Buss-Haskert/Körper/Pyramide

SEITE IM AUFBAU!

Teile dieser Seite sind dem Lernpfad von Christine Staudermann auf der Seite der ZUM-Unterrichten entnommen [1]. Diese Seite wurde erstellt unter der CC BY SA Linzenz.
Herzlichen Dank!

Vorwissen

1) Pyramide
2) Kegel
3) Kugel
4) Zusammengesetzte Körper

5) Checkliste

1) Pyramide

• 

  Die Pyramiden von Gizeh

• 

  Glaspyramide im Innenhof des Louvre in Paris

• 

  Die Pyramide auf dem Marktplatz von Karlsruhe

1) Merkmale einer Pyramide

Merkmale einer Pyramide

Betrachte die Bilder der Pyramiden oben. Fülle dann den Lückentext unten aus und übertrage ihn in dein Heft.

Eine Pyramide ist ein Spitzkörper. Die Grundfläche ist ein n-Eck (z.B. Dreieck, Quadrat, Rechteck, Fünfeck,...). Dieses bestimmt den Pyramidentyp: Dreieckspyramide, quadratische Pyramide, Fünfeckspyramide,...
Der Abstand der Spitze von der Grundfläche heißt Höhe h_K der Pyramide. Die Seiten zwischen Pyramidenspitze S und Ecken der Grundfläche nennt man Seitenkanten s.
Die Seiten der Grundfläche werden auch Grundkanten a genannt. Die Seitenflächen einer Pyramide sind immer Dreiecke und bilden zusammen die Mantelfläche.

Hier siehst du die Bezeichnungen an einer quadratischen Pyramide:

Pyramiden können also jedes beliebige n-Eck als Grundfläche haben. Es gibt genauso viele der Seitenflächen wie die Grundfläche Ecken hat!
Im nachfolgenden GeoGebra-Applet kannst du die Anzahl der Ecken der Grundfläche (regelmäßiges n-Eck) einstellen. Dir wird dann die dazugehörige Pyramide im Schrägbild gezeichnet. Du kannst die Kantenlänge der Grundfläche ändern, indem du den Punkt B verschiebst und die Höhe der Pyramide, indem du Punkt J verschiebst.

Pyramiden können sich aber nicht nur in ihrer Grundfläche und somit in der Anzahl der Seitenflächen unterscheiden. Man differenziert auch zwischen geraden (bzw. senkrechten) und schiefen Pyramiden.
Betrachte dazu auch das GeoGebra Applet "Gerade und schiefe Pyramide" .

(von T. Weis)

1. Wie viele Ecken hat eine dreiseitige Pyramide? (!3) (!5) (4)

2. Wie viele Kanten hat eine sechsseitige Pyramide? (!6) (!14) (!10) (12)

3. Wie viele Flächen hat eine quadratische Pyramide? (!4) (!6) (5)

In diesem Lernpfad werden wir ausschließlich gerade Pyramiden mit 3-, 4- oder 6-seitiger Grundfläche berechnen (Dreieckspyramide, quadratische Pyramide und Sechseckspyramide).

2) Schrägbild und Netz einer Pyramide

Schrägbild einer quadratischen Pyramide

Zeichne schrittweise das Schrägbild einer quadratischen Pyramide.
1. Zeichne die Grundfläche. Dabei werden die schräg nach hinten laufenden Strecken im Winkel von 45° und halb so lang gezeichnet.
Alle nicht sichtbaren Kanten werden gesrichtel gezeichnet.
2. Zeichne die Diagonalen. Die Körperhöhe wird senkrecht im Schnittpunkt der Diagonalen gezeichnet.

3. Verbinde die Eckpunkte der Grundfläche mit der Spitze der Pyramide. Beschrifte.

Das nachfolgende Applet zeigt das Schrägbild einer quadratischen Pyramide. Du kannst die Länge der Grundkanten und die Höhe der Pyramide mit den Schiebereglern verändern.

