Benutzer:Buss-Haskert/Quadratische Funktionen/Scheitelpunktform: Unterschied zwischen den Versionen

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SEITE IM AUFBAU
[[Datei:Schullogo HLR.jpg|rechts|rahmenlos|80x80px]]
{{Fortsetzung|vorher=zurück zur Seite der Herta-Lebenstein-Realschule|vorherlink=Herta-Lebenstein-Realschule}}
{{Fortsetzung|vorher=zurück zur Seite der Herta-Lebenstein-Realschule|vorherlink=Herta-Lebenstein-Realschule}}
<br>
<br>
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[[Benutzer:Buss-Haskert/Quadratische Funktionen/Gestreckte und gestauchte Parabel|3 Die gestreckte und gestauchte Parabel: Bedeutung des Parameters '''a '''in f(x) = '''a'''x²]]<br>
[[Benutzer:Buss-Haskert/Quadratische Funktionen/Gestreckte und gestauchte Parabel|3 Die gestreckte und gestauchte Parabel: Bedeutung des Parameters '''a '''in f(x) = '''a'''x²]]<br>
[[Benutzer:Buss-Haskert/Quadratische Funktionen/Verschiebung entlang der y-Achse|4 Die verschobene Parabel: Bedeutung des Parameters''' c''' in f(x) = ax² + '''c''']]<br>
[[Benutzer:Buss-Haskert/Quadratische Funktionen/Verschiebung entlang der y-Achse|4 Die verschobene Parabel: Bedeutung des Parameters''' c''' in f(x) = ax² + '''c''']]<br>
[[Benutzer:Buss-Haskert/Quadratische Funktionen/Scheitelpunktform|5 Die Scheitelpunktform quadratischer Funktionen]]
[[Benutzer:Buss-Haskert/Quadratische Funktionen/Scheitelpunktform|5 Die Scheitelpunktform quadratischer Funktionen f(x) = a(x+d)² + e]]<br>
}}
[[Benutzer:Buss-Haskert/Quadratische Funktionen/Normalform|6 Die Normalform f(x) = x² + px + q und die allgemeine Form quadratischer Funktionen f(x) = ax² + bx + c]]<br>
[[Benutzer:Buss-Haskert/Quadratische Funktionen/Nullstellen|7 Nullstellen quadratischer Funktionen]]<br>
[[Benutzer:Buss-Haskert/Quadratische Funktionen/Modellieren|8 Modellieren (Anwendungsaufgaben)]]}}
===5 Scheitelpunktform quadratischer Funktionen===
===5 Scheitelpunktform quadratischer Funktionen===
{{Box|Die Parameter sportlich erarbeiten|Bearbeite im [[Herta-Lebenstein-Realschule/Die Scheitelpunktform quadratischer Funktionen sportlich erarbeiten|'''Lernpfad''']] das Kapitel zu'''<big> d</big>'''etlef und '''<big> e</big>'''mil.|Üben}}


{{Box|1=Die Scheitelpunktform entdecken|2=Experimentiere mit der Normalparabel f(x) = x². Verschiebe den Scheitelpunkt S im Koordinatensystem und beobachte die Auswirkung auf die Funktionsgleichung. Was fällt dir auf? Diskutiere mit deinem Partner/deiner Partnerin.|3=Lösung|Icon=brainy hdg-tablet04}}
{{Box|1=Die Scheitelpunktform entdecken|2=Experimentiere mit der Normalparabel f(x) = x². Verschiebe den Scheitelpunkt S im Koordinatensystem und beobachte die Auswirkung auf die Funktionsgleichung. Was fällt dir auf? Diskutiere mit deinem Partner/deiner Partnerin.|3=Lösung|Icon=brainy hdg-tablet04}}
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Der Parameter d verschiebt den Scheitelpunkt in x-Richtung: d>0 nach links verschoben ("dusseliger Detelf") und d<0 nach rechts.<br> Der Parameter e verschiebt den Scheitelpunkt in y-Richtung (nach oben bzw. unten).|3=Arbeitsmethode}}
Der Parameter d verschiebt den Scheitelpunkt in x-Richtung: d>0 nach links verschoben ("dusseliger Detelf") und d<0 nach rechts.<br> Der Parameter e verschiebt den Scheitelpunkt in y-Richtung (nach oben bzw. unten).|3=Arbeitsmethode}}


{{Box|Übung 7 - Verschobene Normalparabel|Bearbeite die nachfolgenden Übungen auf der Seite realmath so lange, bis du jeweils mindestens 200 Punkte gesammelt hast. Erkläre deinem Partner/deiner Partnerin, was in dieser Übung jeweils gefestigt werden soll. Notiere zu jeder Aufgabe ein Beispiel mit deinem erworbenen Wissen in dein Heft.
Und nun noch einmal schrittweise:
* [http://realmath.de/Neues/Klasse9/parabueb/parabelzeichnen2.html Aufgabe 1]
 
