Digitale Werkzeuge in der Schule/Basiswissen Analysis/Von der Änderungsrate zum Änderungseffekt: Unterschied zwischen den Versionen

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{{Box | 1=Info | 2=
{{Box | 1=Info | 2=
Als Einstieg in das Kapitel findest du eine Herleitung des Integrals aus dem Kontext der Differentialrechnung. Dabei werden dir die zwei Oberbegriffe des Kapitels, '''Änderungsrate''' und '''Änderungseffekt''', erläutert. Anschließend folgen einige Aufgaben zum Integral. Die Aufgaben werden in drei unterschiedliche Schwierigkeitsstufen eingeteilt, so dass du jederzeit die Möglichkeit hast auf deinem Leistungsstand zu arbeiten.
Als Einstieg in das Kapitel findest du eine Herleitung des Integrals aus dem Kontext der Differentialrechnung. Dabei werden dir die zwei Oberbegriffe des Kapitels, '''Änderungsrate''' und '''Änderungseffekt''', erläutert. Anschließend folgen einige Aufgaben zum Integral.


In Aufgaben, die ''<span style="color: #F19E4F">orange</span>'' gefärbt sind, kannst du ''Gelerntes wiederholen und vertiefen''.  
Bei den Aufgaben unterscheiden wir folgende Typen:
Aufgaben in ''<span style="color: #5E43A5">blauer</span>'' Farbe sind ''Aufgaben mittlerer Schwierigkeit''. Und Aufgaben mit ''<span style="color: #89C64A">grüner</span>'' Hinterlegung sind ''Knobelaufgaben''. Aufgaben, die mit einem Stern &#x2B50; markiert sind, sind speziell für den LK gedacht.
* In Aufgaben, die '''<span style="color: #F19E4F">orange</span>''' gefärbt sind, kannst du '''grundlegende Kompetenzen''' wiederholen und vertiefen.
* Aufgaben in '''<span style="color: #5E43A5">blauer</span>''' Farbe sind '''Aufgaben mittlerer Schwierigkeit'''.
* Und Aufgaben mit '''<span style="color: #89C64A">grünem</span>''' Streifen sind '''Knobelaufgaben'''.
* Aufgaben, die mit einem &#x2B50; gekennzeichnet sind, sind nur für den LK gedacht.


| 3=Kurzinfo}}
Viel Erfolg!
|3=Kurzinfo}}


==Herleitung des Integrals==
==Herleitung des Integrals==
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|Merke|Farbe= #828282}}
|Arbeitsmethode|Farbe= orange}}




{{Box|Beispiel 2: Durchflussrate|
{{Box|Beispiel 2: Durchflussrate|
{{Lösung versteckt|1=


Ein zu Beginn leerer Wassertank wird durch dieselbe Leitung befüllt und entleert. In Figur 1 ist die momentane Durchflussrate f der Leitung für das Intervall <math>[0,9]</math> dargestellt.
 
Ein zu Beginn leerer Wassertank wird durch dieselbe Leitung befüllt und entleert. In Figur 1 ist die momentane Durchflussrate <math>f</math> der Leitung für das Intervall <math>[0, 9]</math> dargestellt.




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Es stellt sich die Frage, wie aus der gegebenen Durchflussrate das Gesamtwasservolumen bestimmt werden kann. Das bedeutet: Wie viel Liter Wasser befinden sich nach 9 min im Wassertank?
Es stellt sich die Frage, wie aus der gegebenen Durchflussrate das Gesamtwasservolumen bestimmt werden kann. Das bedeutet: Wie viele Liter Wasser befinden sich nach 9 Minuten im Wassertank?


{{Lösung versteckt|1=Bestimme die Flächeninhalte zwischen Graph und x-Achse.|2=Tipp|3=Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=Bestimme die Flächeninhalte zwischen Graph und x-Achse.|2=Tipp|3=Tipp verbergen}}
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{{Lösung versteckt|1=
{{Lösung versteckt|1=


Im Intervall <math>[0;3]</math> beträgt der Zufluss <math>2\frac{l}{min}</math>. In diesen 3 Minuten fließen <math> A1 = 2 \frac{l}{min} \cdot 3\ min = 6 l </math> in den Tank. Im Intervall <math>[3;5]</math> beträgt die mittlere Zuflussrate <math>1\frac{l}{min}</math>. In diesen 2 Minuten kommen <math>A2 = \frac{1}{2} \cdot 2 \frac{l}{min} \cdot 2\ min = 2 l </math> dazu. Im Intevall <math>[5;9]</math> ist die Durchflussrate negativ. Es fließen <math>A3 = 1,5 \frac{l}{min} \cdot 4\ min = 6 l </math> ab. Man kann also die Gesamtänderung des Wasservolumens in einem Intervall <math>[a;b]</math> mit Flächeninhalten veranschaulichen, wenn man oberhalb der x-Achse liegende Flächen positiv und unterhalb der x-Achse liegenden Flächen negativ zählt. Dieser '''orientierte Flächeninhalt''' beträgt beim Wassertank:  
Im Intervall <math>[0;3]</math> beträgt der Zufluss <math>2\frac{L}{min}</math>. In diesen 3 Minuten fließen <math> A1 = 2 \frac{L}{min} \cdot 3\ min = 6 L </math> in den Tank. Im Intervall <math>[3;5]</math> beträgt die mittlere Zuflussrate <math>1\frac{L}{min}</math>. In diesen 2 Minuten kommen <math>A2 = \frac{1}{2} \cdot 2 \frac{L}{min} \cdot 2\ min = 2 L </math> dazu. Im Intervall <math>[5;9]</math> ist die Durchflussrate negativ. Es fließen <math>A3 = 1{,}5 \frac{L}{min} \cdot 4\ min = 6 L </math> ab. Man kann also die Gesamtänderung des Wasservolumens in einem Intervall <math>[a;b]</math> mit Flächeninhalten veranschaulichen, wenn man oberhalb der x-Achse liegende Flächen positiv und unterhalb der x-Achse liegende Flächen negativ zählt. Dieser '''orientierte Flächeninhalt''' beträgt beim Wassertank:  


<math>A1 + A2 - A3 = 2\ (FE)</math>
<math>A1 + A2 - A3 = 2\ (FE)</math>


(FE = Flächeneinheiten) und entspricht einer Volumenänderung von 2 l. Da der Tank zu Beginn leer war, befinden sich jetzt insgesamt 2 l im Tank.
(FE = Flächeneinheiten) und entspricht einer Volumenänderung von 2 L. Da der Tank zu Beginn leer war, befinden sich jetzt insgesamt 2 L im Tank.




|2=Lösungsweg|3=Lösungweg verbergen}}
|2=Lösungsweg|3=Lösungweg verbergen}}


{{Lösung versteckt|Es befinden sich nach 9 min 2 Liter im Wassertank.|Lösung|Lösung verbergen}}
{{Lösung versteckt|Es befinden sich nach 9 Minuten 2 Liter im Wassertank.|Lösung|Lösung verbergen}}


|2=|3=}}
|Arbeitsmethode|Farbe= orange }}
|Merke|Farbe= #828282 }}




{{Box|Merke: Orientierter Flächeninhalt|
{{Box|Merke: Orientierter Flächeninhalt|
{{Lösung versteckt|1=
 
Ist der Graph einer momentanen '''Änderungsrate''' aus gradlinigen Teilstücken (konstanten und linearen Funktionen) zusammengesetzt, so kann man die '''Gesamtänderung''' der Größe (Wirkung) rekonstruieren, indem man den orientierten Flächeninhalt zwischen dem Graphen der momentanen Änderungsrate und der x-Achse bestimmt. Den orientierten Flächeninhalt nennt man auch das bestimmte Integral. (siehe Beispiel 2: Durchflussrate)
Ist der Graph einer momentanen '''Änderungsrate''' aus gradlinigen Teilstücken (konstanten und linearen Funktionen) zusammengesetzt, so kann man die '''Gesamtänderung''' der Größe (Wirkung) rekonstruieren, indem man den orientierten Flächeninhalt zwischen dem Graphen der momentanen Änderungsrate und der x-Achse bestimmt. Den orientierten Flächeninhalt nennt man auch das bestimmte Integral. (siehe Beispiel 2: Durchflussrate)
|2=|3=}}
 
|Merksatz|Farbe= #FF0000 }}
|Merksatz}}


===Allgemeine Herleitung und Definition===
===Allgemeine Herleitung und Definition===
{{Box|Idee für ganzrationale Funktionen|
{{Box|Idee für ganzrationale Funktionen|


Bei konstanten oder linearen Funktionen schafft man es den '''Änderungseffekt''' durch Rechtecks- und Dreicksflächen zu ermitteln. Doch wie funktioniert das bei Funktionen zweiten Grades oder höher?
Bei konstanten oder linearen Funktionen schafft man es, den '''Änderungseffekt''' durch Rechtecks- und Dreiecksflächen zu ermitteln. Doch wie funktioniert das bei Funktionen zweiten Grades oder höher?
Um den Effekt bei Funktionen zweiten Grades oder höher zu ermitteln nutzt man dasselbe Verfahren. Man versucht sich der Fläche zwischen dem Graphen und der x-Achse mit Rechtecksflächen anzunähern. Aktiviere dazu in der unteren Abbildung die '''Untersumme'''. Für einen direkten Vergleich kannst du auch das '''Integral''' aktivieren.
Um den Effekt bei Funktionen zweiten Grades oder höher zu ermitteln, nutzt man dasselbe Verfahren. Man versucht, sich der Fläche zwischen dem Graphen und der x-Achse mit Rechtecksflächen anzunähern. Aktiviere dazu in der unteren Abbildung die '''Untersumme'''. Für einen direkten Vergleich kannst du auch das '''Integral''' aktivieren.


'''Hinweise:'''
'''Hinweise:'''
* N markiert die Anzahl der Rechtecke unter dem Graphen.
* <math>N</math> markiert die Anzahl der Rechtecke unter dem Graphen.
* Das Δx gibt die Breite der Rechtecke an. Je mehr Rechtecke unterhalb des Graphen desto kleiner wird ihre Breite und damit auch das Δx.
* Das <math> \Delta x</math> gibt die Breite der Rechtecke an. Je mehr Rechtecke unterhalb des Graphen sind, desto kleiner wird ihre Breite und damit auch das <math> \Delta x</math>.
* Die eingeblendete Untersumme gibt den aktuellen Flächeninhalt der Summe aller Rechtecksflächen an.
* Die eingeblendete Untersumme gibt den aktuellen Flächeninhalt der Summe aller Rechtecksflächen unter  dem Graphen an.




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{{Lösung versteckt|1=
{{Lösung versteckt|1=
* Je mehr Unterteilungen desto kleiner wird die Breite der Rechtecke.
* Je mehr Unterteilungen es gibt, desto kleiner wird die Breite der Rechtecke.
* Je mehr Unterteilungen der Untersumme desto größer wird der Flächeninhalt der Summe aller Rechtecke.
* Je mehr Unterteilungen der Untersumme es gibt, desto größer wird der Flächeninhalt der Summe aller Rechtecke.
* Die Summenformel der Untersumme stellt den Flächeninhalt aller Rechtecke dar.
* Die Summenformel der Untersumme stellt den Flächeninhalt aller Rechtecke dar.
* Je mehr Unterteilungen und je kleiner das Δx desto eher nähert man sich dem Integral. Geht also die Anzahl der Unterteilungen gegen unendlich so bekommt man das Integral für die Funktion über das jeweilige Intervall.
* Je mehr Unterteilungen es gibt und je kleiner das <math> \Delta x</math> ist, desto eher nähert man sich dem Integral. Geht also die Anzahl der Unterteilungen gegen unendlich so bekommt man das Integral für die Funktion über das jeweilige Intervall.
|2=Was du erkennen kannst|3=}}
|2=Was du erkennen kannst|3=}}


|Unterrichtsidee|Farbe= #828282 }}
|Merksatz}}




{{Box|1=Definition: Integral|2=
{{Box|1=Definition: Integral|2=


{{Lösung versteckt|1=


Die Funktion <math>f</math> sei auf dem Intervall <math>[a;b]</math> stetig (Graph kann nahtlos gezeichnet werden) und <math>A_n = f(x_1) \cdot \Delta x + f(x_2) \cdot \Delta x + ... + f(x_n) \cdot \Delta x</math> sei eine beliebige Rechtecksumme zu <math>f</math> über dem Intervall <math>[a;b]</math>.
Die Funktion <math>f</math> sei auf dem Intervall <math>[a;b]</math> stetig (Graph kann nahtlos gezeichnet werden) und <math>A_n = f(x_1) \cdot \Delta x + f(x_2) \cdot \Delta x + ... + f(x_n) \cdot \Delta x</math> sei eine beliebige Rechtecksumme zu <math>f</math> über dem Intervall <math>[a;b]</math>.
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'''Hinweis:''' Falls du Schwierigkeiten mit den Formulierungen hast, schau dir dazu noch einmal die '''Idee für ganzrationalen Funktionen''' an. Für eine ausführlichere Erklärung kann für dich dieses Video hilfreich sein: [https://www.youtube.com/watch?v=rwv7IMF4uw8]
'''Hinweis:''' Falls du Schwierigkeiten mit den Formulierungen hast, schau dir dazu noch einmal die '''Idee für ganzrationalen Funktionen''' an. Für eine ausführlichere Erklärung kann für dich dieses Video hilfreich sein: [https://www.youtube.com/watch?v=rwv7IMF4uw8]


|2=|3=}}


|3=Merksatz|Farbe=#FF0000 }}
|3=Merksatz}}




{{Box|1=Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung|2=
{{Box|1=Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung|2=


{{Lösung versteckt|1=
 


Die Funktion <math>f</math> sei stetig (Graph kann nahtlos gezeichnet werden) auf dem Intervall <math>[a;b]</math>. Dann gilt:
Die Funktion <math>f</math> sei stetig (Graph kann nahtlos gezeichnet werden) auf dem Intervall <math>[a;b]</math>. Dann gilt:
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<math>\int_{a}^{b} f(x) dx = F(b) - F(a) </math> für eine beliebige Stammfunktion <math>F</math> von <math>f</math> auf <math>[a;b]</math>.
<math>\int_{a}^{b} f(x) dx = F(b) - F(a) </math> für eine beliebige Stammfunktion <math>F</math> von <math>f</math> auf <math>[a;b]</math>.


