Digitale Werkzeuge in der Schule/Basiswissen Analysis/Von der Änderungsrate zum Änderungseffekt: Unterschied zwischen den Versionen
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Als Einstieg in das Kapitel findest du eine Herleitung des Integrals aus dem Kontext der Differentialrechnung. Dabei werden dir die zwei Oberbegriffe des Kapitels, '''Änderungsrate''' und '''Änderungseffekt''', erläutert. Anschließend folgen einige Aufgaben zum Integral. | Als Einstieg in das Kapitel findest du eine Herleitung des Integrals aus dem Kontext der Differentialrechnung. Dabei werden dir die zwei Oberbegriffe des Kapitels, '''Änderungsrate''' und '''Änderungseffekt''', erläutert. Anschließend folgen einige Aufgaben zum Integral. | ||
In Aufgaben, die ''<span style="color: #F19E4F">orange</span>'' gefärbt sind, kannst du ''grundlegende Kompetenzen wiederholen und vertiefen | Bei den Aufgaben unterscheiden wir folgende Typen: | ||
* In Aufgaben, die '''<span style="color: #F19E4F">orange</span>''' gefärbt sind, kannst du '''grundlegende Kompetenzen''' wiederholen und vertiefen. | |||
Aufgaben in ''<span style="color: #5E43A5">blauer</span>'' Farbe sind ''Aufgaben mittlerer Schwierigkeit''. | * Aufgaben in '''<span style="color: #5E43A5">blauer</span>''' Farbe sind '''Aufgaben mittlerer Schwierigkeit'''. | ||
* Und Aufgaben mit '''<span style="color: #89C64A">grünem</span>''' Streifen sind '''Knobelaufgaben'''. | |||
Und Aufgaben mit ''<span style="color: #89C64A"> | * Aufgaben, die mit einem ⭐ gekennzeichnet sind, sind nur für den LK gedacht. | ||
Aufgaben, die mit einem ⭐ gekennzeichnet sind, sind nur für den LK gedacht. | |||
| 3=Kurzinfo}} | Viel Erfolg! | ||
|3=Kurzinfo}} | |||
==Herleitung des Integrals== | ==Herleitung des Integrals== | ||
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<math>g(t) = 2 - \frac{1}{3}\cdot t^3+3t^2 </math> | <math>g(t) = 2 - \frac{1}{3}\cdot t^3+3t^2 </math> | ||
Bei der Funktion <math>g(t)</math> wird 2 addiert, da zu Beginn 200 Bakterien vorhanden sind und <math>g(t)</math> die Anzahl der Bakterien in | Bei der Funktion <math>g(t)</math> wird 2 addiert, da zu Beginn 200 Bakterien vorhanden sind und <math>g(t)</math> die Anzahl der Bakterien in Hundert angibt. | ||
|2=Lösung|3=Lösung verbergen}} | |2=Lösung|3=Lösung verbergen}} | ||
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<math>g(4) = \frac{86}{3} \approx 28{,}7 </math> | <math>g(4) = \frac{86}{3} \approx 28{,}7 </math> | ||
<math>28{,}7 \cdot 100= | <math>28{,}7 \cdot 100=2870 </math> | ||
Antwort: Nach 4 Stunden sind es ca. | Antwort: Nach 4 Stunden sind es ca. 2870 Bakterien. | ||
<math>g(6) = 38 </math> | <math>g(6) = 38 </math> | ||
<math>38 \cdot 100= | <math>38 \cdot 100=3800</math> | ||
Antwort: Nach 6 Stunden sind es ca. | Antwort: Nach 6 Stunden sind es ca. 3800 Bakterien. | ||
|2=Lösung|3=Lösung verbergen}} | |2=Lösung|3=Lösung verbergen}} | ||
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{{Box|1=Aufgabe 9: CO₂-Gehalt in Teichen|2= | {{Box|1=Aufgabe 9: CO₂-Gehalt in Teichen|2= | ||