* [http://realmath.de/Neues/Klasse9/parabueb/parabelzeichnen1.html Aufgabe 2]
====5.1  '''<big>D</big>'''etlef: f(x) = (x + '''<big><big><big>d</big></big></big>''')²====
* [http://realmath.de/Neues/Klasse9/parabueb/parabelzeichnen01.html Aufgabe 3]
Detlef ist ebenfalls sportlich, allerdings auch ein wenig '''<big><big><big>d</big></big></big>'''usselig. Er läuft beim Sprint immer in die entgegengesetzte Richtung.
* [http://realmath.de/Neues/Klasse9/parabueb/parabelquiz.html Aufgabe 4]
 
* [http://realmath.de/Neues/Klasse9/parabueb/parabelquiz2.html Aufgabe 5]
<br />
* [http://realmath.de/Neues/Klasse9/parabueb/parabscheit2.html Aufgabe 6]
<gallery>Jumping-151842 1280.png|<small>Bild von OpenClipart-Vectors auf Pixabay</small>
* [http://realmath.de/Neues/Klasse9/parabueb/parabscheit3.html Aufgabe 7]
Jumping-151842 1280.png
Jumping-151842 1280.png
Jumping-151842 1280 gedreht.png|Detlef
</gallery>
{{Box| Bedeutung des Parameters d|Welche Rolle spielt '''<big><big><big>d</big></big></big>'''etlef ?<br>
Verändere d mit dem Schieberegler. Welche Auswirkungen hat '''<big><big><big>d</big></big></big>'''etlef auf das Schaubild der Normalparabel?|Frage}}
 
<ggb_applet id="cru8tjgd" width="800" height="600" />
 
{{Box|1=f(x) = (x+d)² - Parabeln zeichnen|2=Erstelle je eine Wertetabelle für die Funktionsgleichungen und zeichne die Parabeln. Nutze verschiedene Farben. Beschreibe die Bedeutung des Parameters d für den Verlauf der Parabel.
{{(!}} class=wikitable
{{!-}}
{{!}} Funktionsgleichung
{{!}} -3
{{!}} -2
{{!}} -1
{{!}} 0
{{!}} 1
{{!}} 2
{{!}} 3
{{!-}}
{{!}} f(x) = (x+2)²
{{!}} (-3+2)²=1
{{!}} (-2+2)²=0
{{!}} (-1+2)=1
{{!}} (0+2)²=4
{{!}} (1+2)²=9
{{!}} (2+2)²16
{{!}} (3+2)²=25
{{!-}}
{{!}} g(x) = (x+1)²
{{!}} (-3+1)²=4
{{!}} ...
{{!}}
{{!}}
{{!}}
{{!}}
{{!}}
{{!-}}
{{!}} h(x) = (x-1)²
{{!}} (-3-1)²=16
{{!}}
{{!}}
{{!}}
{{!}}
{{!}}
{{!}}
{{!-}}
{{!}} p(x) = (x-2)²
{{!}} (-3-2)²=25
{{!}}
{{!}}
{{!}}
{{!}}
{{!}}
{{!}}
{{!)}}
|3=Arbeitsmethode}}
 
{{Lösung versteckt|1=[[Datei:SP10 S.15 Einstieg oben.png|rahmenlos|500x500px]]|2=Lösung (Zeichnung)|3=Verbergen}}
 
 
{{LearningApp|app=p7auviemc19|width=100%|height=400px}}
 
{{Box|Übung 12 - online|* Ordne in der LenarningApp den Funktionsgraphen die passenden Funktionsgleichungen zu.
* Löse anschließend auf der Seite [https://www.realmath.de/Neues/Klasse9/parabueb/parabelzeichnen2.php '''realmath'''] so viele Aufgaben, dass du mindestens 300 Punkte sammelst. |Üben}}
 
{{LearningApp|app=puwipwqg220|width=100%|height=800px}}
 
 
 
 
====5.2  '''<big>E</big>'''mil: f(x) = x² + '''<big><big><big>e</big></big></big>'''====
'''<big><big><big>e</big></big></big>'''mil ist ebenfalls sehr sportlich:
 
Er kann sehr hoch springen, ebenso gut kann er tauchen.
[[Datei:Sport-1020132 1920.jpg|400px|Emil beim Hochsprung]]
{{Box| Bedeutung des Parameters e|Welche Rolle spielt '''<big><big><big>e</big></big></big>'''mil ?
Verändere e mithilfe des Schiebereglers. Welche Auswirkungen hat '''<big><big><big>e</big></big></big>'''mil auf das Schaubild der Normalparabel?|Frage}}
 
<ggb_applet id="mtu9qhwm" width="800" height="600" />
 
{{LearningApp|app=pbk3kdda519|width=100%|height=400px}}
 
{{Lösung versteckt|1=Den Parameter e hast du schon auf der vorherigen Seite kennengelernt, dort hieß er "c".|2=Erinnerung Parameter c|3=Verbergen}}
 
{{Box|Übung 13 - online|* Ordne in der LearningApp den Funktionsgraphen die passenden Funktionsgleichungen zu.
* Löse anschließend auf der Seite [https://realmath.de/Neues/Klasse9/parabueb/parabelzeichnen1.php '''realmath'''] so viele Aufgaben, dass du mindestens 300 Punkte sammelst. <br>
|Üben}}
 