|2=|3=}}


|3=Merksatz|Farbe=#FF0000 }}
 
|3=Merksatz}}


==Stammfunktionen bilden==
==Stammfunktionen bilden==
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{{Box|1=Stammfunktion Definition|2=
{{Box|1=Stammfunktion Definition|2=


{{Lösung versteckt|1=


Eine Funktion <math>F</math> heißt '''Stammfunktion ''' zu einer Funktion <math>f</math> auf einem Intervall <math>[a,b]</math>, wenn gilt:
Eine Funktion <math>F</math> heißt '''Stammfunktion ''' zu einer Funktion <math>f</math> auf einem Intervall <math>[a,b]</math>, wenn gilt:
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<math>F(x) = G(x)+c</math>
<math>F(x) = G(x)+c</math>


|2=|3=}}
|3=Merksatz}}
 
|3=Merksatz|Farbe=#FF0000}}




{{Box|1=Satz: Bestimmung von Stammfunktionen|2=
{{Box|1=Satz: Bestimmung von Stammfunktionen|2=


{{Lösung versteckt|1=


Zur Funktion <math>f</math> mit <math>f(x)=x^r</math>  <math>(r \neq -1)</math> ist <math>F</math> mit <math>F(x)=\frac{1}{r+1} \cdot x^{r+1}</math> eine Stammfunktion.
Zur Funktion <math>f</math> mit <math>f(x)=x^r</math>  <math>(r \neq -1)</math> ist <math>F</math> mit <math>F(x)=\frac{1}{r+1} \cdot x^{r+1}</math> eine Stammfunktion.
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* <math>f(x)=g(c\cdot x+d) \rightarrow F(x)=\frac{1}{c} \cdot G(c\cdot x+d)</math>
* <math>f(x)=g(c\cdot x+d) \rightarrow F(x)=\frac{1}{c} \cdot G(c\cdot x+d)</math>


|2=|3=}}
|3=Merksatz}}
 
|3=Merksatz|Farbe=#FF0000 }}




{{Box|1=Beispiele|2=
{{Box|1=Beispiele|2=
Hier findest du ein paar Beispiel Funktionen und ihre Stammfunktion.
Hier findest du ein paar Beispielfunktionen und ihre Stammfunktion.


<math> f(x) = x^2 \rightarrow F(x) = \frac{1}{3}x^3 +c </math>
<math> f(x) = x^2 \rightarrow F(x) = \frac{1}{3}x^3 +c </math>
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<math> f(x) = (2x+3)^4 \rightarrow F(x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{5}(2x+3)^5 +c = \frac{1}{10}(2x+3)^5 +c </math>
<math> f(x) = (2x+3)^4 \rightarrow F(x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{5}(2x+3)^5 +c = \frac{1}{10}(2x+3)^5 +c </math>


|3=Merke|Farbe=#FF0000}}
|3=Merksatz}}


==Gelerntes Wiederholen und Vertiefen==
==Grundlegende Kompetenzen==


{{Box|Aufgabe 1: Gezeitenkraftwerk|
{{Box|Aufgabe 1: Gezeitenkraftwerk|




{{Lösung versteckt|1=
[[File:TideKraftwerk.jpg|thumb|Gezeitenkraftwerk in Annapolis Royal, Nova Scotia, Kanada|300px]]


Bearbeite folgende Aufgabe und nutze Zettel und Stift, um deine Rechnungen festzuhalten.
Bearbeite folgende Aufgabe und nutze Zettel und Stift, um deine Rechnungen festzuhalten.
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In einem Gezeitenkraftwerk strömt bei Flut das Wasser in einen Speicher und bei Ebbe wieder heraus. Das durchfließende Wasser treibt dabei Turbinen zur Stromerzeugung an. Der Graph zeigt '''vereinfacht''' die Durchflussrate d vom Meer in den Speicher.
In einem Gezeitenkraftwerk strömt bei Flut das Wasser in einen Speicher und bei Ebbe wieder heraus. Das durchfließende Wasser treibt dabei Turbinen zur Stromerzeugung an. Der Graph zeigt '''vereinfacht''' die Durchflussrate d vom Meer in den Speicher.


[[Datei:Durchflussrate Aufgabe 1.png|alternativtext=Durchflussrate|mini|500px|center|Durchflussrate]]
'''a)''' Was bedeutet die Fläche eines Kästchens in der Abbildung im Sachzusammenhang?
{{Lösung versteckt|1=
Schau dir die Achsenbeschriftungen der Abbildung an. Welche Einheit bekommst du aus dem Produkt beider Achsen?
|2=Tipp|3=Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=
'''Die Fläche eines Kästchens''' entspricht <math>4\ 000\ 000 m^{3}</math>


|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}


'''a)''' Was bedeutet eine Kästchenfläche in der Abbildung im Sachzusammenhang?
'''b)''' In welchem Zeitraum nimmt die Wassermenge im Speicher am '''schnellsten zu''' und wann am '''schnellsten ab'''?


{{Lösung versteckt|1=  
{{Lösung versteckt|1=  


Schau dir die Achsenbeschriftungen der Abbildung an. Welche Einheit bekommst du aus dem Produkt beider Achsen?
Hier werden die Zeiträume mit der größten und kleinsten Durchflussrate gesucht.


|2=Tipp|3=Tipp verbergen}}
|2=Tipp|3=Tipp verbergen}}
Zeile 184: Zeile 193:
{{Lösung versteckt|1=
{{Lösung versteckt|1=


Eine Kästchenfläche = <math>5000000 m^{3}</math>
Die schnellste '''Zunahme''' passiert im Intervall <math>[2, 4]</math>.
 
Die schnellste '''Abnahme''' passiert im Intervall <math>[8, 10]</math>.


|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}
|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}


'''b)'''In welchem Zeitraum nimmt die Wassermenge im Speicher am '''schnellsten zu''' und wann am '''schnellsten ab'''?
'''c)''' Wie viel Wasser befindet sich nach 6 Stunden und nach 12 Stunden im Speicher?


'''c)'''Wie viel Wasser befindet sich nach 6h und nach 12h im Speicher?
{{Lösung versteckt|1=
Unterteile die Fläche zwischen der Funktion und der x-Achse in geeignete Flächen (Dreicks- und Vierecksflächen), sodass du diese einfach berechnen kannst. Beachte den orientierten Flächeninhalt. Falls du Schwierigkeiten hast, schaue dir Beispiel 2: Durchflussrate an.


'''d)'''Wie geht es nach 12h vermutlich weiter?
|2=Tipp|3=Tipp verbergen}}
 
{{Lösung versteckt|1=
 
'''Nach 6 Stunden:''' <math>A1 = \frac {2h \cdot 10\ 000\ 000 \frac{m^{3}}{h}}{2} + 2h \cdot 10\ 000\ 000 \frac{m^{3}}{h} + \frac {2h \cdot 10\ 000\ 000 \frac{m^{3}}{h}}{2} = 40\ 000\ 000 m^{3}</math>
 
Antwort: Nach 6 Stunden befinden sich <math>40\ 000\ 000\ m^{3}</math> Wasser im Speicher.
 
'''Zwischen 6 Stunden und 12 Stunden:''' <math>A2 = \frac {2h \cdot 10\ 000\ 000 \frac{m^{3}}{h}}{2} + 2h \cdot 10\ 000\ 000 \frac{m^{3}}{h} + \frac {2h \cdot 10\ 000\ 000 \frac{m^{3}}{h}}{2} = 40\ 000\ 000 m^{3}</math>
 
'''Nach 12 Stunden:''' <math> A1 - A2 = 0 </math>
 
Antwort: Nach 12 Stunden befinden sich <math>0\ m^{3}</math> Wasser im Speicher.
|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}


'''d)'''Wie geht es nach 12 Stunden vermutlich weiter?
{{Lösung versteckt|1=
Da es ein Gezeitenkraftwerk ist und Ebbe und Flut immer im Wechsel stattfinden, geht es nach 12 Stunden wie zu Beginn weiter. Das bedeutet, dass die Funktion sich wiederholt.


[[Datei:Durchflussrate Aufgabe 1.png|alternativtext=Durchflussrate|mini|500px|center|Durchflussrate]]
|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}


|2=|3=}}


|Arbeitsmethode|Farbe= #F19E4F}}
|Arbeitsmethode|Farbe= orange}}




{{Box|Aufgabe 2: Geschwindigkeit-Zeit Diagramm|
{{Box|Aufgabe 2: Geschwindigkeit-Zeit Diagramm|


{{Lösung versteckt|1=


Die folgenden Graphen zeigen die Geschwindigkeit einer Murmel. Ermittle jeweils die vom Startpunkt zurückgelegte Strecke in m nach 9 s. Du benötigst einen Zettel und einen Stift, um deine Rechnungen und Ergebnisse zu notieren.
Die Graphen in a), b) und c) zeigen die Geschwindigkeit einer Murmel. Ermittle jeweils die vom Startpunkt zurückgelegte Strecke in m nach 9 s. Du benötigst einen Zettel und einen Stift, um deine Rechnungen und Ergebnisse zu notieren.


a) [[Datei:1a Bild.png|alternativtext=Aufgabe 1 a)|mini|800px|center|Figur 1]]
a) [[Datei:1a Bild.png|alternativtext=Aufgabe 1 a)|mini|800px|center|Figur 1]]
Zeile 212: Zeile 238:
{{Lösung versteckt|1=  
{{Lösung versteckt|1=  


Unterteile die Fläche zwischen der Funktion und der x-Achse in geeignete Flächen (Dreicks- und Vierecksflächen), sodass du diese einfach berechnen kannst.
Unterteile die Fläche zwischen der Funktion und der <math>x</math>-Achse in geeignete Flächen (Dreicks- und Vierecksflächen), sodass du diese einfach berechnen kannst.


|2=Tipp|3=Tipp verbergen}}
|2=Tipp|3=Tipp verbergen}}
Zeile 218: Zeile 244:
{{Lösung versteckt|1=
{{Lösung versteckt|1=


* Fläche oberhalb der x-Achse: <math>16\ FE</math>
* Fläche oberhalb der <math>x</math>-Achse: <math>16\ FE</math>
* Flächer unterhalb der x-Achse: <math>4\ FE</math>
* Fläche unterhalb der <math>x</math>-Achse: <math>4\ FE</math>
* Integral/orientierter Flächeninhalt: <math>16 - 4 = 12\ FE</math>
* Integral/orientierter Flächeninhalt: <math>16 - 4 = 12\ FE</math>
* Der Körper hat eine Strecke von 12 m vom Startpunkt zurückgelegt.
* Die Murmel hat eine Strecke von 12 m vom Startpunkt zurückgelegt.


|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}
|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}
Zeile 229: Zeile 255:


{{Lösung versteckt|1=
{{Lösung versteckt|1=
Auf dem Intervall <math> [4,7] </math> musst du die Fläche zwischen x-Achse und Funktion in zwei bekannte Flächen aufteilen.
Auf dem Intervall <math> [4, 7] </math> kannst du die Fläche zwischen <math>x</math>-Achse und Funktion in zwei bekannte Flächen aufteilen.
|2=Tipp|3=Tipp verbergen}}
|2=Tipp|3=Tipp verbergen}}


{{Lösung versteckt|1=
{{Lösung versteckt|1=


* Fläche oberhalb der x-Achse: <math>20\ FE</math>
* Fläche oberhalb der <math>x</math>-Achse: <math>20\ FE</math>
* Flächer unterhalb der x-Achse: <math>0\ FE</math>
* Flächer unterhalb der <math>x</math>-Achse: <math>0\ FE</math>
* Integral/orientierter Flächeninhalt: <math>20\ FE</math>
* Integral/orientierter Flächeninhalt: <math>20\ FE</math>
* Der Körper hat eine Strecke von 20 m vom Startpunkt zurückgelegt.
* Die Murmel hat eine Strecke von 20 m vom Startpunkt zurückgelegt.


|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}
|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}
Zeile 246: Zeile 272:
{{Lösung versteckt|1=
{{Lösung versteckt|1=


* Fläche oberhalb der x-Achse: <math>49,5\ FE</math>
* Fläche oberhalb der <math>x</math>-Achse: <math>49{,}5\ FE</math>
* Flächer unterhalb der x-Achse: <math>5\ FE</math>
* Fläche unterhalb der <math>x</math>-Achse: <math>5\ FE</math>
* Integral/orientierter Flächeninhalt: <math>44,5\ FE</math>
* Integral/orientierter Flächeninhalt: <math>44{,}5\ FE</math>
* Der Körper hat eine Strecke von 44,5 m vom Startpunkt zurückgelegt.
* Der Körper hat eine Strecke von 44,5 m vom Startpunkt zurückgelegt.


|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}
|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}


|2=|3=}}
|Arbeitsmethode|Farbe= orange}}


|Arbeitsmethode|Farbe= #F19E4F}}


{{Box|1=Aufgabe 3: Zusammenhang zwischen Stammfunktion und Funktion|2=


{{Box|1=Aufgabe 3: Zusammenhang zwischen Stammfunktion und Funktion|2=
Betrachte das untenstehende Applet. Lasse dir mithilfe von diesem folgende Funktionen abbilden.


Betrachte folgendes Applet. Lasse dir mithilfe von diesem folgende Funktionen abbilden.
Hinweis: Exponenten kannst du mit ^ eingeben.


