Buss-Haskert/Körper/Kegel

SEITE IM AUFBAU!!

Vorwissen

1) Pyramide
2) Kegel
3) Kugel
4) Zusammengesetzte Körper

5) Checkliste

2) Kegel

In der vorherigen Lerneinheit hast du die Pyramide mit einem beliebigen Vieleck als Grundfläche kennengelernt.
Ersetzt man nun das Vieleck der Grundfläche durch einen Kreis, so erhält man einen verwandten Spitzkörper: den Kegel!


. . . .. . . . . . . .

Ob Eistüte, Pylonen oder Turmspitzen, man findet sehr häufig kegelförmige Objekte in unserer Lebenswelt.

1) Merkmale von Kegeln

Merkmale von Kegeln

Fülle den Lückentext aus und übertrage ihn in dein Heft!

Ein Kegel ist ein Körper, dessen Grundfläche ein Kreis (Grundkreis) ist.
Die Mantelfläche des Kegels ist gewölbt. Der Abstand der Spitze S zur Grundfläche ist die Höhe des Kegels. Eine Verbindungsstrecke vom Kreisrand zur Kegelspitze heißt Mantellinie und wird mit "s" beschriftet.
Ebenso wie bei der Pyramide unterscheidet man auch hier zwischen geraden (senkrechten) und schiefen Kegeln. Schaue dir dazu das folgende Geogebra-Applet an.
Für uns sind allerdings nur gerade Kegel von Bedeutung.

Ziehe an der Kegelspitze S und beobachte, was passiert.

von T.Weiss

2) Schrägbild und Netz von Kegeln

Das Video zeigt dir, wie du das Schrägbild eines Kegels zeichnest:

Übung 1

Zeichne das Schrägbild, wie im Video erklärt. Buch

• S. 43 Nr. 7

Netz eines Kegels

Schneide das Netz eines Kegels aus (AB liegt auf dem Pult) und falte daraus den Kegel. Klebe das Netz anschließend in dein Heft und beschreibe, aus welchen Teilflächen es besteht.

Netz eines Kegels

Das Netz eines Kegels besteht aus einem Kreis als Grundfläche und einem Kreisausschnitt als Mantelfläche.

Übung 2

Bearbeite im Buch S. 50 oben die Bastelaufgabe und notiere deine Überlegungen in deinem Heft.

3) Oberfläche von Kegeln

Die Oberfläche eines Kegels setzt sich zusammen aus der Grundflächen G und der Mantelfläche M.
Die Grundfläche ist ein Kreis und die Mantelfläche hat die Form eines Kreisausschnittes.

Formel: O = G + M.

Oberfläche eines Kegels - Herleitung der Formel

Stelle eine Formel zur Berechnung des Oberflächeninhalts eines Kegels auf! Das nachfolgende Applet hilft dir. Notiere im Heft.

Das nachfolgende Applet kann dir helfen: Kippe den Kegel mit dem Schieberegler und führe die Abwicklung aus.(Du kannst Radius und Höhe des Kegels verändern.)

M= A_{Kreisausschnitt} (mit dem Radius s)
= 𝞹∙s²∙${\tfrac {\alpha }{360}}$
    aber: wir kennen α nicht
   

TIPP: in welcher Formel gibt es ebenfalls α? Vergleiche b und u.

Oberfläche eines Kegels

Die Oberfläche eines Kegels setzt sich zusammen aus der Grundfläche und der Mantelfläche.
O = G + M

    = 𝞹∙r² + 𝞹∙r∙s

Wende zur Berechnungen der Längen r, h_K oder s den Satz des Pythagoras im rechtwinkligen Hilfsdreieck mit den Katheten r und h_K und der Hypotenuse s an.

Beispiel:

Übung 3

Löse die Aufgaben aus dem Buch. Achte auf eine übersichtliche Darstellung. Notiere zunächst die Formel. Falls nötig, skizziere das Hilfsdreieck und berechne fehlende Seitenlängen. Setze dann in die Formel für den Mantel bzw. die Oberfläche ein. Löse Buch

• S. 51 Nr. 1
• S. 51 Nr. 2
• S. 63 Nr. 10c (schwer)
• S. 51 Nr. 5

Umstellen der Mantelformel nach s:
M = 𝞹∙r∙s   |:(𝞹∙r)

${\tfrac {M}{\text{𝞹r}}}$ = s
Setze die gegebenen Werte für M und r ein und berechne s.