Applet von Markus Böckler

Übung 1

Zeichne die Schrägbilder quadratischer Pyramiden und prüfe deine Zeichnung mithilfe des obigen Applets.

• S. 43 Nr. 2
• S. 43 Nr. 3

Übung 2

Löse Buch

• S. 43 Nr. 4 und
• S. 43 Nr. 5

Gehe beim Zeichnen der Rechteckspyramide ebenso vor, wie beim Zeichnen der quadratischen Pyramide. Du kannst das Applet oben zur Veranschaulichung nutzen. Verschiebe den Regler für q.

Körpernetz einer Pyramide

Schneidet man eine Pyramide entlang der Seitenkanten auf und klappt die Seitenflächen in die Ebene der Grundfläche, so erhält man das Netz der Pyramide.
Ebenso kann man eine Pyramide entlang von Seiten- und Grundkanten aufschneiden und in die Grundflächenebene klappen, um ein Körpernetz zu erhalten. Dabei muss man beachten, dass keine Dreicksfläche komplett abgetrennt wird! Das Netz eines Körpers ist immer eine zusammenhängende Fläche, die wieder zu dem vollständigen Körper gefaltet werden kann!

Die Netze einer Pyramide können verschieden aussehen. Hier siehst du einige Beispiele:

Netz einer quadratische Pyramide

Schneide das Netz der quadratischen Pyramide aus (AB liegt auf dem Pult) und falte daraus die Pyramide. Klebe das Netz anschließend in dein Heft und beschreibe, aus welchen Teilflächen es besteht.
Kopiervorlage:[2]

In den Applets kannst du die Pyramiden jeweils zu deren Netz entfalten. Schiebe am Regler.

(LearningApp von Jola)

3) Oberfläche einer Pyramide

Oberfläche einer Pyramide

Fülle die Lücken und übertrage den Merksatz in dein Heft

Die Oberfläche einer Pyramide setzt sich zusammen aus der Grundfläche G und der Mantelfläche M.
Die Mantelfläche besteht aus so vielen gleichschenkligen Dreiecken, wie die Grundfläche Ecken hat.
Formel: O = G + M.

Übung 3

Stelle eine Formel zur Berechnung des Oberflächeninhalts einer quadratischen Pyramide auf! Notiere im Heft.

Betrachte das Netz der quadratischen Pyramide, das du in dein Heft geklebt hast. Welche Form hat die Grundfläche, aus welchen Teilflächen setzt sich die Mantelfläche zusammen? Setze in der Formel O = G + M die entsprechenden Formeln ein.

Die Grundfläche G ist ein Quadrat mit der Kantenlänge a. G = A_Quadrat=a²
Die Mantelfläche M setzt sich zusammen aus 4 gleichschenkligen Dreiecken. A_Dreieck=${\tfrac {1}{2}}$∙g∙h_Dreieck

Da es 4 Dreiecke gibt, gilt für die Mantelfläche M = 4 ∙ A_Seite= 4∙${\tfrac {1}{2}}$∙g∙h_Seite = 2∙g∙h_S

Setze ein:
o = G + M

   = a² + 2∙a∙h_S

Hefteintrag (nach der Herleitung der Formel):

Umstellen der Mantelformel nach a:
M = 2∙a∙h_S   |:2
${\tfrac {M}{2}}$ = a∙h_S   |:h_S

${\tfrac {M}{2h_{s}}}$ = a

Umstellen der Mantelformel nach h_S:
M = 2∙a∙h_S   |:2
${\tfrac {M}{2}}$ = a∙h_S   |:a

${\tfrac {M}{2a}}$ = h_S

Hilfsdreiecke in der Pyramide

Für Berechnungen an Pyramiden benötigt man die Maße der Pyramidengrundfläche und der Körperhöhe h_K und die Höhe der Seitenfläche h_S. Diese sind allerdings nicht immer direkt gegeben und müssen erst aus den angegebenen Seitenlängen berechnet werden.
Hier nutzen wir Hilfsdreiecke. Bei den Hilfsdreiecken handelt es sich um rechtwinklige Dreiecke, wobei bereits zwei der Seiten gegeben sind. Die dritte Seite lässt sich dann durch Anwendung des Satzes von Pythagoras berechnen!

