Benutzer:C.Schroer/Lineare Funktionen

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Dieser Lernpfad wurde im Original erstellt von Frau Buß-HaskertFrau Buß-Haskert (Herta-Lebenstein-Realschule) und wurde veröffentlicht unter der Lizenz CC BY SA. Herzlichen Dank!

1. Funktionen

Funktionen
Eine Zuordnung, bei der jedem x-Wert genau einem y-Wert zugeordnet wird, nennt man Funktion.

Es gibt viele verschiedene Arten von Funktionen. Zum Beispiel gibt es proportionale und lineare Funktionen, später lernt man auch noch quadratische und ganzrationale Funktionen kennen.

Die Graphen von proportionalen Funktionen sind Halbgeraden, die im Ursprung beginnen. Die Graphen von linearen Funktionen hingegen sind Geraden, die die y-Achse in einem Punkt (0|b) schneiden. Man erkennt also: Proportionale Funktionen sind spezielle lineare Funktionen, lineare Funktionen sind spezielle Funktionen.

Und es gibt auch noch Zuordnungen, die keine Funktion darstellen. Ihre Graphen erkennt man daran, dass es x-Werte gibt, denen zwei oder mehr y-Werte zugeordnet werden.



1.1) Darstellungsformen von Funktionen

Funktionen kann man als Text, Funktionsgleichung, Wertetabelle oder Graph darstellen.

Beispiel:

Darstellungsform Beispiel
Text jedem x-Wert sein 4faches vermehrt um 7
Funktonsgleichung f(x) = y = 4x + 7
Wertetabelle darstellen
x -2 -1 0 1 2
y -1 3 7 11 15
Graph
Grafik vierxplussieben.png

Hier noch einmal ein Video, indem erklärt wird, wie man mit der Funktionsgleichung eine Wertetabelle anlegt und mit damit den Graphen der Funktion zeichnet:

2. Lineare Funktionen erkennen und darstellen

Lineare Funktionen
Eine Funktion, deren Funktionsgleichung die Form f(x) = mx + b hat, heißt lineare Funktion. Der Graph einer linearen Funktion ist immer eine Gerade mit der Steigung m und dem y-Achsenabschnitt b. Der Graph scheidet die y-Achse im Punkt P(0Ib).


Diese Eigenschaften werden in folgendem Lied besungen (hier heißt die Funktionsgleichung f(x) = mx + n (n statt b, du findest in verschiedenen Büchern verschiedene Bezeichnungen). Du musst noch nicht jeden Zusammenhang, der hier genannt wird, verstehen. Vieles davon erarbeitest du auf den nächsten Seiten.


Übung 1: Lineare Funktionen erkennen
Entscheide in den folgenden Apps, ob die Funktion linear ist oder nicht. In der letzen App gib die Funktionsgleichung an oder lies m und b ab.




2.2) Zusammenhang zwischen Funktionsgleichung und Funktionsgraph

f(x) = mx + b Bedeutung von m und b für den Funktionsgraphen

Damit du einen Eindruck von der Bedeutung der Parameter m (Steigung) und b (y-Achsenabschnitt) der Funktionsgleichung linearer Funktionen f(x) = mx + b erhältst, verändere in der folgenden Animation mithilfe der Schieberegler die Größe von m und b. Notiere deine Beobachtungen stichpunktartig.

GeoGebra

Übertrage die Merksätze in dein Heft:

Die Bedeutung von m: Steigende und fallende Geraden

Wir unterscheiden steigende und fallende Geraden. Eine Gerade "steigt", wenn bei steigenden x-Werten auch die y-Werte steigen. Für die Steigung m gilt also:

Ist m > 0, steigt die Funktion.

Ist m < 0, fällt die Funktion.

Anschaulich vorstellen kannst du dir, dass die Funktion steigt, wenn der Wanderer den Berg hochsteigen muss.

Fällt die Funktion, "fällt" der Wanderer bergab.


Übung 2: Steigende und fallende Geraden
Bearbeite die nachfolgenden Apps um dein Wissen über steigende und fallende Geraden und die Bedeutung von m in der Funktionsgleichung.




