Benutzer:Buss-Haskert/Quadratische Funktionen/Normalform: Unterschied zwischen den Versionen

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[[Datei:Schullogo HLR.jpg|rechts|rahmenlos|80x80px]]
{{Fortsetzung|vorher=zurück zur Seite der Herta-Lebenstein-Realschule|vorherlink=Herta-Lebenstein-Realschule}}
<br>
{{Navigation|[[Benutzer:Buss-Haskert/Quadratische Funktionen| Quadratische Funktionen - Startseite]]<br>
[[Benutzer:Buss-Haskert/Quadratische Funktionen/Quadratische Funktionen entdecken|1 Quadratische Funktionen entdecken]]<br>
[[Benutzer:Buss-Haskert/Quadratische Funktionen/Normalparabel|2 Die Normalparabel f(x) = x²]]<br>
[[Benutzer:Buss-Haskert/Quadratische Funktionen/Gestreckte und gestauchte Parabel|3 Die gestreckte und gestauchte Parabel: Bedeutung des Parameters '''a '''in f(x) = '''a'''x²]]<br>
[[Benutzer:Buss-Haskert/Quadratische Funktionen/Verschiebung entlang der y-Achse|4 Die verschobene Parabel: Bedeutung des Parameters''' c''' in f(x) = ax² + '''c''']]<br>
[[Benutzer:Buss-Haskert/Quadratische Funktionen/Scheitelpunktform|5 Die Scheitelpunktform quadratischer Funktionen f(x) = a(x+d)² + e]]<br>
[[Benutzer:Buss-Haskert/Quadratische Funktionen/Normalform|6 Die Normalform f(x) = x² + px + q und die allgemeine Form quadratischer Funktionen f(x) = ax² + bx + c]]<br>
[[Benutzer:Buss-Haskert/Quadratische Funktionen/Nullstellen|7 Nullstellen quadratischer Funktionen]]<br>
[[Benutzer:Buss-Haskert/Quadratische Funktionen/Modellieren|8 Modellieren (Anwendungsaufgaben)]]}}
===6 Die Normalform und die allgemeine Form quadratischer Funktionen===
===6 Die Normalform und die allgemeine Form quadratischer Funktionen===


{{Box|Eine Parabel, zwei Gleichungen...|Das nachfolgende GeoGebra-Applet zeichnet die Parabeln zu den Funktionsgleichungen. Erstelle eine Parabel in der Normalform und stelle anschließend d und e für die Scheitelpunktform so ein, dass die Graphen identisch sind.<br
{{Box|Eine Parabel, zwei Gleichungen...|Das nachfolgende GeoGebra-Applet zeichnet die Parabeln zu den Funktionsgleichungen. Erstelle eine Parabel in der Normalform und stelle anschließend d und e für die Scheitelpunktform so ein, dass die Graphen identisch sind.<br>
Beschreibe deine Beobachtung.|Meinung}}
Beschreibe deine Beobachtung.|Meinung}}


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{{Box|1=Die Normalform quadratischer Gleichungen f(x) = x² + px + q|2=Die quadratischen Funktionen der Form f(x) = x² + px + q haben ebenfalls die verschobene Normalparabel als Graphen. Wandeln wir die Normalform in die Scheitelpunktform um, so lässt sich der Scheitelpunkt ablesen.|3=Arbeitsmethode}}
{{Box|1=Die Normalform quadratischer Gleichungen f(x) = x² + px + q und die allgemeine Form quadratischer Gleichungen f(x) = ax² + bx + c|2=Die quadratischen Funktionen der Form f(x) = x² + px + q haben die verschobene Normalparabel als Graphen. <br>
Funktionen der Form f(x) = ax² + bx + c haben Parabeln als Graphen. Wandeln wir die Normalform bzw. die allgemeine Form in die Scheitelpunktform um, so lässt sich der Scheitelpunkt ablesen.|3=Arbeitsmethode}}


===6.1 Von der Scheitelpunkform in die Normalform===
===6.1 Von der Scheitelpunkform in die Normalform bzw. in die allgemeine Form===
{{Box|1=Eine Parabel, zwei Gleichungen|2=Stelle im Applet die Schieberegler so ein, dass die Graphen identisch sind. Z.B. d=-3; e=-4 und q=6; q=5.  Begründe rechnerisch, dass die Gleichungen dieselbe Parabel beschreiben.|3=Meinung}}
{{Box|1=Eine Parabel, zwei Gleichungen|2=Stelle im Applet die Schieberegler so ein, dass die Graphen identisch sind. Z.B. d=-3; e=-4 und p=6; q=5.  Begründe rechnerisch, dass die Gleichungen dieselbe Parabel beschreiben.|3=Meinung}}


<ggb_applet id="p2kuxbtt" width="1132" height="784" border="888888" /><br>
<ggb_applet id="p2kuxbtt" width="1132" height="784" border="888888" /><br>
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Scheitelpunktform:<br>
Scheitelpunktform:<br>
f(x) = <span style="color:blue">(x+3)²</span> - 4 &nbsp;&nbsp;&#124;Klammer auflösen: 1. binomische Formel<br>
f(x) = <span style="color:blue">(x+3)²</span> - 4 &nbsp;&nbsp;&#124;Klammer auflösen: 1. binomische Formel<br>
&nbsp;&nbsp; = <span style="color:blue²">x² + 6x + 9</span> - 4 &nbsp;&nbsp;&#124;zusammenfassen<br>
&nbsp;&nbsp; = <span style="color:blue">x² + 6x + 9</span> - 4 &nbsp;&nbsp;&#124;zusammenfassen<br>
&nbsp;&nbsp; = x² + 6x + 5<br>
&nbsp;&nbsp; = x² + 6x + 5<br>
Normalform: f(x) = x² + 6x + 5<br>
Normalform: f(x) = x² + 6x + 5<br>