Die biologische Aktivität in einem Teich kann man durch die Änderungsrate beschreiben, mit der CO₂ dem Wasser zugefügt oder entnommen wird. Pflanzen entnehmen tagsüber dem Wasser im Rahmen der Photosynthese CO₂ und geben | Die biologische Aktivität in einem Teich kann man durch die Änderungsrate beschreiben, mit der CO₂ dem Wasser zugefügt oder entnommen wird. Pflanzen entnehmen tagsüber dem Wasser im Rahmen der Photosynthese CO₂ und geben nachts O₂ ab. Tiere geben durch ihre Atmung CO₂ an das Wasser ab. Bei Tagesanbruch werden 2,6ME CO₂ im Teich festgestellt. (ME steht hier für eine nicht so ganz gebräuchliche Mengen-Einheit, in der die Stoffmenge von CO₂ gemessen werden kann.) Biologen haben die Zu- und Abnahmerate <math>z(t)</math> über einen ganzen Tag, beginnend mit dem Sonnenaufgang, gemessen. Die Werte werden in der Einheit ME pro Stunde angegeben. (Du benötigst zur Bearbeitung der Aufgabe einen Zettel und Stift.) | ||
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{{Lösung versteckt|1= | {{Lösung versteckt|1= | ||
# Für <math>t=0</math>: Bei Tagesanbruch wurden 2,6 ME CO₂ im Teich gemessen (siehe Aufgabe). | # Für <math>t=0</math>: Bei Tagesanbruch wurden 2,6 ME CO₂ im Teich gemessen (siehe Aufgabe). | ||
# Für <math>t=3</math>: Wir betrachten die Fläche auf dem Intervall <math>[0 | # Für <math>t=3</math>: Wir betrachten die Fläche auf dem Intervall <math>[0,3]</math>. Die erste Seite des Dreiecks ist die Länge des Intervalls und beträgt 3. Die zweite Seite des Dreiecks ist der Punkt <math>(3,-0{,}041)</math> und damit <math>-0{,}041</math>. Daraus ergibt sich die folgende Gesamtmenge:<math>A_1 = \frac {3h \cdot (-0{,}041 \frac{ME}{h})}{2} + 2{,}6 ME</math> ≈ <math>2{,}54 ME</math> (aufgerundet). | ||
# Für <math>t=6</math>: Wir betrachten die Fläche <math>A_2</math> auf dem Intervall <math>[0, 6]</math>. Den Flächeninhalt auf dem Intervall <math> [0, 3]</math> kennen wir bereits als <math>A_1</math>. Die Fläche unter dem Graphen auf dem Intervall <math>[3, 6]</math> besteht aus einer Vierecks- und einer Dreiecksfläche und wird wie folgt berechnet: <math>A_2 = A_1 + 3h \cdot (-0{,}037 \frac{ME}{h}) + \frac {3h \cdot (-0{,}005 \frac{ME}{h})}{2}</math> ≈ <math>2{,}42 ME</math> (aufgerundet). | # Für <math>t=6</math>: Wir betrachten die Fläche <math>A_2</math> auf dem Intervall <math>[0, 6]</math>. Den Flächeninhalt auf dem Intervall <math> [0, 3]</math> kennen wir bereits als <math>A_1</math>. Die Fläche unter dem Graphen auf dem Intervall <math>[3, 6]</math> besteht aus einer Vierecks- und einer Dreiecksfläche und wird wie folgt berechnet: <math>A_2 = A_1 + 3h \cdot (-0{,}037 \frac{ME}{h}) + \frac {3h \cdot (-0{,}005 \frac{ME}{h})}{2}</math> ≈ <math>2{,}42 ME</math> (aufgerundet). | ||
# Für <math>t= 12, 24</math> mit dem gleichen Verfahren. | # Für <math>t= 12, 24</math> mit dem gleichen Verfahren. | ||
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|2= Tipp| 3= Tipp verbergen}} | |2= Tipp| 3= Tipp verbergen}} | ||
{{Lösung versteckt|1= | {{Lösung versteckt|1= | ||
Der CO2-Gehalt war nach ca. 12 | Der CO2-Gehalt war nach ca. 12 Stunden am geringsten (etwa 2,28 ME). | ||
|2= Lösung|3= Lösung verbergen}} | |2= Lösung|3= Lösung verbergen}} | ||
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|2= Tipp| 3= Tipp verbergen}} | |2= Tipp| 3= Tipp verbergen}} | ||
{{Lösung versteckt|1= | {{Lösung versteckt|1= | ||
