Benutzer:Buss-Haskert/Vorbereitungskurs ZP 10 Mathematik/Funktionen: Unterschied zwischen den Versionen

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==Funktionen: Lineare Funktionen==
==Funktionen==
{{Box|Funktionen|[[Datei:Darstellungen von Funktionen.png|rechts|rahmenlos]]Eine Funktion ist eine eindeutige Zuordnung. Sie lässt sich auf verschiedene Arten darstellen:
* als Text
* als Wertetabelle
* als Funktionsgleichung
* als Graph|Merksatz}}
 
{{Box|1=Funktionen|2=Orientiere dich in der [https://www.standardsicherung.schulministerium.nrw.de/cms/zentrale-pruefungen-10/faecher/getfile.php?file=2402 Formelsammlung! (S.5)]|3=Merksatz}}


===Einstiegstest: '''<big>Lineare Funktionen</big>''' (hilfsmittelfreier Teil)===
===Einstiegstest: '''<big>Lineare Funktionen</big>''' (hilfsmittelfreier Teil)===
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==Funktionen==
====Lineare Funktionen erkennen====
{{Box|Funktionen|[[Datei:Darstellungen von Funktionen.png|rechts|rahmenlos]]Eine Funktion ist eine eindeutige Zuordnung. Sie lässt sich auf verschiedene Arten darstellen:
* als Text
* als Wertetabelle
* als Funktionsgleichung
* als Graph|Merksatz}}
 
{{Box|1=Funktionen|2=Orientiere dich in der [https://www.standardsicherung.schulministerium.nrw.de/cms/zentrale-pruefungen-10/faecher/getfile.php?file=2402 Formelsammlung! (S.5)]|3=Merksatz}}
 
===Lineare Funktionen===
{{Box|1=Lineare Funktionen erkennen|2=Eine Funktion, deren Funktionsgleichung die Form ''<b>f(x) = <span style="color:red>m</span>x + <span style="color:green">b</span></b>'' hat, heißt <b>lineare Funktion</b>. Der Graph einer linearen Funktion ist immer eine <b>Gerade</b> mit der <b><font color=red>Steigung m </font></b> und dem <b><font Color=green>y-Achsenabschnitt b</font></b>. Der Graph schneidet die y-Achse im Punkt P(0I<b><font Color=green>b</font></b>).<br>
{{Box|1=Lineare Funktionen erkennen|2=Eine Funktion, deren Funktionsgleichung die Form ''<b>f(x) = <span style="color:red>m</span>x + <span style="color:green">b</span></b>'' hat, heißt <b>lineare Funktion</b>. Der Graph einer linearen Funktion ist immer eine <b>Gerade</b> mit der <b><font color=red>Steigung m </font></b> und dem <b><font Color=green>y-Achsenabschnitt b</font></b>. Der Graph schneidet die y-Achse im Punkt P(0I<b><font Color=green>b</font></b>).<br>
Lineare Funktionen erkennen:|3=Arbeitsmethode}}
Lineare Funktionen erkennen:|3=Arbeitsmethode}}
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===Lineare Funktionen: Funktionsgleichung rechnerisch bestimmen===
====Lineare Funktionen: Funktionsgleichung rechnerisch bestimmen====
{{Box|Lineare Funktionen: Funktionsgleichung aufstellen mithilfe der Steigung und gegebener Punkte|Du kannst die Funktionsgleichung einer linearen Funktion auch rechnerisch bestimmen:
{{Box|Lineare Funktionen: Funktionsgleichung aufstellen mithilfe der Steigung und gegebener Punkte|Du kannst die Funktionsgleichung einer linearen Funktion auch rechnerisch bestimmen:
* Punkt-Steigungsform: die Steigung m und ein Punkt ist gegeben
* Punkt-Steigungsform: die Steigung m und ein Punkt ist gegeben

Version vom 27. Januar 2023, 18:28 Uhr

Schullogo HLR.jpg



Funktionen

Funktionen
Darstellungen von Funktionen.png
Eine Funktion ist eine eindeutige Zuordnung. Sie lässt sich auf verschiedene Arten darstellen:
  • als Text
  • als Wertetabelle
  • als Funktionsgleichung
  • als Graph


Funktionen
Orientiere dich in der Formelsammlung! (S.5)

Einstiegstest: Lineare Funktionen (hilfsmittelfreier Teil)

1 Bootsverleih: Das Ausleihen eines Bootes kostet 5€ Grundgebühr und 2€ pro Stunde Leihgebühr. Welcher Term passt?

y = 5x + 2
y = 2x + 5
y = 5x + 5
y = 2x + 2

2 4 Gläser Apfelschorle kosten 6 €. Wie viel kosten dann 7 Gläser Apfelschorle?