# <math>f(x)=1</math>
# <math>f(x)=1</math>
Zeile 274: Zeile 300:


{{Lösung versteckt|1=
{{Lösung versteckt|1=
Dir sollte folgendes auffallen:
Dir kann Folgendes auffallen:
* <math> F'(x)=f(x) </math>
* <math> F'(x)=f(x) </math>
* Nullstellen bei <math>f(x)</math> sind Extremstellen bei <math>F(x)</math>. Beachte hier den Vorzeichenwechsel um sagen zu können, ob es sich um einen Hochpunkt oder Tiefpunkt handelt.
* Nullstellen bei <math>f(x)</math> sind Extremstellen bei <math>F(x)</math>. Beachte hier den Vorzeichenwechsel, um sagen zu können, ob es sich um einen Hochpunkt oder Tiefpunkt handelt.
* Extremstellen bei <math>f(x)</math> sind Wendestellen bei <math>F(x)</math>
* Extremstellen bei <math>f(x)</math> sind Wendestellen bei <math>F(x)</math>.
* Wenn <math>f(x)</math> negativ bzw. positiv ist so ist bei <math>F(x)</math> die Steigung negativ bzw. positiv.
* Wenn <math>f(x)</math> negativ bzw. positiv ist, so ist bei <math>F(x)</math> die Steigung negativ bzw. positiv.
* <math>F(x)</math> kann durch eine beliebige Konstante nach oben oder unten verschoben werden, bleibt aber eine Stammfunktion von <math>f(x)</math>
* <math>F(x)</math> kann durch eine beliebige Konstante nach oben oder unten verschoben werden, bleibt aber eine Stammfunktion von <math>f(x)</math>
|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}
|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}


<ggb_applet id="m74hyeny" width="500" height="800" border="888888" />
<ggb_applet id="nc2h8k9s" width="100%" height="100%" border="888888" />




|3=Arbeitsmethode|Farbe= #F19E4F}}
|3=Arbeitsmethode|Farbe= orange}}




{{Box|Aufgabe 4: Stammfunktionen graphisch zuordnen|
{{Box|Aufgabe 4: Stammfunktionen graphisch zuordnen|
{{Lösung versteckt|1=


Ordne die Graphen der Funktion <math> f(x) </math> mithilfe von charakteristischen Punkten den Graphen der Stammfunktion <math> F(x) </math> zu. Falls du Schwierigkeiten mit der Zuordnung hast, schaue dir Aufgabe 3 an?
Ordne die Graphen der Funktion <math> f(x) </math> der Stammfunktion <math> F(x) </math> zu. Falls du Schwierigkeiten mit der Zuordnung hast, schaue dir Aufgabe 3 an.
 
Du kannst den Vollbildmodus in der rechten, oberen Ecke einschalten, sodass du die Graphen besser erkennen kannst.
 
{{LearningApp|app=pq8dtnxrt20|width=100%|height=400px}}


Auch hier kannst du den Vollbildmodus in der rechten, oberen Ecke einschalten, sodass du die Graphen der entsprechenden Funktionen besser erkennen kannst.
{{Lösung versteckt|1=
{{Lösung versteckt|1=
Mache dir klar, wie die Funktion f und eine zugehörige Stammfunktion F zueinander stehen. Was bedeutet es, dass F eine Stammfunktion von f ist.  
Mache dir klar, wie die Funktion <math>f</math> und eine zugehörige Stammfunktion <math>F</math> zueinander stehen. Was bedeutet es, dass <math>F</math> eine Stammfunktion von <math>f</math> ist.  
|2=Tipp 1|3=Tipp verbergen}}
|2=Tipp 1|3=Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=
{{Lösung versteckt|1=
Was gilt für die Stammfunktion F von f, wenn f an der Stelle a einen lokalen Wendepunkt oder ein lokales Maximum bzw. lokales Minimum besitzt?
Was gilt für die Stammfunktion <math>F</math> von <math>f</math>, wenn <math>f</math> an der Stelle <math>a</math> einen lokalen Wendepunkt oder ein lokales Maximum bzw. lokales Minimum besitzt?
|2=Tipp 2|3=Tipp verbergen}}
|2=Tipp 2|3=Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=
{{Lösung versteckt|1=
f(x) ist die Ableitung von F(x). Somit gibt die Funktion f die Steigung der Stammfunktion F an.
<math>f(x)</math> ist die Ableitung von <math>F(x)</math>. Somit gibt die Funktion <math>f</math> die Steigung der Stammfunktion <math>F</math> an.
|2=Tipp 3|3=Tipp verbergen}}
|2=Tipp 3|3=Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=
{{Lösung versteckt|1=
Hat F an der Stelle a einen lokalen Wendepunkt (d.h. lokale maximale bzw. lokale minimale Steigung), so hat f an der Stelle a ein lokales Maximum bzw. ein lokales Minimum.  
Hat <math>F</math> an der Stelle <math>a</math> einen lokalen Wendepunkt (d.h. lokale maximale bzw. lokale minimale Steigung), so hat <math>f</math> an der Stelle <math>a</math> ein lokales Maximum bzw. ein lokales Minimum.  
|2=Tipp 4|3=Tipp verbergen}}
|2=Tipp 4|3=Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=
{{Lösung versteckt|1=
Hat F an der Stelle a ein lokales Maximum bzw. ein lokales Minimum, so hat f an der Stelle a eine Nullstelle.  
Hat <math>F</math> an der Stelle <math>a</math> ein lokales Maximum bzw. ein lokales Minimum, so hat <math>f</math> an der Stelle <math>a</math> eine Nullstelle.  
|2=Tipp 5|3=Tipp verbergen}}
|2=Tipp 5|3=Tipp verbergen}}
{{LearningApp|app=pq8dtnxrt20|width=100%|height=400px}}


|2=|3=}}
|Arbeitsmethode|Farbe= orange}}
 
|Arbeitsmethode|Farbe= #F19E4F}}


==Aufgaben mittlerer Schwierigkeit==
==Aufgaben mittlerer Schwierigkeit==
{{Box|1=Aufgabe 5: Kanalaufgabe
{{Box|1=Aufgabe 5: Kanalaufgabe
|2= {{Lösung versteckt|1=Der Boden eines 2 km langen Kanals hat die Form einer Parabel (siehe Abbildung). Dabei entspricht eine Längeneinheit 1 m in der Wirklichkeit. (Du benötigst zur Bearbeitung der Aufgabe Zettel und Stift.)
|2=  
Der Boden eines 2 km langen Kanals hat die Form einer Parabel (siehe Abbildung). Dabei entspricht eine Längeneinheit 1 m in der Wirklichkeit. (Du benötigst zur Bearbeitung der Aufgabe Zettel und Stift.)
[[Datei: Querschnitt des Kanals.jpg|mini|700px|zentriert|Querschnitt des komplett gefüllten Kanals]]
[[Datei: Querschnitt des Kanals.jpg|mini|700px|zentriert|Querschnitt des komplett gefüllten Kanals]]
'''a)'''
'''a)'''
Gib den Inhalt der Querschnittsfläche A des Kanals an. Nimm dabei an, dass die Funktion f mit <math>f(x)= \frac{1}{4} \cdot x^2</math> den Grundverlauf des Kanals darstellt.  
Gib den Inhalt der Querschnittsfläche A des Kanals an. Nimm dabei an, dass die Funktion <math>f</math> mit <math>f(x)= \frac{1}{4} \cdot x^2</math> den Grundverlauf des Kanals darstellt.  


{{Lösung versteckt|1=
{{Lösung versteckt|1=
Es gibt mehrere Möglichkeiten, um den Inhalt der Querschnittsfläche des Kanal zu berechnen. Im folgenden werden 3 Möglichkeiten aufgeführt.  
Es gibt mehrere Möglichkeiten, um den Inhalt der Querschnittsfläche des Kanal zu berechnen. Im folgenden werden 3 Möglichkeiten aufgeführt.  
# Du berechnest das Integral von der Funktion f mit den Grenzen <math>(-4|4)</math>. Weiter berechnest du den Flächeninhalt des Rechtecks (schraffiert, siehe nachfolgende Abbildung 1). Abschließend subtrahierst du die Fläche des Integrals (<span style="color: red">Rot</span>) von der des Rechtecks.  
# Du berechnest das Integral von der Funktion <math>f</math> mit den Grenzen <math>(-4|4)</math>. Weiter berechnest du den Flächeninhalt des Rechtecks (schraffiert, siehe nachfolgende Abbildung 1). Abschließend subtrahierst du die Fläche des Integrals (<span style="color: red">Rot</span>) von der des Rechtecks.  
# Du erstellst eine zweite Funktion <math>g(x)=4</math>, welche den Wasserstand im Kanal wiederspiegelt. Die Fläche unterhalb des Graphen (das Integral) g mit den Grenzen <math>(-4|4)</math> entspricht dem Flächeninhalt des Rechtecks aus Möglichkeit 1. Nun kannst du wie in Möglichkeit 1 vorgehen. Du kannst aber auch das Integral von <math>g-f</math> mit den Grenzen <math>(-4|4)</math>, also <math>\int_{-4}^{4} g-f</math> berechnen, was der gleichen Fläche entspricht (siehe Abbildung 2).
# Du erstellst eine zweite Funktion <math>g(x)=4</math>, welche den Wasserstand im Kanal wiederspiegelt. Die Fläche unterhalb des Graphen (das Integral) <math>g</math> mit den Grenzen <math>(-4|4)</math> entspricht dem Flächeninhalt des Rechtecks aus Möglichkeit 1. Nun kannst du wie in Möglichkeit 1 vorgehen. Du kannst aber auch das Integral von <math>g-f</math> mit den Grenzen <math>(-4|4)</math>, also <math>\int_{-4}^{4} g-f</math> berechnen, was der gleichen Fläche entspricht (siehe Abbildung 2).
# Du verschiebst die Funktion um 4 Einheiten nach unten, sodass die x-Achse den Wasserspiegel entspricht. Anschließend berechnest du das Integral. Da dies negativ sein wird, musst du noch den Betrag davon nehmen (siehe Abbildung 3).
# Du verschiebst die Funktion um 4 Einheiten nach unten, sodass die <math>x</math>-Achse den Wasserspiegel entspricht. Anschließend berechnest du das Integral. Da dies negativ sein wird, musst du noch den Betrag davon nehmen (siehe Abbildung 3).


'''Beachte:''' Es wird zunächst nur Abbildung 1 angezeigt. Wenn du Abbildung 2 und Abbildung 3 ansehen möchtest, musst du die Pfeile über der Abbildung nutzen, um zur nächsten Abbildung zu gelangen.  
'''Beachte:''' Es wird zunächst nur Abbildung 1 angezeigt. Wenn du Abbildung 2 und Abbildung 3 ansehen möchtest, musst du die Pfeile über der Abbildung nutzen, um zur nächsten Abbildung zu gelangen.  
Zeile 370: Zeile 396:


{{Lösung versteckt|1=
{{Lösung versteckt|1=
Um nun auf den prozentualen Anteil zu kommen, musst du die Wassermenge des halb gefüllten Kanals durch die Wassermenge des komplett gefüllten Kanals dividieren. Beachte dabei, dass es sich bei dem Ergebnis noch um keine prozentuale Angabe handelt. Dafür musst du das Ergebnis der Division noch mit 100 multiplizieren.  
Um nun auf den prozentualen Anteil zu kommen, musst du die Wassermenge des halb gefüllten Kanals durch die Wassermenge des komplett gefüllten Kanals dividieren. Beachte dabei, dass es sich bei dem Ergebnis noch um keine prozentuale Angabe handelt. Dafür kannst du das Ergebnis der Division noch mit 100 multiplizieren.  
|2=Tipp|3=Tipp verbergen}}
|2=Tipp|3=Tipp verbergen}}


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Antwort: Wenn der Kanal nur halb gefüllt ist, befinden sich ca. 35% der maximalen Wassermenge im Kanal.
Antwort: Wenn der Kanal nur halb gefüllt ist, befinden sich ca. 35% der maximalen Wassermenge im Kanal.
|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}
|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}
|2=Ausklappen|3=Einklappen}}
 
|3=Arbeitsmethode|Farbe=#5E43A5}}
|3=Arbeitsmethode}}


{{Box|1=Aufgabe 6: Stammfunktion graphisch rekonstruieren|2=
{{Box|1=Aufgabe 6: Stammfunktion graphisch rekonstruieren|2=


{{Lösung versteckt|1=


Skizziere eine beliebige Stammfunktion zu folgender Funktion auf dem Intervall <math>I=[-5,5]</math>. Zeichne zunächst die Funktion und dann eine zugehörige Stammfunktion in ein Koordinatensystem auf einen Zettel. Nutze charakteristische Punkte (Nullstellen, Extrempunkte, etc.), um den Graph der Stammfunktion zu zeichnen.
Skizziere eine beliebige Stammfunktion zu folgender Funktion auf dem Intervall <math>I=[-5, 5]</math>. Zeichne zunächst die Funktion und dann eine zugehörige Stammfunktion in ein Koordinatensystem auf einen Zettel. Nutze charakteristische Punkte (Nullstellen, Extrempunkte, etc.), um den Graph der Stammfunktion zu zeichnen.
 
