Digitale Werkzeuge in der Schule/Basiswissen Analysis/Von der Änderungsrate zum Änderungseffekt: Unterschied zwischen den Versionen
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{{Box|Idee für ganzrationale Funktionen| | {{Box|Idee für ganzrationale Funktionen| | ||
Bei konstanten oder linearen Funktionen schafft man es den '''Änderungseffekt''' durch Rechtecks- und | Bei konstanten oder linearen Funktionen schafft man es, den '''Änderungseffekt''' durch Rechtecks- und Dreiecksflächen zu ermitteln. Doch wie funktioniert das bei Funktionen zweiten Grades oder höher? | ||
Um den Effekt bei Funktionen zweiten Grades oder höher zu ermitteln nutzt man dasselbe Verfahren. Man versucht sich der Fläche zwischen dem Graphen und der x-Achse mit Rechtecksflächen anzunähern. Aktiviere dazu in der unteren Abbildung die '''Untersumme'''. Für einen direkten Vergleich kannst du auch das '''Integral''' aktivieren. | Um den Effekt bei Funktionen zweiten Grades oder höher zu ermitteln, nutzt man dasselbe Verfahren. Man versucht, sich der Fläche zwischen dem Graphen und der x-Achse mit Rechtecksflächen anzunähern. Aktiviere dazu in der unteren Abbildung die '''Untersumme'''. Für einen direkten Vergleich kannst du auch das '''Integral''' aktivieren. | ||
'''Hinweise:''' | '''Hinweise:''' | ||
* N markiert die Anzahl der Rechtecke unter dem Graphen. | * <math>N</math> markiert die Anzahl der Rechtecke unter dem Graphen. | ||
* Das | * Das <math> \Delta x</math> gibt die Breite der Rechtecke an. Je mehr Rechtecke unterhalb des Graphen sind, desto kleiner wird ihre Breite und damit auch das <math> \Delta x</math>. | ||
* Die eingeblendete Untersumme gibt den aktuellen Flächeninhalt der Summe aller Rechtecksflächen an. | * Die eingeblendete Untersumme gibt den aktuellen Flächeninhalt der Summe aller Rechtecksflächen unter dem Graphen an. | ||
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{{Lösung versteckt|1= | {{Lösung versteckt|1= | ||
* Je mehr Unterteilungen desto kleiner wird die Breite der Rechtecke. | * Je mehr Unterteilungen es gibt, desto kleiner wird die Breite der Rechtecke. | ||
* Je mehr Unterteilungen der Untersumme desto größer wird der Flächeninhalt der Summe aller Rechtecke. | * Je mehr Unterteilungen der Untersumme es gibt, desto größer wird der Flächeninhalt der Summe aller Rechtecke. | ||
* Die Summenformel der Untersumme stellt den Flächeninhalt aller Rechtecke dar. | * Die Summenformel der Untersumme stellt den Flächeninhalt aller Rechtecke dar. | ||
* Je mehr Unterteilungen und je kleiner das | * Je mehr Unterteilungen es gibt und je kleiner das <math> \Delta x</math> ist, desto eher nähert man sich dem Integral. Geht also die Anzahl der Unterteilungen gegen unendlich so bekommt man das Integral für die Funktion über das jeweilige Intervall. | ||
|2=Was du erkennen kannst|3=}} | |2=Was du erkennen kannst|3=}} | ||
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{{Box|1=Beispiele|2= | {{Box|1=Beispiele|2= | ||
Hier findest du ein paar | Hier findest du ein paar Beispielfunktionen und ihre Stammfunktion. | ||
<math> f(x) = x^2 \rightarrow F(x) = \frac{1}{3}x^3 +c </math> | <math> f(x) = x^2 \rightarrow F(x) = \frac{1}{3}x^3 +c </math> | ||
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|3=Merksatz}} | |3=Merksatz}} | ||
== | ==Grundlegende Kompetenzen== | ||
{{Box|Aufgabe 1: Gezeitenkraftwerk| | {{Box|Aufgabe 1: Gezeitenkraftwerk| | ||
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|3=Arbeitsmethode|Farbe= | |3=Arbeitsmethode|Farbe= orange}} | ||
{{Box|Aufgabe 4: Stammfunktionen graphisch zuordnen| | {{Box|Aufgabe 4: Stammfunktionen graphisch zuordnen| | ||
Ordne die Graphen der Funktion <math> f(x) </math> mithilfe von charakteristischen Punkten den Graphen der Stammfunktion <math> F(x) </math> zu. Falls du Schwierigkeiten mit der Zuordnung hast, schaue dir Aufgabe 3 an? | Ordne die Graphen der Funktion <math> f(x) </math> mithilfe von charakteristischen Punkten den Graphen der Stammfunktion <math> F(x) </math> zu. Falls du Schwierigkeiten mit der Zuordnung hast, schaue dir Aufgabe 3 an? | ||