Hilfsdreiecke in der Pyramide

Bastle mit den Holzstäben und den Weingummi ein Kantenmodell einer quadratischen Pyramide. Ergänze auch Holzspieße für die Teildreiecke wie im Bild. Ergänze auf dem AB die Maße der Teildreiecke und formuliere jeweils den Satz des Pythagoras.

Hilfsdreieck 1: halber Parallelschnitt
Die Katheten in diesem rechtwinkligen Dreieck sind die halbe Grundseite ${\tfrac {a}{2}}$ und die Höhe der Pyramide h_K. Die Hypotenuse ist die Höhe der Seitenfläche h_S.

(${\tfrac {a}{2}}$)² + h_K² =h_S².

Hilfsdreieck 2: halber Diagonalschnitt
Die Katheten in diesem rechtwinkligen Dreieck sind die halbe Diagonale der Grundseite ${\tfrac {d}{2}}$ und die Höhe der Pyramide h_K. Die Hypotenuse ist die Seitenkante s .

(${\tfrac {d}{2}}$)² + h_K² =s².

Hilfsdreieck 3: halber Seitenfläche
Die Katheten in diesem rechtwinkligen Dreieck sind die halbe Grundseite ${\tfrac {a}{2}}$ und die Höhe der Seitenfläche h_S. Die Hypotenuse ist die Seitenkante s .

(${\tfrac {a}{2}}$)² + h_S² =s².

Hilfsdreiecke in der Pyramide

Ergänze auf dem AB den Satz den Pythagoras in den verschiedenen Hilfsdreiecken. Klebe das AB in dein Heft.

Übung 4

Löse die nachfolgenden Aufgaben aus dem Buch. Nutze die rechtwinkligen Teildreiecke zur Berechnung der fehlenden Größen. Zeichne das passende Teildreieck und beschrifte die Seitenlängen. Löse Buch

• S. 45 Nr. 3
• S. 45 Nr. 4
• S. 45 Nr. 5
• S. 62 Nr. 3c (schwer)

Berechne h (=h_K) mithilfe des Hilfsdreiecks 1, dem halben Parallelschnitt.

Musterlösung:

Lösungsplan zu Nr. 3b

Lösungsplan zu Nr. 3c

Lösungsplan zu Nr. 3d:

Umstellen der Mantelformel nach a:
M = 2∙a∙h_S   |:2
${\tfrac {M}{2}}$ = a∙h_S   |:h_S

${\tfrac {M}{2h_{s}}}$ = a

Umstellen der Mantelformel nach h_S:
M = 2∙a∙h_S   |:2
${\tfrac {M}{2}}$ = a∙h_S   |:a

${\tfrac {M}{2a}}$ = h_S

Berechne die Grundfläche G=a². Dann kannst du M=O-G ausrechnen.
Stelle dann die Formel für M nach h_S um.
...
h_S$\approx$18,4 cm
Um h und s zu berechnen wähle passende Teildreiecke.

h$\approx$17,7 cm; s$\approx$19,0cm

Berechne die Grundfläche G mit O - M = G. Dann kannst du a bestimmen, denn G=a².
a=10 cm
Stelle dann die Formel für M nach h_S um.
...
h_S$\approx$11,7 cm
Um s zu berechnen wähle ein passendes Teildreieck.

s$\approx$12,7cm

Zeichne eine quadratische Pyramide als Skizze und beschrifte sie mit den angegebenen Maßen. Da die Seitendreiecke gleichseitig sind, ist a=7,5cm und s=7,5cm.