{{Lösung versteckt|1={{#ev:youtube|1UTzJDhqjQA|800|center}}|2=Song Binomische Formeln|3=Verbergen}}
{{Box|1=Wiederholung: 1. und 2. binomische Formel|2=1. binomische Formel: (a + b)² = a² + 2ab + b² &nbsp;&nbsp;Beispiel: (x + 7)² = x² + 14x + 49<br>
2. binomische Formel: (a - b)² = a² - 2ab + b² &nbsp;&nbsp;Beispiel: (x - 1,5)² = x² - 3x + 2,25<br>
Kannst du noch die Quadratzahlen bis 25 auswendig? (Tipp unten)|3=Unterrichtsidee}}


{{Lösung versteckt|1={{#ev:youtube|EYbvhWEG6kE|800|center}}|2=Song Binomische Formeln|3=Verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=Quadratzahlen:<br>
11² = 121<br>
12² = 144<br>
13² = 169<br>
14² = 196<br>
15² = 225<br>
16² = 256<br>
17² = 289<br>
18² = 324<br>
19² = 361<br>
20² = 400<br>
25² = 625|2=Tipp Quadratzahlen (Lerne sie auswendig!)|3=Verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=Übe die Quadratzahlen:
{{LearningApp|app=pwbnw837j19|weidth=100%|height=800px}}|2=Übung zu den Quadratzahlen|3=Verbergen}}
{{Box|Übung 1: Von der Scheitelpunktform zur Normalform - online|Löse so viele Aufgaben des nachfolgenden Applets, bis du dich beim Umwandeln sicher fühlst. Die Tipps helfen dir Schritt für Schritt zur Lösung.|Üben}}
{{Box|Übung 1: Von der Scheitelpunktform zur Normalform - online|Löse so viele Aufgaben des nachfolgenden Applets, bis du dich beim Umwandeln sicher fühlst. Die Tipps helfen dir Schritt für Schritt zur Lösung.|Üben}}
<ggb_applet id="CpFTWzf5" width="723" height="447" border="888888" />
<ggb_applet id="CpFTWzf5" width="723" height="447" border="888888" />
Zeile 32: Zeile 62:
* S. 18 Nr. 8
* S. 18 Nr. 8
* S. 18 Nr. 10|Üben}}
* S. 18 Nr. 10|Üben}}
{{Lösung versteckt|1=Tipp: Löse mithilfe der 1. bzw. 2. binomischen Formel die Klammer auf und fasse zusammen zur Form f(x) = x² + px + q.<br>
a) Tipp: (x+4)² = x² + 8x + 16,<br>
&nbsp;&nbsp;&nbsp; also ist f(x) = (x+4)² + 7<br>
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;  = x² + 8x + 16 + 7<br>
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;= x² + 8x + 23<br>
b) Tipp: (x-5)² = x² - 10x + 25, also...<br>
c) Tipp: (x-6)² = x² - 12x + 36<br>
d) Tipp: (x+1)² = x² + 2x + 1<br>|2=Tipps zu S. 17 Nr. 1|3=Verbergen}}
{{Lösung versteckt|1= Löse mithilfe der 1. bzw. 2. binomischen Formel die Klammer auf und fasse zusammen zur Form f(x) = x² + px + q.<br>
(x + 2,5)² = x² + 5x + 6,25<br>
(x + <math>\tfrac{3}{2}</math>)² = x² + 3x + <math>\tfrac{9}{4}</math><br>
(x + 1,5)² = x² + 3x + 2,25|2=Tipps zu S. 18 Nr. 7|3=Verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=Lies den Scheitelpunkt der Graphen im Schaubild ab, stelle die zugehörige Funktionsgleichung in der <br> Scheitelpunkform f(x) = (x + d)² + e auf. Forme anschließend die Scheitelpunkform in die Normalform um und ordne die passende Funktionsgleichung zu.<br>
a) S(1&#124;-2),<br>
also ist f(x) = (x - 1)² - 2<br>
umformen: f(x) = (x - 1)² - 2<br>
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; = x² - 2x + 1 - 2<br>
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; = x² - 2x - 1, also gehört (A) zu c).|2=Tipp zu S. 18 Nr. 8|3=Verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=Stelle im Applet oben die Scheitelpunktform passend zum gegebenen Scheitelpunkt ein und prüfe dein Ergebnis, indem du p und q in der Normalform einstellst. Wird dieselbe Parabel gezeichnet?|2=Tipp1 zu S. 18 Nr. 10|3=Verbergen}}
{{Lösung versteckt|1= Stelle mithilfe des Scheitelpunktes S die zugehörige Funktionsgleichung in der Scheitelpunkform f(x) = (x + d)² + e auf. Forme anschließend die Scheitelpunkform in die Normalform um und ordne die passende Funktionsgleichung zu.<br>
a) S(2&#124;1),<br>
also ist f(x) = (x - 2)² + 1<br>
umformen: f(x) = (x - 2)² +1<br>
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; = x² - 4x + 4 + 1<br>
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; = x² - 4x +5|2=Tipp 2 zu S. 18 Nr. 10|3=Verbergen}}
{{Box|1=Übung 3: Von der Scheitelpunktform in die allgemeine Form|2=Forme die Funktionsgleichung der Funktion in der Scheitelpunktform in die allgemeine Form f(x) = ax² + bx + c um.<br>
Beispiel:  <br>
f(x) = 2(x+2)² - 1 &nbsp;&nbsp;&#124;1. binomische Formel anwenden<br>
&nbsp;&nbsp;&nbsp; = 2(x² + 4x + 4) - 1 &nbsp;&nbsp;&#124;ausmultiplizieren [[Datei:Händedruck grau.png|rahmenlos|50x50px]]<br>
&nbsp;&nbsp;&nbsp; = 2x² + 8x + 8 - 1<br>
&nbsp;&nbsp;&nbsp; = 2x² + 8x + 7<br>
<br>
a) f(x) = 2(x-1)² + 0,5<br>
b) f(x) = -0,2(x + 3)² + 4
c) f(x) = 0,5(x - 4)² - 6|3=Üben}}