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{{LearningApp|app=pq8dtnxrt20|width=100%|height=400px}} | {{LearningApp|app=pq8dtnxrt20|width=100%|height=400px}} | ||
|Arbeitsmethode|Farbe= orange}} | |||
|Arbeitsmethode|Farbe= | |||
==Aufgaben mittlerer Schwierigkeit== | ==Aufgaben mittlerer Schwierigkeit== | ||
{{Box|1=Aufgabe 5: Kanalaufgabe | {{Box|1=Aufgabe 5: Kanalaufgabe | ||
|2= | |2= | ||
Der Boden eines 2 km langen Kanals hat die Form einer Parabel (siehe Abbildung). Dabei entspricht eine Längeneinheit 1 m in der Wirklichkeit. (Du benötigst zur Bearbeitung der Aufgabe Zettel und Stift.) | |||
[[Datei: Querschnitt des Kanals.jpg|mini|700px|zentriert|Querschnitt des komplett gefüllten Kanals]] | [[Datei: Querschnitt des Kanals.jpg|mini|700px|zentriert|Querschnitt des komplett gefüllten Kanals]] | ||
'''a)''' | '''a)''' | ||
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Antwort: Wenn der Kanal nur halb gefüllt ist, befinden sich ca. 35% der maximalen Wassermenge im Kanal. | Antwort: Wenn der Kanal nur halb gefüllt ist, befinden sich ca. 35% der maximalen Wassermenge im Kanal. | ||
|2=Lösung|3=Lösung verbergen}} | |2=Lösung|3=Lösung verbergen}} | ||
|3=Arbeitsmethode | |3=Arbeitsmethode}} | ||
{{Box|1=Aufgabe 6: Stammfunktion graphisch rekonstruieren|2= | {{Box|1=Aufgabe 6: Stammfunktion graphisch rekonstruieren|2= | ||
Skizziere eine beliebige Stammfunktion zu folgender Funktion auf dem Intervall <math>I=[-5, 5]</math>. Zeichne zunächst die Funktion und dann eine zugehörige Stammfunktion in ein Koordinatensystem auf einen Zettel. Nutze charakteristische Punkte (Nullstellen, Extrempunkte, etc.), um den Graph der Stammfunktion zu zeichnen. | Skizziere eine beliebige Stammfunktion zu folgender Funktion auf dem Intervall <math>I=[-5, 5]</math>. Zeichne zunächst die Funktion und dann eine zugehörige Stammfunktion in ein Koordinatensystem auf einen Zettel. Nutze charakteristische Punkte (Nullstellen, Extrempunkte, etc.), um den Graph der Stammfunktion zu zeichnen. | ||
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|2=Lösung|3=Lösung verbergen}} | |2=Lösung|3=Lösung verbergen}} | ||
|3=Arbeitsmethode}} | |||
|3=Arbeitsmethode | |||
{{Box|1=Aufgabe 7: Funktionsvorschrift der Stammfunktion ermitteln|2= | {{Box|1=Aufgabe 7: Funktionsvorschrift der Stammfunktion ermitteln|2= | ||
Ermittle die zugehörige Stammfunktion der Funktion <math>f(x)</math>. | Ermittle die zugehörige Stammfunktion der Funktion <math>f(x)</math>. | ||
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{{LearningApp|app=p3wmp08ka20|width=100%|height=400px}} | {{LearningApp|app=p3wmp08ka20|width=100%|height=400px}} | ||
|3=Arbeitsmethode}} | |||
|3=Arbeitsmethode | |||
{{Box|1=Aufgabe 8: Bakterienwachstum|2= | {{Box|1=Aufgabe 8: Bakterienwachstum|2= | ||
Die Funktion <math>f(t)=-t^2+6t</math> gibt die Wachstumsrate von Bakterien an, <math>t</math> in Stunden, <math>f(t)</math> in Hundert Bakterien (siehe Figur 1). Zu Beginn waren 200 Bakterien vorhanden. (Du benötigst zur Bearbeitung der Aufgabe Zettel und Stift.) | Die Funktion <math>f(t)=-t^2+6t</math> gibt die Wachstumsrate von Bakterien an, <math>t</math> in Stunden, <math>f(t)</math> in Hundert Bakterien (siehe Figur 1). Zu Beginn waren 200 Bakterien vorhanden. (Du benötigst zur Bearbeitung der Aufgabe Zettel und Stift.) | ||
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|2=Lösung|3=Lösung verbergen}} | |2=Lösung|3=Lösung verbergen}} | ||
|3=Arbeitsmethode | |3=Arbeitsmethode}} | ||
==Knobelaufgaben== | ==Knobelaufgaben== | ||
{{Box|1=Aufgabe 9: CO₂-Gehalt in Teichen|2= | {{Box|1=Aufgabe 9: CO₂-Gehalt in Teichen|2= | ||