 
[[Datei:Funktion g(x).png|mini|800px|center|<math>f(x)=x^3+2x^2-3</math>]]


{{Lösung versteckt|1=
{{Lösung versteckt|1=
Um eine Stammfunktion F zu einer Funktion f zu skizzieren, muss dir klar sein, wie die Funktion f und eine zugehörige Stammfunktion F zueinander stehen. Was bedeutet es, dass F eine Stammfunktion von f ist?  
Um eine Stammfunktion <math>F</math> zu einer Funktion <math>f</math> zu skizzieren, überlege, wie die Funktion <math>f</math> und eine zugehörige Stammfunktion <math>F</math> zueinander stehen. Was bedeutet es, dass <math>F</math> eine Stammfunktion von <math>f</math> ist?  
|2=Tipp 1|3=Tipp 1 verbergen}}
|2=Tipp 1|3=Tipp 1 verbergen}}


{{Lösung versteckt|1=
{{Lösung versteckt|1=
Was gilt für die Stammfunktion F von f, wenn f an der Stelle a einen lokalen Wendepunkt oder ein lokales Maximum bzw. lokales Minimum besitzt?
Was gilt für die Stammfunktion <math>F</math> von <math>f</math>, wenn <math>f</math> an der Stelle <math>a</math> einen lokalen Wendepunkt oder ein lokales Maximum bzw. lokales Minimum besitzt?
Wenn dir der Zusammenhang klar ist, kannst du diese Punkte einzeichnen und hast schon einen groben "Rahmen" für deine zu skizzierende Stammfunktion.  
Wenn dir der Zusammenhang klar ist, kannst du diese Punkte einzeichnen und hast schon einen groben "Rahmen" für deine zu skizzierende Stammfunktion.  
|2=Tipp 2|3=Tipp 2 verbergen}}
|2=Tipp 2|3=Tipp 2 verbergen}}


{{Lösung versteckt|1=
{{Lösung versteckt|1=
f(x) ist die Ableitung von F(x). Somit gibt die Funktion f die Steigung der Stammfunktion F an.
<math>f(x)</math> ist die Ableitung von <math>F(x)</math>. Somit gibt die Funktion <math>f</math> die Steigung der Stammfunktion <math>F</math> an.
|2=Tipp 3|3=Tipp 3 verbergen}}
|2=Tipp 3|3=Tipp 3 verbergen}}


{{Lösung versteckt|1=
{{Lösung versteckt|1=
Hat F an der Stelle a einen lokalen Wendepunkt (d.h. lokale maximale bzw. lokale minimale Steigung), so hat f an der Stelle a ein lokales Maximum bzw. ein lokales Minimum.  
Hat <math>F</math> an der Stelle <math>a</math> einen lokalen Wendepunkt (d.h. lokale maximale bzw. lokale minimale Steigung), so hat <math>f</math> an der Stelle <math>a</math> ein lokales Maximum bzw. ein lokales Minimum.  
|2=Tipp 4|3=Tipp 4 verbergen}}
|2=Tipp 4|3=Tipp 4 verbergen}}


{{Lösung versteckt|1=
{{Lösung versteckt|1=
Hat F an der Stelle a ein lokales Maximum bzw. ein lokales Minimum, so hat f an der Stelle a eine Nullstelle.  
Hat <math>F</math> an der Stelle <math>a</math> ein lokales Maximum bzw. ein lokales Minimum, so hat <math>f</math> an der Stelle a eine Nullstelle.  
|2=Tipp 5|3=Tipp 5 verbergen}}
|2=Tipp 5|3=Tipp 5 verbergen}}


[[Datei:Funktion g(x).png|mini|800px|center|<math>f(x)=x^3+2x^2-3</math>]]


{{Lösung versteckt|1=
{{Lösung versteckt|1=
Zeile 417: Zeile 443:
|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}
|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}


|2=|3=}}
|3=Arbeitsmethode}}
 
|3=Arbeitsmethode|Farbe=#5E43A5}}




{{Box|1=Aufgabe 7: Funktionsvorschrift der Stammfunktion ermitteln|2=
{{Box|1=Aufgabe 7: Funktionsvorschrift der Stammfunktion ermitteln|2=


{{Lösung versteckt|1=
Ermittle die zugehörige Stammfunktion der Funktion <math>f(x)</math>.
Ermittle die zugehörige Stammfunktion der Funktion <math>f(x)</math>.


In der oberen, rechten Ecke der App ist ein kleiner Button, mit dem du in den Vollbildmodus schalten kannst. Dann sind die Funktionen und Stammfunktionen besser lesbar.  
In der oberen, rechten Ecke der App ist ein kleiner Button, mit dem du in den Vollbildmodus schalten kannst. Dann sind die Funktionen und Stammfunktionen besser lesbar.  
{{LearningApp|app=p3wmp08ka20|width=100%|height=400px}}


{{Lösung versteckt|1=
{{Lösung versteckt|1=
Eine Stammfunktion F einer entsprechenden Funktion f erhält man, indem man die Funktion f integriert ("aufleitet", bitte dieses Wort nicht gebrauchen! Dient nur dem Verständnis.). Schaue dir dazu die folgende Abbildung, die den Zusammenhang von Stammfunktion F und ihr entsprechenden Funktion f verdeutlicht, an.
Eine Stammfunktion <math>F</math> einer entsprechenden Funktion <math>f</math> erhält man, indem man die Funktion <math>f</math> integriert ("aufleitet", bitte dieses Wort nicht gebrauchen! Dient nur dem Verständnis.). Schaue dir dazu die folgende Abbildung, die den Zusammenhang von Stammfunktion <math>F</math> und ihr entsprechenden Funktion <math>f</math> verdeutlicht, an.
|2=Tipp 1|3=Tipp 2 verbergen}}
|2=Tipp 1|3=Tipp 2 verbergen}}


{{Lösung versteckt|1=
{{Lösung versteckt|1=
Solltest du beim bilden der Stammfunktion Probleme haben, schau dir nochmals die Definition der Stammfunktion, den Satz zur Bestimmung der Stammfunktion und die Beispiele dazu an. Dies findest du zu Beginn dieses Lernpfades.  
Solltest du beim Bilden der Stammfunktion Probleme haben, schau dir nochmals die Definition der Stammfunktion, den Satz zur Bestimmung der Stammfunktion und die Beispiele dazu an. Dies findest du zu Beginn dieses Lernpfades.  
[[Datei:Ableiten-und-Integrieren.png|mini|center|Durch "Ableiten" und "Integrieren" von der Stammfunktion F die entsprechende Funktion f (und umgekehrt) ermitteln. ]]
[[Datei:Ableiten-und-Integrieren.png|mini|center|Durch "Ableiten" und "Integrieren" von der Stammfunktion F die entsprechende Funktion f (und umgekehrt) ermitteln. ]]
|2=Tipp 2|3=Tipp 2 verbergen}}
|2=Tipp 2|3=Tipp 2 verbergen}}


{{LearningApp|app=p3wmp08ka20|width=100%|height=400px}}
|3=Arbeitsmethode}}
 
 
|2=|3=}}
 
|3=Arbeitsmethode|Farbe=#5E43A5}}




{{Box|1=Aufgabe 8: Bakterienwachstum|2=
{{Box|1=Aufgabe 8: Bakterienwachstum|2=


{{Lösung versteckt|1=


Die Funktion <math>f(t)=-t^2+6t</math> gibt die Wachstumsrate von Bakterien an, <math>t</math> in Stunden, <math>f(t)</math> in Hundert Bakterien (siehe Figur 1). Zu Beginn waren 200 Bakterien vorhanden. (Du benötigst zur Bearbeitung der Aufgabe Zettel und Stift.)
Die Funktion <math>f(t)=-t^2+6t</math> gibt die Wachstumsrate von Bakterien an, <math>t</math> in Stunden, <math>f(t)</math> in Hundert Bakterien (siehe Figur 1). Zu Beginn waren 200 Bakterien vorhanden. (Du benötigst zur Bearbeitung der Aufgabe Zettel und Stift.)
Zeile 467: Zeile 486:
<math>g(t) = 2 -  \frac{1}{3}\cdot t^3+3t^2 </math>
<math>g(t) = 2 -  \frac{1}{3}\cdot t^3+3t^2 </math>


Bei der Funktion <math>g(t)</math> wird 2 addiert, da zu Beginn 200 Bakterien vorhanden sind und <math>g(t)</math> die Anzahl der Bakterien in Hundertstel angibt.
Bei der Funktion <math>g(t)</math> wird 2 addiert, da zu Beginn 200 Bakterien vorhanden sind und <math>g(t)</math> die Anzahl der Bakterien in Hundert angibt.


|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}
|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}
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{{Lösung versteckt|1=
{{Lösung versteckt|1=
<math>g(4) = \frac{86}{3} \approx 28,7 </math>
<math>g(4) = \frac{86}{3} \approx 28{,}7 </math>


<math>28,7 \cdot 100=28700 </math>
<math>28{,}7 \cdot 100=2870 </math>


Antwort: Nach 4 Stunden sind es ca. 28700 Bakterien.
Antwort: Nach 4 Stunden sind es ca. 2870 Bakterien.


<math>g(6) = 38 </math>
<math>g(6) = 38 </math>


<math>38 \cdot 100=38000</math>
<math>38 \cdot 100=3800</math>


Antwort: Nach 6 Stunden sind es ca. 38000 Bakterien.
Antwort: Nach 6 Stunden sind es ca. 3800 Bakterien.


|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}
|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}


|2=|3=}}


|3=Arbeitsmethode|Farbe=#5E43A5}}
|3=Arbeitsmethode}}


==Knobelaufgaben==
==Knobelaufgaben==
{{Box|1=Aufgabe 9: CO₂-Gehalt in Teichen|2=
{{Box|1=Aufgabe 9: CO₂-Gehalt in Teichen|2=
{{Lösung versteckt|1=


Die biologische Aktivität in einem Teich kann man durch die Änderungsrate beschreiben, mit der CO₂ dem Wasser zugefügt oder entnommen wird. Pflanzen entnehmen tagsüber dem Wasser im Rahmen der Photosynthese CO₂ und geben Nachts O₂ ab. Tiere geben durch ihre Atmung CO₂ an das Wasser ab. Bei Tagesanbruch werden 2,6ME CO₂ im Teich festgestellt. (ME steht hier für eine nicht so ganz gebräuchliche Mengen-Einheit, in der die Stoffmenge von CO₂ gemessen werden kann.) Biologen haben die Zu- und Abnahmerate <math>z(t)</math> über einen ganzen Tag, beginnend mit dem Sonnenaufgang, gemessen. Die Werte werden in der Einheit ME pro Stunde angegeben. (Du benötigst zur Bearbeitung der Aufgabe einen Zettel und Stift)
Die biologische Aktivität in einem Teich kann man durch die Änderungsrate beschreiben, mit der CO₂ dem Wasser zugefügt oder entnommen wird. Pflanzen entnehmen tagsüber dem Wasser im Rahmen der Photosynthese CO₂ und geben nachts O₂ ab. Tiere geben durch ihre Atmung CO₂ an das Wasser ab. Bei Tagesanbruch werden 2,6ME CO₂ im Teich festgestellt. (ME steht hier für eine nicht so ganz gebräuchliche Mengen-Einheit, in der die Stoffmenge von CO₂ gemessen werden kann.) Biologen haben die Zu- und Abnahmerate <math>z(t)</math> über einen ganzen Tag, beginnend mit dem Sonnenaufgang, gemessen. Die Werte werden in der Einheit ME pro Stunde angegeben. (Du benötigst zur Bearbeitung der Aufgabe einen Zettel und Stift.)




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{{Lösung versteckt|1=
{{Lösung versteckt|1=
Berechne die Flächen unter den Intervallen <math>[0,3], [0,6], [0,12], [0,24]</math>.
Berechne die Flächen unter den Intervallen <math>[0, 3], [0, 6], [0, 12], [0, 24]</math>.
|2=Tipp 2| 3= Tipp verbergen}}
|2=Tipp 2| 3= Tipp verbergen}}


{{Lösung versteckt|1=
{{Lösung versteckt|1=
# Für <math>t=0</math>: Bei Tagesanbruch wurden 2,6 ME CO₂ im Teich gemessen (siehe Aufgabe).
# Für <math>t=0</math>: Bei Tagesanbruch wurden 2,6 ME CO₂ im Teich gemessen (siehe Aufgabe).
# Für <math>t=3</math>: Wir betrachten die Fläche auf dem Intervall <math>[0.3]</math>. Die erste Seite des Dreiecks ist die Länge des Intervalls und beträgt 3. Die zweite Seite des Dreiecks ist der Punkt (3,-0,041) und damit -0,041. Daraus ergibt sich die folgende Gesamtmenge:<math>A_1 = \frac {3h \cdot (-0,041 \frac{ME}{h})}{2} + 2,6 ME</math> ≈ <math>2,54 ME</math> (aufgerundet)
# Für <math>t=3</math>: Wir betrachten die Fläche auf dem Intervall <math>[0,3]</math>. Die erste Seite des Dreiecks ist die Länge des Intervalls und beträgt 3. Die zweite Seite des Dreiecks ist der Punkt <math>(3,-0{,}041)</math> und damit <math>-0{,}041</math>. Daraus ergibt sich die folgende Gesamtmenge:<math>A_1 = \frac {3h \cdot (-0{,}041 \frac{ME}{h})}{2} + 2{,}6 ME</math> ≈ <math>2{,}54 ME</math> (aufgerundet).
# Für <math>t=6</math>: Wir betrachten die Fläche <math>A_2</math>  auf dem Intervall <math>[0,6]</math>. Den Flächeninhalt auf dem Intervall <math> [0,3]</math> kennen wir bereits als <math>A_1</math>. Die Fläche unter dem Graphen auf dem Intervall <math>[3,6]</math> besteht aus einer Vierecks- und einer Dreiecksfläche und wird wie folgt berechnet: <math>A_2 = A_1 + 3h \cdot (-0,037 \frac{ME}{h}) + \frac {3h \cdot (-0,005 \frac{ME}{h})}{2}</math> ≈ <math>2,42 ME</math> (aufgerundet).
# Für <math>t=6</math>: Wir betrachten die Fläche <math>A_2</math>  auf dem Intervall <math>[0, 6]</math>. Den Flächeninhalt auf dem Intervall <math> [0, 3]</math> kennen wir bereits als <math>A_1</math>. Die Fläche unter dem Graphen auf dem Intervall <math>[3, 6]</math> besteht aus einer Vierecks- und einer Dreiecksfläche und wird wie folgt berechnet: <math>A_2 = A_1 + 3h \cdot (-0{,}037 \frac{ME}{h}) + \frac {3h \cdot (-0{,}005 \frac{ME}{h})}{2}</math> ≈ <math>2{,}42 ME</math> (aufgerundet).
# Für <math>t= 12, 24</math> mit dem gleichen Verfahren.
# Für <math>t= 12, 24</math> mit dem gleichen Verfahren.