{{Box|Übung 3|Erstelle eine Aufgabe (mit ausführlicher Lösung) ähnlich zu Übungen 1 und 2 und lade sie im Mathematik-Ordner deiner Klasse hoch.|Üben}}
{{Box|Übung 4|Erstelle eine Aufgabe (mit ausführlicher Lösung) ähnlich zu Übungen 1, 2 bzw. 3 und lade sie im Mathematik-Ordner deiner Klasse hoch.|Üben}}




===6.2 Von der Normalform in die Scheitelpunktform===
===6.2 Von der Normalform in die Scheitelpunktform===
{{Box|1=Von der Normalform in die Scheitelpunktform|2=Stelle im Applet die Schieberegler erneut so ein, dass die Graphen identisch sind. Z.B. p=6; q=9 und d=3;e=0. Erkennst du einen Zusammenhang?|3=Meinung}}
{{Box|1=Von der Normalform in die Scheitelpunktform|2=Stelle im Applet die Schieberegler erneut so ein, dass die Graphen identisch sind. Z.B. p=6; q=9 und d=-3;e=0. Erkennst du einen Zusammenhang?|3=Meinung}}


<ggb_applet id="p2kuxbtt" width="1132" height="784" border="888888" /><br>
<ggb_applet id="p2kuxbtt" width="1132" height="784" border="888888" /><br>
Zeile 44: Zeile 111:
Normalform:<br>
Normalform:<br>
f(x) = x² + 6x + 9 &nbsp;&nbsp;&#124;Faktorisieren: 1. binomische Formel<br>
f(x) = x² + 6x + 9 &nbsp;&nbsp;&#124;Faktorisieren: 1. binomische Formel<br>
&nbsp;&nbsp; = (x+3)²<br>
&nbsp;&nbsp;&nbsp; = (x+3)²<br>
Scheitelpunktform: f(x) = (x+3)²
Scheitelpunktform: f(x) = (x+3)²


{{Box|Übung 3 - Faktorisieren mit binomischen Formeln (Wiederholung)|Bearbeitet Aufgaben des nachfolgenden Applets, bis du sicher beim Fakorisieren mit den binomischen Formeln bist.<br>
{{Box|Übung 5 - Faktorisieren mit binomischen Formeln (Wiederholung)|
Schreibe die Aufgabe in dein Heft und faktorisiere mit den binomischen Formeln. Überprüfe deine Lösung mithilfe des Applets.|Üben}}
*Bearbeite Aufgaben des nachfolgenden Applets, bis du sicher beim Fakorisieren mit den binomischen Formeln bist.<br>
 
*Löse die nachfolgenden LearningApps.|Üben}}
Originallink https://www.geogebra.org/m/wQbBAyjZ
<ggb_applet id="FdTpkrxd" width="470" height="315" border="888888" /><br>
<ggb_applet id="FdTpkrxd" width="470" height="315" border="888888" /><br>
Applet von Reiner Hartl<br>
Applet von Reiner Hartl<br>
{{LearningApp|app=pnyoiw90v21|width=100%|height=400px}}
{{LearningApp|app=p68h5v68a21|width=100%|height=400px}}


Normalform:<br>
{{Box|1=Von der Normalform zur Scheitelpunktform|2= Gegeben ist die Funktionsgleichung einer quadratischen Funktion in der Normalform. Welches Problem stellt sich, wenn du hier mithilfe der 1. binomischen Formel faktorisieren möchtest?<br>
f(x) = x² + 2x + 3 PROBLEM?
f(x) = x² + 8x + 7<br>
{{Lösung versteckt|1=Das Problem ist nun, dass hier die Zahl "-3" nicht zur 1. binomischen Formel x² + 2x + ... "passt".<br>
Diskutiere mit deinem Parter/deiner Parterin.<br>
Habt ihr Lösungsvorschläge? |3=Meinung}}
{{Lösung versteckt|1=Das Problem ist nun, dass hier die Zahl "+7" nicht zur 1. binomischen Formel x² + 8x + ... "passt".<br>
Welche Zahl "wünschst" du dir hier?<br>
Welche Zahl "wünschst" du dir hier?<br>
x² + 2x '''+ 1''', denn dies ist faktorisiert (x+1)²<br>
x² + 8x '''+ 16''', denn dies ist faktorisiert (x+4)²<br>
Diese Methode heißt "quadratische Ergänzung". Erkläre!|2=Welches Problem stellt sich?|3=Verbergen}}
Diese Methode heißt "quadratische Ergänzung". Erkläre!|2=Welches Problem stellt sich?|3=Verbergen}}