Berechne mit dem Teildreieck 3"halbe Seitenfläche" die Höhe h_S. Lösung: $\approx$6,5 cm
Nun kannst du die Oberfläche berechnen. Lösung:O $\approx$ 153,75 cm².

Zeichne eine Skizze und beschrifte sie mit den Angaben aus der Aufgabe. Da das Parallelschnitt-Dreieck ein rechtwinklig gleichschenkliges Dreieck ist, sind die Katheten die Höhen der Seitenflächen h_S.
Hier gilt also h_S = 12,8 cm.

geg: O=470m²;h_S=12,5m
ges: a, h und s
Berechne a:
O=a²+2ah_S   |Werte einsetzen
470=a² + 2∙a∙12,5

470=a²+25a   |Die ist eine quadratische Gleichung. Bringe sie in die Normalform x²+px+q=0 und löse mit der pq-Formel.

470=a²+25a   |-470
o = a² + 25a - 470   |Normalform mit p=25 und q=-470
a_1,2 = -12,5$\pm {\sqrt {\text{12,5²+470}}}$
a₁ = 12,52 (m) und a₂=-37,52 (nicht sinnvoll).

Berechne nun noch s mit dem Satz von Pythagoras in einem geeigneten Teildreieck.

Übung 5 Sechseckspyramide

Löse Buch

• S. 46 Nr. 8
  

Teildreiecke in der Sechseckspyramide

Um die Höhe h_a der Dreiecke in der Grundfläche zu bestimmen, schau den nächsten Tipp an.

Die Grundfläche einer Sechseckspyramide ist ein Sechseck. Um den Flächeninhalt zu bestimmen, zerlege das Sechseck in 6 gleichseitige Dreiecke.

Grundfläche: G = 6∙A_Dreieck

Flächeninhalt eines Dreiecks der Grundfläche: A_Dreieck = ${\tfrac {1}{2}}$∙a∙h_a
Berechne h_a mit dem Teildreieck mit den Katheten h_a und ${\tfrac {a}{2}}$ und der Hypotenuse a.

Vorsicht: Hier gibt es Dreiecke in der Grundfläche mit der Dreieckshöhe h_a und auch die Seitenflächen der Pyramide sind Dreiecke, sie haben die Höhe h_S.
Skizzen helfen dir, den Überblick zu bewahren.

Lösungen zu den Aufgaben zum Vergleich (falls du die Zwischenwerte nicht im Taschenrechner gespeichert hast, könnte es sein, dass du anders gerundet hast...):
a) s = 12,6 cm; h_K = 9,8 cm; M = 288 cm²; O = 454,3 cm²
b) s = 9,9 cm ; h_S = 9,4 cm; M = 183,3 cm²; O = 293,1 cm²
c) h_K = 27,6 cm ; h_S = 34,3 cm; M = 2404,4 cm²; O = 3826,9 cm²
d) a = 31,1 cm; s = 76,6 cm; M = 6997,5 cm²; O =9510,4 cm²

e) a = 26,2 cm; h_K = 11 cm; M = 1980,7 cm²; O = 3764,1 cm²

4) Volumen einer Pyramide

Experimentelle Bestimmung der Volumenformel der Pyramide

Experiment zur Volumenbestimmung

Vorne am Pult liegen eine offene Dreieckspyramide und ein Dreiecksprisma sowie eine offene quadratische Pyramide und ein Quader. Die Körper haben die gleiche Höhe und eine gleich große Grundfläche.
Durchführung des Experiments:

• Nimm eine Pyramide und das zugehörige Prisma, Sand, einen Trichter und eine Schüssel zum Unterstellen.
  
• Fülle die Pyramide randvoll mit Sand (Überstand abstreichen) und schütte ihn in den Quader/das Prisma um.
  
• Wiederhole den Vorgang so oft, bis der Quader/ das Prisma vollständig mit Sand gefüllt sind.

Was stellst du fest?