# Das Integral beschreibt die | # Das Integral beschreibt die durchschnittliche CO₂-Menge im Teich von morgens bis nach 12 Stunden. Die Fläche liegt unterhalb der <math>x</math>-Achse, also wurde im betreffenden Zeitraum mehr CO₂ entnommen als abgegeben. Der Gesamtbestand ist gesunken. | ||
# Das Integral beschreibt die | # Das Integral beschreibt die durchschnittliche CO₂-Menge im Teich von 12 bis nach 24 Stunden. Die Fläche liegt oberhalb der x-Achse, also wurde im betreffenden Zeitraum mehr CO₂ abgegeben als entnommen, der Gesamtbestand ist also gestiegen. | ||
# Das Integral beschreibt die | # Das Integral beschreibt die durchschnittliche CO₂-Menge im Teich von morgens bis nach 24 Stunden. Das Integral gibt an, wie viel CO₂ nach 24 Stunden im Vergleich zum Anfangsbestand hinzugekommen ist bzw. entnommen wurde. | ||
[[Datei:Z(t).png|mini|400px|left]] [[Datei:Gesamtmenge.png|mini|400px|right]] | [[Datei:Z(t).png|mini|400px|left]] [[Datei:Gesamtmenge.png|mini|400px|right]] | ||
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# <math>\int_{0}^{7} f(x) dx = F(7) - F(0) = 397{,}25</math> | # <math>\int_{0}^{7} f(x) dx = F(7) - F(0) = 397{,}25</math> | ||
# <math>\int_{0}^{9} f(x) dx = F(9) - F(0) = 380{,}25</math> | # <math>\int_{0}^{9} f(x) dx = F(9) - F(0) = 380{,}25</math> | ||
2 und 3 analog wie 1. | 2 und 3 analog wie 1. Alle Werte sind in Millionen Euro. | ||
|2=Lösung|3=Lösung verbergen}} | |2=Lösung|3=Lösung verbergen}} | ||
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{{Lösung versteckt|1= | {{Lösung versteckt|1= | ||
In welchem Zeitraum liegt der Graph von <math>f(x)</math> überhalb der x-Achse (grüne Fläche). Dies ist der Zeitraum, in dem das Unternehmen ausschließlich Gewinn erzielt. | In welchem Zeitraum liegt der Graph von <math>f(x)</math> überhalb der <math>x</math>-Achse (grüne Fläche). Dies ist der Zeitraum, in dem das Unternehmen ausschließlich Gewinn erzielt. | ||
|2= Tipp 1|3=Tipp 1 verbergen}} | |2= Tipp 1|3=Tipp 1 verbergen}} | ||
{{Lösung versteckt|1= | {{Lösung versteckt|1= | ||
Schaue dir den Graphen von f, der den Gewinn angibt, und überlege dir welche Grenzen der grüne Bereich (ausschließlich Gewinn) hat. | Schaue dir den Graphen von <math>f</math>, der den Gewinn angibt, und überlege dir welche Grenzen der grüne Bereich (ausschließlich Gewinn) hat. | ||
|2= Tipp 2|3=Tipp 2 verbergen}} | |2= Tipp 2|3=Tipp 2 verbergen}} | ||
Zeile 733: | Zeile 732: | ||
Wie bei fast allen Virusinfektionen vergeht auch beim derzeitig kursierenden Coronavirus eine gewisse Zeit von der Ansteckung bis zur Erkrankung (Inkubationszeit). Das Robert Koch-Institut schätzt die Inkubationszeit für SARS-CoV-2 auf 3 Tage. | Wie bei fast allen Virusinfektionen vergeht auch beim derzeitig kursierenden Coronavirus eine gewisse Zeit von der Ansteckung bis zur Erkrankung (Inkubationszeit). Das Robert Koch-Institut schätzt die Inkubationszeit für SARS-CoV-2 auf 3 Tage. | ||
Hypothetisch nehmen wir an, dass ein Medikament „Gibcovid19einenkorb“ entwickelt wird, um der Ausbreitung des Coronavirus entgegenzuwirken. Dieses Medikament kann erst nach 3 Tagen verabreicht werden, da dann die ersten Symptome auftreten können. Die Abnahme der Viren bei Einnahme des Medikaments zum Zeitpunkt <math>x = 3</math> Tagen lässt sich mit folgender Funktion beschreiben: | |||
<math> g(x) = -\frac{1}{2}x^2 + 6x -9</math> , <math>x</math> ≥ <math>3</math> | <math> g(x) = -\frac{1}{2}x^2 + 6x -9</math> , <math>x</math> ≥ <math>3</math> | ||