Zeile 66: Zeile 138:
[[Datei:Person rot Flipchart.jpg|rahmenlos|145x145px]] Lisa:<br>
[[Datei:Person rot Flipchart.jpg|rahmenlos|145x145px]] Lisa:<br>
Normalform:<br>
Normalform:<br>
f(x) = x² + 2x + 3 &nbsp;&nbsp;&#124;-3<br>
f(x) = x² + 8x + 7 &nbsp;&nbsp;&#124;-7<br>
f(x) - 3 = x² + 2x &nbsp;&nbsp;&#124;<span style="color:red">quadratische Ergänzung: +</span><br>
f(x) - 7 = x² + 8x &nbsp;&nbsp;&#124;<span style="color:red">quadratische Ergänzung: +</span><br>
f(x) + 3 + <span style="color:red"> </span> = x² + 2x + <span style="color:red"></span><br>
f(x) - 7 + <span style="color:red"> </span> = x² + 8x + <span style="color:red"></span><br>
f(x) + 4 = (x + 1)² &nbsp;&nbsp;&#124;-4<br>
f(x) + 9= (x + 4)² &nbsp;&nbsp;&#124;-9<br>
f(x) = (x+1)² - 4<br>
f(x) = (x+4)² - 9<br>
Scheitelpunktform: f(x) = (x+1)² - 4, also lautet der Scheitelpunkt S(-1&#124;4).</div>
Scheitelpunktform: f(x) = (x+4)² - 9, also lautet der Scheitelpunkt S(-4&#124;-9).</div>
  <div class="width-1-2">
  <div class="width-1-2">
[[Datei:Person blau Flipchart.jpg|rahmenlos|139x139px]] Tim<br>
[[Datei:Person blau Flipchart.jpg|rahmenlos|139x139px]] Tim<br>
Normalform:<br>
Normalform:<br>
f(x) = x² + 2x + 3 &nbsp;&nbsp;&#124;<span style="color:red">quadratische Ergänzung: +</span><br>
f(x) = x² + 8x + 7 &nbsp;&nbsp;&#124;<span style="color:red">quadratische Ergänzung: +</span><br>
f(x) = x² + 2x <span style="color:red"> + - </span> + 3<br>
f(x) = x² + 8x <span style="color:red"> + - </span> + 7<br>
f(x) = (x + 1)² -1 + 3<br>
f(x) = &nbsp;&nbsp;&nbsp;(x + 4&nbsp;&nbsp;&nbsp;-16 + 7<br>
f(x) = (x+1)² - 4<br>
f(x) = (x+4)² - 9<br>
Scheitelpunktform: f(x) = (x+1)² - 4, also lautet der Scheitelpunkt S(-1&#124;4).
Scheitelpunktform: f(x) = (x+4)² - 9, also lautet der Scheitelpunkt S(-4&#124;-9).
</div>
</div>
</div>
</div>




{{Box|1=Von der Normalform zur Scheitelpunktform - Quadratische Ergänzung|2=Die Funktionsgleichung f(x)=x² + px + q in der Normalform lässt sich durch '''quadratische Ergänzung''' in die Scheitelpunktform f(x)=(x + d)² + e umwandeln, um die Koordinaten des Scheitelpunktes abzulesen.|3=Arbeitsmethode}}
{{Box|1=Von der Normalform zur Scheitelpunktform - Quadratische Ergänzung|2=Die Funktionsgleichung f(x)=x² + px + q in der Normalform lässt sich durch '''quadratische Ergänzung''' <br>in die Scheitelpunktform f(x)=(x + d)² + e umwandeln, um die Koordinaten des Scheitelpunktes S(-d&#124;e) abzulesen.|3=Arbeitsmethode}}
{{Box|Übung 1-Vorübungen quadratische Ergänzung|Löse die nachfolgenden LearningApps.|Üben}}
{{Box|Übung 1-Vorübungen quadratische Ergänzung|Löse die nachfolgenden LearningApps.|Üben}}
{{LearningApp|app=phfjb5x5a20|width=100%|height=600px}}
{{LearningApp|app=phfjb5x5a20|width=100%|height=600px}}
{{LearningApp|app=p571h0w2a20|width=100%|height=600px}}
{{LearningApp|app=p571h0w2a20|width=100%|height=600px}}


