Benutzer:Buss-Haskert/Pythagoras/Satz des Pythagoras: Unterschied zwischen den Versionen

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SEITE IM AUFBAU!
{{Fortsetzung|vorher=zurück zur Seite der Herta-Lebenstein-Realschule|vorherlink=Herta-Lebenstein-Realschule}}
<br>
 
{{Navigation|[[Benutzer:Buss-Haskert/Pythagoras| Satz des Pythagoras - Startseite]]<br>
[[Benutzer:Buss-Haskert/Pythagoras/Satz des Thales| 1) Rechtwinklige Dreiecke zeichnen mit dem Satz des Thales]]<br>
[[Benutzer:Buss-Haskert/Pythagoras/Satz des Pythagoras|2) Satz des Pythagoras]]<br>
[[Benutzer:Buss-Haskert/Pythagoras/Anwendungen|3) Anwendungen]]<br>
&nbsp;&nbsp;&nbsp;[[Benutzer:Buss-Haskert/Pythagoras/Anwendungen|3.1) Anwendungen in geometrischen Figuren]]<br>
&nbsp;&nbsp;&nbsp;[[Benutzer:Buss-Haskert/Pythagoras/Anwendungen/Anwendungen im Raum|3.2) Anwendungen im Raum]]<br>
&nbsp;&nbsp;&nbsp;[[Benutzer:Buss-Haskert/Pythagoras/Anwendungen/Anwendungen in Sachsituationen|3.3) Anwendungen in Sachsituationen]]<br>
&nbsp;&nbsp;&nbsp;[[Benutzer:Buss-Haskert/Pythagoras/Anwendungen/Anwendungen im Koordiantensystem|3.4 Anwendungen im Koordinatensystem]]}}
<br>
==2 Satz des Pythagoras==
==2 Satz des Pythagoras==


===2.1 12-Knoten-Seil===
===2.1 12-Knoten-Seil===
{{Box|12-Knoten-Seil|Schon im alten Ägypten (lange vor Pythagoras9), gab es Seilspanner, die mithilfe eines 12-Knoten-Seils Felder rechtwinklig einteilen konnten. <br>
{{Box|12-Knoten-Seil|Schon im alten Ägypten (lange vor Pythagoras), gab es Seilspanner, die mithilfe eines 12-Knoten-Seils Felder rechtwinklig einteilen konnten. <br>
Probiere es aus: Teile ein Seil in 12 gleich lange Teile und mache jeweils einen Knoten bzw. markiere die Stelle des Seils farbig. Spanne nun das Seil so, dass du 5 Teile unten (Hypotenuse) und jeweils 3 bzw. 4 Teile an den Seiten (Katheten) hast.
Probiere es aus: Teile ein Seil in 12 gleich lange Teile und mache jeweils einen Knoten bzw. markiere die Stelle des Seils farbig. Spanne nun das Seil so, dass du 5 Teile unten (Hypotenuse) und jeweils 3 bzw. 4 Teile an den Seiten (Katheten) hast.
<br>
<br>
Zeile 10: Zeile 21:
Prüfe deine Beobachtung mithilfe des nachfolgenden Applets.
Prüfe deine Beobachtung mithilfe des nachfolgenden Applets.
<br />
<br />
Originallink https://www.geogebra.org/m/xaAVwK4T<br>
<ggb_applet id="xmKsCyBc" width="900" height="550" border="888888" />
<ggb_applet id="xmKsCyBc" width="900" height="550" border="888888" />
<small>Applet von Pöchtrager</small>
<small>Applet von Pöchtrager</small>  


<br>
<br>
Zeile 17: Zeile 29:


<br>
<br>
===2.2 Satz des Pythagoras===
===2.2 Satz des Pythagoras - Herleitung===
Originallink https://www.geogebra.org/m/AgezqDax<br>
<ggb_applet id="AgezqDax" width="900" height="550" border="888888" />
<ggb_applet id="AgezqDax" width="900" height="550" border="888888" />
<small>Applet von Pöchtrager</small>
<small>Applet von Pöchtrager</small>
<br>
<br>
Prüfe, ob diese Aussage in jedem Dreieck gilt: <br>
Originallink https://www.geogebra.org/m/vs8heusr
<ggb_applet id="v8qjkvh8" width="1000" height="700" border="888888" />
<small>Applet von Elschenbroich</small>
<br />
<br />
{{Box|1=Satz des Pythagoras|2=In jedem rechtwinkligen Dreieck ist das Quadrat über der Hypotenuse genauso groß wie die Summe der Quadrate über den Katheten.<br>
<br>
Für ein '''rechtwinkliges Dreiec'''k mit dem rechten Winkel γ (γ=90°) heißt der Satz des Pythagoras<br>
===2.3 Der Satz des Pythagoras===
{{Box|1=Hefteintrag: Satz des Pythagoras|2=In jedem '''rechtwinkligen''' Dreieck ist das Quadrat über der Hypotenuse genauso groß wie die Summe der Quadrate über den Katheten.<br>
Für ein '''rechtwinkliges Dreieck''' mit dem rechten Winkel γ (γ=90°) heißt der Satz des Pythagoras<br>
<big>'''<big>a² + b² = c²</big></big>'''.[[Datei:Pythagorasfigur 1.png|rahmenlos]]|3=Arbeitsmethode}}
<big>'''<big>a² + b² = c²</big></big>'''.[[Datei:Pythagorasfigur 1.png|rahmenlos]]|3=Arbeitsmethode}}
<br>
<br>
Überprüfe die Aussage des Satzes von Pythagoras mithilfe des nachfolgenden Applets.
<br>
===2.4 Beweise zum Satz des Pythagoras===
Überprüfe die Aussage des Satzes von Pythagoras mithilfe des nachfolgenden Applets.<br>
Originallink https://www.geogebra.org/m/j3UksqZs<br>
<ggb_applet id="j3UksqZs" width="900" height="550" border="888888" />
<ggb_applet id="j3UksqZs" width="900" height="550" border="888888" />
<small>Applet von Pöchtrager</small>
<small>Applet von Pöchtrager</small>
Zeile 32: Zeile 54:


{{Box|Zerlegungsbeweise|Es gibt viele Möglichkeiten, den Satz des Pythagoras zu beweisen. Die nachfolgenden GeoGebra-Applets nutzen die Zerlegungsmethode, d.h. die Quadrate über den Katheten werden so zerlegt, dass sie neu zusammengelegt das Hypotenusenquadrat ergeben. Erkläre jeweils!|Meinung}}
{{Box|Zerlegungsbeweise|Es gibt viele Möglichkeiten, den Satz des Pythagoras zu beweisen. Die nachfolgenden GeoGebra-Applets nutzen die Zerlegungsmethode, d.h. die Quadrate über den Katheten werden so zerlegt, dass sie neu zusammengelegt das Hypotenusenquadrat ergeben. Erkläre jeweils!|Meinung}}
 
{{Lösung versteckt|1=Beweis Nr. 1:<br>
Beweis Nr. 1:
Originallink https://www.geogebra.org/m/EdufUSRu<br>
<ggb_applet id="EdufUSRu" width="800" height="600" border="888888" />
<ggb_applet id="EdufUSRu" width="800" height="600" border="888888" />
<small>Applet von J. Mil</small>
<small>Applet von J. Mil</small>
<br>
<br>|2=Beweis Nr. 1|3=Verbergen}}
Beweis Nr. 2:
 
{{Lösung versteckt|1=Beweis Nr. 2:<br>
Originallink https://www.geogebra.org/m/E5sNk6Z8<br>
<ggb_applet id="E5sNk6Z8" width="600" height="400" border="888888" />
<ggb_applet id="E5sNk6Z8" width="600" height="400" border="888888" />
<small>Applet von B.Lachner</small>
<small>Applet von B.Lachner</small>
<br>
<br>
Beweis Nr. 3:
|2=Beweis Nr. 2|3=Verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=Beweis Nr. 3:<br>
Originallink https://www.geogebra.org/m/ND4QUNXn<br>
<ggb_applet id="ND4QUNXn" width="900" height="550" border="888888" />
<ggb_applet id="ND4QUNXn" width="900" height="550" border="888888" />
<small>Applet von Pöchtrager</small>
<small>Applet von Pöchtrager</small>
<br>
<br>
Beweis Nr. 4:<br>
|2=Beweis Nr. 3|3=Verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=Beweis Nr. 4:<br>
{{#ev:youtube|CAkMUdeB06o|800|center}}
{{#ev:youtube|CAkMUdeB06o|800|center}}
<br>
<br>
|2=Beweis Nr. 4|3=Verbergen}}
Auch im Lied von Dorfuchs findest du einen Beweis für den Satz des Pythagoras:
Auch im Lied von Dorfuchs findest du einen Beweis für den Satz des Pythagoras:
{{#ev:youtube|8IZ_0qhZ36M|800|center}}
{{#ev:youtube|8IZ_0qhZ36M|800|center}}
<br>
<br>
<br>
<br>
 
===2.5 Erste Übungen===
{{Box|Übung 1 - online|Löse auf der Seite [https://mathe.aufgabenfuchs.de/koerper/zusammengesetzte-koerper.shtml '''Aufgabenfuchs'''] die Aufgaben
{{Box|Übung 1- Begriffe zuordnen|Ordne in der nachfolgenden LearningApp die Begriffe Kathete, Hypotenuse, Kathetenquadrat und Hypotenusenquadrat passend zu. Um deinen Arbeitsstand zu verfolgen, melde dich mit deiner Klasse und deinem Vornamen an (Beispiel 9a Tina).|Üben}}
{{LearningApp|app=pvcoz31o522|width=100%|height=300px}}
<br>
{{Box|Übung 2 - Grundlagen online|Löse auf der Seite [https://mathe.aufgabenfuchs.de/flaeche/dreieck/pythagoras.shtml '''Aufgabenfuchs'''] die Aufgaben
* 1
* 1
* 2
* 2
Zeile 62: Zeile 94:
{{LearningApp|app=pn3inqsp320|width=100%|height=300px}}
{{LearningApp|app=pn3inqsp320|width=100%|height=300px}}


