Benutzer:Buss-Haskert/Pythagoras/Anwendungen: Unterschied zwischen den Versionen

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{{Navigation|[[Benutzer:Buss-Haskert/Pythagoras| Satz des Pythagoras - Startseite]]<br>
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[[Benutzer:Buss-Haskert/Pythagoras/Satz des Thales| 1) Rechtwinklige Dreiecke zeichnen mit dem Satz des Thales]]<br>
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&nbsp;&nbsp;&nbsp;[[Benutzer:Buss-Haskert/Pythagoras/Anwendungen/Anwendungen im Koordiantensystem|3.4 Anwendungen im Koordinatensystem]]}}
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==3) Satz des Pythagoras - Anwendungen==
==3) Satz des Pythagoras - Anwendungen==
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===3.1 Anwendungen in geometrischen Figuren===
===3.1 Anwendungen in geometrischen Figuren===
NOCH ERGÄNZEN
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'''Einführungsbeispiel:'''<br>
 
Bestimme den Umfang und den Flächeninhalt des rechtwinkligen Trapezes:<br>
{{Box|Übung ...|Löse die Aufgaben aus dem Buch. Achte auf eine vollständige und übersichtliche Darstellung im Heft.
[[Datei:Trapez Einstiegsaufgabe.png|rahmenlos|500x500px]] <br>
Um die Länge der Seite b zu bestimme gehe schrittweise vor:<br><br>
1. Zerlege die Figur so, dass die gesuchte Seite b eine Seite in einem '''rechtwinkligen Dreieck''' ist.<br>
[[Datei:Trapez Einstiegsaufgabe unterteilt.png|rahmenlos|500x500px]]<br>
2. Überlege, ob die Seite eine Kathete oder die Hypotenuse in diesem Dreieck ist und stelle den Satz des Pythagoras richtig auf. <br>
{{Lösung versteckt|1=Die Seite b ist in dem rechtwinkligen Dreieck die Hypotenuse. Die Katheten sind h=d=2cm  und 7-2 = 5 (cm) lang.|2=Tipp|3=Verbergen}}
3. Berechne die Länge der Seite b mithilfe des Satzes von Pythagoras. Runde sinnvoll.<br>
{{Lösung versteckt|1=2² + 5² = b² &nbsp;&nbsp;&#124;<math>\surd</math><br>
<math>\sqrt{2^2+5^2}</math> = b<br>
5,4 (cm)<math>\approx</math> b|2=Tipp|3=Verbergen}}<br>
4. Löse die Aufgabe: Berechne den Umfang und den Flächeninhalt der Figur.<br>
{{Lösung versteckt|1=Umfang u = a + b + c + d = 7 + 5,4 + 2 + 2 = 16,4 (cm)<br>
A = <math>\tfrac{a+c}{2}\cdot</math>h = <math>\tfrac{7+2}{2}\cdot</math>2 = 9 (cm²)|2=Lösung|3=Verbergen}}<br><br>
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Dieses Video zeigt die Berechnungen für eine symmetrisches Trapez:
{{#ev:youtube|AY2TEIAQFHs|800|center}}
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{{Box|Übung 1|Löse die Aufgaben aus dem Buch. Achte auf eine vollständige und übersichtliche Darstellung im Heft.
* S. 114 Nr. 1
* S. 114 Nr. 1
* S. 114 Nr. 2
* S. 114 Nr. 2
* S. 115 Nr. 7|Üben}}
* S. 115 Nr. 7|Üben}}
{{Lösung versteckt|1=Hefteintrag zu Nr. 1:<br>
Beschrifte in der Skizze die zweite Kathete im linken rechtwinkligen Dreieck mit z.B. "a".<br>
linkes Dreieck:<br>
15² + a² = 39² &nbsp;&nbsp;&#124;-15²<br>
a² = 39² - 15² &nbsp;&nbsp;&#124;<math>\surd</math><br>
a = <math>\sqrt{39^2-15^2}</math> &nbsp;&nbsp;(Taschenrechner)<br>
a = 36 (cm)<br>
rechtes Dreieck:<br>
a² + x² = 47² <br>
36² + x² = 47² &nbsp;&nbsp;&#124;-36²<br>
x² = 47² - 36² &nbsp;&nbsp;&#124;<math>\surd</math><br>
x = <math>\sqrt{47^2-36^2}</math> &nbsp;&nbsp;(Taschenrechner)<br>
x <math>\approx</math>30,2 (cm)<br>
Löse ebenso die anderen Teilaufgaben.|2=Schreibweise zu Nr. 1|3=Verbergen}}
{{Lösung versteckt|[[Datei:S. 114 Nr. 2 Skizzen.png|rahmenlos|707x707px]]|Tipp und Skizzen zu Nr. 2|Verbergen}}
{{Lösung versteckt|[[Datei:S. 115 Nr. 7 Skizzen neu.png|rahmenlos|700x700px]]|Tipp und Skizzen zu Nr. 7|Verbergen}}


{{Box|Übung ...|Übertrage die Skizze in dein Heft. Teile die Figuren in rechtwinklige Teildreiecke und berechne dann die fehlenden Seitenlängen.  
 
