Digitale Werkzeuge in der Schule/Basiswissen Analysis/Von der Änderungsrate zum Änderungseffekt: Unterschied zwischen den Versionen
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{{Box|1=Aufgabe 9: CO₂-Gehalt in Teichen|2= | {{Box|1=Aufgabe 9: CO₂-Gehalt in Teichen|2= | ||
Die biologische Aktivität in einem Teich kann man durch die Änderungsrate beschreiben, mit der CO₂ dem Wasser zugefügt oder entnommen wird. Pflanzen entnehmen tagsüber dem Wasser im Rahmen der Photosynthese CO₂ und geben | Die biologische Aktivität in einem Teich kann man durch die Änderungsrate beschreiben, mit der CO₂ dem Wasser zugefügt oder entnommen wird. Pflanzen entnehmen tagsüber dem Wasser im Rahmen der Photosynthese CO₂ und geben nachts O₂ ab. Tiere geben durch ihre Atmung CO₂ an das Wasser ab. Bei Tagesanbruch werden 2,6ME CO₂ im Teich festgestellt. (ME steht hier für eine nicht so ganz gebräuchliche Mengen-Einheit, in der die Stoffmenge von CO₂ gemessen werden kann.) Biologen haben die Zu- und Abnahmerate <math>z(t)</math> über einen ganzen Tag, beginnend mit dem Sonnenaufgang, gemessen. Die Werte werden in der Einheit ME pro Stunde angegeben. (Du benötigst zur Bearbeitung der Aufgabe einen Zettel und Stift.) | ||
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# Für <math>t=0</math>: Bei Tagesanbruch wurden 2,6 ME CO₂ im Teich gemessen (siehe Aufgabe). | # Für <math>t=0</math>: Bei Tagesanbruch wurden 2,6 ME CO₂ im Teich gemessen (siehe Aufgabe). | ||
# Für <math>t=3</math>: Wir betrachten die Fläche auf dem Intervall <math>[0 | # Für <math>t=3</math>: Wir betrachten die Fläche auf dem Intervall <math>[0,3]</math>. Die erste Seite des Dreiecks ist die Länge des Intervalls und beträgt 3. Die zweite Seite des Dreiecks ist der Punkt <math>(3,-0{,}041)</math> und damit <math>-0{,}041</math>. Daraus ergibt sich die folgende Gesamtmenge:<math>A_1 = \frac {3h \cdot (-0{,}041 \frac{ME}{h})}{2} + 2{,}6 ME</math> ≈ <math>2{,}54 ME</math> (aufgerundet). | ||
# Für <math>t=6</math>: Wir betrachten die Fläche <math>A_2</math> auf dem Intervall <math>[0, 6]</math>. Den Flächeninhalt auf dem Intervall <math> [0, 3]</math> kennen wir bereits als <math>A_1</math>. Die Fläche unter dem Graphen auf dem Intervall <math>[3, 6]</math> besteht aus einer Vierecks- und einer Dreiecksfläche und wird wie folgt berechnet: <math>A_2 = A_1 + 3h \cdot (-0{,}037 \frac{ME}{h}) + \frac {3h \cdot (-0{,}005 \frac{ME}{h})}{2}</math> ≈ <math>2{,}42 ME</math> (aufgerundet). | # Für <math>t=6</math>: Wir betrachten die Fläche <math>A_2</math> auf dem Intervall <math>[0, 6]</math>. Den Flächeninhalt auf dem Intervall <math> [0, 3]</math> kennen wir bereits als <math>A_1</math>. Die Fläche unter dem Graphen auf dem Intervall <math>[3, 6]</math> besteht aus einer Vierecks- und einer Dreiecksfläche und wird wie folgt berechnet: <math>A_2 = A_1 + 3h \cdot (-0{,}037 \frac{ME}{h}) + \frac {3h \cdot (-0{,}005 \frac{ME}{h})}{2}</math> ≈ <math>2{,}42 ME</math> (aufgerundet). | ||
# Für <math>t= 12, 24</math> mit dem gleichen Verfahren. | # Für <math>t= 12, 24</math> mit dem gleichen Verfahren. | ||
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|2= Tipp| 3= Tipp verbergen}} | |2= Tipp| 3= Tipp verbergen}} | ||
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Der CO2-Gehalt war nach ca. 12 | Der CO2-Gehalt war nach ca. 12 Stunden am geringsten (etwa 2,28 ME). | ||
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# Das Integral beschreibt die | # Das Integral beschreibt die durchschnittliche CO₂-Menge im Teich von morgens bis nach 12 Stunden. Die Fläche liegt unterhalb der <math>x</math>-Achse, also wurde im betreffenden Zeitraum mehr CO₂ entnommen als abgegeben. Der Gesamtbestand ist gesunken. | ||
# Das Integral beschreibt die | # Das Integral beschreibt die durchschnittliche CO₂-Menge im Teich von 12 bis nach 24 Stunden. Die Fläche liegt oberhalb der x-Achse, also wurde im betreffenden Zeitraum mehr CO₂ abgegeben als entnommen, der Gesamtbestand ist also gestiegen. | ||
# Das Integral beschreibt die | # Das Integral beschreibt die durchschnittliche CO₂-Menge im Teich von morgens bis nach 24 Stunden. Das Integral gibt an, wie viel CO₂ nach 24 Stunden im Vergleich zum Anfangsbestand hinzugekommen ist bzw. entnommen wurde. | ||
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Version vom 12. Juni 2020, 20:00 Uhr
Herleitung des Integrals
Konstante und lineare Funktionen
Allgemeine Herleitung und Definition
Stammfunktionen bilden
Grundlegende Kompetenzen
Aufgaben mittlerer Schwierigkeit
Knobelaufgaben