10€
10,50€
11 €
11,50€

3 Eine zylinderförmige Vase wird gleichmäßig mit Wasser gefüllt. Welcher Graph passt? (Welche Bedeutung haben die Koordinatenachsen?)

Füllgraphen.jpg

A
B
C
D

4 Das Bild zeigt den Graphen einer linearen Funktion f(x) = mx + b. Welche Aussage ist richtig?

Gerade m negativ, b positiv.png

m > 0 und b > 0
m < 0 und b > 0
m < 0 und b < 0
m > 0 und b < 0

5 Für eine lineare Funktion f(x) = mx + b mit m > 0 und b < 0 gilt...

Die Gerade fällt.
Die Gerade steigt.
Die Gerade schneidet die y-Achse im negativen Bereich.
Die Gerade schneidet die y-Achse im positiven Bereich.

6 Welche Gleichung passt zum Geraden?

F(x) = 2x+3.png

f(x) = 2x + 3
f(x) = 3x + 2
f(x) = + 3
f(x) = + 2

7 Wie lautet die Gleichung der proportionalen Funktion g(x), die parallel zu f(x) = -2x + 3 verläuft?

g(x) = 2x + 3
g(x) = 2x - 3
g(x) = -2x
g(x) = -2x -3

8 Eine Gerade hat die Steigung 2 und geht durch den Punkt P(-1|3). Wie lautet die Gleichung der Geraden? Berechne im Heft.

y = -1x + 3
y = 3x - 1
y = 2x + 3
y = 2x + 5

9 Eine Gerade geht durch die Punkte P(0|1) und Q(4|3). Wie lautet die Gleichung der Geraden? Berechne im Heft.

y = x + 1
y = 4x + 3
y = 1x
y = 1x + 3

10 Liegt der Punkt P(2|-8) auf der Geraden mit der Gleichung f(x) = -5x + 2? Prüfe durch eine Rechnung.

Ja
Nein

11 Bestimme die Nullstelle der Funktion f(x) = -2x + 5. Berechne im Heft.

x = 5
x = 2
x = 2,5
x = -2,5

12 Kreuze die richtigen Aussagen an. Die Gerade mit der Gleichung f(x) = -3x + 6...

hat keine Nullstelle
schneidet die x-Achse bei x = 2
hat die Steigung 6
enthält den Punkt (-1|9)


Auswertung des Eingangstests

Schau, welche Aufgaben du schon gut lösen konntest und bei welchen du noch Schwierigkeiten hattest. Übe dann passend.

  • Gleichung - Graph Nr. 1-7
  • Gleichung rechnerisch bestimmen Nr. 8,9
  • Punktprobe Nr. 10
  • Nullstellen Nr. 11


Lineare Funktionen erkennen

Lineare Funktionen erkennen

Eine Funktion, deren Funktionsgleichung die Form f(x) = mx + b hat, heißt lineare Funktion. Der Graph einer linearen Funktion ist immer eine Gerade mit der Steigung m und dem y-Achsenabschnitt b. Der Graph schneidet die y-Achse im Punkt P(0Ib).

Lineare Funktionen erkennen:

Lineare Funktionen erkennen Zusammenfassung.png

Diese Eigenschaften werden in folgendem Lied besungen.
Hier heißt die Funktionsgleichung f(x) = mx + n (n statt b, du findest in verschiedenen Büchern verschiedene Bezeichnungen).


Übung: Lineare Funktionen erkennen
Entscheide in den folgenden Apps, ob die Funktion linear ist oder nicht. In der letzten App gib die Funktionsgleichung an oder lies m und b ab.

Lineare Funktionen: Wertetabelle

Wertetabelle erstellen

Berechne den y-Wert der Funktion, indem du den x-Wert in die Funktionsgleichung einsetzt.
Beispiel Bootsverleih: y = 2x + 5
Für x = 1 gilt: y = 2 · 1 + 5
                         = 7
Für x = 2 gilt: y = 2 · 2 + 5
                         = 9
Übertrage die Werte in die Wertetabelle:

x 0 1 2 3 4 ...
y 5 7 9 11 13 ...

Lineare Funktionen: Gleichung und Graph

Funktionsgraphen zeichnen

Trage die Punkte der Wertetabelle in ein Koordinatenkreuz ein und zeichne den Graphen der Funktion.
Erinnerung:"Zuerst nach rechts und dann nach oben, dann werde ich dich loben" bzw. "Zuerst Anlauf nehmen, dann hoch springen."
F(x)=2x+5 mit Punkten.png


Lineare Funktionen: Funktionsgleichung zu einer Geraden aufstellen
  • Lies den y-Achsenabschnitt b ab.
  • Zeichne das Steigungsdreieck und bestimme damit die Steiung m.