{{Box|Übung 6 - online: Normalform -> Scheitelpunktform|Löse so viele Aufgaben, bis zu mindestens 300 Punkte gesammelt hast.
* [https://realmath.de/Neues/Klasse9/parabueb/parabelscheitel01.php Normalform -> Scheitelpunktform (realmath)]|Üben}}
<br>
<br>
{{Box|Übung 2 - Von der Normalform in die Scheitelpunktform|Löse die Aufgaben aus dem Buch. Prüfe deine Ergebnisse, indem du die Parabeln mit dem Applet oben zeichnest. Sie müssen identisch sein.
{{Box|Übung 7 - Von der Normalform in die Scheitelpunktform|Löse die Aufgaben aus dem Buch. Prüfe deine Ergebnisse, indem du die Parabeln mit dem Applet oben zeichnest. Sie müssen identisch sein.
* S. 17 Nr. 2
* S. 17 Nr. 2
* S. 18 Nr. 3
* S. 18 Nr. 3
Zeile 96: Zeile 170:
* S. 18 Nr. 5
* S. 18 Nr. 5
* S. 18 Nr. 11|Üben}}
* S. 18 Nr. 11|Üben}}
{{Lösung versteckt|1={{LearningApp|app=poo1rb44521|width=100%|height=600px}}
{{LearningApp|app=pt8j7tg8c21|width=100%|height=600px}}
{{LearningApp|app=ppy4yyejc21|width=100px|height=600px}}
|2=Hilfe zu Nr. 2 (Reihenfolge der Lösungsschritte)|3=Verbergen}}
{{Lösung versteckt|Ausführliche Lösungen:<br>
[[Datei:SP 10 S.17 Nr. Lösungena-c.jpg|rahmenlos|600x600px]]<br>
[[Datei:SP10 S.17 Nr.2 Lösung d.jpg|rahmenlos|600x600px]]
|ausführliche Lösungen zu Nr. 2|Verbergen}}


{{Lösung versteckt|{{LearningApp|app=ptchqf57320|width=100%|height=600px}}|Hilfe zu Nr. 4 (quadratische Ergänzung)|Verbergen}}
{{Lösung versteckt|{{LearningApp|app=ptchqf57320|width=100%|height=600px}}|Hilfe zu Nr. 4 (quadratische Ergänzung)|Verbergen}}
Zeile 101: Zeile 183:
{{Lösung versteckt|{{LearningApp|app=ps5d7rotk20|width=100%|height=600px}}|Hilfe zu Nr. 5 (quadratische Ergänzung)|Verbergen}}
{{Lösung versteckt|{{LearningApp|app=ps5d7rotk20|width=100%|height=600px}}|Hilfe zu Nr. 5 (quadratische Ergänzung)|Verbergen}}


{{Lösung versteckt|{{LearningApp|app=pkgnxtwit23|width=100%|height=600px}}|Hilfe zu Nr. 11 (quadratische Ergänzung)|Verbergen}}


===6.3 Die allgemeine Form quadratischer Funktionen===
{{Box|Übung 8: Aufgaben erfinden |1. Einzelarbeit
* Zeichne eine beliebige Normalparabel in ein Koordinatensystem.
* Bestimme den Scheitelpunkt.
* Bestimme die Scheitelpunktform.
* Forme in die Normalform um.
2. Partnerarbeit
* Nenne deinem Partner/deiner Partnerin deine Gleichung in der Normalform.
* Wandle nun diese Normalform in die Scheitelpunktform um und gib den Scheitelpunkt an.
Erhältst du die Ausgangsgleichung?|Üben}}
===6.3 Von der allgemeinen Form quadratischer Funktionen in die Scheitelpunktform===


{{LearningApp|app=pp7mptt5a20|width=100%|height=600px}}
{{LearningApp|app=pp7mptt5a20|width=100%|height=600px}}


Sind Funktionsgleichungen quadratischer Funktionen in der allgemeinen Form '''f(x) = ax² + bx + c''' gegeben, kann auch hier mithilfe der quadratischen Ergänzung in die Scheitelpunkform f(x) = a (x + d)² + e umgeformt und der Scheitelpunkt S(-d&#124;e)abgelesen werden.
<br>
[[Datei:Idee Flipchart.png|rahmenlos|100x100px]] Tipp: Klammere den Faktor a zunächst aus und gehe dann wie geübt vor.<br>


{{Box|1=Von der allgemeinen Form in die Scheitelpunktform|2=Forme die Funktionsgleichung <br>f(x) = -0,25x² + 2x + 1 <br>von der allgemeinen Form in die Scheitelpunktform um und lies den Scheitelpunkt S ab.<br>
Prüfe deine Lösung mithilfe von GeoGebra.|3=Unterrichtsidee}}


