Benutzer:Buss-Haskert/Trigonometrie/Sinus,Kosinus,Tangens

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1) Sinus, Kosinus, Tangens - Seitenverhältnisse in rechtwinkligen Dreiecken


1.1 Steigung einer Straße

Der Einstieg ist angelehnt an das Material des Landesbildungsservers BW https://www.schule-bw.de/faecher-und-schularten/mathematisch-naturwissenschaftliche-faecher/mathematik/unterrichtsmaterialien/sekundarstufe1/geometrie/trig/trigors/lernumgebung/index.html Es wurde unter der Lizenz CC BY veröffentlicht.

Steigung 12%.png
Es gibt mehrere Möglichkeiten, die Steigung einer Straße anzugeben:

1. Angabe in Prozent Das Verkehrsschild gibt die Steigung einer Straße in Prozent an.
a) Was bedeutet die Angabe von 12% Steigung? Erkläre!

Verwende die Begriffe Höhenunterschied und Horziontalunterschied
Höhenunterschied Horizontalunterschied.png
Steigung 12% Dreieck.png
Steigung m =

b) Gibt es eine Steigung, die größer als 100% ist?

Die Steigung 100% bedeutet 100m Höhenunterschied auf 100m Horizontalunterschied:

100% Steigung.png



2. Angabe mithilfe des Steigungsdreiecks und m

Die Steigung einer Geraden f(x) = mx + b gibt der Faktor m an. Dazu zeichnest du das Steigungsdreieck.
Steigungsdreieck 12%.png

m = = 0,12



3. Angabe mithilfe des Steigungswinkels α Steigungswinkel.png

Das nachfolgende Applet zeigt diese drei Möglichkeiten noch einmal. Verändere die Steigung mithilfe des Schiebereglers und beobachte, was passiert.

GeoGebra


Applet von holo2012

Versuche herauszufinden, welcher Zusammenhang zwischen den verschiedenen Darstellungsmöglichkeiten besteht.

1.     Verändere die Höhe und beobachte die anderen Angaben zur Steigung.

2.     Aktiviere das Kontrollkästchen "Steigung eines beliebigen Punktes auf der Straße" und verschiebe den Punkt P entlang der Straße.

Ergebnis: In den ähnlichen (rechtwinkligen) Dreiecken gilt:

Ähnliche Dreiecke.png

Das Seitenverhältnis hängt nicht von der Größe der Dreiecke ab, sondern nur vom Winkel α.


Bewege die Punkte B1, B2 und C1 und beobachte die Seitenverhältnisse.

GeoGebra



Seitenverhältnisse in rechtwinkligen Dreiecken

In ähnlichen rechtwinkligen Dreiecken gilt:
Das Seitenverhältnis hängt nicht von der Größe der Dreiecke ab, sondern nur vom Winkel α.

Diesen Zusammenhang zwischen Winkelgröße und Seitenlängen im rechtwinkligen Dreieck beschreiben die Winkelfunktionen Sinus, Kosinus und Tangens.

In einem rechtwinkligen Dreieck bezeichnet man die Katheten bezogen auf den Winkel (z.B. ) mit besonderen Namen:
Bezeichnungen am rechtwinkligen Dreieck.png

Sinus, Kosinus, Tangens

In einem rechtwinkligen Dreieck (mit =90°) bezeichnet man die Seitenverhältnisse wie folgt:

Sinus anschaulich.png
Kosinus anschaulich.png
Tangens anschaulich.png


Es gibt eine Eselsbrücke, mit der du dir die Streckenverhältnisse merken kannst:

Hen-3163515 1280.png

Die GAGA- Hühnerhof AG:

G steht dabei für die Gegenkathete, A für die Ankathete und H für die Hypotenuse im Dreiecks. GAGA HH AG.png

GeoGebra

Applet von T. Traub



Übung 1

Löse auf der Seite Aufgabenfuchs die Aufgaben

  • 4
  • 6

und auf der Seite realmath die folgenden Übungen


Übung 2

Löse aus dem Buch

  • S. 91 Nr. 5
  • S. 91 Nr. 6
  • S. 110 Nr. 3

Diese Figur besteht aus drei rechtwinkligen Drieecken:
Dreieck ABC, Dreieck BCD und Dreieck ACD.