{{Box|Übung 2|Löse die Aufgaben aus dem Buch. Übertrage die Skizze in dein Heft, markiere die Hypotenuse rot und formuliere den Satz des Pythagoras. (Achte darauf, dass deine Skizze ein rechtwinkliges Dreieck ist.)
{{Box|Übung 3 - Grundlagen Buch|Löse die Aufgaben aus dem Buch. Übertrage die Skizze in dein Heft, markiere die Hypotenuse rot und formuliere den Satz des Pythagoras. (Achte darauf, dass deine Skizze ein rechtwinkliges Dreieck ist.)
* S. 111 Nr. 2
* S. 111 Nr. 2
* S. 111 Nr. 3|Üben}}
* S. 111 Nr. 3|Üben}}
Zeile 68: Zeile 100:
<br>
<br>
<br>
<br>
===2.3 Fehlende Seitenlängen in rechtwinkligen Dreiecken berechnen mit dem Satz des Pythagoras===
===2.6 Fehlende Seitenlängen in rechtwinkligen Dreiecken berechnen mit dem Satz des Pythagoras===


{{Box|1=Fehlende Seitenlängen berechnen|2=Mithilfe des Satzes von Pythagoras lassen sich '''in rechtwinkligen''' Dreiecken fehlende Seitenlängen berechnen. Übertrage die Beispiele in dein Heft|3=Arbeitsmethode}}
{{Box|1=Fehlende Seitenlängen berechnen|2=Mithilfe des Satzes von Pythagoras lassen sich '''in rechtwinkligen''' Dreiecken fehlende Seitenlängen berechnen. Übertrage die Beispiele in dein Heft|3=Arbeitsmethode}}
<br>
<br>
'''Beispiel 1:''' Die Katheten sind gegeben und die Hypotenuse ist gesucht.<br>
'''Beispiel 1:''' Die Katheten sind gegeben und die Hypotenuse ist gesucht.<br>
[[Datei:Figur Beispiel 1.png|mini|232x232px]]geg: rechtwinkliges Dreieck mit γ=90°;&nbsp;&nbsp; Katheten: a = 4cm; b = 6cm<br>
[[Datei:Figur_Beispiel_1.png|alternativtext=|rechts|rahmenlos|232x232px]]
geg: rechtwinkliges Dreieck mit γ=90°;&nbsp;&nbsp; Katheten: a = 4cm; b = 6cm<br>
ges: Hypotenuse c<br>
ges: Hypotenuse c<br>


Zeile 85: Zeile 118:


'''Beispiel 2: '''Die Hypotenuse und eine Kathete sind gegeben und die andere Kathete ist gesucht.
'''Beispiel 2: '''Die Hypotenuse und eine Kathete sind gegeben und die andere Kathete ist gesucht.
[[Datei:Figur Beispiel 2.png|mini|292x292px]]geg: rechtwinkliges Dreieck mit γ=90°;&nbsp;&nbsp; Kathete: a = 14cm; Hypotenuse c = 17,5cm<br>
[[Datei:Figur Beispiel 2.png|292x292px|alternativtext=|rechts|rahmenlos]]geg: rechtwinkliges Dreieck mit γ=90°;&nbsp;&nbsp; Kathete: a = 14cm; Hypotenuse c = 17,5cm<br>
ges: Kathete b<br>
ges: Kathete b<br>


a² + b² = c² &nbsp;&nbsp;&#124;-a²  
a² + b² = c² &nbsp;&nbsp;&#124;-a² <br>
b² = c² - a² &nbsp;&nbsp;&#124;<math>\surd</math><br>
b² = c² - a² &nbsp;&nbsp;&#124;<math>\surd</math><br>
b = <math>\sqrt{\text{c² - a²}}</math> &nbsp;&nbsp;&#124;Werte einsetzen<br>
b = <math>\sqrt{\text{c² - a²}}</math> &nbsp;&nbsp;&#124;Werte einsetzen<br>
Zeile 97: Zeile 130:


Hinweis zum Runden: Runde auf so viele Nachkommastellen, wie die Werte in der Aufgabenstellung haben.<br>
Hinweis zum Runden: Runde auf so viele Nachkommastellen, wie die Werte in der Aufgabenstellung haben.<br>
<br>
<div class="grid">
<div class="width-1-2">{{#ev:youtube|wj4xvQV6BK4|420|center}}</div>
<div class="width-1-2">{{#ev:youtube|PHUoZePkpZ0|420|center}}</div>
</div>


<br>
{{Box|Übung 4 - LearningApps|Löse die nachfolgenden Learningapps, achte auf die Schreibweise der Lösungen. Diese sollst du bei der Lösung der Aufgaben aus dem Buch beachten.|Üben}}
{{LearningApp|app=pbv0jq6m320|width=100%|height=500px}}
{{LearningApp|app=pwvr7o7xj20|width=100%|heigth=600px}}
{{LearningApp|app=pbeyk73v520|width=100%|height=600px}}