{{Lösung versteckt|1=Klammere den Faktor a = -0,25 aus.<br>
f(x) = -0,25x² + 2x + 1 &nbsp;&nbsp;&#124;Teile jeden Summanden durch -0,25<br>
&nbsp;&nbsp;&nbsp;=0,25 (x² - 8x - 4) &nbsp;&nbsp;&#124; Forme nun mithilfe der quadratischen Ergänzung den Term in der Klammer zu einer binomischen Formel um.|2=Tipp 1|3=Verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=Klammere den Faktor a = -0,25 aus.<br>
f(x) = -0,25x² + 2x + 1 &nbsp;&nbsp;&#124;Teile jeden Summanden durch -0,25<br>
&nbsp;&nbsp;&nbsp;=0,25 (x² - 8x - 4) &nbsp;&nbsp;&#124; <span style="color:red">q E <math>\left ( \frac{8}{2} \right )^2 = 4^2</math></span><br>
&nbsp;&nbsp;&nbsp;= -0,25 (x² - 8x + <span style="color:red">4² - 4²</span> - 4) &nbsp;&nbsp;&#124;Faktorisiere und multipliziere aus.|2=Tipp 2|3=Verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=Klammere den Faktor a = -0,25 aus.<br>
f(x) = -0,25x² + 2x + 1 &nbsp;&nbsp;&#124;Teile jeden Summanden durch -0,25<br>
&nbsp;&nbsp;&nbsp;=-0,25 (x² - 8x - 4) &nbsp;&nbsp;&#124; <span style="color:red">q E <math>\left ( \frac{8}{2} \right )^2 = 4^2</math></span><br>
&nbsp;&nbsp;&nbsp;= -0,25 (x² - 8x + <span style="color:red">4² - 4²</span> - 4) &nbsp;&nbsp;&#124;Faktorisiere <br>
&nbsp;&nbsp;&nbsp;= -0,25 ((x - 4)² - 16 - 4) &nbsp;&nbsp;&#124;fasse zusammen<br>
&nbsp;&nbsp;&nbsp;= -0,25 ((x - 4)² - 20) &nbsp;&nbsp;&#124;ausmultiplizieren<br>
&nbsp;&nbsp;= -0,25 (x - 4)² + 5 <br>
Scheitelpunkt S(4&#124;5)<br>|2=Tipp 3|3=Verbergen}}
{{Box|1=Übung 9: Von der allgemeinen Form in die Scheitelpunktform|2=Wandle die Funktionsgleichungen von der allgemeinen Form in die Scheitelpunktform um und lies den Scheitelpunkt ab. Handelt es sich um einen Hoch- oder Tiefpunkt?<br>
a) f(x) = 2x² + 4x + 2<br>
b) f(x)= -0,3x² + 0,9x + 1,2<br>
c) f(x) = 0,5x² + 7x<br>
Prüfe deine Lösung mit GeoGebra.|3=Üben}}
{{Lösung versteckt|Vergleiche deine Lösungen:
[[Datei:Allgemeine Form - Scheitelpunktform Beispiele Lösung.jpg|rahmenlos|775x775px]]
|Vergleiche deine Rechnungen|Verbergen}}
{{Box|Übung 10 - online: allgemeine Form -> Scheitelpunktform|Löse so viele Aufgaben, bis zu mindestens 300 Punkte gesammelt hast.
* [https://realmath.de/Neues/Klasse8/extrem/quaderg.php allgemeine Form -> Scheitelpunktform (realmath)]|Üben}}
<br>


{{Fortsetzung|weiter=7 Nullstellen quadratischer Funktionen|weiterlink=Benutzer:Buss-Haskert/Quadratische Funktionen/Nullstellen}}




==7 Nullstellen quadratischer Funktionen==


==8 Allgemeine Form und Scheitelpunktform quadratischer Funktionen==





Aktuelle Version vom 20. Oktober 2023, 07:02 Uhr

Schullogo HLR.jpg


6 Die Normalform und die allgemeine Form quadratischer Funktionen

Eine Parabel, zwei Gleichungen...

Das nachfolgende GeoGebra-Applet zeichnet die Parabeln zu den Funktionsgleichungen. Erstelle eine Parabel in der Normalform und stelle anschließend d und e für die Scheitelpunktform so ein, dass die Graphen identisch sind.

Beschreibe deine Beobachtung.
GeoGebra



Die Normalform quadratischer Gleichungen f(x) = x² + px + q und die allgemeine Form quadratischer Gleichungen f(x) = ax² + bx + c

Die quadratischen Funktionen der Form f(x) = x² + px + q haben die verschobene Normalparabel als Graphen.

Funktionen der Form f(x) = ax² + bx + c haben Parabeln als Graphen. Wandeln wir die Normalform bzw. die allgemeine Form in die Scheitelpunktform um, so lässt sich der Scheitelpunkt ablesen.

6.1 Von der Scheitelpunkform in die Normalform bzw. in die allgemeine Form

Eine Parabel, zwei Gleichungen
Stelle im Applet die Schieberegler so ein, dass die Graphen identisch sind. Z.B. d=-3; e=-4 und p=6; q=5. Begründe rechnerisch, dass die Gleichungen dieselbe Parabel beschreiben.
GeoGebra


Idee Flipchart.png
Scheitelpunktform:
f(x) = (x+3)² - 4   |Klammer auflösen: 1. binomische Formel
   = x² + 6x + 9 - 4   |zusammenfassen
   = x² + 6x + 5
Normalform: f(x) = x² + 6x + 5


Wiederholung: 1. und 2. binomische Formel

1. binomische Formel: (a + b)² = a² + 2ab + b²   Beispiel: (x + 7)² = x² + 14x + 49
2. binomische Formel: (a - b)² = a² - 2ab + b²   Beispiel: (x - 1,5)² = x² - 3x + 2,25

Kannst du noch die Quadratzahlen bis 25 auswendig? (Tipp unten)

Quadratzahlen:
11² = 121
12² = 144
13² = 169
14² = 196
15² = 225
16² = 256
17² = 289
18² = 324
19² = 361
20² = 400

25² = 625

Übe die Quadratzahlen:

Übung 1: Von der Scheitelpunktform zur Normalform - online
Löse so viele Aufgaben des nachfolgenden Applets, bis du dich beim Umwandeln sicher fühlst. Die Tipps helfen dir Schritt für Schritt zur Lösung.
GeoGebra

Applet von Tinwing


Übung 2: Von der Scheitelpunktform zur Normalform - Aufgaben aus dem Buch

Löse die Aufgaben aus dem Buch. Prüfe deine Ergebnisse, indem du die Parablen mit dem Applet oben zeichnest. Sie müssen identisch sein.