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|2= Tipp| 3= Tipp verbergen}}
|2= Tipp| 3= Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=
{{Lösung versteckt|1=
Der CO2-Gehalt war nach ca. 12 h am geringsten (etwa 2,28 ME).
Der CO2-Gehalt war nach ca. 12 Stunden am geringsten (etwa 2,28 ME).
|2= Lösung|3= Lösung verbergen}}
|2= Lösung|3= Lösung verbergen}}


Zeile 626: Zeile 643:
|2= Tipp| 3= Tipp verbergen}}
|2= Tipp| 3= Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=
{{Lösung versteckt|1=
# Das Integral beschreibt die Durchschnittliche CO₂ Menge im Teich von morgens bis nach 12 Stunden. Die Fläche liegt unterhalb der x-Achse, also wurde im betreffenden Zeitraum mehr CO₂ entnommen als abgegeben, der Gesamtbestand ist gesunken.
# Das Integral beschreibt die durchschnittliche CO₂-Menge im Teich von morgens bis nach 12 Stunden. Die Fläche liegt unterhalb der <math>x</math>-Achse, also wurde im betreffenden Zeitraum mehr CO₂ entnommen als abgegeben. Der Gesamtbestand ist gesunken.
# Das Integral beschreibt die Durchschnittliche CO₂ Menge im Teich von 12 bis nach 24 Stunden. Die Fläche liegt oberhalb der x-Achse, also wurde im betreffenden Zeitraum mehr CO₂ abgegeben als entnommen, der Gesamtbestand ist also gestiegen.
# Das Integral beschreibt die durchschnittliche CO₂-Menge im Teich von 12 bis nach 24 Stunden. Die Fläche liegt oberhalb der x-Achse, also wurde im betreffenden Zeitraum mehr CO₂ abgegeben als entnommen, der Gesamtbestand ist also gestiegen.
# Das Integral beschreibt die Durchschnittliche CO₂ Menge im Teich von morgens bis nach 24 Stunden. Das Integral gibt an, wie viel CO₂ nach 24 Stunden im Vergleich zum Anfangsbestand hinzugekommen ist bzw. entnommen wurde.
# Das Integral beschreibt die durchschnittliche CO₂-Menge im Teich von morgens bis nach 24 Stunden. Das Integral gibt an, wie viel CO₂ nach 24 Stunden im Vergleich zum Anfangsbestand hinzugekommen ist bzw. entnommen wurde.


[[Datei:Z(t).png|mini|400px|left]] [[Datei:Gesamtmenge.png|mini|400px|right]]
[[Datei:Z(t).png|mini|400px|left]] [[Datei:Gesamtmenge.png|mini|400px|right]]
|2= Lösung|3= Lösung verbergen}}
|2= Lösung|3= Lösung verbergen}}
|2= Ausklappen|3= Einklappen}}


|3=Arbeitsmethode|Farbe=#00FF00}}
|3=Arbeitsmethode|Farbe={{Farbe|grün|dunkel}}
 
}}




{{Box|1=Aufgabe 10: Gewinnermittlung eines Smartphone-Herstellers|2=
{{Box|1=Aufgabe 10: Gewinnermittlung eines Smartphone-Herstellers|2=


{{Lösung versteckt
Ein Technik-Unternehmen hat ein neues Smartphone auf den Markt gebracht. Nach 9 Monaten will das Unternehmen prüfen, wie lukrativ das neue Handy in den ersten 9 Monaten war. Der monatliche Gewinn, der durch das Smartphone eingespielt wurde, kann durch die folgende Funktion dargestellt werden: <math>f(x)=-x^3+4{,}5x^2+34x-50</math>
|1=
* |Ein Technik-Unternehmen hat ein neues Smartphone auf den Markt gebracht. Nach 9 Monaten will das Unternehmen prüfen, wie lukrativ das neue Handy in den ersten 9 Monaten war. Der monatliche Gewinn, der durch das Smartphone eingespielt wurde, kann durch die folgende Funktion dargestellt werden: <math>f(x)=-x^3+4,5x^2+34x-50</math>


Die x-Achse gibt die Anzahl der Monate an und die y-Achse den Gewinn in Millionen (€).  
Die x-Achse gibt die Anzahl der Monate an und die y-Achse den Gewinn in Millionen (€).  
Zeile 653: Zeile 669:


{{Lösung versteckt|1=
{{Lösung versteckt|1=
Stammfunktion: <math> F(x) = -\frac{1}{4}x^4+\frac{4,5}{3}x^3+17x^2-50x </math>
Stammfunktion: <math> F(x) = -\frac{1}{4}x^4+\frac{4{,}5}{3}x^3+17x^2-50x </math>
# <math>\int_{0}^{2} f(x) dx = F(2) - F(0) = -24 - 0 = -24</math>
# <math>\int_{0}^{2} f(x) dx = F(2) - F(0) = -24 - 0 = -24</math>
# <math>\int_{0}^{7} f(x) dx = F(7) - F(0) = 397,25</math>
# <math>\int_{0}^{7} f(x) dx = F(7) - F(0) = 397{,}25</math>
# <math>\int_{0}^{9} f(x) dx = F(9) - F(0) = 380,25</math>
# <math>\int_{0}^{9} f(x) dx = F(9) - F(0) = 380{,}25</math>
2 und 3 analog wie 1.
2 und 3 analog wie 1. Alle Werte sind in Millionen Euro.
|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}
|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}


Zeile 675: Zeile 691:


{{Lösung versteckt|1=
{{Lösung versteckt|1=
In welchem Zeitraum liegt der Graph von <math>f(x)</math> überhalb der x-Achse (grüne Fläche). Dies ist der Zeitraum, in dem das Unternehmen ausschließlich Gewinn erzielt.
In welchem Zeitraum liegt der Graph von <math>f(x)</math> überhalb der <math>x</math>-Achse (grüne Fläche). Dies ist der Zeitraum, in dem das Unternehmen ausschließlich Gewinn erzielt.
|2= Tipp 1|3=Tipp 1 verbergen}}
|2= Tipp 1|3=Tipp 1 verbergen}}


{{Lösung versteckt|1=
{{Lösung versteckt|1=
Schaue dir den Graphen von f, der den Gewinn angibt, und überlege dir welche Grenzen der grüne Bereich (ausschließlich Gewinn) hat.
Schaue dir den Graphen von <math>f</math>, der den Gewinn angibt, und überlege dir welche Grenzen der grüne Bereich (ausschließlich Gewinn) hat.
|2= Tipp 2|3=Tipp 2 verbergen}}
|2= Tipp 2|3=Tipp 2 verbergen}}


Zeile 689: Zeile 705:
Nullstellen berechnen: <math> f(x) = 0 </math>
Nullstellen berechnen: <math> f(x) = 0 </math>


<math> x_1 = -4,79 </math>
<math> x_1 = -4{,}79 </math>


<math> x_2 = 1,31 </math>
<math> x_2 = 1{,}31 </math>


<math> x_3 = 7,98 </math>
<math> x_3 = 7{,}98 </math>


Es kommen aufgrund des Aufgabenkontextes nur die Nullstellen <math>x_2</math> und  <math>x_3</math> in Betracht. Diese wählt man als Grenzen für das zu berechnende Integral.
Es kommen aufgrund des Aufgabenkontextes nur die Nullstellen <math>x_2</math> und  <math>x_3</math> in Betracht. Diese wählt man als Grenzen für das zu berechnende Integral.


<math>\int_{1,31}^{7,98} f(x) dx = F(7,98) - F(1,31) = 465,71</math>
<math>\int_{1{,}31}^{7{,}98} f(x) dx = F(7{,}98) - F(1{,}31) = 465{,}71</math>


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|2=Ausklappen
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{{Box|1=Aufgabe 11: Corona Virus| 2=
{{Box|1=Aufgabe 11: Corona Virus| 2=
{{Lösung versteckt|1=
 
[[Datei:Coronavirus SARS-CoV-2.jpg||450px|rechts]]
[[Datei:Coronavirus SARS-CoV-2.jpg||450px|rechts]]
'''Beachte: Diese Aufgabe ist erfunden und entspricht nicht der Realität! Es ist eine rein hypothetische Aufgabe!'''
'''Beachte: Diese Aufgabe ist erfunden und entspricht nicht der Realität! Es ist eine rein hypothetische Aufgabe!'''
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Wie bei fast allen Virusinfektionen vergeht auch beim derzeitig kursierenden Coronavirus eine gewisse Zeit von der Ansteckung bis zur Erkrankung (Inkubationszeit). Das Robert Koch-Institut schätzt die Inkubationszeit für SARS-CoV-2 auf 3 Tage.
Wie bei fast allen Virusinfektionen vergeht auch beim derzeitig kursierenden Coronavirus eine gewisse Zeit von der Ansteckung bis zur Erkrankung (Inkubationszeit). Das Robert Koch-Institut schätzt die Inkubationszeit für SARS-CoV-2 auf 3 Tage.


Ein halbes Jahr später hat die Forschung das Medikament „Gibcovid19einenkorb“ entwickelt, um der Ausbreitung des Coronavirus entgegenzuwirken. Dieses Medikament kann erst nach 3 Tagen verabreicht werden, da dann die ersten Symptome auftreten können. Die Abnahme der Viren bei Einnahme des Medikaments zum Zeitpunkt <math>x = 3</math> Tagen lässt sich mit folgender Funktion beschreiben:
Hypothetisch nehmen wir an, dass ein Medikament „Gibcovid19einenkorb“ entwickelt wird, um der Ausbreitung des Coronavirus entgegenzuwirken. Dieses Medikament kann erst nach 3 Tagen verabreicht werden, da dann die ersten Symptome auftreten können. Die Abnahme der Viren bei Einnahme des Medikaments zum Zeitpunkt <math>x = 3</math> Tagen lässt sich mit folgender Funktion beschreiben:


<math> g(x) = -\frac{1}{2}x^2 + 6x -9</math> , <math>x</math> ≥ <math>3</math>
<math> g(x) = -\frac{1}{2}x^2 + 6x -9</math> , <math>x</math> ≥ <math>3</math>
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'''a)''' Ein Patient ist mit dem Coronavirus infiziert und bekommt nach 3 Tagen das Medikament verabreicht. Berechne nach wie vielen Tagen alle Viren im Körper des Patienten abgestorben sind (Runde das Ergebnis sinnvoll).
'''a)''' Ein Patient ist mit dem Coronavirus infiziert und bekommt nach 3 Tagen das Medikament verabreicht. Berechne, nach wie vielen Tagen alle Viren im Körper des Patienten abgestorben sind (Runde das Ergebnis sinnvoll).


{{Lösung versteckt|1=
{{Lösung versteckt|1=
Die Funktion ist aus den Funktionen f(x) und g(x) zusammengesetzt. f(x) ist nun im Zuge der Aufgabe auf das Intervall von <math>[0,3]</math> beschränkt und g(x) auf dem Intervall von <math>[3,a]</math>. (a = Zeitpunkt an dem alle Viren im Körper des Patienten abgestorben sind)
Die Funktion ist aus den Funktionen <math>f(x)</math> und <math>g(x)</math> zusammengesetzt. f(x) ist nun im Zuge der Aufgabe auf das Intervall von <math>[0, 3]</math> beschränkt und g(x) auf dem Intervall von <math>[3,a]</math>. (a = Zeitpunkt an dem alle Viren im Körper des Patienten abgestorben sind)
|2=Tipp 1|3=Tipp verbergen}}
|2=Tipp 1|3=Tipp verbergen}}


{{Lösung versteckt|1=
{{Lösung versteckt|1=
Berechne die Nullstelle von g(x). Beachte, dass du bei mehreren Nullstellen den Aufgabenkontext berücksichtigen musst, um die richtige Nullstelle zu berechnen.
Berechne die Nullstelle von <math>g(x)</math>. Beachte, dass du bei mehreren Nullstellen den Aufgabenkontext berücksichtigen musst, um die richtige Nullstelle zu berechnen.
|2=Tipp 2|3=Tipp verbergen}}
|2=Tipp 2|3=Tipp verbergen}}


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'''Es handelt sich um eine aus zwei Teilfunktionen zusammengesetzte Funktion:'''
'''Es handelt sich um eine aus zwei Teilfunktionen zusammengesetzte Funktion:'''


<math> f(x) = \frac{1}{2}x^2</math> , für '''0 x 3''' und <math> g(x) = -\frac{1}{2}x^2 + 6x -9</math> , für '''3 x a'''.
<math> f(x) = \frac{1}{2}x^2</math> , für <math> 0 \leq x \leq 3 </math> und <math> g(x) = -\frac{1}{2}x^2 + 6x -9</math> , für <math>3 \leq x \leq a </math>.


'''Bestimme die Nullstelle des zweiten Funktionsterms für x≥3:'''
'''Bestimme die Nullstelle des zweiten Funktionsterms für <math> x \geq 3 </math>:'''


<math> g(x) = 0 = g(a)</math> ↔ <math> \frac{1}{2}x^2 + 6x -9 = 0</math> ↔ <math> x^2 -12x + 18 = 0</math>
<math> g(x) = 0 = g(a)</math> ↔ <math> \frac{1}{2}x^2 + 6x -9 = 0</math> ↔ <math> x^2 -12x + 18 = 0</math>
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'''Anwendung der p/q Formel:'''
'''Anwendung der p/q Formel:'''


<math> x_1 = -6 + \sqrt{6^2 - 18}</math>, <math> x_1 = 6 + 3 \cdot \sqrt{2}</math> ≈ <math>10,243</math>
<math> x_1 = -6 + \sqrt{6^2 - 18}</math>, <math> x_1 = 6 + 3 \cdot \sqrt{2}</math> ≈ <math>10{,}243</math>


<math> x_2 = -6 - \sqrt{6^2 - 18}</math>, <math> x_2</math> ≈ <math> 1,757</math> < <math>3</math>
<math> x_2 = -6 - \sqrt{6^2 - 18}</math>, <math> x_2</math> ≈ <math> 1{,}757</math> < <math>3</math>


'''Antwort: Nach etwa 11 Tagen sind alle Coronaviren gestorben.'''
'''Antwort: Nach etwa 11 Tagen sind alle Coronaviren gestorben.'''
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|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}
|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}


'''b)''' Die Fläche zwischen dem Graphen und der x-Achse ist ein Maß für die schädigende Wirkung der Coronaviren, auch Wirkungsfaktor genannt. Gesundheitliche Schäden können auftreten, wenn der Wert 60 WE (Wirkungseinheiten) überschreitet. Berechne den gesamten Wirkungsfaktor bis zum völligen Abklingen der Krankheit, wenn das Medikament nach 3 Tagen eingenommen wird.
'''b)''' Die Fläche zwischen dem Graphen und der <math>x</math>-Achse ist ein Maß für die schädigende Wirkung der Coronaviren, auch Wirkungsfaktor genannt. Gesundheitliche Schäden können auftreten, wenn der Wert 60 WE (Wirkungseinheiten) überschreitet. Berechne den gesamten Wirkungsfaktor bis zum völligen Abklingen der Krankheit, wenn das Medikament nach 3 Tagen eingenommen wird.


