Benutzer:Buss-Haskert/Trigonometrie/Berechnungen in allgemeinen Dreiecken

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3 Strecken- und Winkelberechnungen in allgemeinen Dreiecken

Die Seitenverhältnisse Sinus, Kosinus und Tanges gelten nur für rechtwinklige Dreiecke.

Idee Flipchart.png

Um in allgemeinen Dreiecken Strecken und Winkel berechnen zu können, zerlege das Dreieck mithilfe einer Höhe in zwei rechtwinklige Dreiecke.


Strecken- und Winkelberechnungen in allgemeinen Dreiecken

Zerlege das allgemeine Dreieck in zwei rechtwinklige Dreiecke. Zeichne dazu eine geeignete Höhe h ein.
Berechne dann mithilfe von Sinus, Kosinus und Tagens die fehlenden Strecken in den rechtwinkligen Teildreiecken.

Übertrage die Beispiele in dein Heft (Skizze und Rechnungen)

3.1 Beispiel 1: Eine Seite und zwei Winkel sind gegeben


1. Möglichkeit: Zerlege das Dreieck durch die Höhe ha ein zwei rechtwinklige Dreiecke.

Dreieck 1 Einstieg Berechnungen in allgemeinen Dreiecken.png
Dreieck 1.3 Einstieg Berechnungen in allgemeinen Dreiecken.png


① Bestimme γ:
Winkelsummensatz
γ = 180° - α - β
   = 180° - 42° - 62°
   = 76°


② Berechne ha:
sin β =   | ·c
c · sin β = ha
8,5 · sin(42°) = ha
5,7 (cm) ha


③ Berechne b:
sin γ =   | ·b
b · sin γ = ha   | : sin γ
b =
b =
b 5,9 (cm)

Berechne a:

④ Berechne a1:

cos β =   | ·c
c · cos β = a1
8,5 · cos (42°) = a1

6,3 (cm) a1
⑤ Berechne a2:

cos γ =   | ·c
b · cos γ = a2
5,9 · cos (76°) = a2

1,4 (cm) a2
⑥ Berechne a:

a = a1 + a2
   = 6,3 + 1,4

   = 7,7 (cm)


2. Möglichkeit: Zerlege das Dreieck durch die Höhe hb ein zwei rechtwinklige Dreiecke.

Dreieck 1 Einstieg Berechnungen in allgemeinen Dreiecken.png
Dreieck 1.4 Einstieg Berechnungen in allgemeinen Dreiecken.png


① Bestimme γ:
Winkelsummensatz
γ = 180° - α - β
   = 180° - 42° - 62°
   = 76°

② Berechne hb:
sin α =   | ·c
c · sin α = hb
8,5 · sin(62°) = hb
7,5 (cm) hb

③ Berechne a:
sin γ =   | ·a
a · sin γ = hb   | : sin γ
a =
a =
a 7,7 (cm)

Berechne b:

④ Berechne b1:

cos α =   | ·c
c · cos α = b1
8,5 · cos (62°) = b1

4,0 (cm) a1
⑤ Berechne b2:

cos γ =   | ·c
a · cos γ = b2
7,7 · cos (76°) = b2

1,9 (cm) b2
⑥ Berechne b:

b = b1 + b2
   = 4,0 + 1,9

   = 5,9 (cm)


3.2 Beispiel 2: Zwei Seiten und der eingeschlossene Winkel sind gegeben


1. Möglichkeit: Zerlege das Dreieck durch die Höhe ha ein zwei rechtwinklige Dreiecke.

Dreieck 3 Einstieg Berechnungen in allgemeinen Dreiecken.png
Dreieck 3.1 Einstieg Berechnungen in allgemeinen Dreiecken.png

① Bestimme ha:
sin γ =    |·b
b · sin γ = ha
5,8 · sin(65°) = ha
5,2 (cm) ha

② Bestimme a2
cos γ =    |·b
b · cos γ = a2
5,8 · cos(65°) = a2
2,5 (cm) a2

③ Bestimme a1
a – a2= a1
8,2 - 3,8 = a1
5,7 (cm) = a1
     

④  Bestimme β
tan β =
tan β =    |tan-1
β 42,4°

⑤ Bestimme c

sin β =    |·c
c · sin β = ha   |: sin β
c =
c =

c 7,7 (cm)
c² =   |

c=
c =
c 7,7 (cm)