Welcher Zusammenhang besteht zwischen den Volumina von Quader/Prisma und Pyramide, wenn diese den gleichen Grundflächeninhalt und die gleiche Höhe besitzen?

Das Ergebnis dieses Schüttexperimentes ist natürlich nie 100% genau. Wenn du aber ordentlich arbeitest, solltest du ein recht gutes Ergebnis bekommen!

Du kannst nun auf der Grundlage experimenteller Ergebnisse eine Formel für das Volumen einer Pyramide aufstellen:

Wie viele Pyramidenfüllungen passen in den Quader? _____

Also gilt: V_Quader = ___∙ V_Pyramide   |umstellen nach V_Pyramide
V_Pyramide =___∙ V_Quader

Wie viele Pyramidenfüllungen passen in den Quader? 3

Es passen 3 Pyramidenfüllungen in den Quader/das Prisma. Also gilt V_Quader=3∙ V_Pyramide

${\tfrac {1}{3}}$∙ V_Quader = V_Pyramide

 ${\tfrac {1}{3}}$ ∙ G ∙h_K = V_Pyramide

Volumen einer Pyramide

Das Volumen einer Pyramide mit der Grundfläche G und der Höhe h_K wird berechnet mit
V = ${\tfrac {1}{3}}$ ∙ G ∙h_K
Für eine quadratische Pyramide mit der Grundkante a gilt

V = ${\tfrac {1}{3}}$ ∙ a² ∙h_K

Übung 6

Löse Buch

• S. 48 Nr. 1
• S. 48 Nr. 2
• S. 48 Nr. 3

Denke an eine übersichtliche und vollständige Darstellung. Notiere zunächst immer die Formel und stelle sie nach der gesuchten Größe um. Setze dann die gegebenen Werte ein und berechne die gesuchte Größe.

Stelle die Volumenformel nach a um:

V = ${\tfrac {1}{3}}$ ∙ a² ∙h_K   |∙3
3V = a² ∙ h_K      |:h_K
${\tfrac {3V}{hk}}$ = a²           |$\surd$
${\sqrt {\tfrac {3V}{hk}}}$ = a

Nun setzte die gegebenen Werte für V und h_K ein und berechne a.

Stelle die Volumenformel nach h_K um:

V = ${\tfrac {1}{3}}$ ∙ a² ∙h_K   |∙3
3V = a² ∙ h_K      |:a²
${\tfrac {\text{3V}}{\text{a²}}}$ = h_K
Nun setzte die gegebenen Werte für V und a ein und berechne h_K

Video mit Beispiel:

Du musst nicht unbedingt zunächst die Grundfläche berechnen, du darfst auch das Volumen direkt mit der Formel berechnen:

Achte auf gleiche Einheiten! a= 95dm = 9,5m

Bestimme die Länge der Grundseite a mit Pythagoras im folgenden Teildreieck:

a² + a² = d²    Hier kannst du schon den Wert für d einsetzen und dann nach a auflösen:
2a² = 10²
2a² = 100   |:2
a² = 50   |$\surd$
a $\approx$ 7,1 (cm)
Oder du stellst die Formel nach a um (schwer):
a² + a² = d²    2a² = d²   |:2
a² = ${\tfrac {d^{2}}{2}}$   |$\surd$
a = ${\sqrt {\tfrac {d^{2}}{2}}}$   |

a = ${\tfrac {d}{\sqrt {2}}}$

Bestimme a mit dem Teildreieck "halber Parallelschnitt". Dort bestimmst du ${\tfrac {a}{2}}$ und damit kannst du a berechnen.