{{LearningApp|app=pd7atv6ak20|width=100%|height=400px}}
 
===Die Scheitelpunktform quadratischer Funktionen f(x) = a(x+d)²+e===
 
<br /><br />
{{Box|1=Übung 14  - Scheitelpunktform online|2=Die Scheitelpunktform quadratischer Funktionen lautet f(X) = a(x + d)² + e. Du hast die Bedeutung der Parameter a(nton), d(etlef) und e(mil) erarbeitet. Wende dein Wissen in den nachfolgenden Übungen an.|3=Üben}}
{{LearningApp|app=2767802|width=100%|height=400px}}
{{LearningApp|app=pq6e32wtk20|width=100%|height=400px}}
{{LearningApp|app=pyhmt468323|width=100%|height=400px}}
 
{{Box|Übung 15 - Scheitelpunktform|Löse die Aufgaben aus dem Buch.
* S. 16, Nr. 1
* S. 16, Nr. 2
* S. 16, Nr. 3|Üben}}
 
{{Lösung versteckt|1=Nutze zur Lösungskontrolle das Applet. Schiebe den Scheitelpunkt S an den von dir angegebenen Punkt und schau, ob die Funktionsgleichung mit der im Buch angegebenen übereinstimmt<br>
<ggb_applet id="hvm9xfmm" width="949" height="813" border="888888" />.|2=Tipp zur Lösungskontrolle Nr. 1|3=Verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=Nutze auch hier zur Lösungskontrolle das Applet. Verschiebe den Scheitelpunkt auf den im Buch angegeben Punkt und vergleiche die Funktionsgleichung mit deiner Lösung.<br>
<ggb_applet id="hvm9xfmm" width="949" height="813" border="888888" />|2=Tipp zur Lösungskontrolle Nr. 3|3=Verbergen}}
 
{{Box|Übung 16 - Verschobene Normalparabel|Bearbeite die nachfolgenden Übungen auf der Seite realmath so lange, bis du jeweils mindestens 300 Punkte gesammelt hast. Erkläre deinem Partner/deiner Partnerin, was in dieser Übung jeweils gefestigt werden soll. Notiere zu jeder Aufgabe ein Beispiel mit deinem erworbenen Wissen in dein Heft.
* [http://realmath.de/Neues/Klasse9/parabueb/parabelzeichnen2.php Aufgabe 1]
* [http://realmath.de/Neues/Klasse9/parabueb/parabelzeichnen1.php Aufgabe 2]
* [http://realmath.de/Neues/Klasse9/parabueb/parabelzeichnen01.php Aufgabe 3]
* [http://realmath.de/Neues/Klasse9/parabueb/parabelquiz.php Aufgabe 4]
* [http://realmath.de/Neues/Klasse9/parabueb/parabelquiz2.php Aufgabe 5]
* [https://realmath.de/Neues/Klasse9/parabueb/parabelablesen01.php Aufgabe 6]
* [https://realmath.de/Neues/Klasse9/parabueb/parabelablesen.php Aufgabe 7]
* [https://realmath.de/Neues/Klasse9/Parabel/scheitelform01.php Aufgabe 8]
* [http://realmath.de/Neues/Klasse9/parabueb/parabscheit3.php Aufgabe 9]
|Üben}}
|Üben}}
<br>
<br>
{{Box|Übung 17 - Scheitelpunktform ablesen und Parabeln zeichnen|Bearbeite die nachfolgenden GeoGebra-Applets.|Üben}}
Originallink: https://www.geogebra.org/m/hgctdsff
<ggb_applet id="tvngcubu" width="1200" height="850" border="888888" />
<ggb_applet id="tvngcubu" width="1200" height="850" border="888888" />
<small>Applet von Hans-Jürgen Elschenbroich</small><br>
<small>Applet von Hans-Jürgen Elschenbroich</small><br><br>
Originallink: https://www.geogebra.org/m/CdNTYBpZ
<ggb_applet id="jDbCDYHz" width="655" height="654" border="888888" /><br>
<ggb_applet id="m5h7nxww" width="901" height="520" border="888888" />
<small>Applets von Wolfgang Wengler</small><br>
 
Buch GeoGebra: Parabeln zeichnen<br>
Originallink: https://www.geogebra.org/m/ZTXR23d8#chapter/236008<br>
<ggb_applet id="E6Nkvrpd" width="673" height="500" border="888888" />
<ggb_applet id="Uyx5wkKb" width="673" height="500" border="888888" />
<ggb_applet id="k72df4ac" width="700" height="500" border="888888" />
<ggb_applet id="rws2jTXw" width="700" height="500" border="888888" />
<small>Applets von Bernhard Krügel</small>
 
===Verschobene Normalparabeln skizzieren/zeichnen ohne Schablone und ohne Wertetabelle===
 