Die Steigung m linearer Funktionen

Untersuche mithilfe der Animation in GeoGebra die Steigung von Geraden. Du kannst mit den Schiebereglern m verändern. Außerdem kannst du das Steigungsdreieck durch Verschieben der Punkte A und B verändern. Beobachte, was geschieht. Probiere aus.


GeoGebra

Beobachtung: Die Steigung m einer linearen Funktion können wir mit einem Steigungsdreieck ermitteln und darstellen. Dazu zeichnen wir von einem beliebigen Punkt auf der Geraden ein Dreieck zu einem anderen Punkt auf der Geraden, bei dem die eine Seite parallel zur x-Achse liegt und die andere parallel zur y-Achse. Gehen wir dabei genau 1 Einheit in x-Richtung, steigt (oder fällt) der y-Wert immer um den Wert m, die Steigung.

Egal, wie das Steigungsdreieck gezeichnet wird, der Quotient aus Steigung m .png bleibt immer gleich, dies ist die Steigung m.


Merke: Die Steigung m

Die Steigung m einer linearen Funktion können wir mit einem Steigungsdreieck ermitteln und darstellen. Gehen wir dabei genau 1 Einheit in x-Richtung, steigt (oder fällt) der y-Wert immer um den Wert m, die Steigung.

Es gilt: m=Steigung m .png

Schau dazu das nachfolgende Video zu Steigungsdreiecken an:

Von der Geraden zu Funktionsgleichung

Ablesen der Funktionsgleichung am Funktionsgraphen - Erklärung
Übe das Aufstellen der Funktionsgleichung einer linearen Funktion bei gegebenem Graphen. Bestimme dazu zunächst den y-Achsenabschnitte b und danach die Steigung m mithilfe des Steigungsdreiecks.
Erklärvideo:
und noch mehr Beispiele:

Und nun noch einmal übersichtlich als Bild:

leicht: m ist eine natürliche ZahlFunktionsgleichung einer Geraden bestimmen m=2.png
mittel: m ist negativ Funktionsgleichung einer Geraden bestimmen m=-1,5.png

schwer: m ist ein Bruch Funktionsgleichung einer Geraden bestimmen m=drei Fünftel.png


Übung 3 : Bestimmen der Funktionsgleichung einer Geraden
Ordne den Geraden die Funktionsgleichung zu.
leicht (*)

mittel (**)

schwer (***)



Von der Funktionsgleichung zur Geraden

Und nun umgekehrt...
Zeichne zu einer Funktionsgleichung den Graphen.

Dabei gehst du ähnlich vor, wie beim Bestimmen der Funktionsgleichung.1. Schritt: Zeichne den y-Achsenabschnitt b ein: P(0|b) 2. Schritt: Zeichne das Steigungsdreieck ein. Starte im Punkt P. Der Nenner gibt an, wie viele Einheiten du nach rechts gehst, der Zähler, wie viele Einheiten nach oben (unten). 3. Schritt: Zeichne die Gerade durch die so erhaltenen Punkte.

Die Bilder zeigen das Vorgehen für die Funktionsgleichung f(x) = x - 1.

Schritt 1Gerade zur Gleichung zeichnen Schritt 1.png
Schritt 2Gerade zur Gleichung zeichnen 2. Schritt.png
Schritt 3Gerade zur Gleichung zeichnen Schritt 3.png

Übertrage das Beispiel mit den Anmerkungen in dein Heft!

Die Videos zeigen das Vorgehen noch einmal:

2.3) Zusammenhang zwischen Wertetabelle und Funktionsgleichung

Wiederholung: Erstellen einer Wertetabelle mithilfe der Funktionsgleichung

Du hast in den Einführungsbeispielen schon Wertetabellen erstellt. Schauen wir uns das Beispiel zum Bootsverleih noch einmal an. Die Funktionsgleichung lautet f(x) = 2x + 5

Um nun eine Wertetabelle zu erstellen, setze für x verschiedene Werte ein und berechne den zugehörigen y-Wert, den Funktionswert.  Erinnerung: Werte von Termen berechnen (7. Klasse) Wertetabelle erstellen Beispiel 2x+5 berichtigt.png

Das Video fasst das Vorgehen noch einmal zusammen:


Punktprobe: Liegt der Punkt auf der Geraden?

Bei der Punktprobe entscheidest du rechnerisch, ob ein Punkt auf dem Funktionsgraphen liegt.