Übung 7 Sechseckspyramide

Löse Buch

• S. 49 Nr. 8

In der Sechseckspyramide ergeben sich ebenfalls rechtwinklige Dreiecke. Dort kann dann der Satz den Pythagoras angewendet werden, um fehlende Seitenlänge zu bestimmen:
in der Grundfläche

und in der Pyramide:

Musterlösung zu Nr. 8a

Musterlösung zu Nr. 8b

Vergleiche deine Lösungen, es können Rundungsunterschiede auftreten, wenn du mit den gerundeten Werten weitergerechet hast.
a) h_a = 13cm (Höhe eines Dreiecks in der Grundfläche); G = 585 cm²; V = 4875 cm³
b) h_a = 6,8 cm (Höhe eines Dreiecks in der Grundfläche); G = 161,2 cm²; h_K = 9,8 cm (Höhe der Pyramide); V = 526,6 cm³
c) a = 24,9 cm; h_a = 21,56 cm; G = 1610,5 cm²; V = 21204,9 cm³

d) h_a = 4,8 cm; G = 78,5 cm²; h_K = 7,9 cm; V = 206,8 cm³

Anwendungsaufgaben

Übung 8

Die große Glaspyramide im Innenhof des Louvre in Paris hat eine quadratische Grundfläche mit einer Seitenlänge von 35m und eine Höhe von 22m. Wie groß ist der Innenraum und die Glasoberfläche?

Mache zunächst eine Skizze der Glaspyramide und eventuell benötigter Hilfsdreiecke.

Stelle (wie in den vorherigen Aufgaben) immer zuerst eine Formel auf, forme wenn nötig um und setze dann erst die Zahlenwerte ein!

Skizziere zunächst die Pyramide und ergänze die angegebenen Maße a=35m und h_K=22m.

Welche Größe fehlt noch? Welches Teildreieck hilft dir weiter? Skizziere!

Die Höhe der Dreiecke beträgt h_S=$\approx$28,11m. Bestimme damit den Mantel M.

Lösung: M=1967,7m²

Übung 9 Anwendungsaufgaben

Löse Buch

• S. 46 Nr. 10
• S. 46 Nr. 11
• S. 48 Nr. 4
• S. 49 Nr. 7
• S. 49 Nr. 10

linkes Dach: A_Dach=A_Rechteck mit a = 8m und b = 7,2 m;
rechtes Dach: A_Dach = M_Pyramide mit a = 8m und h_S = 7,2m.

Die Flächen sind gleich groß.

Bestimme zunächst den Nettopreis G. Der Preis einschließlich der Mehrwertsteuer (19%) ist dann der vermehrte Grundwert G⁺.
G⁺ = G∙p⁺%
mit p⁺% = 100% + 19% = 119% = 1,19

...

Erstelle eine Skizze zur Aufgabe und beschrifte sie mit den gegebenen Maßen.
a = 35 m ; h_K = 21,65 m.

Um die Seitenfläche berechnen zu können, bestimme zunächst mit dem Satz des Pythagoras in einem geeigneten Teildreieck die Höhe der Seitenfläche h_S.

Der Flächeninhalt einer Dreiecksfläche beträgt ca.487,2m² (Der Mantel M=1948,8m².) Alle Seiten zusammen wiegen ca. 179,3t.

Die Kantenlänge a ist gegeben und das Volumen (in Liter).

Erinnerung: 1 Liter = 1dm³ = 1000 cm³.

Die Grundfläche der Getränkepackung ist ein gleichseitiges Dreieck mit der Seitenlänge 13,7 cm.
Bestimme den Flächeninhalt der Grundfläche. Dazu musst du zunächst die Höhe der Grundfläche mit dem Satz des Pythagoras in einem geeigneten Teildreieck berechnen.

Lösung: h_a$\approx$11,9cm.
G=A_Dreieck=81,5cm²

V$\approx$304,3cm³=0,3043dm³ (l).

geg: quadratische Pyramide mit h_K = 15 cm und V = 500 cm³ +/- 10%.
10% von 500 cm³ = 50 cm³, also V₁ = 500 - 50 = 450 (cm³) und V₂ = 500 + 50 = 550 (cm³).

Bestimme a.

Umfangreiche Übungen findest du auf der Seite Aufgabenfuchs - Pyramide

Kegel