{{Box|Skizzieren einer verschobenen Normalparabel (ohne Schablone)|[[Datei:Idee Flipchart.png|rechts|rahmenlos|100x100px]] Um eine verschobene Normalparabel zu zeichnen, gehe vom Scheitelpunkt S aus immer eine Längeneinheit nach rechts und 1 Längeneinheit nach oben und dann 2 LE nach rechts und 4 LE nach oben, nutze danach die Achsensymmetrie der Parabel.<br>
Das Applet zeigt das Skizzieren Schritt für Schritt. Erkläre!|Meinung}}
<ggb_applet id="jn52gfzu" width="754" height="706" border="888888" />
<small>Applet von C.Buß-Haskert</small>


<big>Verschobene Normalparabeln skizzieren/zeichnen ohne Schablone und ohne Wertetabelle:</big>
Das Video erklärt dies noch einmal anschaulich.
[[Datei:Idee Flipchart.png|links|rahmenlos|100x100px]] Um eine verschobene Normalparabel zu zeichnen, gehe vom Scheitelpunkt S aus immer eine Längeneinheit nach rechts und 1 Längeneinheit nach oben und dann 2 LE nach rechts und 4 LE nach oben. Das Video erklärt dies noch einmal anschaulich.
{{#ev:youtube|DeQRf1e4qZw|800|center|||start=0&end=89}}
{{#ev:youtube|DeQRf1e4qZw|800|center|||start=0&end=89}}
<br>
<br>
{{Box|1=Übung 18 - Parabeln skizzieren (ohne Schablone)|2=Skizziere wie oben beschrieben die verschobenen Normalparabeln ein deinem Heft. Zeichne in ein Koordinatenkreuz, nutze verschiedene Farben.
* f(x) = (x-2)² - 1
* g(x) = (x+1)² + 2
* h(x) = (x-4)² + 1
* p(x) = (x+3)² - 2|3=Üben}}
{{Lösung versteckt|1=Prüfe deine Zeichnungen mithilfe des Applets oben. Gib die Koordinaten des Scheitelpunktes ein und nutze für die Skizze den Schieberegler.<br>
Scheitelpunkt für f(x): S(2&#124;-1)<br>
Scheitelpunkt für f(x): S(-1&#124;2)<br>
Scheitelpunkt für f(x): S(4&#124;1)<br>
Scheitelpunkt für f(x): S(-3&#124;-2)<br>|2=Kontrolliere deine Lösung|3=Verbergen}}


{{Box|Übung 8|Nachdem du die Aufgaben auf der Seite realmath erfolgreich gelöst und diskutiert hast, sollten die nachfolgenden Aufgaben aus dem Buch kein Problem mehr für dich sein.
{{Box|Übung 19|Nachdem du die Aufgaben bis hier erfolgreich gelöst und diskutiert hast, sollten die nachfolgenden Aufgaben aus dem Buch kein Problem mehr für dich sein.
* S.16 Nr. 1
* S.16 Nr. 4  
* S.16 Nr. 2
* S.16 Nr. 5  
* S.16 Nr. 3
* S.16 Nr. 4
* S.16 Nr. 5
* S.16 Nr. 8  
* S.16 Nr. 8  
* S.16 Nr. 9  
* S.16 Nr. 9  
Zeile 49: Zeile 195:
* S.19 Nr. 13
* S.19 Nr. 13
Expertenaufgabe (Ergänzung zu Nr. 10): Spiegle die Parabeln auch an der x-Achse und gib die neue Funktionsgleichung an.|Üben}}
Expertenaufgabe (Ergänzung zu Nr. 10): Spiegle die Parabeln auch an der x-Achse und gib die neue Funktionsgleichung an.|Üben}}
{{Lösung versteckt|Nutze zur Lösungskontrolle das obige Applet. Schiebe den Scheitelpunkt S an den von dir angegebenen Punkt und schau, ob die Funktionsgleichung mit der im Buch angegebenen übereinstimmt.|Tipp zur Lösungskontrolle Nr. 1|Verbergen}}
{{Lösung versteckt|Nutze auch hier zur Lösungskontrolle das obige Applet. Verschiebe den Scheitelpunkt auf den im Buch angegeben Punkt und vergleiche die Funktionsgleichung mit deiner Lösung.|Tipp zur Lösungskontrolle Nr. 3|Verbergen}}