⑥ Bestimme den letzten Winkel α 
Winkelsumme
α + β + γ  = 180°     |- β; -γ
α = 180° - β - γ
α = 180° - 42,4° - 65°
α = 72,6°

2. Möglichkeit: Zerlege das Dreieck durch die Höhe hb ein zwei rechtwinklige Dreiecke.

Dreieck 3 Einstieg Berechnungen in allgemeinen Dreiecken.png
Dreieck 3.2 Einstieg Berechnungen in allgemeinen Dreiecken.png


① Bestimme hb:
sin γ =    |·a
a · sin γ = hb
8,2 · sin(65°) = hb
7,4 (cm) hb

② Bestimme b2
cos γ =    |·a
a · cos γ = b2
8,2 · cos(65°) = b2
3,5 (cm) b2

③ Bestimme b1
b – b2= b1
5,8 - 3,5 = b1
2,3 (cm) = b1
     

④  Bestimme α
tan α =
tan α =    |tan-1
α 72,7°

⑤ Bestimme c

sin α =    |·c
c · sin α = hb   |: sin α
c =
c =

c 7,8 (cm)
c² =   |

c=
c =
c 7,7 (cm)

⑥ Bestimme den letzten Winkel β 
Winkelsumme
α + β + γ  = 180°     |- α; -γ
β = 180° - α - γ
β= 180° - 72,7° - 65°
β = 42,3°

Du merkst, es kommt zu Rundungsungenauigkeiten.

3.3 Beispiel 3: Zwei Seiten und ein anliegender Winkel sind gegeben

Erkläre, warum es hier nur eine Möglichkeit gibt, das Dreieck zu zerlegen: die Höhe hc .

Dreieck 4 Einstieg Berechnungen in allgemeinen Dreiecken.png
Dreieck 4.1 Einstieg Berechnungen in allgemeinen Dreiecken.png


① Bestimme hc:
sin α =    |·b
b · sin α = hc
10,5 · sin(37°) = hb
6,3 (cm) hc

② Bestimme c1
cos α =    |·b
b · cos α = c1
10,5 · cos(37°) = c1
8,4 (cm) c1

③ Bestimme c2
= a²   |-
= a² -   |
c2=
c2 =
c2 3,1 (cm)

④ Bestimme c: c = c1 + c2
   = 8,4 + 3,1
   = 11,5 (cm)
 

⑤  Bestimme β
sin β =
sin β =    |sin-1
β 64,2°


⑥ Bestimme den letzten Winkel γ
Winkelsumme
α + β + γ  = 180°     |- α; -β
γ = 180° - β - γ
γ= 180° - 37° - 64,2°
γ = 78,8°


Das Video fasst das Vorgehen noch einmal zusammen:



Übung 1 (online und im Heft)

Löse auf der Seite Aufgabenfuchs die folgenden Aufgaben. Notiere zu jeder Aufgabe eine Lösung ausführlich mit Skizze und Rechnung in deinem Heft.

  • 61
  • 62
Übung 2

Löse die Aufgaben aus dem Buch. Zeichne die Skizze in dein Heft und zerlege das allgemeine Dreieck durch eine geeignete Höhe in zwei rechtwinklige Dreiecke. Bestimme dann die fehlenden Größen.

  • S. 99 Nr. 1
  • S. 99 Nr. 2
  • S. 99 Nr. 4
  • S. 100 Nr. 6
Löse wie im 2. Beispiel, es sind zwei Seiten und ein Winkel gegeben.
Löse wie im 1. Beispiel, es sind eine Seite und zwei Winkel gegeben.
Löse wie im 3. Beispiel, es sind zwei Seiten und ein anliegender Winkel gegeben

3.4 Anwendungsaufgaben

Übung 3 (online und im Heft)

Löse auf der Seite Aufgabenfuchs die folgenden Aufgaben. Notiere zu jeder Aufgabe eine Lösung ausführlich mit Skizze und Rechnung in deinem Heft.