{{Box|Übung 3 - online|Löse auf der Seite [https://mathe.aufgabenfuchs.de/koerper/zusammengesetzte-koerper.shtml '''Aufgabenfuchs'''] die Aufgaben
{{Box|Übung 5 - online|Löse auf der Seite [https://mathe.aufgabenfuchs.de/flaeche/dreieck/pythagoras.shtml '''Aufgabenfuchs'''] die Aufgaben
* 6
* 6
* 7
* 7
Zeile 109: Zeile 152:
* 13
* 13
Danach bearbeite die Aufgaben in den GeoGebra-Applets.|Üben}}
Danach bearbeite die Aufgaben in den GeoGebra-Applets.|Üben}}
Übungen (GeoGebra-Applets von Pöchtrager)
Übungen (GeoGebra-Applets von Pöchtrager)<br>
Originallink https://www.geogebra.org/m/vdp56qtd<br>
<ggb_applet id="vdp56qtd" width="762" height="550" border="888888" />
<ggb_applet id="vdp56qtd" width="762" height="550" border="888888" />
<br>
<br>
Originallink https://www.geogebra.org/m/abeswgx8<br>
<ggb_applet id="abeswgx8" width="815" height="581" border="888888" />
<ggb_applet id="abeswgx8" width="815" height="581" border="888888" />
<br>
<br>
Originallink https://www.geogebra.org/m/tddbdued<br>
<ggb_applet id="tddbdued" width="815" height="581" border="888888" />
<ggb_applet id="tddbdued" width="815" height="581" border="888888" />
<br>
<br>


{{Box|Übung 4|Löse die Aufgaben aus dem Buch. Gehe dabei schrittweise vor:<br>
{{Box|Übung 6|Löse die Aufgaben aus dem Buch. Gehe dabei schrittweise vor:<br>
1. Schritt: Prüfe, dass das Dreieck rechtwinklig ist.<br>
1. Schritt: Prüfe, dass das Dreieck rechtwinklig ist.<br>
2. Schritt: Entscheide, welche Seiten die Katheten und welche Seite die Hypotenuse ist.<br>
2. Schritt: Entscheide, welche Seiten die Katheten und welche Seite die Hypotenuse ist.<br>
Zeile 136: Zeile 182:
...|2=Tipp zu Nr. 4c|3=Verbergen}}
...|2=Tipp zu Nr. 4c|3=Verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=Um x zu berechnen, teile das Dreieck in zwei rechtwinklige Teildreiecke ein (wie in der Skizze gegeben) und berechne die einzelnen Teilstrecken x<sub>1</sub> und x<sub>2</sub>. x = x<sub>1</sub> + x<sub>2</sub>|2=Tipp zu Nr. 5d|3=Verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=Um x zu berechnen, teile das Dreieck in zwei rechtwinklige Teildreiecke ein (wie in der Skizze gegeben) und berechne die einzelnen Teilstrecken x<sub>1</sub> und x<sub>2</sub>. x = x<sub>1</sub> + x<sub>2</sub>|2=Tipp zu Nr. 5d|3=Verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=Wichtig für die Skizze ist die Angabe, dass <math>\gamma</math>=90° ist.
[[Datei:Rechtwinkliges Dreieck ABC.png|rahmenlos]]|2=Tipp zu Nr. 6 (Skizze)|3=Verbergen}}
{{Lösung versteckt|[[Datei:Rechtwinkliges Dreieck alpha 90°.png|rahmenlos]] <br>[[Datei:Rechtwinkliges Dreieck beta 90°.png|rahmenlos]]<br> [[Datei:Rechtwinkliges Dreieck gamma 90°.png|rahmenlos]]|Tipp zu Nr. 7 (Skizzen)|Verbergen}}
{{Lösung versteckt|[[Datei:Rechtwinkliges Dreieck alpha 90°.png|rahmenlos]] <br>[[Datei:Rechtwinkliges Dreieck beta 90°.png|rahmenlos]]<br> [[Datei:Rechtwinkliges Dreieck gamma 90°.png|rahmenlos]]|Tipp zu Nr. 7 (Skizzen)|Verbergen}}
 
{{Lösung versteckt|1=geg: Flächeninhalt A = 24,0 cm²; a = 7,2 cm; <math>\gamma</math> = 90°.<br>
{{Box|Übung 5 - online|Löse auf der Seite [https://mathe.aufgabenfuchs.de/koerper/zusammengesetzte-koerper.shtml '''Aufgabenfuchs'''] die Aufgaben
Problem: Die Seiten b und c sind gesucht.<br>
Berechne b mithilfe der Flächeninhaltsformel für rechtwinklige Dreiecke: Wenn <math>\gamma</math> = 90° ist, dann ist b die Höhe zur Seite a. Daher gilt A = <math>\frac{a \cdot b}{2}</math> = <math>\frac{1}{2}</math><math>\cdot</math>a<math>\cdot</math>b. Stelle diese Gleichung nach b um und berechne so die Länge von b (Lösung: b <math>\approx</math> 6,7 cm).<br>
Bestimme nun c mit dem Satz des Pythagoras.|2=Tipp zu Nr. 7c|3=Verbergen}}
{{Box|Übung 7 - online|Löse auf der Seite [https://mathe.aufgabenfuchs.de/flaeche/dreieck/pythagoras.shtml '''Aufgabenfuchs'''] die Aufgaben
* 15
* 15
* 16
* 16
Zeile 146: Zeile 198:
* 20|Üben}}
* 20|Üben}}