Im Dreieck ABC ist die Seite c die Hypotenuse, im Dreieck BCD ist die Seite a die Hypotenuse und im Dreieck ACD ist die Seite b die Hypotenuse.

Diese Figur besteht aus drei rechtwinkligen Dreiecken:
Dreieck ABC, Dreieck ABD und Dreieck ADC.

Die Hypotenuse im Dreieck ABC ist die Seite a, die Hypotenuse im Dreieck ABD ist die Seite c und die Hypotenuse im Dreieck ADC ist die Seite b.
Die Lösungen zu den Aufgaben auf dieser Seite findest du hinten im Buch.



Übung 3 (online)

Löse die nachfolgenden Übungen der Seite dwu - Unterrichtsmaterialien:



In den vorausgegangenen Übungen hast du jeweils die Seitenverhältnisse für Sinus, Kosinus und Tangens benannt. Wenn du die Länge der Seiten kennst, kannst du den Wert dieser Seitenverhältnisse berechnen.
Dieser hängt ab vom Winkel, wie oben erarbeitet.
Schau dazu das folgende Video an:


Übung 4

Löse wie im Video aus dem Buch. Notiere die Seitenverhältnisse als Bruch und runde anschließend auf zwei Nachkommastellen.

  • S. 91 Nr. 1
  • S. 91 Nr. 2

sin = 0,47
cos = 0,88

tan = 0,53
usw.
Es fällt auf, dass sin = cos und sin = cos


Übung 5

Löse auf der Seite Aufgabenfuchs die Aufgaben

  • 5
Was fällt dir auf? Kannst du deine Beobachtung begründen?


Es fällt auf, dass der Sinuswert eines Winkels zwischen 0° und 90° immer kleiner als 1 ist, denn

die Katheten immer kürzer als die Hypotenuse sind, daher ist der Quotient aus immer kleiner als 1.



Die Werte der Seitenverhältnisse hängen ab vom Winkel. Ist in einem rechtwinkligen Dreieck (mit =90°) der Winkel = 10°, so ist das Seitenverhältnis sin = immer gleich groß. Diesen Wert kannst du mit deinem Taschenrechner bestimmen. Die Bildreihenfolge zeigt dir, wie du z.B. den Sinuswert für den Winkel =38° mit bestimmst.

Taschenrechner Bild sin markiert.png
Taschenrechner Bild 38 markiert.png
Taschenrechner Bild Klammer markiert.png
Taschenrechner Bild Gleichzeichen markiert.png
Taschenrechner sin(.png
Taschenrechner sin(38.png
Taschenrechner sin(38).png
Taschenrechner sin(38) Wert.png

Du hast also sin 38° 0,62 berechnet. Dies kannst du mit der Simulation auf der Seite Aufgabenfuchs oben oder mit der nachfolgenden überprüfen.

GeoGebra


Ebenso berechnest du mit dem Taschenrechner die Werte für den Kosinus (mit der Taste "cos") und den Tangens (mit "tan").

Übung 6

Löse auf der Seite Aufgabenfuchs die Aufgaben

  • 7


Übung 7

Löse aus dem Buch

  • S. 91 Nr. 3
  • S. 91 Nr. 4
Prüfe deine Lösungen zu den Sinuswerten mithilfe der Simulation über Übung 5.

Die Sinuswerte und Kosinuswerte sind in umgekehrter Reihenfolge gleich. Es gilt sin α = cos (90° – α).

Die Werte für tan α werden immer größer, je näher α dem Wert 90° ist.