Digitale Werkzeuge in der Schule/Basiswissen Analysis/Eigenschaften von Funktionen und Funktionsuntersuchung/Monotonie: Unterschied zwischen den Versionen
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Sei <math>h(x)</math> eine Funktion und <math>x_1<x_2</math> | Sei <math>h(x)</math> eine Funktion und <math>x_1<x_2</math> | ||
- Falls auf einem Intervall <math>h(x_1) < | - Falls auf einem Intervall <math>h(x_1) < h(x_2)</math> gilt, so ist die Funktion '''streng monoton steigend | ||
''' | ''' | ||
- Falls auf einem Intervall <math>h(x_1) \leq \ | - Falls auf einem Intervall <math>h(x_1) \leq \ h(x_2)</math> gilt, so ist die Funktion '''monoton steigend''' | ||
- Falls auf einem Intervall <math>h(x_1) > | - Falls auf einem Intervall <math>h(x_1) > h(x_2)</math> gilt, so ist die Funktion '''streng monoton fallend''' | ||
- Falls auf einem Intervall <math>h(x_1) \geq \ | - Falls auf einem Intervall <math>h(x_1) \geq \ h(x_2)</math> gilt, so ist die Funktion '''monoton fallend''' | ||
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{{Box| 1= So berechnest du das Monotonieverhalten einer Funktion| 2= | {{Box| 1= Merke: So berechnest du das Monotonieverhalten einer Funktion| 2= | ||
1. Erste Ableitung berechnen | 1. Erste Ableitung berechnen | ||
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Zuerst berechnen wir die Ableitung <math>f'(x)=2x</math>. Anschließend berechnen wir die Nullstellen der Ableitung (<math>f'(x)=0</math>) und erhalten durch Umformungen als Nullstelle <math>x=0</math>. | Zuerst berechnen wir die Ableitung <math>f'(x)=2x</math>. Anschließend berechnen wir die Nullstellen der Ableitung (<math>f'(x)=0</math>) und erhalten durch Umformungen als Nullstelle <math>x=0</math>. | ||
Damit sind die zu betrachtenden Intervalle für das Monotonieverhalten <math>]-\infty,0[</math> und <math>]0,+\infty[</math>. Darauffolgend berechnen wir die Vorzeichen für die Intervalle. Dies machen wir indem wir Werte für die Ableitung in den entsprechenden Intervallen ausrechnen. Zum Beispiel liegt <math>-2</math> im Intervall <math>]-\infty,0[</math> <math>f'(-2)=-4 <0</math>. Die entsprechenden Werte kannst du in einer Tabelle übersichtlich darstellen: | Damit sind die zu betrachtenden Intervalle für das Monotonieverhalten <math>]-\infty, 0[</math> und <math>]0,+\infty[</math>. Darauffolgend berechnen wir die Vorzeichen für die Intervalle. Dies machen wir indem wir Werte für die Ableitung in den entsprechenden Intervallen ausrechnen. Zum Beispiel liegt <math>-2</math> im Intervall <math>]-\infty, 0[</math> und <math> f'(-2)=-4 <0</math>. Die entsprechenden Werte kannst du in einer Tabelle übersichtlich darstellen: | ||
[[Datei: | [[Datei:Monotonietabelle f(x)=x^2.jpg|links|rahmenlos|900x900px]] | ||
(Legende: <math>\nearrow \widehat{=}</math> streng monoton steigend, <math>\searrow \widehat{=}</math> streng monoton fallend) | (Legende: <math>\nearrow \widehat{=}</math> streng monoton steigend, <math>\searrow \widehat{=}</math> streng monoton fallend) | ||
Aus dem Ergebnis können wir schließen, dass die Funktion für <math>]-\infty,0[</math> streng monoton fallend und für <math>]0,+\infty[</math> streng monoton steigend ist. | Aus dem Ergebnis können wir schließen, dass die Funktion für <math>]-\infty, 0[</math> streng monoton fallend und für <math>]0,+\infty[</math> streng monoton steigend ist. | ||
| 3= | | 3=Merksatz}} | ||
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2. Berechne mithilfe deines Taschesrechners die Vorzeichen für die Intervalle | 2. Berechne mithilfe deines Taschesrechners die Vorzeichen für die Intervalle | ||
{{Lösung versteckt|1=[[Datei: | {{Lösung versteckt|1=[[Datei:Tabelle für Aufgabe 2.jpg|links|rahmenlos|900x900px]] |2=Lösung für die Monotonietabelle |3=Schließen}} | ||
Antwort: Somit steigt der Wasserspiegel bis zur Stunde 7,4 (seit Messung). Danach fließt das Wasser ca. bis zur 26. Stunde ab. Anschließend steigt der Wasserspiegel wieder (beispielsweise durch einen erneuten Regenschauer) bis zum Ende des Messzeitraumes. | Antwort: Somit steigt der Wasserspiegel bis zur Stunde 7,4 (seit Messung). Danach fließt das Wasser ca. bis zur 26. Stunde ab. Anschließend steigt der Wasserspiegel wieder (beispielsweise durch einen erneuten Regenschauer) bis zum Ende des Messzeitraumes. | ||
