Benutzer:Buss-Haskert/Terme(mit Klammern)/Binomische Formeln

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Einstieg: Binomische Formeln

Welche der Aufgaben lassen sich zu Gruppen zusammenfassen?

(1) x² + 3x - 11
(2) x² - 2x + 1
(3) 2x² + 4x
(4) x² - 20x + 100
(5) x² - 16
(6) x³ + 10x² + 25
(7) 4x² - 64
(8) x² + 22x + 121

  • Worin ähneln sich die Aufgaben in einer Gruppe?
  • Hat dein Partner/deine Partnerin dieselben Gruppen gebildet?
  • Gehören alle Aufgaben zu je einer Gruppe?


3. Binomische Formeln

Die binomische Formeln sind drei Sonderfälle bei der Multiplikation von Summen. Die Ergebnisse lassen sich hier leicht zusammenfassen und so die ausführlichen Berechnungen abkürzen.

Durch entsprechende Figuren lassen sie sich auch gut anschaulich erklären.

1. binomische Formel

Herleitung der 1. binomischen Formel


GeoGebra


1.binomische Formel rechnerisch und anschaulich.png

Beispiele:

1.binomische Formel Beispiele 2.png


1. binomische Formel

Übertrage die Herleitung und die Beispiele in dein Heft.      

(a + b)²= a² + 2ab + b²
Übung
Übung 1: 1. binomische Formel
Bearbeite die nachfolgenden LearningApps. Tipp: Du muss die Quadratzahlen auswendig können (siehe Tipp)

Du musst die Quadratzahlen beherrschen! Erinnerung:
11² = 121
12² = 144
13² = 169
14² = 196
15² = 225
16² = 256
17² = 289
18² = 324
19² = 361
20² = 400
25² = 625







2. binomische Formel

Herleitung der 2. binomischen Formel

Das GeoGebra-Applet leitet anschaulich die 2. binomische Formel her. Erkläre deinem Partner die einzelnen Schritte.


GeoGebra


2.binomische Formel rechnerisch und anschaulich.png Beispiele:
2.binomische Formel Beispiele.png


2. binomische Formel

Übertrage die Herleitung und die Beispiele in dein Heft.

(a - b)² = a² - 2ab + b²
Übung
Übung 2: 2. binomische Formel
Bearbeite die nachfolgenden LearningApps.





Übung 3: 1. und 2. binomische Formel

Löse die Aufgaben aus dem Buch. Schreibe die Aufgabe ab und löse die Klammern mithilfe der binomischen Formeln auf (Tipp unten).

  • S. 15, Nr. 3
  • S. 20, Nr. 10
  • S. 22, Nr. 10.

Kontrolliere deine Lösungen (als Variablen sind nur x und y erlaubt):

GeoGebra

Applet von Thorsten Glaser

Bei den Aufgaben auf S. 15 Nr. 3 handelt es sich jeweils um die 1. bzw. 2. binomische Formel. Löse also die Klammern auf, wie in den Learningapps oben. Notiere - falls nötig - Zwischenschritte.
Die Lösungen zu den grünen Seiten findest du zum Vergleich hinten im Buch!


3. binomische Formel

Herleitung der 3. binomischen Formel

Das GeoGebra-Applet leitet anschaulich die 3. binomische Formel her. Erkläre deinem Partner die einzelnen Schritte.

GeoGebra

3.binomische Formel rechnerisch und anschaulich.png
Beispiele:
3. binomische Formel Beispiele berichtigt.png


3. binomische Formel
Übertrage die Herleitung und die Beispiele in dein Heft.
(a+b)(a-b) = a² - b²
Übung
Übung 4: 3. binomische Formel
Bearbeite die nachfolgenden LearningApps.



Zusammenfassung

Zusammenfassung binomische Formeln.png
Das nachfolgende Video fasst die binomischen Formeln noch einmal zusammen.


Nun hast du alle drei binomischen Formeln kennengelernt. Höre das Lied dazu an, dann kannst du dir die Formeln gut merken (es ist ein Ohrwurm!😉).

Vermischte Übungen zu den binomischen Formeln

Übung 5

Löse auf der Seite realmath so viele Aufgaben, dass du die 300 Punkte-Marke knackst.


Übung 6
Bearbeite die nachfolgenden LearningApps und Quizze.





Übung 7

Löse die Aufgaben aus dem Buch. Notiere deine Rechnungen in dein Heft.

  • S. 16, Nr. 6
  • S. 16, Nr. 7
  • S. 16, Nr. 9
  • S. 16, Nr. 11.

Löse Nr. 11 schrittweise:

Wende zuerst die binomischen Formeln an. Prüfe dann, ob zum Auflösen der Klammer noch ein weitere Schritt notwendig ist (wenn z.B. ein Minuszeichen vor der Klammer steht). Fasse danach zusammen.
Lösung zu S. 16 Nr. 11a.png
Lösung zu S. 16 Nr. 11b.png
Übung: Quadratzahlen und besondere Produkte mit den binomischen Formeln berechnen

Die 1. und 2. binomische Formel helfen beim Berechnen von größeren Quadratzahlen.