{{Lösung versteckt|1=
{{Lösung versteckt|1=
Es gelten die selben Definitionsbereiche, wie in Aufagbenteil a). Für genaueres siehe Tipp 1.
Es gelten die selben Definitionsbereiche, wie in Aufagbenteil a). Für Genaueres siehe Tipp 1.
|2=Tipp|3=Tipp verbergen}}
|2=Tipp|3=Tipp verbergen}}


{{Lösung versteckt|1=
{{Lösung versteckt|1=


<math> W(x) = \int_{0}^{3} \frac{1}{2}x^2 dx + \int_{3}^{6 + 3 \cdot \sqrt{2}} (\frac{1}{2}x^2 + 6x -9) dx </math>
<math> W(x) = \int_{0}^{3} \frac{1}{2}x^2 dx + \int_{3}^{6 + 3 \cdot \sqrt{2}} (-\frac{1}{2}x^2 + 6x -9) dx </math>


'''Wir berchnen beide Teilintegrale einzeln:'''
'''Wir berechnen beide Teilintegrale einzeln:'''


<math> \int_{0}^{3} \frac{1}{2}x^2 dx = \frac{1}{6} \cdot 3^3 - 0 = \frac{9}{2}</math>
<math> \int_{0}^{3} \frac{1}{2}x^2 dx = \frac{1}{6} \cdot 3^3 - 0 = \frac{9}{2}</math>


<math> \int_{3}^{6 + 3 \cdot \sqrt{2}} (\frac{1}{2}x^2 + 6x -9) dx = [-\frac{1}{6} \cdot (6 + 3 \cdot \sqrt{2})^3 + 3 \cdot (6 + 3 \cdot \sqrt{2})^2 - 9 \cdot (6 + 3 \cdot \sqrt{2}) -(-\frac{1}{6} \cdot 3^3 + 3 \cdot 3^2 - 9 \cdot 3)] = \frac{9}{2} + 18 + 18 \cdot \sqrt{2}</math>
<math>\begin{align}
\int_{3}^{6 + 3 \cdot \sqrt{2}} (-\frac{1}{2}x^2 + 6x -9) dx &= \Big[ -\frac{1}{6} \cdot x^3 + 3 \cdot x^2 - 9 \cdot x \Big]_{3}^{6 + 3 \cdot \sqrt{2}}\\
&= \Big[ -\frac{1}{6} \cdot (6 + 3 \cdot \sqrt{2})^3 + 3 \cdot (6 + 3 \cdot \sqrt{2})^2 - 9 \cdot (6 + 3 \cdot \sqrt{2}) -(-\frac{1}{6} \cdot 3^3 + 3 \cdot 3^2 - 9 \cdot 3) \Big]\\
&= \frac{9}{2} + 18 + 18 \cdot \sqrt{2}\\
&= \frac{45}{2} + 18 \cdot \sqrt{2}
\end{align}</math>


<math> W(x) = \frac{9}{2} + \frac{9}{2} + 18 + 18 = 27 + 18 \cdot \sqrt{2}</math> ≈ <math>52,459</math>
<math> W(x) = \frac{9}{2} + \frac{45}{2} + 18 \cdot \sqrt{2} = 27 + 18 \cdot \sqrt{2} \approx 52{,}456</math>


'''Antwort: Der Wirkungsfaktor <math>W(x)</math> beträgt etwa 52,456. Er liegt knapp unter der Grenze von 60, so dass mit gesundheitlichen Schäden nicht zu rechnen ist.'''


'''Antwort: Der Wirkungsfaktor W (x) beträgt etwa 52,456. Er liegt knapp unter der Grenze von 60, so dass mit gesundheitlichen Schäden nicht zu rechnen ist.'''
|2=Lösung|3= Lösung verbergen}}


|2=Lösung|3= Lösung verbergen}}
|3=Arbeitsmethode|Farbe={{Farbe|grün|dunkel}}  
|2=|3=}}
 
|3=Arbeitsmethode|Farbe=#00FF00}}
}}




{{Box|1=Aufgabe 12: 100 m-Sprint &#x2B50;|2=
{{Box|1=Aufgabe 12: 100 m-Sprint &#x2B50;|2=


{{Lösung versteckt|1=
 
'''Um diese Aufgabe lösen zu können, musst du mit e-Funktionen vertraut sein.'''
'''Um diese Aufgabe lösen zu können, musst du mit e-Funktionen vertraut sein.'''


Bei einem Sprint über 100 m treten Lars und René gegeneinander an. Lars sprintet mit der Geschwindigkeitsfunktion <math>v_L(t)=0,25t+10 \cdot (1-e^{-t})</math>.
Bei einem Sprint über 100 m treten Lars und René gegeneinander an. Lars sprintet mit der Geschwindigkeitsfunktion <math>v_L(t)=0{,}25t+10 \cdot (1-e^{-t})</math>.
René sprintet mit der Geschwindigkeitsfunktion <math>v_R(t)=12 \cdot (1-e^{-t})+r \cdot t^2</math>.
René sprintet mit der Geschwindigkeitsfunktion <math>v_R(t)=12 \cdot (1-e^{-t})+r \cdot t^2</math>.


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{{Lösung versteckt|1=
{{Lösung versteckt|1=
Setze <math>\int_{0}^{9,8} v_R(t) dt=100 </math>.
Setze <math>\int_{0}^{9{,}8} v_R(t) dt=100 </math>.
|2=Tipp|3=Tipp}}
|2=Tipp|3=Tipp}}


{{Lösung versteckt|1=
{{Lösung versteckt|1=
Es muss also folgendes gelten: <math>\int_{0}^{9,8} v_L(t) dt = 100 </math>
Es muss also folgendes gelten: <math>\int_{0}^{9{,}8} v_L(t) dt = 100 </math>


<math>\int_{0}^{9,8} v_L(t) dt = V_L(9,8)-V_L(0)</math>
<math>\int_{0}^{9{,}8} v_L(t) dt = V_L(9{,}8)-V_L(0)</math>


<math> =\frac{1}{8} \cdot 9,8^2+10 \cdot (9,8+e^{-9,8}) - \frac{1}{8} \cdot 0^2+10 \cdot (0+e^{-0}) = 100 </math>
<math> =\frac{1}{8} \cdot 9{,}8^2+10 \cdot (9{,}8+e^{-9{,}8}) - \frac{1}{8} \cdot 0^2+10 \cdot (0+e^{-0}) = 100 </math>
|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}
|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}


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{{Lösung versteckt|1=
{{Lösung versteckt|1=
Setze <math>\int_{0}^{9,69} v_R(t) dt=100 </math> und löse nach r auf.
Setze <math>\int_{0}^{9{,}69} v_R(t) dt=100 </math> und löse nach r auf.
|2=Tipp|3=Tipp}}
|2=Tipp|3=Tipp}}


{{Lösung versteckt|1=
{{Lösung versteckt|1=
Es muss also folgendes gelten: <math>\int_{0}^{9,69} v_R(t) dt=100 </math>
Es muss also folgendes gelten: <math>\int_{0}^{9{,}69} v_R(t) dt=100 </math>
 
<math> \begin{align} \int_{0}^{9{,}69} v_R(t) dt &= V_R(9{,}69)-V_b(0) \\


<math>\int_{0}^{9,69} v_R(t) dt = V_R(9,69)-V_b(0) </math>
&=12 \cdot (9{,}69+e^{-9{,}69})+\frac{r}{3} \cdot 9{,}69^3-12 \cdot (0+e^{-0})+\frac{r}{3} \cdot 0^3 \\
&\approx 116{,}28+303{,}28r-12
\end{align}
</math>


<math>=12 \cdot (9,69+e^{-9,69})+\frac{r}{3} \cdot 9,69^3-12 \cdot (0+e^{-0})+\frac{r}{3} \cdot 0^3 </math>
Setze nun diesen Term gleich 100:


<math>\approx 116,28+303,28r-12 = 100 </math>
<math> \begin{align} 116{,}28+303{,}28r-12 &= 100 \\
\Leftrightarrow r &\approx -0{,}0141
\end{align}
</math>


<math>\Leftrightarrow r\approx -0,0141</math>
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|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}


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{{Lösung versteckt|1=
{{Lösung versteckt|1=
<math> \int_{0}^{5} v_L(t) dt -\int_{0}^{5} v_R(t) dt = \int_{0}^{5} v_L(t)-v_R(t) dt = -4,3</math>   
<math> \int_{0}^{5} v_L(t) dt -\int_{0}^{5} v_R(t) dt = \int_{0}^{5} v_L(t)-v_R(t) dt = -4{,}3</math>   
Antwort: Lars und René sind 4,3 m voneinander entfernt.
Antwort: Lars und René sind 4,3 m voneinander entfernt.
|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}
|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}


|2=|3=}}
|3=Arbeitsmethode|Farbe={{Farbe|grün|dunkel}}  


|3=Arbeitsmethode|Farbe=#00FF00}}
}}

Aktuelle Version vom 13. Juni 2020, 10:03 Uhr

Info

Als Einstieg in das Kapitel findest du eine Herleitung des Integrals aus dem Kontext der Differentialrechnung. Dabei werden dir die zwei Oberbegriffe des Kapitels, Änderungsrate und Änderungseffekt, erläutert. Anschließend folgen einige Aufgaben zum Integral.

Bei den Aufgaben unterscheiden wir folgende Typen:

  • In Aufgaben, die orange gefärbt sind, kannst du grundlegende Kompetenzen wiederholen und vertiefen.
  • Aufgaben in blauer Farbe sind Aufgaben mittlerer Schwierigkeit.
  • Und Aufgaben mit grünem Streifen sind Knobelaufgaben.
  • Aufgaben, die mit einem ⭐ gekennzeichnet sind, sind nur für den LK gedacht.
Viel Erfolg!

Herleitung des Integrals

Konstante und lineare Funktionen

Beispiel 1: Jogger

Wir nehmen an, dass ein Jogger im Durchschnitt 3m/s läuft. Dadurch ergibt sich die konstante Funktion , wie in der unteren Abbildung dargestellt. Nun kann man sich die Frage stellen: Wie viel Meter hat er in einer bestimmten Zeit zurückgelegt? Um das herauszufinden, muss lediglich der Flächeninhalt des Rechtecks zwischen dem Graphen f(x) und der x-Achse in einem festgelegten Zeitintervall berechnet werden. Beispielsweise hätte der Jogger innerhalb der ersten 10s eine Strecke von 30m () zurückgelegt. Das lässt sich für beliebig große Intervalle auf der x-Achse fortführen.

Probiere das in der Darstellung aus indem du die Grenze b verschiebst. Vergleiche den Wert der Stammfunktion F(x) mit dem Wert des Flächeninhalts. Was fällt dir auf?


GeoGebra



Beispiel 2: Durchflussrate


Ein zu Beginn leerer Wassertank wird durch dieselbe Leitung befüllt und entleert. In Figur 1 ist die momentane Durchflussrate der Leitung für das Intervall dargestellt.


Beispielaufgabe
Figur 1


Es stellt sich die Frage, wie aus der gegebenen Durchflussrate das Gesamtwasservolumen bestimmt werden kann. Das bedeutet: Wie viele Liter Wasser befinden sich nach 9 Minuten im Wassertank?

Bestimme die Flächeninhalte zwischen Graph und x-Achse.

Im Intervall beträgt der Zufluss . In diesen 3 Minuten fließen in den Tank. Im Intervall beträgt die mittlere Zuflussrate . In diesen 2 Minuten kommen dazu. Im Intervall ist die Durchflussrate negativ. Es fließen ab. Man kann also die Gesamtänderung des Wasservolumens in einem Intervall mit Flächeninhalten veranschaulichen, wenn man oberhalb der x-Achse liegende Flächen positiv und unterhalb der x-Achse liegende Flächen negativ zählt. Dieser orientierte Flächeninhalt beträgt beim Wassertank:

(FE = Flächeneinheiten) und entspricht einer Volumenänderung von 2 L. Da der Tank zu Beginn leer war, befinden sich jetzt insgesamt 2 L im Tank.
Es befinden sich nach 9 Minuten 2 Liter im Wassertank.


Merke: Orientierter Flächeninhalt


Ist der Graph einer momentanen Änderungsrate aus gradlinigen Teilstücken (konstanten und linearen Funktionen) zusammengesetzt, so kann man die Gesamtänderung der Größe (Wirkung) rekonstruieren, indem man den orientierten Flächeninhalt zwischen dem Graphen der momentanen Änderungsrate und der x-Achse bestimmt. Den orientierten Flächeninhalt nennt man auch das bestimmte Integral. (siehe Beispiel 2: Durchflussrate)

Allgemeine Herleitung und Definition

Idee für ganzrationale Funktionen


Bei konstanten oder linearen Funktionen schafft man es, den Änderungseffekt durch Rechtecks- und Dreiecksflächen zu ermitteln. Doch wie funktioniert das bei Funktionen zweiten Grades oder höher? Um den Effekt bei Funktionen zweiten Grades oder höher zu ermitteln, nutzt man dasselbe Verfahren. Man versucht, sich der Fläche zwischen dem Graphen und der x-Achse mit Rechtecksflächen anzunähern. Aktiviere dazu in der unteren Abbildung die Untersumme. Für einen direkten Vergleich kannst du auch das Integral aktivieren.