  • 63
  • 64

Skizziere das zugehörige Dreieck und zerlege es in zwei rechtwinklige Teildreiecke. Bestimme dann den fehlenden Winkel, die Länge der entsprechenden Höhe und die Längen der Seiten a und b.
Skizze zu Nr. 63.png
Skizze 2 zu Nr. 63.png oder Skizze 3 zu Nr. 63.png

Prüfe deine Lösungen auf der Seite Aufgabenfuchs.

Skizziere das zugehörige Dreieck und zerlege es in zwei rechtwinklige Teildreiecke. Bestimme dann schrittweise die fehlenden Größen.
Skizze zu Nr. 64.png
Skizze zu Nr. 64 1.png oder Skizze zu Nr. 64 2.png

Prüfe dein Ergebnis auf der Seite Aufgabenfuchs.



Übung 4

Löse die Aufgaben aus dem Buch. Zeichne die Skizzen in dein Heft und löse schrittweise. Notiere vollständig und übersichtlich.

  • S. 99 Nr. 5
  • S. 100 Nr. 7
  • S. 100 Nr. 8

Erstelle eine Skizze zur Aufgabe und beschrifte sie vollständig.
Skizze zu S. 99 Nr. 5.png
Zerlege das Dreieck durch eine Höhe in zwei rechtwinklige Teildreiecke.
Skizze 1 zu S. 99 Nr. 5.png oder Skizze 2 zu S. 99 Nr. 5 neu.png

Lösung: c= 2,535; a = 1,757

Die Dachfläche besteht aus 4 Dreiecksflächen. Bestimme also die Fläche eines Dreiecks und multipliziere diesen Flächeninhalt mit 4. Die Skizze hilft dir bei der Bestimmung der nötigen Größen. (ADreieck= )
S. 100 Nr. 7 Skizze.png

Zwischenlösung: hc=14,42m; c=10,78m

Erstelle eine Skizze zur Aufgabe:
Skizze zu S. 100 Nr. 8.png

Gesucht sind hier nun a und d.

Betrachte das linke Dreieck ABL. Zerlege es in rechtwinklige Teildreiecke (ohne die gegebene Seite c zu teilen). Die Skizze hilft dir für deinen Lösungsplan.
Skizze zu S. 100 Nr. 8a.png
Bestimme ha, δ1, a1, a2, a.

(Lösung: a=3,63 sm)

Betrachte zur Lösung das linke Dreieck BCL. Gegeben ist nun auch aus Teil a) die Länge der Strecke a = 3,63 sm. Berechne den Nebenwinkel β2 von β und den Winkel δ2 mihilfe der Winkelsumme. Zerlege auch dieses Dreieck wieder in zwei rechtwinklige Teildreiecke. Die Skizze hilft dir, die nötigen Rechenschritte zu planen.
Skizze zu S. 100 Nr. 8b.png

(Lösung: he = 1,92 sm; e = 3,51 sm)

3.5 Formel für den Flächeninhalt beliebiger Dreiecke (mit Sinus)

Flächeninhaltsformel Dreieck (mit Sinus)

Gruppenarbeit: Arbeitet arbeitsteilig in 3er Gruppen.
Der Flächeninhalt von Dreiecken kann mit dem Sinus eines Winkels und zweier Seitenlängen bestimmt werden. Die Herleitung der Formel ist auf der Seite realmath dargestellt. Öffnet arbeitsteilig die Seite und leitet die Flächeninhaltsformel für ein Dreieck her. Notiere im Heft.

Welche Gemeinsamkeiten bzw. Unterschiede entdeckt ihr?


Übung 5 (online)

Flächeninhalt von Dreiecken berechnen:


Übung 6

Löse die Aufgabe aus dem Buch. Notiere die Rechnungen übersichtlich und vollständig in deinem Heft.

  • S. 99 Nr. 3
  • S. 100 Nr. 9
  • S. 111 Nr. 3