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|2=Lösung|3=Schließen}} | |2=Lösung|3=Schließen}} | ||
| Arbeitsmethode}} | |||
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Die Firma "SuperBounce" hat einen speziellen Ball erfunden, der eine einzigartige Sprungbewegung beim Wurf auf dem Boden erzeugt. | Die Firma "SuperBounce" hat einen speziellen Ball erfunden, der eine einzigartige Sprungbewegung beim Wurf auf dem Boden erzeugt. | ||
Die Funktion <math>f_a(x)=\frac{5}{6}x^{4}-a^{2}x^{2} (x\in[0,4])</math> beschreibt annähernd die Flugbahn des Balles, wobei <math>a\in[-3,3]</math> die Härte des Wurfes durch den Werfer beschreibt (<math>x\widehat{=}</math>Entfernung vom Abwurfort, <math>f_a(x)\widehat{=}</math>Höhe des Balles vom Abwurfort in cm). Bestimme wann der Ball in Abhängikeit von <math>a</math> nach oben springt und wann er fällt. | Die Funktion <math>f_a(x)=\frac{5}{6}x^{4}-a^{2}x^{2} (x \in [0, 4])</math> beschreibt annähernd die Flugbahn des Balles, wobei <math>a \in [-3, 3]</math> die Härte des Wurfes durch den Werfer beschreibt (<math>x\widehat{=}</math>Entfernung vom Abwurfort, <math>f_a(x)\widehat{=}</math>Höhe des Balles vom Abwurfort in cm). Bestimme wann der Ball in Abhängikeit von <math>a</math> nach oben springt und wann er fällt. | ||
{{Lösung versteckt|1=Überlege, wie sich das sprunghafte Verhalten des Balles im Graphen erkennen lässt. |2=Tipp |3=Schließen}} | {{Lösung versteckt|1=Überlege, wie sich das sprunghafte Verhalten des Balles im Graphen erkennen lässt. |2=Tipp |3=Schließen}} | ||
{{Lösung versteckt|1= | {{Lösung versteckt|1= | ||
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Mithilfe der errechneten Intervalle können wir nun die Monotonietabelle aufstellen. Hierfür gehe wie im Beispiel vor: | Mithilfe der errechneten Intervalle können wir nun die Monotonietabelle aufstellen. Hierfür gehe wie im Beispiel vor: | ||
1. Stelle die Intervalle mithilfe deiner errechneten Nullstellen auf (Beachte: Wir betrachten die Funktion nur für Werte <math>(x\in[0,4]</math>) | 1. Stelle die Intervalle mithilfe deiner errechneten Nullstellen auf (Beachte: Wir betrachten die Funktion nur für Werte <math>(x \in [0, 4]</math>) | ||
2. Berechne mithilfe deines Taschesrechners die Vorzeichen für die Intervalle | 2. Berechne mithilfe deines Taschesrechners die Vorzeichen für die Intervalle | ||
{{Lösung versteckt|1= [[Datei: | {{Lösung versteckt|1= [[Datei:Tabelle Aufgabe 3.jpg|links|rahmenlos|900x900px]] |2=Lösung für die Monotonietabelle |3=Schließen}} | ||
Antwort: Nach Abwurf fällt der Ball zunächst bis er <math>\frac{\sqrt{15}}{5}a</math> cm weit ist. Danch springt wieder hoch bis zum Ende der beobachteten Strecke <math>(x=4)</math>. | Antwort: Nach Abwurf fällt der Ball zunächst bis er <math>\frac{\sqrt{15}}{5}a</math> cm weit ist. Danch springt wieder hoch bis zum Ende der beobachteten Strecke <math>(x=4)</math>. | ||
|2=Lösung|3=Schließen}} | |2=Lösung|3=Schließen}} | ||
| Arbeitsmethode}} | |||
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Möglich, weitere Lösungen für die Zeichnung des Graphen sind unter anderem Verschiebungen in Richtung der Ordinate, also nach unten und oben oder auch Streckungen bzw. Stauchungen. |2=Lösung|3=Schließen}} | Farbe= | Möglich, weitere Lösungen für die Zeichnung des Graphen sind unter anderem Verschiebungen in Richtung der Ordinate, also nach unten und oben oder auch Streckungen bzw. Stauchungen. |2=Lösung|3=Schließen}} | Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} | Arbeitsmethode}} | ||
{{Fortsetzung|weiter=Extrema|weiterlink=Digitale Werkzeuge in der Schule/Basiswissen Analysis/Eigenschaften von Funktionen und Funktionsuntersuchung/Extrema|vorher=zurück|vorherlink=Digitale Werkzeuge in der Schule/Basiswissen Analysis/Eigenschaften von Funktionen und Funktionsuntersuchung}} | {{Fortsetzung|weiter=Extrema|weiterlink=Digitale Werkzeuge in der Schule/Basiswissen Analysis/Eigenschaften von Funktionen und Funktionsuntersuchung/Extrema|vorher=zurück|vorherlink=Digitale Werkzeuge in der Schule/Basiswissen Analysis/Eigenschaften von Funktionen und Funktionsuntersuchung}} | ||
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