 397{,}25</math> | ||
# <math>\int_{0}^{9} f(x) dx = F(9) - F(0) = 380,25</math> | # <math>\int_{0}^{9} f(x) dx = F(9) - F(0) = 380{,}25</math> | ||
2 und 3 analog wie 1. | 2 und 3 analog wie 1. | ||
|2=Lösung|3=Lösung verbergen}} | |2=Lösung|3=Lösung verbergen}} | ||
Zeile 724: | Zeile 724: | ||
Nullstellen berechnen: <math> f(x) = 0 </math> | Nullstellen berechnen: <math> f(x) = 0 </math> | ||
<math> x_1 = -4,79 </math> | <math> x_1 = -4{,}79 </math> | ||
<math> x_2 = 1,31 </math> | <math> x_2 = 1{,}31 </math> | ||
<math> x_3 = 7,98 </math> | <math> x_3 = 7{,}98 </math> | ||
Es kommen aufgrund des Aufgabenkontextes nur die Nullstellen <math>x_2</math> und <math>x_3</math> in Betracht. Diese wählt man als Grenzen für das zu berechnende Integral. | Es kommen aufgrund des Aufgabenkontextes nur die Nullstellen <math>x_2</math> und <math>x_3</math> in Betracht. Diese wählt man als Grenzen für das zu berechnende Integral. | ||
<math>\int_{1,31}^{7,98} f(x) dx = F(7,98) - F(1,31) = 465,71</math> | <math>\int_{1{,}31}^{7{,}98} f(x) dx = F(7{,}98) - F(1{,}31) = 465{,}71</math> | ||
|2=Lösung|3=Lösung verbergen}} | |2=Lösung|3=Lösung verbergen}} | ||
Zeile 762: | Zeile 762: | ||
{{Lösung versteckt|1= | {{Lösung versteckt|1= | ||
Die Funktion ist aus den Funktionen f(x) und g(x) zusammengesetzt. f(x) ist nun im Zuge der Aufgabe auf das Intervall von <math>[0,3]</math> beschränkt und g(x) auf dem Intervall von <math>[3,a]</math>. (a = Zeitpunkt an dem alle Viren im Körper des Patienten abgestorben sind) | Die Funktion ist aus den Funktionen f(x) und g(x) zusammengesetzt. f(x) ist nun im Zuge der Aufgabe auf das Intervall von <math>[0, 3]</math> beschränkt und g(x) auf dem Intervall von <math>[3,a]</math>. (a = Zeitpunkt an dem alle Viren im Körper des Patienten abgestorben sind) | ||
|2=Tipp 1|3=Tipp verbergen}} | |2=Tipp 1|3=Tipp verbergen}} | ||
Zeile 780: | Zeile 780: | ||
'''Anwendung der p/q Formel:''' | '''Anwendung der p/q Formel:''' | ||
<math> x_1 = -6 + \sqrt{6^2 - 18}</math>, <math> x_1 = 6 + 3 \cdot \sqrt{2}</math> ≈ <math>10,243</math> | <math> x_1 = -6 + \sqrt{6^2 - 18}</math>, <math> x_1 = 6 + 3 \cdot \sqrt{2}</math> ≈ <math>10{,}243</math> | ||
<math> x_2 = -6 - \sqrt{6^2 - 18}</math>, <math> x_2</math> ≈ <math> 1,757</math> < <math>3</math> | <math> x_2 = -6 - \sqrt{6^2 - 18}</math>, <math> x_2</math> ≈ <math> 1{,}757</math> < <math>3</math> | ||
'''Antwort: Nach etwa 11 Tagen sind alle Coronaviren gestorben.''' | '''Antwort: Nach etwa 11 Tagen sind alle Coronaviren gestorben.''' | ||
Zeile 804: | Zeile 804: | ||
<math> \int_{3}^{6 + 3 \cdot \sqrt{2}} (\frac{1}{2}x^2 + 6x -9) dx = [-\frac{1}{6} \cdot (6 + 3 \cdot \sqrt{2})^3 + 3 \cdot (6 + 3 \cdot \sqrt{2})^2 - 9 \cdot (6 + 3 \cdot \sqrt{2}) -(-\frac{1}{6} \cdot 3^3 + 3 \cdot 3^2 - 9 \cdot 3)] = \frac{9}{2} + 18 + 18 \cdot \sqrt{2}</math> | <math> \int_{3}^{6 + 3 \cdot \sqrt{2}} (\frac{1}{2}x^2 + 6x -9) dx = [-\frac{1}{6} \cdot (6 + 3 \cdot \sqrt{2})^3 + 3 \cdot (6 + 3 \cdot \sqrt{2})^2 - 9 \cdot (6 + 3 \cdot \sqrt{2}) -(-\frac{1}{6} \cdot 3^3 + 3 \cdot 3^2 - 9 \cdot 3)] = \frac{9}{2} + 18 + 18 \cdot \sqrt{2}</math> | ||
<math> W(x) = \frac{9}{2} + \frac{9}{2} + 18 + 18 = 27 + 18 \cdot \sqrt{2}</math> ≈ <math>52,459</math> | <math> W(x) = \frac{9}{2} + \frac{9}{2} + 18 + 18 = 27 + 18 \cdot \sqrt{2}</math> ≈ <math>52{,}459</math> | ||
Zeile 819: | Zeile 819: | ||