{{Lösung versteckt|Schau das Video oben noch einmal an und skizziere die verschobene Normalparabel vom Scheitelpunkt aus entsprechend.|Tipp zu Nr. 4|Verbergen}}
{{Lösung versteckt|Schau das Video oben noch einmal an und skizziere die verschobene Normalparabel vom Scheitelpunkt aus entsprechend. Beachte den Tipp am Rand im Buch.|Tipp zu Nr. 4|Verbergen}}
{{Lösung versteckt|Erinnerung Quadraten:<br>
{{Lösung versteckt|Erinnerung: Einteilung des Koordinatensystems in Quadranten:<br>
[[Datei:Cartesian-coordinate-system-with-quadrant.svg|mini|Künstler: W!B:]]|zu Nr. 5: Einteilung des Koordinatensystems in Quadranten (Erinnerung)|Verbergen}}
[[Datei:Cartesian-coordinate-system-with-quadrant.svg|rahmenlos]]|Tipp zu Nr. 5|Verbergen}}
{{Lösung versteckt|Nutze das Applet oben: Verschiebe den Scheitelpunkt so, dass der Graph durch die angegebene Punkte verläuft. Wo liegt dann der Scheitelpunkt? Begründe!|Tipp zu Nr. 8|Verbergen}}
{{Lösung versteckt|Nutze das Applet: Verschiebe den Scheitelpunkt so, dass der Graph durch die angegebene Punkte verläuft. Wo liegt dann der Scheitelpunkt? Begründe!<br>
<ggb_applet id="hvm9xfmm" width="949" height="813" border="888888" />|Tipp zu Nr. 8|Verbergen}}
{{Lösung versteckt|Skizzen zu 8a, 8b:<br>
{{Lösung versteckt|Skizzen zu 8a, 8b:<br>
[[Datei:SP10 S.16 Nr. 8a Tipp.png|rahmenlos|600x600px]]<br>
[[Datei:SP10 S.16 Nr. 8a Tipp.png|rahmenlos|600x600px]]<br>
[[Datei:SP10 S.16 Nr. 8b Tipp.png|rahmenlos|600x600px]]|Tipp: Skizzen zu 8a und 8b|Verbergen}}
[[Datei:SP10 S.16 Nr. 8b Tipp.png|rahmenlos|600x600px]]
{{Lösung versteckt|Nutze das obige Applet und verschiebe den Scheitelpunkt entsprechend der Angaben in der Aufgabe. Prüfe so deine Lösung.|Tipp zu Nr. 9|Verbergen}}
|Tipp: Skizzen zu 8a und 8b|Verbergen}}
{{Lösung versteckt|Nutze das Applet und verschiebe den Scheitelpunkt entsprechend der Angaben in der Aufgabe. Prüfe so deine Lösung.
<ggb_applet id="hvm9xfmm" width="949" height="813" border="888888" />|Tipp zu Nr. 9|Verbergen}}
{{Lösung versteckt|Bilderfolge zum Spiegeln der verschobenen Normalparabel an der y-Achse:<br>
{{Lösung versteckt|Bilderfolge zum Spiegeln der verschobenen Normalparabel an der y-Achse:<br>
[[Datei:Verschobene Normalparabel spiegeln (GeoGebra) 1.png|rahmenlos|600x600px]]<br>
[[Datei:Verschobene Normalparabel spiegeln (GeoGebra) 1.png|rahmenlos|600x600px]]<br>
Zeile 65: Zeile 212:
[[Datei:Verschobene Normalparabel spiegeln (GeoGebra) 3.png|rahmenlos|600x600px]]<br>
[[Datei:Verschobene Normalparabel spiegeln (GeoGebra) 3.png|rahmenlos|600x600px]]<br>
[[Datei:Verschobene Normalparabel spiegeln (GeoGebra) 4.png|rahmenlos|600x600px]]|zu Nr. 10: Spiegeln der verschobenen Normalparabel mithilfe von GeoGebra (Bilderfolge)|Verbergen}}
[[Datei:Verschobene Normalparabel spiegeln (GeoGebra) 4.png|rahmenlos|600x600px]]|zu Nr. 10: Spiegeln der verschobenen Normalparabel mithilfe von GeoGebra (Bilderfolge)|Verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=Originallink https://www.geogebra.org/m/hsfbfp27<br>
<ggb_applet id="dzdcxsv6" width="700" height="500" border="888888" />|2=GeoGebra-Applet zu Nr. 10|3=Verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=Originallink https://www.geogebra.org/m/edwwkzk6 <br>
<ggb_applet id="edwwkzk6" width="1242" height="730" border="888888" />|2=GeoGebra-Applet zu Nr. 13|3=Verbergen}}
{{Box|Übung 20 - Punktprobe|Prüfe zeichnerisch (GeoGebra) und rechnerisch (Punktprobe), ob der Punkt P auf der Parabel liegt.
* S. 16, Nr. 6|Üben}}
{{Lösung versteckt|1=Verschiebe den Scheitelpunkt passend zur Funktionsgleichung. Prüfe dann, ob der angegebene Punkt auf der Parabel liegt.<br>
<ggb_applet id="hvm9xfmm" width="949" height="813" border="888888" />|2=Tipp zu Nr. 6 (Probe durch Zeichnung)|3=Verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=Rechnerische Probe: PUNKTPROBE<br>
Setze die Koordinaten des Punktes in die Funktionsgleichung ein prüfe, ob ein wahre (Punkt liegt auf der Parabel) oder falsche (Punkt liegt nicht auf der Parabel) Aussage entsteht.|2=Tipp zu Nr. 6 (Rechnerische Probe: Punktprobe)|3=Verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=Musterlösung zu Aufgabenteil a)<br>
f(x) = (x-4)²; P(<span style="color:red">1</span>&#124;<span style="color:blue">9</span>)<br>
<span style="color:blue">9</span> = (<span style="color:red">1</span>-4)²<br>
9 = (-3)²<br>
9 = 9 (w)<br>
Es entsteht eine wahre Aussage (w), also liegt der Punkt auf der Parabel.|2=Tipp zu Nr. 6 (Musterlösung zu a)|3=Verbergen}}
{{Box|1=Zusammenfassung|2=Quadratische Funktionen haben verschiedene Strukturen, die zugehörigen Parabeln haben dementsprechend bestimmte Formen.<br>
<div class="grid">
<div class="width-1-3">f(x) = ax² mit S(0&#124;0)<br>
[[Datei:F(x)=ax².png|rahmenlos]]</div>
<div class="width-1-3">f(x) = ax² + c mit S(0&#124;c)<br>
[[Datei:F(x)=ax²+c.png|rahmenlos]]</div>
<div class="width-1-3">f(x) = a(x + d)² + e mit S(-d&#124;e)<br>
[[Datei:F(x)=a(x+d)²+e.png|rahmenlos]]</div>
</div>|3=Arbeitsmethode}}
{{LearningApp|app=pa368wnrk22|width=100%|height=600px}}
{{LearningApp|app=pniax2v4519|width=100%|heigth=600px}}


