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{{Box|1= Aufgabe 2: Lage erkennen|2=Wie verlaufen die folgenden Geraden zueinander?
a)<math>g_1: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math> und <math>g_2: \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \\ 3 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math>
b)<math>h_1: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ 4 \\ 4 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math> und <math>h_2: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ 5 \\ 3 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math>
c)<math>i_1: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math> und <math>i_2: \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \\ 3 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math>
{{Lösung versteckt|1= Die erste Antwort lautet ''schneiden''. Die beiden Geraden ''schneiden'' sich im Punkt <math>\begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix}</math>. Dies erhält man, indem man beide Geradengelichungen in ein Gleichungssystem umformt, gleichsetzt und zu r und t umformt:
<math>
1+r*1=2+t*4  </math>
<math>
1+r*2=3+t*5  </math>
<math>
1+r*3=4+t*3  </math>
Dies formen wir um:
<math>
r*1-t*4=1  </math>
<math>
r*2-t*5=2  </math>
<math>
r*3-t*3=3  </math>
Nehmen die erste Zeile mal 2, subtrahieren von der ersten Zeile die zweite Zeile und erhalen für t= 0 und r=1.
|2=2=Lösung Aufgabe a |3=Lösung Aufagbe a}}
{{Lösung versteckt|1= Die zweite Antwort lautet ''schneiden''. Die beiden Geraden''schneiden''ich im Ortsvektoren selbst.|2=Lösung Aufgabe e b|3=Lösung Aufgabe b}}
{{Lösung versteckt|1= Die dritte Antwort lautet ''windschief''. Die beiden Geraden sind ''windschief'' zueinander. Dies sehen widaran
<math>
1+r*1=2+t*1  </math>
<math>
1+r*2=3+t*4  </math>
<math>
1+r*3=4+t*3  </math>
Dies formen wir um:
<math>
r*1-t*1=1  </math>
<math>
r*2-t*4=2  </math>
<math>
r*3-t*3=3  </math>
Nehmen die erste Zeile mal 2, subtrahieren von der ersten Zeile die zweite Zeile und erhalen für t= 1/6
daran, |2=Lösung Aufgabe c|3=Lösung Aufgabe c}}
|Farbe={{Farbe|orange}}|3= Hervorhebung1}}


{{Box|1= Aufgabe 3: Lage erkennen|2=Löse das Quiz und mache dir deinen eigenen Lernzettel
{{Box|1= Aufgabe 3: Lage erkennen|2=Löse das Quiz und mache dir deinen eigenen Lernzettel
{{LearningApp|app=19038875|width=100%|height=554px}}
{{LearningApp|app=19038875|width=500px|height=554px}}