{{Box|1=Übung 2|2=<span style="color:red">Übertrage die Skizze in dein Heft.</span> Teile die Figuren in rechtwinklige Teildreiecke und berechne dann die fehlenden Seitenlängen.  
* S. 114 Nr. 3
* S. 114 Nr. 3
* S. 114 Nr. 4
* S. 114 Nr. 4
* S. 114 Nr. 5
* S. 114 Nr. 5
* S. 114 Nr. 6
* S. 122 Nr. 4b|3=Üben}}
* S. 122 Nr. 4|Üben}}
{{Lösung versteckt|Teile die Figuren jeweils in ein Rechteck und ein rechtwinkliges Dreieck ein. Berechne dann mit Pythagoras die fehlenden Seitenlängen.<br>
{{Lösung versteckt|Teile die Figuren jeweils in ein Rechteck und ein rechtwinkliges Dreieck ein.|Tipp zu Nr. 3|Verbergen}}
[[Datei:S. 114 Nr. 3 Skizzen.png|rahmenlos]]|Tipp zu Nr. 3|Verbergen}}
{{Lösung versteckt|Teile die Figuren in ein Rechteck und ein rechtwinkliges Dreieck ein.<br>
{{Lösung versteckt|Teile die Figuren in ein Rechteck und ein rechtwinkliges Dreieck ein.<br>
Für die Berechnung des Flächeninhaltes wiederhole die Flächeninhaltsformeln (hinten im Schulbegleiter).|Tipp zu Nr. 4|Verbergen}\
Für die Berechnung des Flächeninhaltes wiederhole die Flächeninhaltsformeln (hinten im Schulbegleiter).|Tipp zu S. 114 Nr. 4|Verbergen}}
 
{{Lösung versteckt|Die Figuren sind jeweils Trapeze. Wiederhole die Flächeninhaltsformel für das Trapez (Schulbegleiter).<br>
 
In Aufgabenteil b) handelt es sich um ein gleichschenkliges Trapez, da die benachbarten Winkel gleich groß sind. Bestimme die Höhe h mithilfe von Pythagoras.|Tipp zu Nr. 5|Verbergen}}
===Anwendungen im Raum===
{{Lösung versteckt|Zerlege die Figur in zwei rechtwinklige Dreiecke, indem du die Diagonale von links oben nach rechts unten zeichnest. Berechne dann zunächst die Länge der Diagonale und damit die Länge der fehlenden Seite.<br>
Um rechtwinklige Teildreiecke in Körpern zu erkennen, ist es hilfreich, ein Kantenmodell dieses Körpers zu erstellen. Dies kannst du basteln mit Holzspießen und Erbsen oder Weingummi.<br>
[[Datei:S. 122 Nr. 4b Tipp.png|rahmenlos]]|Tipp zu S. 122 Nr. 4b|Verbergen}}
Kantenmodell eines Quaders:<br>
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NOCH ERGÄNZEN<br>
Hilfsvideos zu den Aufgaben S. 114 Nr. 5 und S. 122 Nr. 4:
Kantenmodell einer quadratischen Pyramide:<br>
<div class="grid">
[[Datei:Kantenmodell Pyramide Holzspieße.png|rahmenlos]]<br>
<div class="width-1-2">{{#ev:youtube|hpksYIAB0Fg|420|center}}</div>
Buch S. 116 grüne Seite<br>
<div class="width-1-2"> {{#ev:youtube|-rusvD2OToo|420|center}}</div>
{{Box|Übung...|Löse die Aufgaben aus dem Buch. Suche rechtwinklige Teildreiecke und zeichne ein Skizze.  
</div>
* S. 116 Nr. 15
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* S. 116 Nr. 16
{{Box|1=Übung 3 (online)|2=Bearbeite die nachfolgenden Übungen. Lade einen Screenshot deiner Lösungen im Aufgaben-Modul hoch.
* S. 116 Nr. 17|Üben}}
* [https://www.zum.de/dwu/depothp/hp-math/hpmsp01.htm '''Übung 1''']
 
* [https://www.zum.de/dwu/depothp/hp-math/hpmsp04.htm '''Übung 2''']|3=Üben}}
===3.2 Anwendungen in Sachsituationen===


{{Box|1= Übung 4|2=<span style="color:red">Übertrage die Figuren in dein Heft.</span>Löse die Aufgaben ausführlich im Heft und prüfe deine Ergebnisse auf der Seite [https://mathe.aufgabenfuchs.de/flaeche/dreieck/pythagoras.shtml '''Aufgabenfuchs''']. Aufgaben:
* 22
* 26
* 29
* 42
* 47
* 48|3=Üben}}