'''Um diese Aufgabe lösen zu können, musst du mit e-Funktionen vertraut sein.''' | '''Um diese Aufgabe lösen zu können, musst du mit e-Funktionen vertraut sein.''' | ||
Bei einem Sprint über 100 m treten Lars und René gegeneinander an. Lars sprintet mit der Geschwindigkeitsfunktion <math>v_L(t)=0,25t+10 \cdot (1-e^{-t})</math>. | Bei einem Sprint über 100 m treten Lars und René gegeneinander an. Lars sprintet mit der Geschwindigkeitsfunktion <math>v_L(t)=0{,}25t+10 \cdot (1-e^{-t})</math>. | ||
René sprintet mit der Geschwindigkeitsfunktion <math>v_R(t)=12 \cdot (1-e^{-t})+r \cdot t^2</math>. | René sprintet mit der Geschwindigkeitsfunktion <math>v_R(t)=12 \cdot (1-e^{-t})+r \cdot t^2</math>. | ||
Zeile 848: | Zeile 848: | ||
{{Lösung versteckt|1= | {{Lösung versteckt|1= | ||
Setze <math>\int_{0}^{9,8} v_R(t) dt=100 </math>. | Setze <math>\int_{0}^{9{,}8} v_R(t) dt=100 </math>. | ||
|2=Tipp|3=Tipp}} | |2=Tipp|3=Tipp}} | ||
{{Lösung versteckt|1= | {{Lösung versteckt|1= | ||
Es muss also folgendes gelten: <math>\int_{0}^{9,8} v_L(t) dt = 100 </math> | Es muss also folgendes gelten: <math>\int_{0}^{9{,}8} v_L(t) dt = 100 </math> | ||
<math>\int_{0}^{9,8} v_L(t) dt = V_L(9,8)-V_L(0)</math> | <math>\int_{0}^{9{,}8} v_L(t) dt = V_L(9{,}8)-V_L(0)</math> | ||
<math> =\frac{1}{8} \cdot 9,8^2+10 \cdot (9,8+e^{-9,8}) - \frac{1}{8} \cdot 0^2+10 \cdot (0+e^{-0}) = 100 </math> | <math> =\frac{1}{8} \cdot 9{,}8^2+10 \cdot (9{,}8+e^{-9{,}8}) - \frac{1}{8} \cdot 0^2+10 \cdot (0+e^{-0}) = 100 </math> | ||
|2=Lösung|3=Lösung verbergen}} | |2=Lösung|3=Lösung verbergen}} | ||
Zeile 866: | Zeile 866: | ||
{{Lösung versteckt|1= | {{Lösung versteckt|1= | ||
Setze <math>\int_{0}^{9,69} v_R(t) dt=100 </math> und löse nach r auf. | Setze <math>\int_{0}^{9{,}69} v_R(t) dt=100 </math> und löse nach r auf. | ||
|2=Tipp|3=Tipp}} | |2=Tipp|3=Tipp}} | ||
{{Lösung versteckt|1= | {{Lösung versteckt|1= | ||
Es muss also folgendes gelten: <math>\int_{0}^{9,69} v_R(t) dt=100 </math> | Es muss also folgendes gelten: <math>\int_{0}^{9{,}69} v_R(t) dt=100 </math> | ||
<math>\int_{0}^{9,69} v_R(t) dt = V_R(9,69)-V_b(0) </math> | <math>\int_{0}^{9{,}69} v_R(t) dt = V_R(9{,}69)-V_b(0) </math> | ||
<math>=12 \cdot (9,69+e^{-9,69})+\frac{r}{3} \cdot 9,69^3-12 \cdot (0+e^{-0})+\frac{r}{3} \cdot 0^3 </math> | <math>=12 \cdot (9{,}69+e^{-9{,}69})+\frac{r}{3} \cdot 9{,}69^3-12 \cdot (0+e^{-0})+\frac{r}{3} \cdot 0^3 </math> | ||
<math>\approx 116,28+303,28r-12 = 100 </math> | <math>\approx 116{,}28+303{,}28r-12 = 100 </math> | ||
<math>\Leftrightarrow r\approx -0,0141</math> | <math>\Leftrightarrow r\approx -0{,}0141</math> | ||
|2=Lösung|3=Lösung verbergen}} | |2=Lösung|3=Lösung verbergen}} | ||
Zeile 888: | Zeile 888: | ||
{{Lösung versteckt|1= | {{Lösung versteckt|1= | ||
<math> \int_{0}^{5} v_L(t) dt -\int_{0}^{5} v_R(t) dt = \int_{0}^{5} v_L(t)-v_R(t) dt = -4,3</math> | <math> \int_{0}^{5} v_L(t) dt -\int_{0}^{5} v_R(t) dt = \int_{0}^{5} v_L(t)-v_R(t) dt = -4{,}3</math> | ||
Antwort: Lars und René sind 4,3 m voneinander entfernt. | Antwort: Lars und René sind 4,3 m voneinander entfernt. | ||
|2=Lösung|3=Lösung verbergen}} | |2=Lösung|3=Lösung verbergen}} |
Version vom 12. Juni 2020, 13:26 Uhr
Herleitung des Integrals
Konstante und lineare Funktionen
Allgemeine Herleitung und Definition
Stammfunktionen bilden
Gelerntes Wiederholen und Vertiefen
Aufgaben mittlerer Schwierigkeit
Knobelaufgaben