Tom und Lisa leihen für 3 Stunden ein Tretboot. Der Bootsverleiher rechnet den Preis 10€ aus. Kann das sein?

geg: Punkt A(3|10); Funktion f(x) = 2x + 5

ges: Liegt der Punkt A auf dem Graphen der Funktion?

In der Zeichnung erkennen wir sofort, dass dies nicht der Fall ist. F(x) = 2x + 5 Punkt A liegt nicht auf dem Graphen.png


Punktprobe

Wie können wir rechnerisch prüfen, ob ein Punkt auf dem Graphen der Funktion liegt?

Schreibe die nachfolgende Rechnung in dein Heft.

Gegeben ist die Funktionsgleichung  y = 2x + 5. Liegt der Punkt A(3|10) auf dem Graphen der Funktion?

(Hier ist es leichter y statt f(x) zu schreiben, der Zusammenhang zu den Koordinaten des Punktes sind dann leichter zu erkennen.)

Idee: Setze die Koordinaten des Punktes in die Funktionsgleichung ein und prüfe, ob die Gleichung erfüllt wird.

   y=  2x + 5       A(3|10)

10 = 2·3 + 5

  10 = 6 + 5

  10 = 11 (f)

Es ergibt sich eine falsche Aussage, die Gleichung ist nicht erfüllt, also liegt der Punkt nicht auf dem Graphen. Wir prüfen ebenso, ob der Punkt B(4|13) auf der Geraden liegt:

Punktprobe:

  y  =  2x + 5       B(4|13)

13 = 2·4 + 5

13 = 8 + 5

13 = 13 (w)

Es ergibt sich eine wahre Aussage, die Gleichung ist erfüllt, also liegt der Punkt auf dem Graphen.

Das folgende Video fasst noch einmal zusammen:

Zusammenfassung:
noch mehr Beispiele:


Punktprobe
Wir können rechnerisch prüfen, ob ein Punkt auf dem Graphen der Funktion liegt. Dazu setzen wir die Koordinaten des Punktes P(xIy) in die Funktionsgleichung f(x) = mx + b ein. Der Punkt liegt auf dem Graphen, wenn sich eine wahre Aussage ergibt, die Gleichung also erfüllt ist.


Übung 7: Punktprobe
Prüfe in der folgenden App rechnerisch, ob der Punkt auf dem Graphen der Funktion liegt.




Fehlende Koordinate eines Punktes der Funktion berechnen

Du kannst mithilfe der Funktionsgleichung fehlende Koordinaten berechnen.

1. Möglichkeit: x-Koordinate ist gegeben

Tom und Lisa leihen ein Tretboot für 1,5 Stunden. Wie viel müssen sie bezahlen?

geg: x = 1,5 und f(x) = 2x+5

ges: zugehöriger y-Wert

Setze die x-Koordinate in die Funktionsgleichung ein und berechne:   f(x) = 2x + 5

   y = 2·1,5 + 5

          = 3 + 5

         = 8                            P(1,5|8)

Sie müssen 8€ bezahlen.


2. Möglichkeit: y-Koordinate ist gegeben:

Tom und Lisa bezahlen 10 €. Wie lange haben sie das Tretboot ausgeliehen? geg: y = 10 und f(x) = 2x+5 ges: zugehörige x-Koordinate Setze die y-Koordinate in die Funktionsgleichung ein und löse nach x auf:

  f(x) = 2x + 5

  10  = 2x + 5      |-5

    5  = 2x             |:2

   2,5 = x           P(2,5|10)

Sie haben das Boot für 2,5 Stunden geliehen.

Zusammenfassung:
noch mehr Beispiele:
Übung 8: Fehlende Koordinate bestimmen
Bestimme in der folgenden App jeweils die fehlende Koordinate.



Aufstellen der Funktionsgleichung durch den Punkt P mit m oder b gegeben

Die vorangegangenen Übungen zur "Punktprobe" können dir helfen:

Sezte in die allgemeine Funktionsgleichung f(x) = mx + b die gegebenen Größen ein und löse nach der gesuchten Größe auf.