{{Box|Übung 8 - Punktprobe|Prüfe zeichnerisch (GeoGebra) und rechnerisch (Punktprobe), ob der Punkt P auf der Parabel liegt.
* S. 16 Nr. 6|Üben}}


{{Box|Übung 21: Modellieren mit quadratischen Funktionen|[[Datei:Modellieren.png|rahmenlos|rechts]]Löse die Aufgabe aus dem Buch. Erstelle eine Skizze und notiere deine Lösungen ausführlich und übersichtlich.
* S. 25, Nr. 6|Üben}}
{{Lösung versteckt|1=Die Weite x und die Höhe y beziehen sich immer auf den Körperschwerpunkt.|2=Tipp zu Nr. 6|3=Verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=Die Funktionsgleichung hat die Form f(x) = a(x + d)² + e, mit a=-0,05, also nach unten geöffnet und gestaucht und S(3&#124;1,8). Skizze:<br>
[[Datei:SP 10 S.25 Nr.6 Skizze.png|rahmenlos]]|2=Tipp zu Nr. 6 (Skizze)|3=Verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=Gegeben ist die Höhe, also die y-Koordinate, gesucht sind die zugehörigen x-Koordinaten der Punkte P und Q .<br>[[Datei:SP 10 S. 25 Nr.6a Skizze.png|rahmenlos|600x600px]]|2=Tipp zu Nr. 6a|3=Verbergen}}
{{Lösung versteckt|Die maximale Höhe des Körperschwerpunktes ist mathematisch die y-Koordinate des Scheitelpunktes. Diese kannst du in der Scheitelpunktform abelsen: S(3&#124;1,8), also...|Tipp zu Nr. 6b|Verbergen}}
{{Lösung versteckt|Erkundige dich, wie hoch und breit ein Auto ist. Zeichne es dann symmetrisch zum Scheitelpunkt in deine Skizze und überlege, welche Größen gesucht sind.<br>
Skizze: <br>
[[Datei:SP 10 S.25 Nr.6c Skizze.png|rahmenlos]]|Tipp zu Nr. 6c|Verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=Die Sprungweite entspricht der 2. Nullstelle, also f(x) = 0.<br>
Vergleiche deine rechnerische Lösung mit der tatsächlichen Sprungweite von 8,90m.|2=Tipp zu Nr. 6e|3=Verbergen}}


{{Box|Üben-Üben-Üben|Wenn du noch mehr üben möchtest, nutze die nachfolgenden GeoGebra-Applets von Bernhard Krügel.|Üben}}
<ggb_applet id="E6Nkvrpd" width="673" height="500" border="888888" /><br>
<ggb_applet id="Uyx5wkKb" width="673" height="500" border="888888" /><br>
<ggb_applet id="k72df4ac" width="700" height="500" border="888888" /><br>
<ggb_applet id="rws2jTXw" width="700" height="500" border="888888" />


{{Fortsetzung|weiter=6 Die Normalform quadratischer Funktionen f(x) = x² + px + q|weiterlink=Benutzer:Buss-Haskert/Quadratische Funktionen/Normalform}}
{{Fortsetzung|weiter=6 Die Normalform quadratischer Funktionen f(x) = x² + px + q|weiterlink=Benutzer:Buss-Haskert/Quadratische Funktionen/Normalform}}

Aktuelle Version vom 29. August 2023, 03:43 Uhr

Schullogo HLR.jpg


5 Scheitelpunktform quadratischer Funktionen

Die Scheitelpunktform entdecken
Experimentiere mit der Normalparabel f(x) = x². Verschiebe den Scheitelpunkt S im Koordinatensystem und beobachte die Auswirkung auf die Funktionsgleichung. Was fällt dir auf? Diskutiere mit deinem Partner/deiner Partnerin.
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Die Scheitelpunktform quadratischer Funktionen

Die quadratische Funktion der Form f(x) = (x+d)²+e heißt Scheitelpunktform. Ihr Graph ist eine verschobene Normalparabel mit dem Scheitelpunkt S(-d|e).

Der Parameter d verschiebt den Scheitelpunkt in x-Richtung: d>0 nach links verschoben ("dusseliger Detelf") und d<0 nach rechts.
Der Parameter e verschiebt den Scheitelpunkt in y-Richtung (nach oben bzw. unten).

