Digitale Werkzeuge in der Schule/Basiswissen Analysis/Optimierungsprobleme: Unterschied zwischen den Versionen
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| Aufgabe 2: | | Aufgabe 2: Das optimale Paket | ||
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Eine Kartonfabrik stellt quaderförmige Pakete mit quadratischen Seitenflächen (<math>a</math>) her. Damit die Pakete nicht zu unhandlich werden, sollen noch zwei Bedingungen erfüllt sein: | Eine Kartonfabrik stellt quaderförmige Pakete mit quadratischen Seitenflächen (<math>a</math>) her. Damit die Pakete nicht zu unhandlich werden, sollen noch zwei Bedingungen erfüllt sein: | ||
* Die Länge (<math>b</math>) soll nicht größer als <math> 200cm </math> sein. | * Die Länge (<math>b</math>) soll nicht größer als <math> 200cm </math> sein. | ||
* Länge (<math>b</math>) plus Umfang | * Länge (<math>b</math>) plus Umfang einer quadratischen Seitenfläche soll <math> 360cm </math> groß sein. [[Datei:Kartonfabrik 3.png|300|rechts|rahmenlos]] | ||
'''a)''' Ermittle die Abmessungen des Pakets mit dem größten Volumen. | '''a)''' Ermittle die Abmessungen des Pakets mit dem größten Volumen. | ||
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Rechne Höhe (<math>a</math>) <math>*</math> Breite (<math>a</math>) <math>*</math> Länge (<math>b</math>), um das Volumen eines Quaders zu ermitteln. | Rechne Höhe (<math>a</math>) <math>*</math> Breite (<math>a</math>) <math>*</math> Länge (<math>b</math>), um das Volumen eines Quaders (Paketes) zu ermitteln. | ||
| 2=Tipp zum Aufstellen der Zielfunktion | 3=Tipp verbergen}} | | 2=Tipp zum Aufstellen der Zielfunktion | 3=Tipp verbergen}} | ||
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }} | | Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }} | ||
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Nutze die zweite Bedingung, stelle eine Gleichung auf und stelle diese nach <math>b</math> um. | |||
Zweite Bedingung: Länge (<math>b</math>) plus Umfang '''einer''' quadratischen Seitenfläche soll <math> 360cm </math> groß sein. Den Umfang einer quadratischen Seitenfläche erhältst du, indem du <math>4*a</math> rechnest. | |||
| 2=Tipp für eine geeignete Nebenbedingung | 3=Tipp verbergen}} | |||
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|Aufgabe 3: Die optimale Pommestüte | |Aufgabe 3: Die optimale Pommestüte |
Version vom 18. Mai 2020, 08:54 Uhr
Einführung: Optimierungsprobleme
Vorgehen beim Lösen von Optimierungsproblemen
Gegeben ist die Länge der Laufbahn um den Sportplatz herum, also der Umfang des Sportplatzes. Maximiert werden soll die Größe des Fussballfeldes, also der rechteckige Flächeninhalt innerhalb des Sportplatzes.
Die Formel zum Flächeninhalt ist . Über die Größen selbst weißt du ebenfalls etwas durch den Umfang: . Stelle die Formel für den Umfang nun nach um und erhalte:
Setze nun deine Formel für in den Flächeninhalt ein. So erhälst du die folgende Zielfunktion:
Für diese Funktion kann nur zwischen und liegen, also
Nun musst du den optimalen Wert berechnen. Gesucht ist hier das Maximum. Bilde dazu die Ableitungen:
Mit der notwendigen Bedingung erhälst du dann . Mit der hinreichenden Bedingung folgt , somit erfüllt alle Bedingungen.
Berechne nun und den Flächeninhalt:
- und
a) Der Flächeninhalt des Fussballfeldes wird für eine Breite von und eine Höhe von maximal.
b) Der Flächeninhalt wird auf maximiert.
Nutze die zweite Bedingung, stelle eine Gleichung auf und stelle diese nach um.
Zweite Bedingung: Länge () plus Umfang einer quadratischen Seitenfläche soll groß sein. Den Umfang einer quadratischen Seitenfläche erhältst du, indem du rechnest.
Globales Extremum und Randextremum
Optimierungsprobleme & Funktionenscharen