Zu Nr. 9: Wenn die Gerade parallel zur Geraden von f(x)= 1,5x + 1 verläuft, haben die Geraden dieselbe Steigung! Also ist m = 1,5 gegeben. Außerdem hast du den Punkt P(2I6) gegeben. Gesucht ist b.

Setze die gegebenen Größen ein und löse nach b auf.
Hilfen bietet das nachfolgende Video:


Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen bestimmen


Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen

Für den Schnittpunkt Py mit der y-Achse (y-Achsenabschnitt) setzen wir x = 0 in die Funktionsgleichung ein berechnen b.

Py (0Ib)

Für den Schnittpunkt N mit der x-Achse (Nullstelle) setzen wir f(x) = 0 (oder y = 0) in die Funktionsgleichung ein und lösen die Gleichung nach x auf.

N (xNI0)

Übersicht Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen


Nullstelle (Schnittpunkt mit der x-Achse): f(x) = 0, also -x+4 = 0

y-Achsenabschnitt (Schnittpunkt mit der y-Achse): x = 0, also f(0) = -0+4

Prüfe dein Ergebnis mithilfe von GeoGebra https://www.geogebra.org/graphing . Gib dort die Funktionsgleichung ein und vergleiche deine rechnerischen Lösungen mit dem Graphen. Wo schneidet der Graph die Koordinatenachsen?
F(x) = -x+4 Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen.png
F(x) = -0.5x+5.png
Lösung S. 137 Nr. 7b.png
F(x) = 1.5x+3.png
F(x) = 0.25x-2.png

2.4) Lineare Funktionen im Aktivurlaub und andere Anwendungen

Es gibt Situationen in unserem Alltag, in denen sich Probleme oder Fragen mithilfe von linearen Funktionen beschreiben und lösen lassen. Solche Aufgaben nennen wir "Anwendungsaufgaben". Die Alltagssituation wird in ein mathematisches Modell übertragen, mit unserem Wissen zu den linearen Funktionen mathematisch gelöst und diese Lösung dann auf die Situation bezogen. Die nachfolgende Struktur hilft dir dabei:


Anwendungsaufgaben lösen

1. Notiere, was gegeben und was gesucht ist, also

geg:...

ges:...

2. Welche mathematischen Informationen habe ich?

- y-Achsenabschnitt

- Steigung

- Nullstelle

- einen beliebigen Punkt

3. Löse die Aufgabe mit deinem Wissen über lineare Funktionen.

- Funktionsgleichung aufstellen

- Schaubild/Graph zeichnen

- Koordinaten von Punkte berechnen

4. Beziehe deine mathematische Lösung auf die Alltagssituation und formuliere einen Antwortsatz.


Anwendungsaufgabe 1: Fahrradverleih
Fahrradverleih.png

Du möchtest im Aktiv-Urlaub ein Fahrrad leihen.

a) Begründe, dass es sich um eine lineare Funktion handelt. Gib die Funktionsgleichung an und zeichne den Graphen.

b) Wie viel Euro musst du zahlen, wenn du das Fahrrad 3 Stunden ausleihst. Löse durch eine Rechnung und prüfe dein Ergebnis am Graphen.

c) Du hast 20 € zur Verfügung. Wie lange kannst du das Rad leihen? Löse durch eine Rechnung und prüfe deine Ergebnis am Graphen.

Die Zuordnung lautet Zeit [Stunden] Kosten [€]

x gibt also die Zeit an, f(x) die Kosten.
Du leihst das Fahrrad für 3 Stunden, also ist x=3. Setze in der Funktionsgleichung für x die Zahl 3 ein und berechne f(3).
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Anwendungsaufgabe 2: Fahrradtour
Fahrradtour Graph.png

Mit den geliehenen Rädern unternehmt zwei Freunde und du eine Fahrradtour.