Und nun noch einmal schrittweise:

5.1 Detlef: f(x) = (x + d

Detlef ist ebenfalls sportlich, allerdings auch ein wenig dusselig. Er läuft beim Sprint immer in die entgegengesetzte Richtung.



Bedeutung des Parameters d

Welche Rolle spielt detlef ?

Verändere d mit dem Schieberegler. Welche Auswirkungen hat detlef auf das Schaubild der Normalparabel?
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f(x) = (x+d)² - Parabeln zeichnen

Erstelle je eine Wertetabelle für die Funktionsgleichungen und zeichne die Parabeln. Nutze verschiedene Farben. Beschreibe die Bedeutung des Parameters d für den Verlauf der Parabel.

Funktionsgleichung -3 -2 -1 0 1 2 3
f(x) = (x+2)² (-3+2)²=1 (-2+2)²=0 (-1+2)=1 (0+2)²=4 (1+2)²=9 (2+2)²16 (3+2)²=25
g(x) = (x+1)² (-3+1)²=4 ...
h(x) = (x-1)² (-3-1)²=16
p(x) = (x-2)² (-3-2)²=25
SP10 S.15 Einstieg oben.png



Übung 12 - online
  • Ordne in der LenarningApp den Funktionsgraphen die passenden Funktionsgleichungen zu.
  • Löse anschließend auf der Seite realmath so viele Aufgaben, dass du mindestens 300 Punkte sammelst.




5.2 Emil: f(x) = x² + e

emil ist ebenfalls sehr sportlich:

Er kann sehr hoch springen, ebenso gut kann er tauchen. Emil beim Hochsprung

Bedeutung des Parameters e

Welche Rolle spielt emil ?

Verändere e mithilfe des Schiebereglers. Welche Auswirkungen hat emil auf das Schaubild der Normalparabel?
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Den Parameter e hast du schon auf der vorherigen Seite kennengelernt, dort hieß er "c".


Übung 13 - online
  • Ordne in der LearningApp den Funktionsgraphen die passenden Funktionsgleichungen zu.
  • Löse anschließend auf der Seite realmath so viele Aufgaben, dass du mindestens 300 Punkte sammelst.



Die Scheitelpunktform quadratischer Funktionen f(x) = a(x+d)²+e



Übung 14 - Scheitelpunktform online
Die Scheitelpunktform quadratischer Funktionen lautet f(X) = a(x + d)² + e. Du hast die Bedeutung der Parameter a(nton), d(etlef) und e(mil) erarbeitet. Wende dein Wissen in den nachfolgenden Übungen an.




Übung 15 - Scheitelpunktform

Löse die Aufgaben aus dem Buch.

  • S. 16, Nr. 1
  • S. 16, Nr. 2
  • S. 16, Nr. 3

Nutze zur Lösungskontrolle das Applet. Schiebe den Scheitelpunkt S an den von dir angegebenen Punkt und schau, ob die Funktionsgleichung mit der im Buch angegebenen übereinstimmt

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.

Nutze auch hier zur Lösungskontrolle das Applet. Verschiebe den Scheitelpunkt auf den im Buch angegeben Punkt und vergleiche die Funktionsgleichung mit deiner Lösung.

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Übung 16 - Verschobene Normalparabel

Bearbeite die nachfolgenden Übungen auf der Seite realmath so lange, bis du jeweils mindestens 300 Punkte gesammelt hast. Erkläre deinem Partner/deiner Partnerin, was in dieser Übung jeweils gefestigt werden soll. Notiere zu jeder Aufgabe ein Beispiel mit deinem erworbenen Wissen in dein Heft.


Übung 17 - Scheitelpunktform ablesen und Parabeln zeichnen
Bearbeite die nachfolgenden GeoGebra-Applets.

Originallink: https://www.geogebra.org/m/hgctdsff

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Applet von Hans-Jürgen Elschenbroich

Originallink: https://www.geogebra.org/m/CdNTYBpZ

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Applets von Wolfgang Wengler

Buch GeoGebra: Parabeln zeichnen
Originallink: https://www.geogebra.org/m/ZTXR23d8#chapter/236008

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Applets von Bernhard Krügel

Verschobene Normalparabeln skizzieren/zeichnen ohne Schablone und ohne Wertetabelle

Skizzieren einer verschobenen Normalparabel (ohne Schablone)
Idee Flipchart.png
Um eine verschobene Normalparabel zu zeichnen, gehe vom Scheitelpunkt S aus immer eine Längeneinheit nach rechts und 1 Längeneinheit nach oben und dann 2 LE nach rechts und 4 LE nach oben, nutze danach die Achsensymmetrie der Parabel.
Das Applet zeigt das Skizzieren Schritt für Schritt. Erkläre!
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Applet von C.Buß-Haskert

Das Video erklärt dies noch einmal anschaulich.


Übung 18 - Parabeln skizzieren (ohne Schablone)

Skizziere wie oben beschrieben die verschobenen Normalparabeln ein deinem Heft. Zeichne in ein Koordinatenkreuz, nutze verschiedene Farben.