Beispiele:

1. Beispiel: m ist eine positive ganze Zahl (also eine natürliche Zahl):

Steigungsdreieck m ganze Zahl (positiv).png

2. Beispiel: m ist eine negative ganze Zahl:

Steigungsdreieck m ganze Zahl (negativ).png

3. Beispiel: m ist ein Bruch (positiv):

Steigungsdreieck m Bruch (positiv).png

4. Beispiel: m ist ein Bruch (negativ):

Steigungsdreieck m Bruch (negativ).png

Beispiel 1 (leicht): m ist eine natürliche Zahl
Funktionsgleichung einer Geraden bestimmen m=2.png
Beispiel 2 (mittel): m ist eine negative ganze Zahl
Funktionsgleichung einer Geraden bestimmen m=-1,5.png
Beispiel 3 (schwer): m ist ein Bruch
Funktionsgleichung einer Geraden bestimmen m=drei Fünftel.png


Übung: Bestimmen der Funktionsgleichung einer Geraden
Ordne den Geraden die Funktionsgleichung zu. Wähle eine passende Schwierigkeit aus.
leicht (*)

mittel (**)

schwer (***)



Lineare Funktionen: Graph zeichnen
  • Zeichne den y-Achsenabschnitt b ein. P(0|b)
  • Zeichne das Steigungsdreieck. Starte im Punkt P. Der Nenner gibt an, wie viele Einheiten du nach rechts gehst, der Zähler, wie viele Einheiten nach oben (unten).
  • Schritt: Zeichne die Gerade durch die so erhaltenen Punkte.

Die Bilder zeigen das Vorgehen für die Funktionsgleichung f(x) = x - 1.

Schritt 1Gerade zur Gleichung zeichnen Schritt 1.png
Schritt 2Gerade zur Gleichung zeichnen 2. Schritt.png
Schritt 3Gerade zur Gleichung zeichnen Schritt 3.png


Lineare Funktionen: Funktionsgleichung rechnerisch bestimmen

Lineare Funktionen: Funktionsgleichung aufstellen mithilfe der Steigung und gegebener Punkte

Du kannst die Funktionsgleichung einer linearen Funktion auch rechnerisch bestimmen:

  • Punkt-Steigungsform: die Steigung m und ein Punkt ist gegeben
  • Zwei-Punkte-Form: zwei Punkte sind gegeben (hier findest du Informationen in der Formelsammlung)

Beispiel 1: Punkt-Steigungsform
geg: m = -1 und P(2|3)
ges: Funktionsgleichung der linearen Funktion
Idee: Setze m und die Koordinaten des Punktes in die Gleichung y = mx + b ein und bestimme so b.
f(x) = mx + b   |m=-1 und P(2|3) einsetzen
3 = -1·2 + b   |vereinfachen
3 = -2 + b   |+2
5 = b
Also lautet die Funktionsgleichung f(x) = -1x + 5.

Beispiel 2: Zwei-Punkte-Form
geg: P(1|5) und Q(3|1)
ges: Funktionsgleichung der linearen Funktion
Bestimme die Steiung m: m = = = = -2
Bestimme b durch Einsetzen von m und einem der Punkte P oder Q in die Gleichung y = mx + b.
f(x) = mx + b   |m=-2 und P(1|5) einsetzen
5 = -2·1 + b   |vereinfachen
5 = -2 + b   |+2
7 = b
Also lautet die Funktionsgleichung f(x) = -2x + 7.

Erkläre, wie du das Steigungsdreieck zwischen den Punkten P und Q einzeichnen kannst und wie du damit die Steigung m bestimmen kannst.

Zwei-Punkte-Form von f(x)=-2x+7.png

Lineare Funktionen: Punktprobe

Punktprobe
Wir können rechnerisch prüfen, ob ein Punkt auf dem Graphen der Funktion liegt. Dazu setzen wir die Koordinaten des Punktes P(xIy) in die Funktionsgleichung f(x) = mx + b ein. Der Punkt liegt auf dem Graphen, wenn sich eine wahre Aussage ergibt, die Gleichung also erfüllt ist.


Lineare Funktionen: Nullstellen bestimmen

Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen

Für den Schnittpunkt Py mit der y-Achse (y-Achsenabschnitt) setzen wir x = 0 in die Funktionsgleichung ein berechnen b.

Py (0|b)

Für den Schnittpunkt N mit der x-Achse (Nullstelle) setzen wir f(x) = 0 (oder y = 0) in die Funktionsgleichung ein und lösen die Gleichung nach x auf.

N (xNI0)

Übersicht Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen



Übung

Löse die Aufgaben aus dem Buch. Vergleiche deine Lösungen mit denen hinten im Buch.

  • S. 122, P2 - P9
  • S. 150, Nr. 3-6