 
===2.7 Umkehrung des Satzes von Pythagoras===
{{Box|1=Übung 6: Umkehrung des Satzes von Pythagroas|2=Mit der Umkehrung des Satzes von Pythagoras kannst du prüfen, ob ein Dreieck rechtwinklig ist:<br>
{{#ev:youtube|AoV_uEr3ldU|800|center}}
{{Box|1=Übung 8: Umkehrung des Satzes von Pythagroas|2=Mit der Umkehrung des Satzes von Pythagoras kannst du prüfen, ob ein Dreieck rechtwinklig ist:<br>
Prüfe, ob die Summe der Quadrate der kürzeren Seiten genauso groß sind wie das Quadrat der längsten Seite.<br>
Prüfe, ob die Summe der Quadrate der kürzeren Seiten genauso groß sind wie das Quadrat der längsten Seite.<br>
Prüfe also, ob a² + b² = c² gilt (mit a und b kürzere Seiten, c längste Seite).<br>
Prüfe also, ob a² + b² = c² gilt (mit a und b kürzere Seiten, c längste Seite).<br>
Wenn du eine wahre Aussage erhältst, ist das Dreieck rechtwinklig.
Wenn du eine wahre Aussage erhältst, ist das Dreieck rechtwinklig.
* S. 111 Nr. 8
* S. 111 Nr. 8
* Nr. 14 auf der Seite [https://mathe.aufgabenfuchs.de/koerper/zusammengesetzte-koerper.shtml '''Aufgabenfuchs''']|3=Üben}}
* Nr. 14 auf der Seite [https://mathe.aufgabenfuchs.de/flaeche/dreieck/pythagoras.shtml '''Aufgabenfuchs''']|3=Üben}}
{{Lösung versteckt|1=a) a und b sind die kürzeren Seiten, c ist die längste Seite. <br>
{{Lösung versteckt|1=a) a und b sind die kürzeren Seiten, c ist die längste Seite. <br>
a² + b² = c²<br>
a² + b² = c²<br>
Zeile 159: Zeile 212:
Also ist das Dreieck rechtwinklig.|2=Lösung zu 8a|3=Verbergen}}
Also ist das Dreieck rechtwinklig.|2=Lösung zu 8a|3=Verbergen}}
<br>
<br>
{{Box|1=Übung 7: Besondere Figuren konstruieren mit Pythagoras|2=Konstruiere die "Pythagoras-Schnecke", wie im Buch gezeigt.
===2.8 Besondere Figuren konstruieren mit dem Satz des Pythagoras===
{{Box|1=Pythagorasschnecke|2=Konstruiere die "Pythagoras-Schnecke", wie im Buch gezeigt.
* S. 112 Nr. 9
* S. 112 Nr. 9
Eine weitere besondere Figur, die mit dem Satz des Pythagoras konstruiert wird, ist der Pythagoras-Baum. Die Konstruktion zeigt das nachfolgende Applet. Erkläre!|3=Üben}}
Beschreibe dein Vorgehen mit Fachbegriffen!|3=Üben}}
GeoGebra-Applet zu Nr. 9 <br>
Originallink https://www.geogebra.org/m/jnkr8pak<br>
<ggb_applet id="jnkr8pak" width="848" height="794" border="888888" />
<small>Applet von C.Buß-Haskert</small><br>
<br>
{{Lösung versteckt|1=Konstruiere mit einer verkürzten Schnecke. Beginne bei der Schnecke, die die Katheten mit den Längen 1 und 6(=<math>\sqrt{36}</math>)hat. Die Hypotenuse dieses rechtwinkligen Dreiecks hat die Länge <math>\sqrt{37}</math>. Ergänze noch ein weiteres rechtwinkliges Dreieck.|2=Tipp zur verkürzten Schnecke Nr. 9|3=Verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=Mögliche Konstruktionsbeschreibung:<br>
Die Hypotenuse des gegebenen Dreiecks ist die Kathete des neuen Dreiecks. An ihr äußeres Ende zeichne ich in einem rechten Winkel die Kathete mit der Länge 1cm. Die Hypotenuse des neuen Dreiecks hat dann die Länge <math>\sqrt{38}</math>.<br>
Denn:<br>
<math>\sqrt{37}</math><sup>2</sup> + 1<sup>2</sup> = x<sup>2</sup><br>
37 + 1 = x<sup>2</sup><br>
38 = x<sup>2</sup> &nbsp;&nbsp;&#124;<math>\sqrt{...}</math><br>
<math>\sqrt{38}</math> = x.|2=Tipp zur Konstruktionsbeschreibung|3=Verbergen}}