Hinweise:

  • markiert die Anzahl der Rechtecke unter dem Graphen.
  • Das gibt die Breite der Rechtecke an. Je mehr Rechtecke unterhalb des Graphen sind, desto kleiner wird ihre Breite und damit auch das .
  • Die eingeblendete Untersumme gibt den aktuellen Flächeninhalt der Summe aller Rechtecksflächen unter dem Graphen an.


GeoGebra


  • Je mehr Unterteilungen es gibt, desto kleiner wird die Breite der Rechtecke.
  • Je mehr Unterteilungen der Untersumme es gibt, desto größer wird der Flächeninhalt der Summe aller Rechtecke.
  • Die Summenformel der Untersumme stellt den Flächeninhalt aller Rechtecke dar.
  • Je mehr Unterteilungen es gibt und je kleiner das ist, desto eher nähert man sich dem Integral. Geht also die Anzahl der Unterteilungen gegen unendlich so bekommt man das Integral für die Funktion über das jeweilige Intervall.


Definition: Integral

Die Funktion sei auf dem Intervall stetig (Graph kann nahtlos gezeichnet werden) und sei eine beliebige Rechtecksumme zu über dem Intervall .

Dann heißt der Grenzwert  Integral der Funktion zwischen den Grenzen und .

Man schreibt dafür:

(lies: Integral von von bis ).


Hinweis: Falls du Schwierigkeiten mit den Formulierungen hast, schau dir dazu noch einmal die Idee für ganzrationalen Funktionen an. Für eine ausführlichere Erklärung kann für dich dieses Video hilfreich sein: [1]


Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung

Die Funktion sei stetig (Graph kann nahtlos gezeichnet werden) auf dem Intervall . Dann gilt:

für eine beliebige Stammfunktion von auf .

Stammfunktionen bilden

Stammfunktion Definition

Eine Funktion heißt Stammfunktion zu einer Funktion auf einem Intervall , wenn gilt: . Sind und Stammfunktionen von auf einem Intervall , dann gibt es eine Konstante , sodass gilt:


Satz: Bestimmung von Stammfunktionen

Zur Funktion mit ist mit eine Stammfunktion. Zur Funktion mit ist mit eine Stammfunktion. Sind und Stammfunktionen von und , so gilt für die zusammengesetzten Funktionen:


Beispiele

Hier findest du ein paar Beispielfunktionen und ihre Stammfunktion.

Grundlegende Kompetenzen

Aufgabe 1: Gezeitenkraftwerk


Gezeitenkraftwerk in Annapolis Royal, Nova Scotia, Kanada

Bearbeite folgende Aufgabe und nutze Zettel und Stift, um deine Rechnungen festzuhalten.

In einem Gezeitenkraftwerk strömt bei Flut das Wasser in einen Speicher und bei Ebbe wieder heraus. Das durchfließende Wasser treibt dabei Turbinen zur Stromerzeugung an. Der Graph zeigt vereinfacht die Durchflussrate d vom Meer in den Speicher.

Durchflussrate
Durchflussrate

a) Was bedeutet die Fläche eines Kästchens in der Abbildung im Sachzusammenhang?

Schau dir die Achsenbeschriftungen der Abbildung an. Welche Einheit bekommst du aus dem Produkt beider Achsen?
Die Fläche eines Kästchens entspricht

b) In welchem Zeitraum nimmt die Wassermenge im Speicher am schnellsten zu und wann am schnellsten ab?

Hier werden die Zeiträume mit der größten und kleinsten Durchflussrate gesucht.

Die schnellste Zunahme passiert im Intervall .

Die schnellste Abnahme passiert im Intervall .

c) Wie viel Wasser befindet sich nach 6 Stunden und nach 12 Stunden im Speicher?

Unterteile die Fläche zwischen der Funktion und der x-Achse in geeignete Flächen (Dreicks- und Vierecksflächen), sodass du diese einfach berechnen kannst. Beachte den orientierten Flächeninhalt. Falls du Schwierigkeiten hast, schaue dir Beispiel 2: Durchflussrate an.

Nach 6 Stunden:

Antwort: Nach 6 Stunden befinden sich Wasser im Speicher.

Zwischen 6 Stunden und 12 Stunden:

Nach 12 Stunden:

Antwort: Nach 12 Stunden befinden sich Wasser im Speicher.

d)Wie geht es nach 12 Stunden vermutlich weiter?

Da es ein Gezeitenkraftwerk ist und Ebbe und Flut immer im Wechsel stattfinden, geht es nach 12 Stunden wie zu Beginn weiter. Das bedeutet, dass die Funktion sich wiederholt.



Aufgabe 2: Geschwindigkeit-Zeit Diagramm


Die Graphen in a), b) und c) zeigen die Geschwindigkeit einer Murmel. Ermittle jeweils die vom Startpunkt zurückgelegte Strecke in m nach 9 s. Du benötigst einen Zettel und einen Stift, um deine Rechnungen und Ergebnisse zu notieren.

a)
Aufgabe 1 a)
Figur 1
Unterteile die Fläche zwischen der Funktion und der -Achse in geeignete Flächen (Dreicks- und Vierecksflächen), sodass du diese einfach berechnen kannst.
  • Fläche oberhalb der -Achse:
  • Fläche unterhalb der -Achse:
  • Integral/orientierter Flächeninhalt:
  • Die Murmel hat eine Strecke von 12 m vom Startpunkt zurückgelegt.


b)
Aufgabe 1 b)
Figur 2
Auf dem Intervall kannst du die Fläche zwischen -Achse und Funktion in zwei bekannte Flächen aufteilen.
  • Fläche oberhalb der -Achse:
  • Flächer unterhalb der -Achse:
  • Integral/orientierter Flächeninhalt:
  • Die Murmel hat eine Strecke von 20 m vom Startpunkt zurückgelegt.


c)
Aufgabe 1 c)
Figur 3
  • Fläche oberhalb der -Achse:
  • Fläche unterhalb der -Achse:
  • Integral/orientierter Flächeninhalt:
  • Der Körper hat eine Strecke von 44,5 m vom Startpunkt zurückgelegt.


Aufgabe 3: Zusammenhang zwischen Stammfunktion und Funktion

Betrachte das untenstehende Applet. Lasse dir mithilfe von diesem folgende Funktionen abbilden.

Hinweis: Exponenten kannst du mit ^ eingeben.

Was fällt dir auf? Wo besteht der Zusammenhang zwischen der Funktion und seiner Stammfunktion? Wo sind charakteristische Punkte?

Betrachte die Nullstellen, Extremstellen und Wendestellen. Mache dir bewusst, dass ist.

Dir kann Folgendes auffallen:

  • Nullstellen bei sind Extremstellen bei . Beachte hier den Vorzeichenwechsel, um sagen zu können, ob es sich um einen Hochpunkt oder Tiefpunkt handelt.
  • Extremstellen bei sind Wendestellen bei .
  • Wenn negativ bzw. positiv ist, so ist bei die Steigung negativ bzw. positiv.
  • kann durch eine beliebige Konstante nach oben oder unten verschoben werden, bleibt aber eine Stammfunktion von
GeoGebra


Aufgabe 4: Stammfunktionen graphisch zuordnen


Ordne die Graphen der Funktion der Stammfunktion zu. Falls du Schwierigkeiten mit der Zuordnung hast, schaue dir Aufgabe 3 an.

Du kannst den Vollbildmodus in der rechten, oberen Ecke einschalten, sodass du die Graphen besser erkennen kannst.



Mache dir klar, wie die Funktion und eine zugehörige Stammfunktion zueinander stehen. Was bedeutet es, dass eine Stammfunktion von ist.
Was gilt für die Stammfunktion von , wenn an der Stelle einen lokalen Wendepunkt oder ein lokales Maximum bzw. lokales Minimum besitzt?
ist die Ableitung von . Somit gibt die Funktion die Steigung der Stammfunktion an.
Hat an der Stelle einen lokalen Wendepunkt (d.h. lokale maximale bzw. lokale minimale Steigung), so hat an der Stelle ein lokales Maximum bzw. ein lokales Minimum.
Hat an der Stelle ein lokales Maximum bzw. ein lokales Minimum, so hat an der Stelle eine Nullstelle.

Aufgaben mittlerer Schwierigkeit

Aufgabe 5: Kanalaufgabe

Der Boden eines 2 km langen Kanals hat die Form einer Parabel (siehe Abbildung). Dabei entspricht eine Längeneinheit 1 m in der Wirklichkeit. (Du benötigst zur Bearbeitung der Aufgabe Zettel und Stift.)

Querschnitt des komplett gefüllten Kanals

a) Gib den Inhalt der Querschnittsfläche A des Kanals an. Nimm dabei an, dass die Funktion mit den Grundverlauf des Kanals darstellt.

Es gibt mehrere Möglichkeiten, um den Inhalt der Querschnittsfläche des Kanal zu berechnen. Im folgenden werden 3 Möglichkeiten aufgeführt.

  1. Du berechnest das Integral von der Funktion mit den Grenzen . Weiter berechnest du den Flächeninhalt des Rechtecks (schraffiert, siehe nachfolgende Abbildung 1). Abschließend subtrahierst du die Fläche des Integrals (Rot) von der des Rechtecks.
  2. Du erstellst eine zweite Funktion , welche den Wasserstand im Kanal wiederspiegelt. Die Fläche unterhalb des Graphen (das Integral) mit den Grenzen entspricht dem Flächeninhalt des Rechtecks aus Möglichkeit 1. Nun kannst du wie in Möglichkeit 1 vorgehen. Du kannst aber auch das Integral von mit den Grenzen , also berechnen, was der gleichen Fläche entspricht (siehe Abbildung 2).
  3. Du verschiebst die Funktion um 4 Einheiten nach unten, sodass die -Achse den Wasserspiegel entspricht. Anschließend berechnest du das Integral. Da dies negativ sein wird, musst du noch den Betrag davon nehmen (siehe Abbildung 3).

Beachte: Es wird zunächst nur Abbildung 1 angezeigt. Wenn du Abbildung 2 und Abbildung 3 ansehen möchtest, musst du die Pfeile über der Abbildung nutzen, um zur nächsten Abbildung zu gelangen.

und

Antwort: Die Querschnittsfläche des Kanals beträgt .


b) Wie viel Wasser [in ] befindet sich im Kanal, wenn er komplett gefüllt ist?

In Aufgabe a) hast du bereits den Querschnitt des Kanals berechnet. Zudem hast du die Länge des Kanals gegeben. Nun solltest du dir klar machen, wie du die Wassermenge in dem 2km langen Kanal berechnen kannst. Beachte dabei, dass du gleiche Einheiten nutzt.
Um die Wassermenge im Kanal [in ] (also das Volumen) zu berechnen, musst du die Länge des Kanals in Metern mit dem Querschnitt des Kanals multiplizieren.

Antwort: Es befinden sich Wasser im Kanal, wenn er komplett gefüllt ist.

c) Wie viel Prozent der maximalen Wassermenge befindet sich im Kanal, wenn er nur halb gefüllt ist?

Zunächst solltest du berechnen, wie viel Wasser überhaupt im Kanal ist, wenn er halb gefüllt ist. Dafür solltest du wie in Aufgabe a) & b) vorgehen.
Um nun auf den prozentualen Anteil zu kommen, musst du die Wassermenge des halb gefüllten Kanals durch die Wassermenge des komplett gefüllten Kanals dividieren. Beachte dabei, dass es sich bei dem Ergebnis noch um keine prozentuale Angabe handelt. Dafür kannst du das Ergebnis der Division noch mit 100 multiplizieren.

,

Antwort: Wenn der Kanal nur halb gefüllt ist, befinden sich ca. 35% der maximalen Wassermenge im Kanal.


Aufgabe 6: Stammfunktion graphisch rekonstruieren

Skizziere eine beliebige Stammfunktion zu folgender Funktion auf dem Intervall . Zeichne zunächst die Funktion und dann eine zugehörige Stammfunktion in ein Koordinatensystem auf einen Zettel. Nutze charakteristische Punkte (Nullstellen, Extrempunkte, etc.), um den Graph der Stammfunktion zu zeichnen.


Um eine Stammfunktion zu einer Funktion zu skizzieren, überlege, wie die Funktion und eine zugehörige Stammfunktion zueinander stehen. Was bedeutet es, dass eine Stammfunktion von ist?

Was gilt für die Stammfunktion von , wenn an der Stelle einen lokalen Wendepunkt oder ein lokales Maximum bzw. lokales Minimum besitzt?

Wenn dir der Zusammenhang klar ist, kannst du diese Punkte einzeichnen und hast schon einen groben "Rahmen" für deine zu skizzierende Stammfunktion.
ist die Ableitung von . Somit gibt die Funktion die Steigung der Stammfunktion an.
Hat an der Stelle einen lokalen Wendepunkt (d.h. lokale maximale bzw. lokale minimale Steigung), so hat an der Stelle ein lokales Maximum bzw. ein lokales Minimum.
Hat an der Stelle ein lokales Maximum bzw. ein lokales Minimum, so hat an der Stelle a eine Nullstelle.



Aufgabe 7: Funktionsvorschrift der Stammfunktion ermitteln

Ermittle die zugehörige Stammfunktion der Funktion .

In der oberen, rechten Ecke der App ist ein kleiner Button, mit dem du in den Vollbildmodus schalten kannst. Dann sind die Funktionen und Stammfunktionen besser lesbar.



Eine Stammfunktion einer entsprechenden Funktion erhält man, indem man die Funktion integriert ("aufleitet", bitte dieses Wort nicht gebrauchen! Dient nur dem Verständnis.). Schaue dir dazu die folgende Abbildung, die den Zusammenhang von Stammfunktion und ihr entsprechenden Funktion verdeutlicht, an.