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'''a)''' Ein Patient ist mit dem Coronavirus infiziert und bekommt nach 3 Tagen das Medikament verabreicht. Berechne nach wie vielen Tagen alle Viren im Körper des Patienten abgestorben sind (Runde das Ergebnis sinnvoll). | '''a)''' Ein Patient ist mit dem Coronavirus infiziert und bekommt nach 3 Tagen das Medikament verabreicht. Berechne, nach wie vielen Tagen alle Viren im Körper des Patienten abgestorben sind (Runde das Ergebnis sinnvoll). | ||
{{Lösung versteckt|1= | {{Lösung versteckt|1= | ||
Die Funktion ist aus den Funktionen f(x) und g(x) zusammengesetzt. f(x) ist nun im Zuge der Aufgabe auf das Intervall von <math>[0, 3]</math> beschränkt und g(x) auf dem Intervall von <math>[3,a]</math>. (a = Zeitpunkt an dem alle Viren im Körper des Patienten abgestorben sind) | Die Funktion ist aus den Funktionen <math>f(x)</math> und <math>g(x)</math> zusammengesetzt. f(x) ist nun im Zuge der Aufgabe auf das Intervall von <math>[0, 3]</math> beschränkt und g(x) auf dem Intervall von <math>[3,a]</math>. (a = Zeitpunkt an dem alle Viren im Körper des Patienten abgestorben sind) | ||
|2=Tipp 1|3=Tipp verbergen}} | |2=Tipp 1|3=Tipp verbergen}} | ||
{{Lösung versteckt|1= | {{Lösung versteckt|1= | ||
Berechne die Nullstelle von g(x). Beachte, dass du bei mehreren Nullstellen den Aufgabenkontext berücksichtigen musst, um die richtige Nullstelle zu berechnen. | Berechne die Nullstelle von <math>g(x)</math>. Beachte, dass du bei mehreren Nullstellen den Aufgabenkontext berücksichtigen musst, um die richtige Nullstelle zu berechnen. | ||
|2=Tipp 2|3=Tipp verbergen}} | |2=Tipp 2|3=Tipp verbergen}} | ||
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'''Es handelt sich um eine aus zwei Teilfunktionen zusammengesetzte Funktion:''' | '''Es handelt sich um eine aus zwei Teilfunktionen zusammengesetzte Funktion:''' | ||
<math> f(x) = \frac{1}{2}x^2</math> , für | <math> f(x) = \frac{1}{2}x^2</math> , für <math> 0 \leq x \leq 3 </math> und <math> g(x) = -\frac{1}{2}x^2 + 6x -9</math> , für <math>3 \leq x \leq a </math>. | ||
'''Bestimme die Nullstelle des zweiten Funktionsterms für | '''Bestimme die Nullstelle des zweiten Funktionsterms für <math> x \geq 3 </math>:''' | ||
<math> g(x) = 0 = g(a)</math> ↔ <math> \frac{1}{2}x^2 + 6x -9 = 0</math> ↔ <math> x^2 -12x + 18 = 0</math> | <math> g(x) = 0 = g(a)</math> ↔ <math> \frac{1}{2}x^2 + 6x -9 = 0</math> ↔ <math> x^2 -12x + 18 = 0</math> | ||
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|2=Lösung|3=Lösung verbergen}} | |2=Lösung|3=Lösung verbergen}} | ||
'''b)''' Die Fläche zwischen dem Graphen und der x-Achse ist ein Maß für die schädigende Wirkung der Coronaviren, auch Wirkungsfaktor genannt. Gesundheitliche Schäden können auftreten, wenn der Wert 60 WE (Wirkungseinheiten) überschreitet. Berechne den gesamten Wirkungsfaktor bis zum völligen Abklingen der Krankheit, wenn das Medikament nach 3 Tagen eingenommen wird. | '''b)''' Die Fläche zwischen dem Graphen und der <math>x</math>-Achse ist ein Maß für die schädigende Wirkung der Coronaviren, auch Wirkungsfaktor genannt. Gesundheitliche Schäden können auftreten, wenn der Wert 60 WE (Wirkungseinheiten) überschreitet. Berechne den gesamten Wirkungsfaktor bis zum völligen Abklingen der Krankheit, wenn das Medikament nach 3 Tagen eingenommen wird. | ||