  • f(x) = (x-2)² - 1
  • g(x) = (x+1)² + 2
  • h(x) = (x-4)² + 1
  • p(x) = (x+3)² - 2

Prüfe deine Zeichnungen mithilfe des Applets oben. Gib die Koordinaten des Scheitelpunktes ein und nutze für die Skizze den Schieberegler.
Scheitelpunkt für f(x): S(2|-1)
Scheitelpunkt für f(x): S(-1|2)
Scheitelpunkt für f(x): S(4|1)

Scheitelpunkt für f(x): S(-3|-2)


Übung 19

Nachdem du die Aufgaben bis hier erfolgreich gelöst und diskutiert hast, sollten die nachfolgenden Aufgaben aus dem Buch kein Problem mehr für dich sein.

  • S.16 Nr. 4
  • S.16 Nr. 5
  • S.16 Nr. 8
  • S.16 Nr. 9
  • S.16 Nr. 10 (Nutze in GeoGebra die Funktion "Spiegle an Gerade", s.Tipp unten)
  • S.19 Nr. 13
Expertenaufgabe (Ergänzung zu Nr. 10): Spiegle die Parabeln auch an der x-Achse und gib die neue Funktionsgleichung an.
Schau das Video oben noch einmal an und skizziere die verschobene Normalparabel vom Scheitelpunkt aus entsprechend. Beachte den Tipp am Rand im Buch.

Erinnerung: Einteilung des Koordinatensystems in Quadranten:

Cartesian-coordinate-system-with-quadrant.svg

Nutze das Applet: Verschiebe den Scheitelpunkt so, dass der Graph durch die angegebene Punkte verläuft. Wo liegt dann der Scheitelpunkt? Begründe!

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Skizzen zu 8a, 8b:
SP10 S.16 Nr. 8a Tipp.png
SP10 S.16 Nr. 8b Tipp.png

Nutze das Applet und verschiebe den Scheitelpunkt entsprechend der Angaben in der Aufgabe. Prüfe so deine Lösung.

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Bilderfolge zum Spiegeln der verschobenen Normalparabel an der y-Achse:
Verschobene Normalparabel spiegeln (GeoGebra) 1.png
Verschobene Normalparabel spiegeln (GeoGebra) 2.png
Verschobene Normalparabel spiegeln (GeoGebra) 3.png

Verschobene Normalparabel spiegeln (GeoGebra) 4.png


Übung 20 - Punktprobe

Prüfe zeichnerisch (GeoGebra) und rechnerisch (Punktprobe), ob der Punkt P auf der Parabel liegt.

  • S. 16, Nr. 6

Verschiebe den Scheitelpunkt passend zur Funktionsgleichung. Prüfe dann, ob der angegebene Punkt auf der Parabel liegt.

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Rechnerische Probe: PUNKTPROBE

Setze die Koordinaten des Punktes in die Funktionsgleichung ein prüfe, ob ein wahre (Punkt liegt auf der Parabel) oder falsche (Punkt liegt nicht auf der Parabel) Aussage entsteht.

Musterlösung zu Aufgabenteil a)
f(x) = (x-4)²; P(1|9)
9 = (1-4)²
9 = (-3)²
9 = 9 (w)

Es entsteht eine wahre Aussage (w), also liegt der Punkt auf der Parabel.


Zusammenfassung

Quadratische Funktionen haben verschiedene Strukturen, die zugehörigen Parabeln haben dementsprechend bestimmte Formen.

f(x) = ax² mit S(0|0)
F(x)=ax².png
f(x) = ax² + c mit S(0|c)
F(x)=ax²+c.png
f(x) = a(x + d)² + e mit S(-d|e)
F(x)=a(x+d)²+e.png




Übung 21: Modellieren mit quadratischen Funktionen
Löse die Aufgabe aus dem Buch. Erstelle eine Skizze und notiere deine Lösungen ausführlich und übersichtlich.
  • S. 25, Nr. 6
Die Weite x und die Höhe y beziehen sich immer auf den Körperschwerpunkt.

Die Funktionsgleichung hat die Form f(x) = a(x + d)² + e, mit a=-0,05, also nach unten geöffnet und gestaucht und S(3|1,8). Skizze:

SP 10 S.25 Nr.6 Skizze.png
Gegeben ist die Höhe, also die y-Koordinate, gesucht sind die zugehörigen x-Koordinaten der Punkte P und Q .
SP 10 S. 25 Nr.6a Skizze.png
Die maximale Höhe des Körperschwerpunktes ist mathematisch die y-Koordinate des Scheitelpunktes. Diese kannst du in der Scheitelpunktform abelsen: S(3|1,8), also...

Erkundige dich, wie hoch und breit ein Auto ist. Zeichne es dann symmetrisch zum Scheitelpunkt in deine Skizze und überlege, welche Größen gesucht sind.
Skizze:

SP 10 S.25 Nr.6c Skizze.png

Die Sprungweite entspricht der 2. Nullstelle, also f(x) = 0.

Vergleiche deine rechnerische Lösung mit der tatsächlichen Sprungweite von 8,90m.