  • S. 17 Nr. 1
  • S. 18 Nr. 7
  • S. 18 Nr. 8
  • S. 18 Nr. 10

Tipp: Löse mithilfe der 1. bzw. 2. binomischen Formel die Klammer auf und fasse zusammen zur Form f(x) = x² + px + q.
a) Tipp: (x+4)² = x² + 8x + 16,
    also ist f(x) = (x+4)² + 7
          = x² + 8x + 16 + 7
         = x² + 8x + 23
b) Tipp: (x-5)² = x² - 10x + 25, also...
c) Tipp: (x-6)² = x² - 12x + 36

d) Tipp: (x+1)² = x² + 2x + 1

Löse mithilfe der 1. bzw. 2. binomischen Formel die Klammer auf und fasse zusammen zur Form f(x) = x² + px + q.
(x + 2,5)² = x² + 5x + 6,25
(x + )² = x² + 3x +

(x + 1,5)² = x² + 3x + 2,25

Lies den Scheitelpunkt der Graphen im Schaubild ab, stelle die zugehörige Funktionsgleichung in der
Scheitelpunkform f(x) = (x + d)² + e auf. Forme anschließend die Scheitelpunkform in die Normalform um und ordne die passende Funktionsgleichung zu.
a) S(1|-2),
also ist f(x) = (x - 1)² - 2
umformen: f(x) = (x - 1)² - 2
           = x² - 2x + 1 - 2

           = x² - 2x - 1, also gehört (A) zu c).
Stelle im Applet oben die Scheitelpunktform passend zum gegebenen Scheitelpunkt ein und prüfe dein Ergebnis, indem du p und q in der Normalform einstellst. Wird dieselbe Parabel gezeichnet?

Stelle mithilfe des Scheitelpunktes S die zugehörige Funktionsgleichung in der Scheitelpunkform f(x) = (x + d)² + e auf. Forme anschließend die Scheitelpunkform in die Normalform um und ordne die passende Funktionsgleichung zu.
a) S(2|1),
also ist f(x) = (x - 2)² + 1
umformen: f(x) = (x - 2)² +1
                 = x² - 4x + 4 + 1

                 = x² - 4x +5


Übung 3: Von der Scheitelpunktform in die allgemeine Form

Forme die Funktionsgleichung der Funktion in der Scheitelpunktform in die allgemeine Form f(x) = ax² + bx + c um.
Beispiel:
f(x) = 2(x+2)² - 1   |1. binomische Formel anwenden
    = 2(x² + 4x + 4) - 1   |ausmultiplizieren Händedruck grau.png
    = 2x² + 8x + 8 - 1
    = 2x² + 8x + 7

a) f(x) = 2(x-1)² + 0,5
b) f(x) = -0,2(x + 3)² + 4

c) f(x) = 0,5(x - 4)² - 6


Übung 4
Erstelle eine Aufgabe (mit ausführlicher Lösung) ähnlich zu Übungen 1, 2 bzw. 3 und lade sie im Mathematik-Ordner deiner Klasse hoch.


6.2 Von der Normalform in die Scheitelpunktform

Von der Normalform in die Scheitelpunktform
Stelle im Applet die Schieberegler erneut so ein, dass die Graphen identisch sind. Z.B. p=6; q=9 und d=-3;e=0. Erkennst du einen Zusammenhang?
GeoGebra


Idee Flipchart.png
Normalform:
f(x) = x² + 6x + 9   |Faktorisieren: 1. binomische Formel
    = (x+3)²
Scheitelpunktform: f(x) = (x+3)²


Übung 5 - Faktorisieren mit binomischen Formeln (Wiederholung)
  • Bearbeite Aufgaben des nachfolgenden Applets, bis du sicher beim Fakorisieren mit den binomischen Formeln bist.
  • Löse die nachfolgenden LearningApps.

Originallink https://www.geogebra.org/m/wQbBAyjZ

GeoGebra


Applet von Reiner Hartl



Von der Normalform zur Scheitelpunktform

Gegeben ist die Funktionsgleichung einer quadratischen Funktion in der Normalform. Welches Problem stellt sich, wenn du hier mithilfe der 1. binomischen Formel faktorisieren möchtest?
f(x) = x² + 8x + 7
Diskutiere mit deinem Parter/deiner Parterin.

Habt ihr Lösungsvorschläge?

Das Problem ist nun, dass hier die Zahl "+7" nicht zur 1. binomischen Formel x² + 8x + ... "passt".
Welche Zahl "wünschst" du dir hier?
x² + 8x + 16, denn dies ist faktorisiert (x+4)²

Diese Methode heißt "quadratische Ergänzung". Erkläre!


Von der Normalform zur Scheitelpunktform
Lisa und Tim haben Ideen, wie sie die Normalform in die Scheitelpunktform umwandeln können. Erkläre und vergleiche.