__INHALTSVERZEICHNIS_ERZWINGEN__
{{Fortsetzung|weiter=3.2 Anwendungen im Raum|weiterlink=Benutzer:Buss-Haskert/Pythagoras/Anwendungen/Anwendungen im Raum}}

Aktuelle Version vom 25. Februar 2022, 07:45 Uhr



3) Satz des Pythagoras - Anwendungen

Der Satz des Pythagoras gilt für rechtwinklige Dreiecke. Wenn kein rechtwinkliges Dreieck vorliegt, musst du die Figur in rechtwinklige Teildreiecke zerlegen. Dann kannst du in diesen Teildreiecken fehlende Seitenlängen mit dem Satz des Pythagoras berechnen.

3.1 Anwendungen in geometrischen Figuren


Einführungsbeispiel:
Bestimme den Umfang und den Flächeninhalt des rechtwinkligen Trapezes:
Trapez Einstiegsaufgabe.png
Um die Länge der Seite b zu bestimme gehe schrittweise vor:

1. Zerlege die Figur so, dass die gesuchte Seite b eine Seite in einem rechtwinkligen Dreieck ist.
Trapez Einstiegsaufgabe unterteilt.png
2. Überlege, ob die Seite eine Kathete oder die Hypotenuse in diesem Dreieck ist und stelle den Satz des Pythagoras richtig auf.

Die Seite b ist in dem rechtwinkligen Dreieck die Hypotenuse. Die Katheten sind h=d=2cm und 7-2 = 5 (cm) lang.

3. Berechne die Länge der Seite b mithilfe des Satzes von Pythagoras. Runde sinnvoll.

2² + 5² = b²   |
= b

5,4 (cm) b


4. Löse die Aufgabe: Berechne den Umfang und den Flächeninhalt der Figur.

Umfang u = a + b + c + d = 7 + 5,4 + 2 + 2 = 16,4 (cm)

A = h = 2 = 9 (cm²)




Dieses Video zeigt die Berechnungen für eine symmetrisches Trapez:


.

Übung 1

Löse die Aufgaben aus dem Buch. Achte auf eine vollständige und übersichtliche Darstellung im Heft.

  • S. 114 Nr. 1
  • S. 114 Nr. 2
  • S. 115 Nr. 7

Hefteintrag zu Nr. 1:
Beschrifte in der Skizze die zweite Kathete im linken rechtwinkligen Dreieck mit z.B. "a".
linkes Dreieck:
15² + a² = 39²   |-15²
a² = 39² - 15²   |
a =   (Taschenrechner)
a = 36 (cm)
rechtes Dreieck:
a² + x² = 47²
36² + x² = 47²   |-36²
x² = 47² - 36²   |
x =   (Taschenrechner)
x 30,2 (cm)

Löse ebenso die anderen Teilaufgaben.
S. 114 Nr. 2 Skizzen.png
S. 115 Nr. 7 Skizzen neu.png


Übung 2

Übertrage die Skizze in dein Heft. Teile die Figuren in rechtwinklige Teildreiecke und berechne dann die fehlenden Seitenlängen.

  • S. 114 Nr. 3
  • S. 114 Nr. 4
  • S. 114 Nr. 5
  • S. 122 Nr. 4b

Teile die Figuren jeweils in ein Rechteck und ein rechtwinkliges Dreieck ein. Berechne dann mit Pythagoras die fehlenden Seitenlängen.

S. 114 Nr. 3 Skizzen.png

Teile die Figuren in ein Rechteck und ein rechtwinkliges Dreieck ein.

Für die Berechnung des Flächeninhaltes wiederhole die Flächeninhaltsformeln (hinten im Schulbegleiter).

Die Figuren sind jeweils Trapeze. Wiederhole die Flächeninhaltsformel für das Trapez (Schulbegleiter).

In Aufgabenteil b) handelt es sich um ein gleichschenkliges Trapez, da die benachbarten Winkel gleich groß sind. Bestimme die Höhe h mithilfe von Pythagoras.

Zerlege die Figur in zwei rechtwinklige Dreiecke, indem du die Diagonale von links oben nach rechts unten zeichnest. Berechne dann zunächst die Länge der Diagonale und damit die Länge der fehlenden Seite.

S. 122 Nr. 4b Tipp.png


Hilfsvideos zu den Aufgaben S. 114 Nr. 5 und S. 122 Nr. 4:


Übung 3 (online)

Bearbeite die nachfolgenden Übungen. Lade einen Screenshot deiner Lösungen im Aufgaben-Modul hoch.


Übung 4

Übertrage die Figuren in dein Heft.Löse die Aufgaben ausführlich im Heft und prüfe deine Ergebnisse auf der Seite Aufgabenfuchs. Aufgaben:

  • 22
  • 26
  • 29
  • 42
  • 47
  • 48