Umstellen der Oberflächenformel nach s:
O = 𝞹∙r² + 𝞹∙r∙s   |-𝞹∙r²
O - 𝞹∙r² = 𝞹∙r∙s   |:(𝞹∙r)

${\tfrac {\text{O-𝞹r²}}{\text{𝞹r}}}$ = s
Setze die gegebenen Werte für o und r ein und berechne s.

geg: s = 6,3 cm; O = 226 cm²
ges: r
O = 𝞹∙r² + 𝞹∙r∙s   |Du musst also eine quadratische Gleichung lösen!
Setze die gegebenen Werte ein und bringe die Gleichung in die Normalform x² + px + q = 0 (hier ist r=x)
226 = 𝞹∙r² + 𝞹∙r∙6,3   |-226
0 = 𝞹∙r² + 𝞹∙r∙6,3 - 226   |:𝞹
0 = r² + 6,3∙r - 71,94  |pq-Formel mit p = 6,3 und q = -71,94
r_1,2 = -3,15 $\pm {\sqrt {\text{3,15²+71,94}}}$

r₁ =$\approx$ 5,9 ; r₂ = -12,2 (nicht sinnvoll)

Berechne die Länge des Weges, den er Kegel sich dreht. Dies ist der Umfang des Kreises mit dem Radius r=12cm.
Berechne dann den Umfang der Grundfläche des Kegels. Der Radius ist hier 5cm:2 = 2,5cm.

Überlege nun, wie oft der Kegel sich dreht.
Lösung: 4,8 mal

Übung 4

Löse Buch

• S. 51 Nr. 4
• S. 51 Nr. 7

Berechne zunächst die Oberfläche des Zylinders (O = 2G + M =2∙𝞹∙r² + 2∙𝞹∙r∙h_K)
Berechne danach die Oberfläche des Zylinders.
Berechne nun den Unterschied zwischen den beiden Werten: O_Zylinder - O_Kegel

Prozentualer Unterschied: p% = ${\tfrac {OUnterschied}{OZylinder}}$ = ... =$\approx$ 0,46 = 46%

4) Volumen von Kegeln

Experimentelle Bestimmung der Volumenformel des Kegels

Experiment zur Volumenbestimmung

Vorne am Pult liegen ein offener Kegel und ein offener Zylinder. Die Körper haben die gleiche Höhe und eine gleich große Grundfläche.
Durchführung des Experiments:

• Nimm den Kegel und den Zylinder, Sand, einen Trichter und eine Schüssel zum Unterstellen.
  
• Fülle den Kegel randvoll mit Sand (Überstand abstreichen) und schütte ihn in den Zylinder um.
  
• Wiederhole den Vorgang so oft, bis der Zylinder vollständig mit Sand gefüllt ist.

Was stellst du fest?

Welcher Zusammenhang besteht zwischen den Volumina von Kegel und Zylinder, wenn diese den gleichen Grundflächeninhalt und die gleiche Höhe besitzen?

Das Ergebnis dieses Schüttexperimentes ist natürlich nie 100% genau. Wenn du aber ordentlich arbeitest, solltest du ein recht gutes Ergebnis bekommen!

Du hast nun auf der Grundlage experimenteller Ergebnisse eine Formel für das Volumen eines Kegels aufgestellt.

Wie viele Kegelfüllungen passen in den Zylinder? _____

Also gilt:

V_Zylinder = ___∙ V_Kegel   |umstellen nach V_Kegel
V_Kegel =___∙ V_Zylinder

Wie viele Kegelfüllungen passen in den Zylinder? 3

Es passen 3 Kegelfüllungen in den Zylinder. Also gilt V_Zylinder = 3∙ V_Kegel

${\tfrac {1}{3}}$∙ V_Zylinder = V_Kegel

 ${\tfrac {1}{3}}$ ∙ G ∙h_K = V_Kegel
Die Grundfläche G ist ein Kreis, also G = 𝞹∙r², setze in die Formel ein.

Volumen des Kegels

Du kannst die Formel für das Volumen eines Kegels auch mithilfe der Formel für die Pyramide herleiten. Eine weitere Möglichkeit ist die Annäherung durch Teilzylinder. Erkläre die folgenden GeoGebra-Applets.

Volumen einer Pyramide

Das Volumen eines Kegels mit der Grundfläche G und der Höhe h_K wird berechnet mit
V = ${\tfrac {1}{3}}$ ∙ G ∙h_K

   = ${\tfrac {1}{3}}$ ∙𝞹∙r²∙h_K

Übung 5

Löse die nachfolgenden Aufgaben aus dem Buch. Achte auf eine vollständige und übersichtliche Darstellung. Skizziere das rechtwinklige Teildreieck für den Satz des Pythagoras bzw. notiere die Formel und stelle sie nach der gesuchten Größe um. Dann setze die gegebenen Werte ein und berechne die gesuchte Größe.