Eine weitere besondere Figur, die mit dem Satz des Pythagoras konstruiert wird, ist der Pythagoras-Baum. Die Konstruktion zeigt das nachfolgende Applet.<br>
Originallink https://www.geogebra.org/m/pj9y28s5<br>
<ggb_applet id="aftpbsjr" width="800" height="450" border="888888" />
<ggb_applet id="hntddxzc" width="800" height="450" border="888888" />
<ggb_applet id="hntddxzc" width="800" height="450" border="888888" />
<small>(Appelt von Pöchtrager)</small>
<small>(Appelt von Pöchtrager)</small>


{{Box|1=Übung 8: Pythagoreische Zahlen|2=Rechtwinklige Dreiecke mit natürlichen Zahlen als Seitenlängen heißen pythagoreische Zahlen. Ein Beispiel hast du beim 12-Knoten-Seil kennengelernt.<br>
{{Box|1=Übung 10: Pythagoreische Zahlen|2=Rechtwinklige Dreiecke mit natürlichen Zahlen als Seitenlängen heißen pythagoreische Zahlen. Ein Beispiel hast du beim 12-Knoten-Seil kennengelernt.<br>
Hier gilt: 3² + 4² = 5² (alle Zahlen sind natürlichen Zahlen).<br>
Hier gilt: 3² + 4² = 5² (alle Zahlen sind natürlichen Zahlen).<br>
Löse Buch
Löse Buch
* S. 112 Nr. 11|3=Üben}}
* S. 112 Nr. 11|3=Üben}}
{{Lösung versteckt|1=a) (9;12;15) Die beiden kürzeren Seiten sind ggf. die Katheten, die längere Seite ist die Hypotenuse. Prüfe also:<br>
9² + 12² = 15²<br>
81 + 144 = 225<br>
225 = 225 (w)<br>
Die Aussage ist wahr, daher sind die Zahlen (9;12;15) also pythagoreische Zahlen.<br>
Ergibt sich eine falsche Aussage, so sind die Zahlen keine pythagoreischen Zahlen.<br>
Prüfe die übrigen Beispiele ebenso. |2=Tipp zur Nr. 11a|3=Verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=Vervielfache (3;4;5) und prüfe wie in Teil a).
Verdoppelt: (6;8;10)|2=Tipp zu Nr. 11b|3=Verbergen}}
{{Lösung versteckt|Berechne mit dem Satz des Pythagoras die fehlende Seitenlänge. Das Ergebnis muss jeweils eine natürliche Zahl sein.|Tipp zu Nr. 11c,d|Verbergen}}
<br>
{{Fortsetzung|weiter=3) Anwendungen|weiterlink=Benutzer:Buss-Haskert/Pythagoras/Anwendungen}}

Aktuelle Version vom 9. März 2024, 12:34 Uhr



2 Satz des Pythagoras

2.1 12-Knoten-Seil

12-Knoten-Seil

Schon im alten Ägypten (lange vor Pythagoras), gab es Seilspanner, die mithilfe eines 12-Knoten-Seils Felder rechtwinklig einteilen konnten.
Probiere es aus: Teile ein Seil in 12 gleich lange Teile und mache jeweils einen Knoten bzw. markiere die Stelle des Seils farbig. Spanne nun das Seil so, dass du 5 Teile unten (Hypotenuse) und jeweils 3 bzw. 4 Teile an den Seiten (Katheten) hast.
Was beobachtest du?

12 Knoten Seil.png

Prüfe deine Beobachtung mithilfe des nachfolgenden Applets.
Originallink https://www.geogebra.org/m/xaAVwK4T

GeoGebra

Applet von Pöchtrager


Was hat das mit dem Satz des Pythagoras zu tun?


2.2 Satz des Pythagoras - Herleitung

Originallink https://www.geogebra.org/m/AgezqDax

GeoGebra

Applet von Pöchtrager
Prüfe, ob diese Aussage in jedem Dreieck gilt:
Originallink https://www.geogebra.org/m/vs8heusr

GeoGebra

Applet von Elschenbroich

2.3 Der Satz des Pythagoras

Hefteintrag: Satz des Pythagoras

In jedem rechtwinkligen Dreieck ist das Quadrat über der Hypotenuse genauso groß wie die Summe der Quadrate über den Katheten.
Für ein rechtwinkliges Dreieck mit dem rechten Winkel γ (γ=90°) heißt der Satz des Pythagoras

a² + b² = c².Pythagorasfigur 1.png



2.4 Beweise zum Satz des Pythagoras

Überprüfe die Aussage des Satzes von Pythagoras mithilfe des nachfolgenden Applets.
Originallink https://www.geogebra.org/m/j3UksqZs

GeoGebra

Applet von Pöchtrager


Zerlegungsbeweise
Es gibt viele Möglichkeiten, den Satz des Pythagoras zu beweisen. Die nachfolgenden GeoGebra-Applets nutzen die Zerlegungsmethode, d.h. die Quadrate über den Katheten werden so zerlegt, dass sie neu zusammengelegt das Hypotenusenquadrat ergeben. Erkläre jeweils!