{{Lösung versteckt|1= | {{Lösung versteckt|1= | ||
Es gelten die selben Definitionsbereiche, wie in Aufagbenteil a). Für | Es gelten die selben Definitionsbereiche, wie in Aufagbenteil a). Für Genaueres siehe Tipp 1. | ||
|2=Tipp|3=Tipp verbergen}} | |2=Tipp|3=Tipp verbergen}} | ||
{{Lösung versteckt|1= | {{Lösung versteckt|1= | ||
<math> W(x) = \int_{0}^{3} \frac{1}{2}x^2 dx + \int_{3}^{6 + 3 \cdot \sqrt{2}} (\frac{1}{2}x^2 + 6x -9) dx </math> | <math> W(x) = \int_{0}^{3} \frac{1}{2}x^2 dx + \int_{3}^{6 + 3 \cdot \sqrt{2}} (-\frac{1}{2}x^2 + 6x -9) dx </math> | ||
'''Wir | '''Wir berechnen beide Teilintegrale einzeln:''' | ||
<math> \int_{0}^{3} \frac{1}{2}x^2 dx = \frac{1}{6} \cdot 3^3 - 0 = \frac{9}{2}</math> | <math> \int_{0}^{3} \frac{1}{2}x^2 dx = \frac{1}{6} \cdot 3^3 - 0 = \frac{9}{2}</math> | ||
<math> \int_{3}^{6 + 3 \cdot \sqrt{2}} (\frac{1}{2}x^2 + 6x -9) dx = [-\frac{1}{6} \cdot (6 + 3 \cdot \sqrt{2})^3 + 3 \cdot (6 + 3 \cdot \sqrt{2})^2 - 9 \cdot (6 + 3 \cdot \sqrt{2}) -(-\frac{1}{6} \cdot 3^3 + 3 \cdot 3^2 - 9 \cdot 3)] = \frac{9}{2} + 18 + 18 \cdot \sqrt{2}</math> | <math>\begin{align} | ||
\int_{3}^{6 + 3 \cdot \sqrt{2}} (-\frac{1}{2}x^2 + 6x -9) dx &= \Big[ -\frac{1}{6} \cdot x^3 + 3 \cdot x^2 - 9 \cdot x \Big]_{3}^{6 + 3 \cdot \sqrt{2}}\\ | |||
&= \Big[ -\frac{1}{6} \cdot (6 + 3 \cdot \sqrt{2})^3 + 3 \cdot (6 + 3 \cdot \sqrt{2})^2 - 9 \cdot (6 + 3 \cdot \sqrt{2}) -(-\frac{1}{6} \cdot 3^3 + 3 \cdot 3^2 - 9 \cdot 3) \Big]\\ | |||
&= \frac{9}{2} + 18 + 18 \cdot \sqrt{2}\\ | |||
&= \frac{45}{2} + 18 \cdot \sqrt{2} | |||
\end{align}</math> | |||
<math> W(x) = \frac{9}{2} + \frac{ | <math> W(x) = \frac{9}{2} + \frac{45}{2} + 18 \cdot \sqrt{2} = 27 + 18 \cdot \sqrt{2} \approx 52{,}456</math> | ||
'''Antwort: Der Wirkungsfaktor <math>W(x)</math> beträgt etwa 52,456. Er liegt knapp unter der Grenze von 60, so dass mit gesundheitlichen Schäden nicht zu rechnen ist.''' | |||
'''Antwort: Der Wirkungsfaktor W (x) beträgt etwa 52,456. Er liegt knapp unter der Grenze von 60, so dass mit gesundheitlichen Schäden nicht zu rechnen ist.''' | |||
|2=Lösung|3= Lösung verbergen}} | |2=Lösung|3= Lösung verbergen}} | ||
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Es muss also folgendes gelten: <math>\int_{0}^{9{,}69} v_R(t) dt=100 </math> | Es muss also folgendes gelten: <math>\int_{0}^{9{,}69} v_R(t) dt=100 </math> | ||
<math>\int_{0}^{9{,}69} v_R(t) dt = V_R(9{,}69)-V_b(0) </math> | <math> \begin{align} \int_{0}^{9{,}69} v_R(t) dt &= V_R(9{,}69)-V_b(0) \\ | ||
&=12 \cdot (9{,}69+e^{-9{,}69})+\frac{r}{3} \cdot 9{,}69^3-12 \cdot (0+e^{-0})+\frac{r}{3} \cdot 0^3 \\ | |||
&\approx 116{,}28+303{,}28r-12 | |||
\end{align} | |||
</math> | |||
Setze nun diesen Term gleich 100: | |||
<math>\ | <math> \begin{align} 116{,}28+303{,}28r-12 &= 100 \\ | ||
\Leftrightarrow r &\approx -0{,}0141 | |||
\end{align} | |||
</math> | |||
|2=Lösung|3=Lösung verbergen}} | |2=Lösung|3=Lösung verbergen}} | ||
Aktuelle Version vom 13. Juni 2020, 10:03 Uhr
Herleitung des Integrals
Konstante und lineare Funktionen
Allgemeine Herleitung und Definition
Stammfunktionen bilden
Grundlegende Kompetenzen
Aufgaben mittlerer Schwierigkeit
Knobelaufgaben