Digitale Werkzeuge in der Schule/Basiswissen Analysis/Von der Änderungsrate zum Änderungseffekt: Unterschied zwischen den Versionen
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Als Einstieg in das Kapitel findest du eine Herleitung des Integrals aus dem Kontext der Differentialrechnung. Dabei werden dir die zwei Oberbegriffe des Kapitels, '''Änderungsrate''' und '''Änderungseffekt''', erläutert. Anschließend folgen einige Aufgaben zum Integral. | Als Einstieg in das Kapitel findest du eine Herleitung des Integrals aus dem Kontext der Differentialrechnung. Dabei werden dir die zwei Oberbegriffe des Kapitels, '''Änderungsrate''' und '''Änderungseffekt''', erläutert. Anschließend folgen einige Aufgaben zum Integral. | ||
In Aufgaben, die ''<span style="color: #F19E4F">orange</span>'' gefärbt sind, kannst du ''grundlegende Kompetenzen wiederholen und vertiefen | Bei den Aufgaben unterscheiden wir folgende Typen: | ||
* In Aufgaben, die '''<span style="color: #F19E4F">orange</span>''' gefärbt sind, kannst du '''grundlegende Kompetenzen''' wiederholen und vertiefen. | |||
Aufgaben in ''<span style="color: #5E43A5">blauer</span>'' Farbe sind ''Aufgaben mittlerer Schwierigkeit''. | * Aufgaben in '''<span style="color: #5E43A5">blauer</span>''' Farbe sind '''Aufgaben mittlerer Schwierigkeit'''. | ||
* Und Aufgaben mit '''<span style="color: #89C64A">grünem</span>''' Streifen sind '''Knobelaufgaben'''. | |||
Und Aufgaben mit ''<span style="color: #89C64A"> | * Aufgaben, die mit einem ⭐ gekennzeichnet sind, sind nur für den LK gedacht. | ||
Aufgaben, die mit einem ⭐ gekennzeichnet sind, sind nur für den LK gedacht. | |||
| 3=Kurzinfo}} | Viel Erfolg! | ||
|3=Kurzinfo}} | |||
==Herleitung des Integrals== | ==Herleitung des Integrals== | ||
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{{Lösung versteckt|1= | {{Lösung versteckt|1= | ||
<math> W(x) = \int_{0}^{3} \frac{1}{2}x^2 dx + \int_{3}^{6 + 3 \cdot \sqrt{2}} (\frac{1}{2}x^2 + 6x -9) dx </math> | <math> W(x) = \int_{0}^{3} \frac{1}{2}x^2 dx + \int_{3}^{6 + 3 \cdot \sqrt{2}} (-\frac{1}{2}x^2 + 6x -9) dx </math> | ||
'''Wir berechnen beide Teilintegrale einzeln:''' | '''Wir berechnen beide Teilintegrale einzeln:''' | ||
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<math> \int_{0}^{3} \frac{1}{2}x^2 dx = \frac{1}{6} \cdot 3^3 - 0 = \frac{9}{2}</math> | <math> \int_{0}^{3} \frac{1}{2}x^2 dx = \frac{1}{6} \cdot 3^3 - 0 = \frac{9}{2}</math> | ||
<math> \int_{3}^{6 + 3 \cdot \sqrt{2}} (\frac{1}{2}x^2 + 6x -9) dx \\ | <math>\begin{align} | ||
= [-\frac{1}{6} \cdot (6 + 3 \cdot \sqrt{2})^3 + 3 \cdot (6 + 3 \cdot \sqrt{2})^2 - 9 \cdot (6 + 3 \cdot \sqrt{2}) -(-\frac{1}{6} \cdot 3^3 + 3 \cdot 3^2 - 9 \cdot 3)] \\ | \int_{3}^{6 + 3 \cdot \sqrt{2}} (-\frac{1}{2}x^2 + 6x -9) dx &= \Big[ -\frac{1}{6} \cdot x^3 + 3 \cdot x^2 - 9 \cdot x \Big]_{3}^{6 + 3 \cdot \sqrt{2}}\\ | ||
= \frac{9}{2} + 18 + 18 \cdot \sqrt{2} | &= \Big[ -\frac{1}{6} \cdot (6 + 3 \cdot \sqrt{2})^3 + 3 \cdot (6 + 3 \cdot \sqrt{2})^2 - 9 \cdot (6 + 3 \cdot \sqrt{2}) -(-\frac{1}{6} \cdot 3^3 + 3 \cdot 3^2 - 9 \cdot 3) \Big]\\ | ||
&= \frac{9}{2} + 18 + 18 \cdot \sqrt{2}\\ | |||
&= \frac{45}{2} + 18 \cdot \sqrt{2} | |||
\end{align}</math> | |||
<math> W(x) = \frac{9}{2} + \frac{45}{2} + 18 \cdot \sqrt{2} = 27 + 18 \cdot \sqrt{2} \approx 52{,}456</math> | |||
'''Antwort: Der Wirkungsfaktor <math>W(x)</math> beträgt etwa 52,456. Er liegt knapp unter der Grenze von 60, so dass mit gesundheitlichen Schäden nicht zu rechnen ist.''' | '''Antwort: Der Wirkungsfaktor <math>W(x)</math> beträgt etwa 52,456. Er liegt knapp unter der Grenze von 60, so dass mit gesundheitlichen Schäden nicht zu rechnen ist.''' | ||
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Es muss also folgendes gelten: <math>\int_{0}^{9{,}69} v_R(t) dt=100 </math> | Es muss also folgendes gelten: <math>\int_{0}^{9{,}69} v_R(t) dt=100 </math> | ||
<math>\int_{0}^{9{,}69} v_R(t) dt = V_R(9{,}69)-V_b(0) </math> | <math> \begin{align} \int_{0}^{9{,}69} v_R(t) dt &= V_R(9{,}69)-V_b(0) \\ | ||
&=12 \cdot (9{,}69+e^{-9{,}69})+\frac{r}{3} \cdot 9{,}69^3-12 \cdot (0+e^{-0})+\frac{r}{3} \cdot 0^3 \\ | |||
&\approx 116{,}28+303{,}28r-12 | |||
\end{align} | |||
</math> | |||
Setze nun diesen Term gleich 100: | |||
<math>\ | <math> \begin{align} 116{,}28+303{,}28r-12 &= 100 \\ | ||
\Leftrightarrow r &\approx -0{,}0141 | |||
\end{align} | |||
</math> | |||
|2=Lösung|3=Lösung verbergen}} | |2=Lösung|3=Lösung verbergen}} | ||
Aktuelle Version vom 13. Juni 2020, 10:03 Uhr
Herleitung des Integrals
Konstante und lineare Funktionen
Allgemeine Herleitung und Definition
Stammfunktionen bilden
Grundlegende Kompetenzen
Aufgaben mittlerer Schwierigkeit
Knobelaufgaben