Beweis Nr. 1:
Originallink https://www.geogebra.org/m/EdufUSRu

GeoGebra

Applet von J. Mil


Beweis Nr. 2:
Originallink https://www.geogebra.org/m/E5sNk6Z8

GeoGebra

Applet von B.Lachner


Beweis Nr. 3:
Originallink https://www.geogebra.org/m/ND4QUNXn

GeoGebra

Applet von Pöchtrager


Beweis Nr. 4:


Auch im Lied von Dorfuchs findest du einen Beweis für den Satz des Pythagoras:



2.5 Erste Übungen

Übung 1- Begriffe zuordnen
Ordne in der nachfolgenden LearningApp die Begriffe Kathete, Hypotenuse, Kathetenquadrat und Hypotenusenquadrat passend zu. Um deinen Arbeitsstand zu verfolgen, melde dich mit deiner Klasse und deinem Vornamen an (Beispiel 9a Tina).


Übung 2 - Grundlagen online

Löse auf der Seite Aufgabenfuchs die Aufgaben

  • 1
  • 2
  • 3
  • 4
  • 5
Danach bearbeite die Übungen der LearningApp.


Übung 3 - Grundlagen Buch

Löse die Aufgaben aus dem Buch. Übertrage die Skizze in dein Heft, markiere die Hypotenuse rot und formuliere den Satz des Pythagoras. (Achte darauf, dass deine Skizze ein rechtwinkliges Dreieck ist.)

  • S. 111 Nr. 2
  • S. 111 Nr. 3
In Nr. 3 gibt es jeweils 3 rechtwinklige Dreiecke pro Figur, das große gesamte Dreieck mit den Katheten x und y und der Hypotenuse (z+w) und die zwei kleinen Dreiecke mit jeweils der Seite y als Kathete.



2.6 Fehlende Seitenlängen in rechtwinkligen Dreiecken berechnen mit dem Satz des Pythagoras

Fehlende Seitenlängen berechnen
Mithilfe des Satzes von Pythagoras lassen sich in rechtwinkligen Dreiecken fehlende Seitenlängen berechnen. Übertrage die Beispiele in dein Heft


Beispiel 1: Die Katheten sind gegeben und die Hypotenuse ist gesucht.

geg: rechtwinkliges Dreieck mit γ=90°;   Katheten: a = 4cm; b = 6cm
ges: Hypotenuse c

c² = a² + b²   |
c =   |Werte einsetzen
c =   |berechnen
(c =   diesen Schritt musst du nicht notieren)
c 7,2 [cm]

Beispiel 2: Die Hypotenuse und eine Kathete sind gegeben und die andere Kathete ist gesucht.

geg: rechtwinkliges Dreieck mit γ=90°;   Kathete: a = 14cm; Hypotenuse c = 17,5cm

ges: Kathete b

a² + b² = c²   |-a²
b² = c² - a²   |
b =   |Werte einsetzen
b =   |berechnen
(b =   diesen Schritt musst du nicht notieren)
b = 10,5 [cm]

Hinweis zum Runden: Runde auf so viele Nachkommastellen, wie die Werte in der Aufgabenstellung haben.


Übung 4 - LearningApps
Löse die nachfolgenden Learningapps, achte auf die Schreibweise der Lösungen. Diese sollst du bei der Lösung der Aufgaben aus dem Buch beachten.




Übung 5 - online

Löse auf der Seite Aufgabenfuchs die Aufgaben

  • 6
  • 7
  • 8
  • 9
  • 10
  • 11
  • 12
  • 13
Danach bearbeite die Aufgaben in den GeoGebra-Applets.

Übungen (GeoGebra-Applets von Pöchtrager)
Originallink https://www.geogebra.org/m/vdp56qtd

GeoGebra


Originallink https://www.geogebra.org/m/abeswgx8

GeoGebra


Originallink https://www.geogebra.org/m/tddbdued

GeoGebra



Übung 6

Löse die Aufgaben aus dem Buch. Gehe dabei schrittweise vor:
1. Schritt: Prüfe, dass das Dreieck rechtwinklig ist.
2. Schritt: Entscheide, welche Seiten die Katheten und welche Seite die Hypotenuse ist.
3. Schritt: Notiere im Heft geg:... und ges:... wie in den Beispielen oben.
4. Schritt: Berechne dann wie in den Beispielen oben. Notiere vollständig und runde richtig.

  • S. 111 Nr. 4
  • S. 111 Nr. 5
  • S. 111 Nr. 6 (mit Skizze!)
  • S. 111 Nr. 7 (mit Skizze!)