Idee Flipchart.png

Person rot Flipchart.jpg Lisa:
Normalform:
f(x) = x² + 8x + 7   |-7
f(x) - 7 = x² + 8x   |quadratische Ergänzung: +4²
f(x) - 7 + = x² + 8x +
f(x) + 9= (x + 4)²   |-9
f(x) = (x+4)² - 9

Scheitelpunktform: f(x) = (x+4)² - 9, also lautet der Scheitelpunkt S(-4|-9).

Person blau Flipchart.jpg Tim
Normalform:
f(x) = x² + 8x + 7   |quadratische Ergänzung: +4²
f(x) = x² + 8x + 4² - 4² + 7
f(x) =    (x + 4)²    -16 + 7
f(x) = (x+4)² - 9
Scheitelpunktform: f(x) = (x+4)² - 9, also lautet der Scheitelpunkt S(-4|-9).


Von der Normalform zur Scheitelpunktform - Quadratische Ergänzung
Die Funktionsgleichung f(x)=x² + px + q in der Normalform lässt sich durch quadratische Ergänzung
in die Scheitelpunktform f(x)=(x + d)² + e umwandeln, um die Koordinaten des Scheitelpunktes S(-d|e) abzulesen.
Übung 1-Vorübungen quadratische Ergänzung
Löse die nachfolgenden LearningApps.



Übung 6 - online: Normalform -> Scheitelpunktform

Löse so viele Aufgaben, bis zu mindestens 300 Punkte gesammelt hast.


Übung 7 - Von der Normalform in die Scheitelpunktform

Löse die Aufgaben aus dem Buch. Prüfe deine Ergebnisse, indem du die Parabeln mit dem Applet oben zeichnest. Sie müssen identisch sein.

  • S. 17 Nr. 2
  • S. 18 Nr. 3
  • S. 18 Nr. 4
  • S. 18 Nr. 5
  • S. 18 Nr. 11



Ausführliche Lösungen:
SP 10 S.17 Nr. Lösungena-c.jpg
SP10 S.17 Nr.2 Lösung d.jpg


Übung 8: Aufgaben erfinden

1. Einzelarbeit

  • Zeichne eine beliebige Normalparabel in ein Koordinatensystem.
  • Bestimme den Scheitelpunkt.
  • Bestimme die Scheitelpunktform.
  • Forme in die Normalform um.

2. Partnerarbeit

  • Nenne deinem Partner/deiner Partnerin deine Gleichung in der Normalform.
  • Wandle nun diese Normalform in die Scheitelpunktform um und gib den Scheitelpunkt an.
Erhältst du die Ausgangsgleichung?

6.3 Von der allgemeinen Form quadratischer Funktionen in die Scheitelpunktform


Sind Funktionsgleichungen quadratischer Funktionen in der allgemeinen Form f(x) = ax² + bx + c gegeben, kann auch hier mithilfe der quadratischen Ergänzung in die Scheitelpunkform f(x) = a (x + d)² + e umgeformt und der Scheitelpunkt S(-d|e)abgelesen werden.
Idee Flipchart.png Tipp: Klammere den Faktor a zunächst aus und gehe dann wie geübt vor.


Von der allgemeinen Form in die Scheitelpunktform

Forme die Funktionsgleichung
f(x) = -0,25x² + 2x + 1
von der allgemeinen Form in die Scheitelpunktform um und lies den Scheitelpunkt S ab.

Prüfe deine Lösung mithilfe von GeoGebra.

Klammere den Faktor a = -0,25 aus.
f(x) = -0,25x² + 2x + 1   |Teile jeden Summanden durch -0,25

   =0,25 (x² - 8x - 4)   | Forme nun mithilfe der quadratischen Ergänzung den Term in der Klammer zu einer binomischen Formel um.

Klammere den Faktor a = -0,25 aus.
f(x) = -0,25x² + 2x + 1   |Teile jeden Summanden durch -0,25
   =0,25 (x² - 8x - 4)   | q E

   = -0,25 (x² - 8x + 4² - 4² - 4)   |Faktorisiere und multipliziere aus.

Klammere den Faktor a = -0,25 aus.
f(x) = -0,25x² + 2x + 1   |Teile jeden Summanden durch -0,25
   =-0,25 (x² - 8x - 4)   | q E
   = -0,25 (x² - 8x + 4² - 4² - 4)   |Faktorisiere
   = -0,25 ((x - 4)² - 16 - 4)   |fasse zusammen
   = -0,25 ((x - 4)² - 20)   |ausmultiplizieren
  = -0,25 (x - 4)² + 5

Scheitelpunkt S(4|5)


Übung 9: Von der allgemeinen Form in die Scheitelpunktform

Wandle die Funktionsgleichungen von der allgemeinen Form in die Scheitelpunktform um und lies den Scheitelpunkt ab. Handelt es sich um einen Hoch- oder Tiefpunkt?
a) f(x) = 2x² + 4x + 2
b) f(x)= -0,3x² + 0,9x + 1,2
c) f(x) = 0,5x² + 7x

Prüfe deine Lösung mit GeoGebra.

Vergleiche deine Lösungen: Allgemeine Form - Scheitelpunktform Beispiele Lösung.jpg


Übung 10 - online: allgemeine Form -> Scheitelpunktform

Löse so viele Aufgaben, bis zu mindestens 300 Punkte gesammelt hast.




IDEENSAMMLUNG Modellieren Aufgabe Basektball (mit Lösungsschritten)