• S. 53 Nr. 1
• S. 53 Nr. 2
• S. 53 Nr. 3

rechtwinkliges Teildreieck im Kegel:

r² + h² = s²   |-r²
h² = s² - r²   |$\surd$

h = ${\sqrt {\text{s²-r²}}}$ Setze die gegebenen Werte ein und berechne h.

r² + h² = s²   |-h²
r² = s² - h²   |$\surd$

r= ${\sqrt {\text{s²-h²}}}$ Setze die gegebenen Werte ein und berechne r.

Umstellen der Formel nach h_K:
V = ${\tfrac {1}{3}}$ ∙𝞹∙r²∙h_K  |∙3
3V = 𝞹∙r²∙h_K  |:(𝞹∙r²)

${\tfrac {3V}{\text{𝞹r²}}}$ = h_K    Setze die gegebenen Werte ein und berechne h_K

Umstellen der Formel nach r:
V = ${\tfrac {1}{3}}$ ∙𝞹∙r²∙h_K  |∙3
3V = 𝞹∙r²∙h_K  |:(𝞹∙h_K)
${\tfrac {3V}{\text{𝞹h}}}$ = r²   |$\surd$

${\sqrt {\tfrac {3V}{\text{𝞹h}}}}$ = r    Setze die gegebenen Werte ein und berechne r.

Übung 6

Löse die nachfolgenden Aufgaben aus dem Buch. Notiere vollständig und übersichtlich.

• S. 53 Nr. 4
• S. 53 Nr. 5a (sehr schwer) und b (schwer)

Das Volumen des Restkörpers beträgt ${\tfrac {3}{4}}$ des Volumens des ganzen Kegels, also

V_Restkörper = ${\tfrac {3}{4}}$V_Kegel

Oberfläche des Restkörpers beträgt ${\tfrac {3}{4}}$ der Oberfläche des ganzen Kegels, zusätzlich musst du die Flächen der zwei (rechtwinkligen) Dreiecke, die sich an den Schnittstellen ergeben, addieren.

Also O_Restkörper = ${\tfrac {3}{4}}$V_Kegel + 2∙${\tfrac {\text{r∙h}}{2}}$

Berechne die Mantellinie s:

Berechne die Mantellinie s:

Anwendungsaufgaben

Übung 7

Löse Buch

• S. 51 Nr. 6
• S. 51 Nr. 8
• S. 51 Nr. 9
• S. 53 Nr. 6
• S. 53 Nr. 7
• S. 53 Nr. 8
• S. 53 Nr. 9

Bestimme mithilfe des Mauerumfangs den Radius des Zylinders (Turm) r.
Das Dach steht 30 cm über, also gilt r_Dach = r + 0,3.

Bestimme s mithilfe des Satzes von Pythagoras (rechtwinkliges Teildreieck).

Bestimme die Mantelfläche. Dazu berechne mit dem Satz von Pythagoras die Länge der Mantellinie s. Skizziere dazu das Teildreieck und beschrifte es vollständig.

G = M und p⁺% = 103% = 1,03

G⁺ = G ∙ p⁺%

Bestimme die Mantelfläche M des Kegels. Dazu benötigst du die Länge der Mantellinie s (Satz des Pythagoras).

Bestimme r mithilfe des angegebenen Umfangs u.
Bestimme das Volumen eines Kegels mit den angegebenen Maßen.

Die Dichte des Holzes beträgt 450 ${\tfrac {\text{kg}}{\text{m³}}}$, also wiegt 1m³ 450 kg.

Bestimme V₁ und V₂.
Für die benötigte Zeit betrachte das Verhältnis von ${\tfrac {V2}{V1}}$ = ...
Die dementsprechend vielfache Zeit wird dann benötigt.

1. Bestimme das Volumen des Gewürzkegels. Entnimm die Maße dem Bild im Buch.
2. Bestimme das Volumen einer zylindrischen Dose.

3. Wie viele Dosen können befüllt werden?

Das Volumen setzt sich zusammen aus dem Volumen von zwei Kegeln unterschiedlicher Höhe.
Die Dichte von 7,8 ${\tfrac {g}{\text{cm³}}}$ gibt an, dass 1cm³ 7,8g wiegt.

Umfangreiche Übungen findest du auf der Seite Aufgabenfuchs - Kegel.

3) Kugel