Berechnung von Quadratzahlen mit binomische Formeln
Schreibe die Beispiele unten in dein Heft. Erkläre, wie die binomischen Formeln dir beim Rechnen helfen. Wann wendest du die 1., die 2. oder die 3. binomische Formel an?

Beispiele:
46² = (40+6)²
  =40² + 2∙40∙6 + 6²
  =1600 + 480 + 36
  =2116

39² = (40-1)²
  =40² - 2∙40∙1 + 1²
  =1600 - 80 + 1
  =1521

63 ∙ 57 = (60+3)∙(60-3)
  =60² - 3²
  =3600 - 9
  =3591





Übung 8

Löse die Aufgaben aus dem Buch (grüner Kasten).

  • S. 16, Nr. 14
  • S. 16, Nr. 15
  • Erstelle zu Nr. 14 eine Learningapp.


Übung: Anwendungsaufgabe - Grundstückstausch
Übung 9:Grundstückstausch 1
Frau Müller besitzt ein quadratisches Grundstück. Dort soll eine Straße gebaut werden. Man bietet ihr zum Tausch ein rechteckiges Grundstück an. Das ist auf der einen Seite 3m kürzer und zum Ausgleich auf der anderen Seite 3m länger als ihr bisheriges Grundstück. Ist dieser Tausch fair?
Benenne die Länge des quadratischen Grundstückes mit x.
Nun hilft eine Skizze:Skizze zum Grundstückstausch.png
Schau das Video an und übertrage die Idee auf die Aufgabe.


Grundstückstausch 2

Löse die Aufgabe aus dem Buch.

  • S. 21, Nr. 7b

4. Binomische Formeln "rückwärts" - Faktorisieren mit binomischen Formeln

Du kannst bestimmte Summen mithilfe der binomischen Formeln in ein Produkt verwandeln. Dazu müssen die Summen die Form einer binomischen Formel haben.


Binomische Formeln "rückwärts" - Faktorisieren mit binomischen Formeln

Gib die folgenden Summen als Produkte an:
a) a² + 2ab + b² = (........)²        x² + 18x + 81 = (......)²
b) a² - 2ab + b² = (.........)²       64x² - 48xy + 9y² = (......)²
c) a² - b² = (.......)·(.......)           4x² - 121y² = (......)·(......)

Wie gehst du vor? Erkläre!

Erinnerung: a²+2ab+b²=(a+b)² Hier handelt es sich auf der linken Seite um den Summenterm der 1. binomische Formel, also muss das Produkt (a+b)(a+b) heißen, bzw. kurz (a+b)².

Ebenso ist x² + 18x + 81 der Summenterm von (x+9)², denn (x+9)² = x² + 2·x·9 + 9² = x² + 18x + 81. Du musst also die 1. binomische Formel "rückwärts" anwenden.

Erinnerung: a²-2ab+b²=(a-b)² Hier handelt es sich auf der linken Seite um den Summenterm der 2. binomische Formel, also muss das Produkt (a-b)(a-b) heißen, bzw. kurz (a-b)².

Ebenso ist 64x² - 48xy + 9y² der Summenterm von (8x-3y)², denn (8x-3y)² = (8x)² + 2·8x·3y + (3y)² = 64x² + 48xy + 9y². Du musst also die 2. binomische Formel "rückwärts" anwenden.

Erinnerung: a² - b² = (a+b)(a-b) Hier handelt es sich auf der linken Seite um den Summenterm der 3. binomische Formel, also muss das Produkt (a+b)(a-b) heißen.

Ebenso ist 4x² - 121y² der Summenterm von (2x+11y)(2x-11y), denn (2x+11y)(2x-11y) =(2x)² - (11y)² = 4x² - 121y². Du musst also die 3. binomische Formel "rückwärts" anwenden.
Übung
Übung 9
Löse die nachfolgenden LearningApps.



Übung 10

Löse auf der Seite realmath so viele Aufgaben, dass du die 300-Punkte Marke knackst.


Übung 11

Löse die Aufgaben aus dem Buch. Schreibe zunächst die Aufgabe ab und löse dann.

  • S. 18, Nr. 4
  • S. 18, Nr. 5
  • S. 18, Nr. 6
  • S. 18, Nr. 7.
Du musst die Quadratzahlen beherrschen! Erinnerung:
11² = 121
12² = 144
13² = 169
14² = 196
15² = 225
16² = 256
17² = 289
18² = 324
19² = 361
20² = 400
25² = 625
Sortiere die Summanden bzw. Subtrahenden so, dass du die 1., 2. oder 3. binomische Formel erkennen kannst:
4a²+9b²-12ab=4a²-12ab+9b² Jetzt hat der Term die Struktur der 2. binomischen Formel und du kannst faktorisieren:
4a²-12ab+9b²=(2a-3b)².
Sortiere die übrigen Terme ebenfalls vor dem Faktorisieren.

Klammere zunächst (-1) aus, um vor den Quadratzahlen das passende Vorzeichen zu erzeugen:

-16z²+40yz-25y²=-(16z²-40yz+25y²)=-(......)²
Bei den Termen von Nr. 7 handelt es sich immer um die 3. binomische Formel, die angewendet werden muss. Hier ist die Strukur des Terms immer a² - b² und es gilt a² - b² = (a+b)(a-b).