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6 Die Normalform und die allgemeine Form quadratischer Funktionen

Eine Parabel, zwei Gleichungen...

Das nachfolgende GeoGebra-Applet zeichnet die Parabeln zu den Funktionsgleichungen. Erstelle eine Parabel in der Normalform und stelle anschließend d und e für die Scheitelpunktform so ein, dass die Graphen identisch sind.<br

Beschreibe deine Beobachtung.

Die Normalform quadratischer Gleichungen f(x) = x² + px + q

Die quadratischen Funktionen der Form f(x) = x² + px + q haben ebenfalls die verschobene Normalparabel als Graphen. Wandeln wir die Normalform in die Scheitelpunktform um, so lässt sich der Scheitelpunkt ablesen.

6.1 Von der Scheitelpunkform in die Normalform

Eine Parabel, zwei Gleichungen

Stelle im Applet die Schieberegler so ein, dass die Graphen identisch sind. Z.B. d=-3; e=-4 und q=6; q=5. Begründe rechnerisch, dass die Gleichungen dieselbe Parabel beschreiben.

Scheitelpunktform:
f(x) = (x+3)² - 4   |Klammer auflösen: 1. binomische Formel
   = x² + 6x + 9 - 4   |zusammenfassen
   = x² + 6x + 5
Normalform: f(x) = x² + 6x + 5

Übung 1: Von der Scheitelpunktform zur Normalform - online

Löse so viele Aufgaben des nachfolgenden Applets, bis du dich beim Umwandeln sicher fühlst. Die Tipps helfen dir Schritt für Schritt zur Lösung.

Applet von Tinwing

Übung 2: Von der Scheitelpunktform zur Normalform - Aufgaben aus dem Buch

Löse die Aufgaben aus dem Buch. Prüfe deine Ergebnisse, indem du die Parablen mit dem Applet oben zeichnest. Sie müssen identisch sein.

• S. 17 Nr. 1
• S. 18 Nr. 7
• S. 18 Nr. 8
• S. 18 Nr. 10

Übung 3

Erstelle eine Aufgabe (mit ausführlicher Lösung) ähnlich zu Übungen 1 und 2 und lade sie im Mathematik-Ordner deiner Klasse hoch.

6.2 Von der Normalform in die Scheitelpunktform

Von der Normalform in die Scheitelpunktform

Stelle im Applet die Schieberegler erneut so ein, dass die Graphen identisch sind. Z.B. p=6; q=9 und d=3;e=0. Erkennst du einen Zusammenhang?

Normalform:
f(x) = x² + 6x + 9   |Faktorisieren: 1. binomische Formel
   = (x+3)²
Scheitelpunktform: f(x) = (x+3)²

Übung 3 - Faktorisieren mit binomischen Formeln (Wiederholung)

Bearbeitet Aufgaben des nachfolgenden Applets, bis du sicher beim Fakorisieren mit den binomischen Formeln bist.

Schreibe die Aufgabe in dein Heft und faktorisiere mit den binomischen Formeln. Überprüfe deine Lösung mithilfe des Applets.

Applet von Reiner Hartl

Normalform:
f(x) = x² + 2x + 3 PROBLEM?

Das Problem ist nun, dass hier die Zahl "-3" nicht zur 1. binomischen Formel x² + 2x + ... "passt".
Welche Zahl "wünschst" du dir hier?
x² + 2x + 1, denn dies ist faktorisiert (x+1)²

Diese Methode heißt "quadratische Ergänzung". Erkläre!

Normalform:
f(x) = x² + 2x + 3   |-3
f(x) - 3 = x² + 2x   |quadratische Ergänzung: +1²
f(x) + 3 + 1² = x² + 2x + 1²
f(x) + 4 = (x + 1)²   |-4
f(x) = (x+1)² - 4

Scheitelpunktform: f(x) = (x+1)² - 4, also lautet der Scheitelpunkt S(-1|4).

Normalform:

f(x) = x² + 2x + 3   |quadratische Ergänzung: +1²
f(x) = x² + 2x + 1² - 1² + 3
f(x) = (x + 1)² -1 + 3
f(x) = (x+1)² - 4
Scheitelpunktform: f(x) = (x+1)² - 4, also lautet der Scheitelpunkt S(-1|4).

Arbeitsmethode

Die Funktionsgleichung f(x)=x² + px + q in der Normalform lässt sich durch quadratische Ergänzung in die Scheitelpunktform f(x)=(x+d)² + e umwandeln, um die Koordinaten des Scheitelpunktes abzulesen.

Übung 1-Vorübungen quadratische Ergänzung

Löse die nachfolgenden LearningApps.

Übung 2 - Von der Normalform in die Scheitelpunktform

Löse die Aufgaben aus dem Buch. Prüfe deine Ergebnisse, indem du die Parabeln mit dem Applet oben zeichnest. Sie müssen identisch sein.

• S. 17 Nr. 2
• S. 18 NR. 3
• S. 18 Nr. 4
• S. 18 Nr. 5
• S. 18 Nr. 11

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8 Allgemeine Form und Scheitelpunktform quadratischer Funktionen

IDEENSAMMLUNG Modellieren Aufgabe Basektball (mit Lösungsschritten)