|Farbe={{Farbe|orange}}|3= Hervorhebung1}}
|Farbe={{Farbe|orange}}|3= Hervorhebung1}}
{{Box |1= Merksatz |2=<br />
Zwei Geraden...
sind ''identisch''
* Richtungsvektoren '''kollinear''' (= Vielfache voneinander)
* Ortsvektor der einen Geraden liegt auf der anderen Geraden
sind ''parallel''
* Richtungsvektoren '''kollinear''' (= Vielfache voneinander)
* Ortsvektor der einen Geraden liegt '''nicht''' auf der anderen Geraden.
''schneiden'' sich
* Richtungsvektoren '''nicht''' kollinear (= Vielfache voneinander)
* Bei dem Versuch einen Schnittpunkt zu berechnen, kommt eine '''wahre Aussage''' in Form eines Punktes heraus
sind zueinander ''windschief''
* Richtungsvektoren '''nicht''' kollinear (= Vielfache voneinander)
* Bei dem Versuch einen Schnittpunkt zu berechnen, kommt eine '''falsche Aussage''' heraus
<br /> .
|3= Merksatz}}
{{Box|1= Aufgabe 4: |2=Flugerlaubnis erteilen?
Ein wichtiger Bestandteil der Flugsicherung sind die Fluglotsen der "Deutschen Flugsicherung" (DFS). Sie koordinieren und überwachen jährlich Millionen Flüge im deutschen Luftraum. Am heutigen Tag wollen zwei Flugzeuge starten. Hierzu gehört das Flugzeug der Fluglinie Aer. Es startet bei  <math> \begin{pmatrix} 10 \\ 10 \\ 0 \end{pmatrix}</math> und befindet sich nach 5sek auf  <math> \begin{pmatrix} 510 \\ 410 \\ 350 \end{pmatrix}</math>. Ebenfalls möchte das Flugzeug der Fluglinie Amadeus in die Luft. Dies startet in <math> \begin{pmatrix} 5 \\ 10 \\ 0 \end{pmatrix}</math>. Pro Sekunde legt es eine Strecke von 175,49m zurück und besitzt einen Richtungsvektor von  <math> \begin{pmatrix} 120,2 \\ 96,4 \\ z \end{pmatrix}</math>.
Es kam zu einem riesigen Stromausfall und der Fluglotse ist sich unsicher. Hilf ihm die Antworten auf folgende Fragen zu finden:
a) Wie lauten die Geradengleichungen der einzelen Flugzeuge?
b) Wie schnell (in km/h) fliegen die einzelnen Flugzeuge?
c) Können alle Flugzeuge starten, ohne dass es zu einer Kollision kommt?
{{Lösung versteckt|1= Zu Aer: Setze alle gegebenen Daten in eine allgemeine Parameterdarstellung ein und forme um.
Zu Amadeus: Um den Richtungsvektor zu berechnen, benötigst du die Forme zur Berechnung der Länge eines Vektoren:
<math> L=\sqrt[2]{x{2}+y^{2}+z^{2}}</math>. |2= Tipp zu a|3= Tipp zu a}}
{{Lösung versteckt|1= Geschwindigkeit kann man in verschiedene Einheiten angeben, z.B.: km/h, m/s etc.. Nachdem du die Länge der Strecke nach einer Sekunde berechnet hast, musst du dies von m/s zu km/h umwandeln.|2=Tipp zu b |3=Tipp zu b}}
{{Lösung versteckt|1= Nur weil sich zwei Geraden schneiden heißt es noch nicht direkt, dass eine Kollision vorherrscht.|2=Tipp zu c |3=Tipp zu c}}
{{Lösung versteckt|1=
Flugzeug Aer:
<math>f_3: \vec{x} = \begin{pmatrix} 10 \\ 10 \\ 0 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 100 \\ 80 \\ 70 \end{pmatrix}, t \in \mathbb{R} </math>
Dies erhalten wir, indem wir folgendes berechnen:
<math>\begin{pmatrix} 510 \\ 410 \\ 350 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 10 \\ 10 \\ 0 \end{pmatrix} + 5\cdot \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}, t \in \mathbb{R} </math>. Dies schreiben wir in ein Gleichugssystem um und formen es zu x,y,z um:
<math>
510=10+5*x  </math>
<math>
410=10+5*y  </math>
<math>
350= 0+5*z  </math>
Flugzeug Amadeus:
<math>f_1: \vec{x} = \begin{pmatrix} 5 \\ 10 \\ 0 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 120,2\\ 96,4 \\ 84\end{pmatrix}, t \in \mathbb{R} </math>
Dies erhalten wir wie folgt:
Wir kennen den Richtungsvektor:
<math> \begin{pmatrix} 120,2\\ 96,4 \\ 84\end{pmatrix}</math>. Nun müssen wir z berechnen. Im Text steht, dass das Flugzeug pro Sekunde eine Länge von 175,49m fliegt. Das bedeutet, dass der Richtungsvektor eine Länge von 175,49 beträgt. Dies können wir mit der Formel der Länge eines Vektor berechnen:
<math> 175,49=\sqrt[2]{120,2^{2}+96,4^{2}+z^{2}}</math>
Indem wir beide Seiten zum Quadart nehemn, entfällt die Wurzel und es folgt:
<math> 175,49^{2}=120,2^{2}+96,4^{2}+z^{2}</math>
Wir formen zu <math>z^{2}</math> um und ziehen dann die Wurzel. Wir erhalten 83,998 und runden auf 84.
Wobei t für die Zeit in Sekunden steht.
|2=Lösung Aufgabe a|3=Lösung Aufgabe a}}
{{Lösung versteckt|1=
Wir berechnen die Geschwindigkeit, indem wir die Länge des Richtungsvektors berechnen. Dies erfolgt mit der Formel:<math> L=\sqrt[2]{x{2}+y^{2}+z^{2}}</math>.
Fugzeug Aer:
<math> L=\sqrt[2]{100{2}+80^{2}+70^{2}}</math>.
<math> L=145,95</math>.
Wir erhalten also eine Geschwindigkeit von 145,95 m/s. Es gilt: 3,6km/h=1m/s.
Umgerechnet in km/h sind das also:
<math>145,95*3,6= 525,42</math>
525,42km/h.
Flugzeug Amadeus:
Das Flugzeug Amadeus legt laut Text nach einer Sekunde eine Strecke von 175,49m zurück. Damit hat es eine Geschwindigkeit von 175,49m/s.Umgerechnet in km/h sind das also:
<math>175,49*3,6= 631,76</math>
631,76km/h.
|2=Lösung Aufgabe b|3=Lösung Aufgabe b}}
{{Lösung versteckt|1=
Flugzeug Aer und Amadeus:
Sie schneiden sich für
<math> \begin{pmatrix} 10 \\ 10 \\ 0 \end{pmatrix} + 30 \cdot \begin{pmatrix} 100 \\ 80 \\ 70 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 5 \\ 10 \\ 0 \end{pmatrix} + 25 \cdot \begin{pmatrix} 120,2\\ 96,4 \\ 84\end{pmatrix}</math>. Dies erhalten wir, indem wir beide Funktionen gleichsetzen und in ein Gleichungssystem umformen:
<math>
10+t*100=5+s*120,2  </math>
<math>
10+t*80=10+s*96,4  </math>
<math>
0+t*70=0+s*84  </math>
Da es jedoch nicht der gleiche Zeitpunkt ist, kommt es zu keiner Kollision.
|2=Lösung Aufgabe c|3=Lösung Aufgabe c}}
|Farbe={{Farbe|grün}}|3= Hervorhebung1}}
==Geraden und ihre Anwendungen==