Die biologische Aktivität in einem Teich kann man durch die Änderungsrate beschreiben, mit der CO₂ dem Wasser zugefügt oder entnommen wird. Pflanzen entnehmen tagsüber dem Wasser im Rahmen der Photosynthese CO₂ und geben Nachts O₂ ab. Tiere geben durch ihre Atmung CO₂ an das Wasser ab. Bei Tagesanbruch werden 2,6ME CO₂ im Teich festgestellt. (ME steht hier für eine nicht so ganz gebräuchliche Mengen-Einheit, in der die Stoffmenge von CO₂ gemessen werden kann.) Biologen haben die Zu- und Abnahmerate <math>z(t)</math> über einen ganzen Tag, beginnend mit dem Sonnenaufgang, gemessen. Die Werte werden in der Einheit ME pro Stunde angegeben. (Du benötigst zur Bearbeitung der Aufgabe einen Zettel und Stift) | Die biologische Aktivität in einem Teich kann man durch die Änderungsrate beschreiben, mit der CO₂ dem Wasser zugefügt oder entnommen wird. Pflanzen entnehmen tagsüber dem Wasser im Rahmen der Photosynthese CO₂ und geben Nachts O₂ ab. Tiere geben durch ihre Atmung CO₂ an das Wasser ab. Bei Tagesanbruch werden 2,6ME CO₂ im Teich festgestellt. (ME steht hier für eine nicht so ganz gebräuchliche Mengen-Einheit, in der die Stoffmenge von CO₂ gemessen werden kann.) Biologen haben die Zu- und Abnahmerate <math>z(t)</math> über einen ganzen Tag, beginnend mit dem Sonnenaufgang, gemessen. Die Werte werden in der Einheit ME pro Stunde angegeben. (Du benötigst zur Bearbeitung der Aufgabe einen Zettel und Stift) | ||
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[[Datei:Z(t).png|mini|400px|left]] [[Datei:Gesamtmenge.png|mini|400px|right]] | [[Datei:Z(t).png|mini|400px|left]] [[Datei:Gesamtmenge.png|mini|400px|right]] | ||
|2= Lösung|3= Lösung verbergen}} | |2= Lösung|3= Lösung verbergen}} | ||
|3=Arbeitsmethode|Farbe= | |3=Arbeitsmethode|Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} | ||
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{{Box|1=Aufgabe 10: Gewinnermittlung eines Smartphone-Herstellers|2= | {{Box|1=Aufgabe 10: Gewinnermittlung eines Smartphone-Herstellers|2= | ||
Ein Technik-Unternehmen hat ein neues Smartphone auf den Markt gebracht. Nach 9 Monaten will das Unternehmen prüfen, wie lukrativ das neue Handy in den ersten 9 Monaten war. Der monatliche Gewinn, der durch das Smartphone eingespielt wurde, kann durch die folgende Funktion dargestellt werden: <math>f(x)=-x^3+4{,}5x^2+34x-50</math> | |||
Die x-Achse gibt die Anzahl der Monate an und die y-Achse den Gewinn in Millionen (€). | Die x-Achse gibt die Anzahl der Monate an und die y-Achse den Gewinn in Millionen (€). | ||
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|2=Lösung|3=Lösung verbergen}} | |2=Lösung|3=Lösung verbergen}} | ||
|3=Arbeitsmethode|Farbe= | |3=Arbeitsmethode|Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} }} | ||
{{Box|1=Aufgabe 11: Corona Virus| 2= | {{Box|1=Aufgabe 11: Corona Virus| 2= | ||
[[Datei:Coronavirus SARS-CoV-2.jpg||450px|rechts]] | [[Datei:Coronavirus SARS-CoV-2.jpg||450px|rechts]] | ||
'''Beachte: Diese Aufgabe ist erfunden und entspricht nicht der Realität! Es ist eine rein hypothetische Aufgabe!''' | '''Beachte: Diese Aufgabe ist erfunden und entspricht nicht der Realität! Es ist eine rein hypothetische Aufgabe!''' | ||
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|2=Lösung|3= Lösung verbergen}} | |2=Lösung|3= Lösung verbergen}} | ||
|3=Arbeitsmethode|Farbe= | |3=Arbeitsmethode|Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} | ||
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{{Box|1=Aufgabe 12: 100 m-Sprint ⭐|2= | {{Box|1=Aufgabe 12: 100 m-Sprint ⭐|2= | ||
'''Um diese Aufgabe lösen zu können, musst du mit e-Funktionen vertraut sein.''' | '''Um diese Aufgabe lösen zu können, musst du mit e-Funktionen vertraut sein.''' | ||
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|2=Lösung|3=Lösung verbergen}} | |2=Lösung|3=Lösung verbergen}} | ||
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Version vom 12. Juni 2020, 18:44 Uhr
Herleitung des Integrals
Konstante und lineare Funktionen
Allgemeine Herleitung und Definition
Stammfunktionen bilden
Grundlegende Kompetenzen
Aufgaben mittlerer Schwierigkeit
Knobelaufgaben