Um 9:00 Uhr geht es los.

a)     Berechne mithilfe des Graphen die durchschnittliche Geschwindigkeit, mit der ihr unterwegs seid. Gib damit die Funktionsgleichung des Graphen an.

b)     Um 9:30 Uhr ruft ein weiterer Freund an, ob er noch nachkommen kann. Schafft er es, euch bis 12:00 Uhr einzuholen, wenn er durchschnittlich 20 km/h fährt? Begründe anhand der Zeichnung und mit einer Rechnung.

c)     Um 12:00 Uhr macht ihr eine Mittagspause.  Wie muss der Graph dann verlaufen?
Lies am Graphen ab, wie viele Kilometer nach 1 Stunde (also bis 10:00 Uhr) zurückgelegt wurden. Dies ist die Steigung.
Pro Stunde werden 15 km zurückgelegt. Die Funktionsgleichung lautet daher f(x) = 15x, wobei x die Anzahl der Stunden (nach 9:00 Uhr) angibt.
Zeichne das Schaubild in dein Heft und zeichne einen zweiten Graphen für den Freund ein. Beginne bei 9:30 Uhr und lege in 1 Stunde 20km zurück.

Du benötigst für die Funktionsgleichung die Steigung m und den y-Achsenabschnitt b.

Die Steigung der Funktion ist m = 20, denn in 1 Stunde werden 20 km zurückgelegt.

Der y-Achsenabschnitt beträgt -10, da der Freund 0,5 Stunden später startet, in denen er 10 km zurückgelegt hätte.

Die Funktionsgleichung lautet f(x) = 20x-10, wobei x die Anzahl der Stunden (nach 9:00 Uhr) angibt.

Der Punkt, wann die Freunde sich treffen, ist der Schnittpunkt der beiden Geraden. Hier haben beide Gruppen dieselbe Strecke zurückgelegt, das heißt, sie sind gleich weit gefahren und müssen sich demnach treffen.

Um zu berechnen, wann die Freunde sich treffen, berechne also den Schnittpunkt der Gerden. An dieser Stelle x haben sie dieselben y-Werte, sie sind gleich weit gefahren. Es gilt y = 15x und y=20x-10.

Löse die Gleichung 15x = 20x-10 nach x auf.
Wenn ihr eine Pause macht, vergeht Zeit, es wird aber keine Strecke zurückgelegt, also verläuft der Graph parallel zur x-Achse.


Anwendungsaufgabe 3: Tandemsprung
Bild von Clker-Free-Vector-Images auf Pixabay

Ein weiteres Angebot im Aktiv-Urlaub ist ein Tandem-Fallschirmsprung. Nach dem Öffnen des Fallschirms misst du mit einem Höhenmesser jede Sekunde deine Höhe über dem Erdboden.

Skydiving Tabelle.png


a) Begründe, dass es sich um eine lineare Funktion handelt. Gib die Funktionsgleichung an und zeichne den Graphen.

b) Auf welche Höhe befindest du dich nach 6 Sekunden? Löse durch eine Rechnung und prüfe dein Ergebnis am Graphen.

c) Berechne die Nullstelle der Funktion und prüfe dein Ergebnis am Graphen. Welche Bedeutung hat die Nullstelle bezogen auf die Fallzeit und Fallhöhe?

d) Denke dir selbst eine Aufgabe zum Fallschirmsprung aus.
Beim Zeichnen des Graphen wähle für die x-Achse 1cm für 10 Sekunden und auf der y-Achse für 1cm für 100m.

Für die Funktionsgleichung benötigst du die Steigung m und den y-Achsenabschnitt b. Wo findest du dies in der Wertetabelle? Den y-Achsenabschnitt liest du bei x=0 ab.

Die Steigung m findest du so: Wenn du bei x eine Einheit nach rechts gehst, gehst du m Einheiten nach oben oder unten. Wie groß ist also die Steigung hier?
f(x) = mx + b; hier ist m = -8 und b = 490, also f(x) = -8x + 490.

geg: x=6 Sekunden; f(x) = -8x+490

ges: f(6)

Die Nullstelle ist der Schnittpunkt mit der x-Achse, also gilt f(x) = 0.

Graph Fallschirmsprung.png


Die Steigung berechnet sich immer mit m =
Steigung m .png
Berechne also den Höhenunterschied y und den Horizontalunterschied x und bestimme damit die Steigung.

Beispielrechnung: a)·Bourg-d’Oisans·nach·Pied·de·côte:

Höhenunterschied y = 740m – 720m = 20m;

Horizontalunterschied x = 1,5km = 1500m;

also ist m = =0,013 = 1,3%
Berechne die Gesamtsteigung, indem du den gesamten Höhenunterschied y durch die gesamte Streckenlänge, also den gesamten Horizontalunterschied x dividierst.