<math>\alpha = 90</math>
<math>\alpha = 90</math>

Version vom 27. April 2021, 14:55 Uhr


Aufgabe 3: Lage erkennen

Löse das Quiz und mache dir deinen eigenen Lernzettel

a

sich nach 10sek auf  . Ebenfalls m

b

sich nach 10sek auf . Ebenfalls möchte das

a

Welche der folgenden Geraden verlaufen durch die Punkte und ?

Test

a

<math>\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3\\ 4 & 5 & 6\\ 7 & 8 & 9  \end{pmatrix}</math>

a

<math>\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3\\
4 & 5 & 6\\
7 & 8 & 9 
\end{pmatrix}</math>


Regex

JA:


NEIN:


6x7 6 x 7 6x 7 6 x7

NEIN:

  • a

JA:

Tests

Du hast 20 m Zaun zur Verfügung und möchtest damit eine Wiese einzäunen. Wie groß ist die größte rechteckige Fläche, die man damit einzäunen kann?

Text

Hier steht eine eingebettete Aufgabenstellung.

Text

GeoGebra

a

GeoGebra

b

GeoGebra
GeoGebra





Beachte 1
...


Beachte 1
...


Titel
GeoGebra


Titel
GeoGebra



A B
C 1 2
D 3 4

AKreis

m3

Text Text

Text Text

Test

1 Löse folgendes Gleichungssystem mit dem Einsetzungsverfahren:

,
,
,
,

2 Beispielfrage

a
b