In Aufgabenteil a) ist eine Kathete 4cm lang, von der anderen Kathete kennst du nur das Quadrat (20cm²). Gesucht ist die Hypotenuse x.
x² = 4² + 20   (20 ist schon das Quadrat der zweiten Kathete)
x =

x = 6 [cm]

In Aufgabenteil c) sind die Katheten gleich lang, das Quadrat der Hypotenuse ist gegeben.
50 = x² + x²
50 = 2x²   |:2
25 = x²

...
Um x zu berechnen, teile das Dreieck in zwei rechtwinklige Teildreiecke ein (wie in der Skizze gegeben) und berechne die einzelnen Teilstrecken x1 und x2. x = x1 + x2

Wichtig für die Skizze ist die Angabe, dass =90° ist.

Rechtwinkliges Dreieck ABC.png
Rechtwinkliges Dreieck alpha 90°.png
Rechtwinkliges Dreieck beta 90°.png
Rechtwinkliges Dreieck gamma 90°.png

geg: Flächeninhalt A = 24,0 cm²; a = 7,2 cm; = 90°.
Problem: Die Seiten b und c sind gesucht.
Berechne b mithilfe der Flächeninhaltsformel für rechtwinklige Dreiecke: Wenn = 90° ist, dann ist b die Höhe zur Seite a. Daher gilt A = = ab. Stelle diese Gleichung nach b um und berechne so die Länge von b (Lösung: b 6,7 cm).

Bestimme nun c mit dem Satz des Pythagoras.


Übung 7 - online

Löse auf der Seite Aufgabenfuchs die Aufgaben

  • 15
  • 16
  • 17
  • 18
  • 19
  • 20

2.7 Umkehrung des Satzes von Pythagoras

Übung 8: Umkehrung des Satzes von Pythagroas

Mit der Umkehrung des Satzes von Pythagoras kannst du prüfen, ob ein Dreieck rechtwinklig ist:
Prüfe, ob die Summe der Quadrate der kürzeren Seiten genauso groß sind wie das Quadrat der längsten Seite.
Prüfe also, ob a² + b² = c² gilt (mit a und b kürzere Seiten, c längste Seite).
Wenn du eine wahre Aussage erhältst, ist das Dreieck rechtwinklig.

a) a und b sind die kürzeren Seiten, c ist die längste Seite.
a² + b² = c²
8² + 15² = 17²
289 = 289 (w)

Also ist das Dreieck rechtwinklig.


2.8 Besondere Figuren konstruieren mit dem Satz des Pythagoras

Pythagorasschnecke

Konstruiere die "Pythagoras-Schnecke", wie im Buch gezeigt.

  • S. 112 Nr. 9
Beschreibe dein Vorgehen mit Fachbegriffen!

GeoGebra-Applet zu Nr. 9
Originallink https://www.geogebra.org/m/jnkr8pak

GeoGebra

Applet von C.Buß-Haskert

Konstruiere mit einer verkürzten Schnecke. Beginne bei der Schnecke, die die Katheten mit den Längen 1 und 6(=)hat. Die Hypotenuse dieses rechtwinkligen Dreiecks hat die Länge . Ergänze noch ein weiteres rechtwinkliges Dreieck.

Mögliche Konstruktionsbeschreibung:
Die Hypotenuse des gegebenen Dreiecks ist die Kathete des neuen Dreiecks. An ihr äußeres Ende zeichne ich in einem rechten Winkel die Kathete mit der Länge 1cm. Die Hypotenuse des neuen Dreiecks hat dann die Länge .
Denn:
2 + 12 = x2
37 + 1 = x2
38 = x2   |

= x.

Eine weitere besondere Figur, die mit dem Satz des Pythagoras konstruiert wird, ist der Pythagoras-Baum. Die Konstruktion zeigt das nachfolgende Applet.
Originallink https://www.geogebra.org/m/pj9y28s5

GeoGebra
GeoGebra

(Appelt von Pöchtrager)


Übung 10: Pythagoreische Zahlen

Rechtwinklige Dreiecke mit natürlichen Zahlen als Seitenlängen heißen pythagoreische Zahlen. Ein Beispiel hast du beim 12-Knoten-Seil kennengelernt.
Hier gilt: 3² + 4² = 5² (alle Zahlen sind natürlichen Zahlen).
Löse Buch

  • S. 112 Nr. 11

a) (9;12;15) Die beiden kürzeren Seiten sind ggf. die Katheten, die längere Seite ist die Hypotenuse. Prüfe also:
9² + 12² = 15²
81 + 144 = 225
225 = 225 (w)
Die Aussage ist wahr, daher sind die Zahlen (9;12;15) also pythagoreische Zahlen.
Ergibt sich eine falsche Aussage, so sind die Zahlen keine pythagoreischen Zahlen.

Prüfe die übrigen Beispiele ebenso.

Vervielfache (3;4;5) und prüfe wie in Teil a).

Verdoppelt: (6;8;10)
Berechne mit dem Satz des Pythagoras die fehlende Seitenlänge. Das Ergebnis muss jeweils eine natürliche Zahl sein.