Solltest du beim Bilden der Stammfunktion Probleme haben, schau dir nochmals die Definition der Stammfunktion, den Satz zur Bestimmung der Stammfunktion und die Beispiele dazu an. Dies findest du zu Beginn dieses Lernpfades.

Durch "Ableiten" und "Integrieren" von der Stammfunktion F die entsprechende Funktion f (und umgekehrt) ermitteln.


Aufgabe 8: Bakterienwachstum

Die Funktion gibt die Wachstumsrate von Bakterien an, in Stunden, in Hundert Bakterien (siehe Figur 1). Zu Beginn waren 200 Bakterien vorhanden. (Du benötigst zur Bearbeitung der Aufgabe Zettel und Stift.)

a) Wie lautet die Funktion , die die vorhandene Anzahl von Bakterien zum Zeitpunkt angibt?

Bestimme das Integral von von bis und berücksichtige, dass zu Beginn 200 Bakterien vorhanden sind.

Die Stammfunktion gibt die Anzahl der Bakterien an, wenn zu Beginn null Bakterien vorhanden sind.

Bei der Funktion wird 2 addiert, da zu Beginn 200 Bakterien vorhanden sind und die Anzahl der Bakterien in Hundert angibt.


b) Wie viele Bakterien existieren nach 4 Stunden und nach 6 Stunden?

Figur 1
gibt die Wachstumsrate an und die Anzahl der Bakterien. Setze die zwei Zeitpunkte (nach 4 und 6 Stunden) in die richtige Funktion ein.

Antwort: Nach 4 Stunden sind es ca. 2870 Bakterien.

Antwort: Nach 6 Stunden sind es ca. 3800 Bakterien.

Knobelaufgaben

Aufgabe 9: CO₂-Gehalt in Teichen

Die biologische Aktivität in einem Teich kann man durch die Änderungsrate beschreiben, mit der CO₂ dem Wasser zugefügt oder entnommen wird. Pflanzen entnehmen tagsüber dem Wasser im Rahmen der Photosynthese CO₂ und geben nachts O₂ ab. Tiere geben durch ihre Atmung CO₂ an das Wasser ab. Bei Tagesanbruch werden 2,6ME CO₂ im Teich festgestellt. (ME steht hier für eine nicht so ganz gebräuchliche Mengen-Einheit, in der die Stoffmenge von CO₂ gemessen werden kann.) Biologen haben die Zu- und Abnahmerate über einen ganzen Tag, beginnend mit dem Sonnenaufgang, gemessen. Die Werte werden in der Einheit ME pro Stunde angegeben. (Du benötigst zur Bearbeitung der Aufgabe einen Zettel und Stift.)


Zeit t in h 0 3 6 9 12 15 18 21 24
Änderungsrate z(t) in ME/h 0,0 -0,041 -0,037 -0,026 -0,009 0,046 0,031 0,019 0,006

a) Begründe, dass der Teich Pflanzen enthält.

Die Tabelle zeigt die Änderungsrate des CO₂-Gehalts an. Welchen Einfluss könnten die Pflanzen auf die Änderungsrate haben?
Der Teich enthält Pflanzen, da nur so die negativen Änderungsraten von Sonnenaufgang bis Sonnenuntergang erklärt werden können.

b) Berechne für die Zeiten die Gesamtmenge von CO₂ im Wasser und stelle die Ergebnisse tabellarisch dar. Runde jedes Ergebnis auf zwei Nachkommastellen.

Zeit t in h 0 3 6 9 12 15 18 21 24
Gesamtmenge CO₂ in ME 2,33 2,33 2,45 2,53
Trage die Punkte in ein Koordinatensystem ein und verbinde sie. Zum Berechnen der Gesamtmengen brauchst du keine Stammfunktionen bilden.
Berechne die Flächen unter den Intervallen .
  1. Für : Bei Tagesanbruch wurden 2,6 ME CO₂ im Teich gemessen (siehe Aufgabe).
  2. Für : Wir betrachten die Fläche auf dem Intervall . Die erste Seite des Dreiecks ist die Länge des Intervalls und beträgt 3. Die zweite Seite des Dreiecks ist der Punkt und damit . Daraus ergibt sich die folgende Gesamtmenge: (aufgerundet).
  3. Für : Wir betrachten die Fläche auf dem Intervall . Den Flächeninhalt auf dem Intervall kennen wir bereits als . Die Fläche unter dem Graphen auf dem Intervall besteht aus einer Vierecks- und einer Dreiecksfläche und wird wie folgt berechnet: (aufgerundet).
  4. Für mit dem gleichen Verfahren.
Zeit t in h 0 3 6 9 12 15 18 21 24
Gesamtmenge CO₂ in ME 2,6 2,54 2,42 2,33 2,28 2,33 2,45 2,53 2,57

c) Wann war der CO₂-Gehalt am niedrigsten? Wie groß war er?

Überlege dir welche der beiden Tabellen (1 = Änderungsrate des CO₂-Gehalt, 2= Gesamtmenge des CO₂) du zur Erfassung des CO₂-Gehalts benötigst. Der Wert lässt sich aus der Tabelle ablesen.
Der CO2-Gehalt war nach ca. 12 Stunden am geringsten (etwa 2,28 ME).

d) Welche Bedeutung haben die folgenden Integrale für die vorgegebene Situation?

Das Integral in dieser Aufgabe gibt den Bestand zu einem gegebenen Zeitintervall an. Was bedeutet das in diesem Kontext?

Falls dir die allgemeine Bedeutung nicht mehr präsent ist, schau dir die Beispiele und Definition zu Beginn des Lernpfadkapitels an.
  1. Das Integral beschreibt die durchschnittliche CO₂-Menge im Teich von morgens bis nach 12 Stunden. Die Fläche liegt unterhalb der -Achse, also wurde im betreffenden Zeitraum mehr CO₂ entnommen als abgegeben. Der Gesamtbestand ist gesunken.
  2. Das Integral beschreibt die durchschnittliche CO₂-Menge im Teich von 12 bis nach 24 Stunden. Die Fläche liegt oberhalb der x-Achse, also wurde im betreffenden Zeitraum mehr CO₂ abgegeben als entnommen, der Gesamtbestand ist also gestiegen.
  3. Das Integral beschreibt die durchschnittliche CO₂-Menge im Teich von morgens bis nach 24 Stunden. Das Integral gibt an, wie viel CO₂ nach 24 Stunden im Vergleich zum Anfangsbestand hinzugekommen ist bzw. entnommen wurde.
Z(t).png
Gesamtmenge.png


Aufgabe 10: Gewinnermittlung eines Smartphone-Herstellers

Ein Technik-Unternehmen hat ein neues Smartphone auf den Markt gebracht. Nach 9 Monaten will das Unternehmen prüfen, wie lukrativ das neue Handy in den ersten 9 Monaten war. Der monatliche Gewinn, der durch das Smartphone eingespielt wurde, kann durch die folgende Funktion dargestellt werden:

Die x-Achse gibt die Anzahl der Monate an und die y-Achse den Gewinn in Millionen (€).

Gewinn, der durch das neue Smartphone erzielt wird

a) Berechne den Ertrag, den das Unternehmen in den ersten 2 Monaten, 7 Monaten und nach den kompletten 9 Monaten durch das Smartphone eingespielt hat.

Bestimme das Integral für die jeweiligen Zeiträume. Beachte dabei, dass ein Integral auch negativ sein kann!

Stammfunktion:

2 und 3 analog wie 1. Alle Werte sind in Millionen Euro.

b) Interpretiere die Ergebnisse aus der Aufgabe a) und überlege dir mögliche Begründungen für die erzielten Beträge. Sollte das Smartphone weiterhin produziert werden?

Hier sollst du dir Gedanken machen, ob einerseits deine Ergebnisse aus den vorherigen Aufgaben Sinn ergeben, und anschließend deine eigenen Begründungen der Ergebnisse festhalten. Zum Bespiel, könnte der anfängliche Verlust mit höheren Produktionskosten als Verkaufseinnahmen begründet werden (Warum? plausible Begründung).

Zur Überlegung, ob es lukrativ ist, das Smartphone weiterhin zu produzieren, solltest du dir den Gewinn bzw. Verlust der gesamten 9 Monate anschauen und natürlich den Verlauf der Funktion, die die Einnahmen wiederspiegelt.
Das Smartphone sollte nicht weiter produziert werden, da durch die gegebene Funktion absehbar ist, dass es schon nach ca. 8 Monaten erneut Verluste für das Unternehmen einspielt.

c) In welchem Zeitraum erbringt das Smartphone ausschließlich Gewinn für das Unternehmen? Wie viel wird in dem Zeitraum eingenommen?

In welchem Zeitraum liegt der Graph von überhalb der -Achse (grüne Fläche). Dies ist der Zeitraum, in dem das Unternehmen ausschließlich Gewinn erzielt.
Schaue dir den Graphen von , der den Gewinn angibt, und überlege dir welche Grenzen der grüne Bereich (ausschließlich Gewinn) hat.
Wähle die richtigen Nullstellen als Grenzen für das zu berechnende Integral.

Nullstellen berechnen:

Es kommen aufgrund des Aufgabenkontextes nur die Nullstellen und in Betracht. Diese wählt man als Grenzen für das zu berechnende Integral.


Aufgabe 11: Corona Virus
Coronavirus SARS-CoV-2.jpg

Beachte: Diese Aufgabe ist erfunden und entspricht nicht der Realität! Es ist eine rein hypothetische Aufgabe!

Bei einer Coronavirusinfektion ergibt sich die Anzahl der Viren (in Milliarden) nach folgender Funktionsgleichung:

(x: Anzahl der Tage)

Wie bei fast allen Virusinfektionen vergeht auch beim derzeitig kursierenden Coronavirus eine gewisse Zeit von der Ansteckung bis zur Erkrankung (Inkubationszeit). Das Robert Koch-Institut schätzt die Inkubationszeit für SARS-CoV-2 auf 3 Tage.

Hypothetisch nehmen wir an, dass ein Medikament „Gibcovid19einenkorb“ entwickelt wird, um der Ausbreitung des Coronavirus entgegenzuwirken. Dieses Medikament kann erst nach 3 Tagen verabreicht werden, da dann die ersten Symptome auftreten können. Die Abnahme der Viren bei Einnahme des Medikaments zum Zeitpunkt Tagen lässt sich mit folgender Funktion beschreiben:

,


a) Ein Patient ist mit dem Coronavirus infiziert und bekommt nach 3 Tagen das Medikament verabreicht. Berechne, nach wie vielen Tagen alle Viren im Körper des Patienten abgestorben sind (Runde das Ergebnis sinnvoll).

Die Funktion ist aus den Funktionen und zusammengesetzt. f(x) ist nun im Zuge der Aufgabe auf das Intervall von beschränkt und g(x) auf dem Intervall von . (a = Zeitpunkt an dem alle Viren im Körper des Patienten abgestorben sind)
Berechne die Nullstelle von . Beachte, dass du bei mehreren Nullstellen den Aufgabenkontext berücksichtigen musst, um die richtige Nullstelle zu berechnen.

Es handelt sich um eine aus zwei Teilfunktionen zusammengesetzte Funktion:

, für und , für .

Bestimme die Nullstelle des zweiten Funktionsterms für :

Anwendung der p/q Formel:

,

, <

Antwort: Nach etwa 11 Tagen sind alle Coronaviren gestorben.

b) Die Fläche zwischen dem Graphen und der -Achse ist ein Maß für die schädigende Wirkung der Coronaviren, auch Wirkungsfaktor genannt. Gesundheitliche Schäden können auftreten, wenn der Wert 60 WE (Wirkungseinheiten) überschreitet. Berechne den gesamten Wirkungsfaktor bis zum völligen Abklingen der Krankheit, wenn das Medikament nach 3 Tagen eingenommen wird.

Es gelten die selben Definitionsbereiche, wie in Aufagbenteil a). Für Genaueres siehe Tipp 1.

Wir berechnen beide Teilintegrale einzeln:

Antwort: Der Wirkungsfaktor beträgt etwa 52,456. Er liegt knapp unter der Grenze von 60, so dass mit gesundheitlichen Schäden nicht zu rechnen ist.


Aufgabe 12: 100 m-Sprint ⭐

Um diese Aufgabe lösen zu können, musst du mit e-Funktionen vertraut sein.

Bei einem Sprint über 100 m treten Lars und René gegeneinander an. Lars sprintet mit der Geschwindigkeitsfunktion . René sprintet mit der Geschwindigkeitsfunktion .

ist jeweils die Zeit in Sekunden ab dem Start des Laufes und die Geschwindigkeit von Lars und René in Meter pro Sekunde.

a) Gib die Funktionen an, die den zurückgelegten Weg zum Zeitpunkt angibt.

Bedenke: Die Ableitung des Weges gibt die Geschwindigkeit an. Die Ableitung der Geschwindigkeit gibt die Beschleunigung an. Folgende Abbildung verdeutlicht dies.

Weg-Geschwindigkeit-Beschleunigung.jpg
Da du die Funktion der Geschwindigkeit hast und die des Weges angeben sollst, musst du wie der vorherige Tipp dir zeigt, die Geschwindigkeitsfunktion integrieren (also die Stammfunktion bilden).

b) Zeige, dass Lars ungefähr 9,8 Sekunden benötigt.

Beachte, dass die zurückgelegte Strecke 100 m entspricht und Lars dafür 9,8 s benötigen soll.
Setze .

Es muss also folgendes gelten:

c) Bestimme den Wert von r so, dass René nach 9,69 Sekunden ins Ziel kommt.

Beachte, dass die zurückgelegte Strecke 100 m entspricht und René dafür 9,69 s benötigen soll.
Setze und löse nach r auf.

Es muss also folgendes gelten:

Setze nun diesen Term gleich 100:

d) Wie viel Meter sind Lars und René nach 5 s von einander entfernt, wenn r dem in c) ermittelten Wert entspricht?

Wie viel Strecke haben Lars und René jeweils nach 5 s zurückgelegt? Berechne die Differenz.

Antwort: Lars und René sind 4,3 m voneinander entfernt.